2023-2024学年山东省临沂市高二年级上册期末数学模拟试题(二)(含解析)

2023-2024学年山东省临沂市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.抛物线y=4加何<0）的焦点坐标是（

0,—

16。

【正确答案】B

【分析】化简抛物线方程为标准形式，然后求解焦点坐标即可

【详解】a<0,则抛物线丁=462的标准方程为：x2=^-y,焦点坐标在V轴上，焦点坐标

故选：B

2.已知向量或/二（-1,0,4）,且白黑，则实数〃?的值为（）.

B.-4D.-2

【正确答案】A

【分析】依题意可得根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】解：因为£（见2,1）,6=（-1,0,4）,且上，,

所以16=-5+4=0，解得"，=4.

故选：A

3.若直线4：«x+4y+8=0与直线4：3x+（a+l）y-6=0平行，则。的值为（）

A.-4B.3C.3或-4D.-3或6

【正确答案】B

【分析】由两直线平行得到方程，求出。=3或-4,通过检验舍去不合要求的解.

【详解】直线4：ax+4y+8=l与直线4：3x+（a+l）y-6=0平行，

所以a（a+l）=4x3,解得：0=3或-4,

①当a=3时，/,：3x+4y+8=0,l2：3x+4y-6=0,(〃/?，符合题意;

②当a=-4时，11：-4x+4y+8=0,l2：3x-3y-6=0,均为x-y-2=0,此时，，4重合，

舍去，

故a=3,

故选：B

4.已知函数/(x)=e2、+/'⑴则/'⑴=()

A.-2e2B.2e2C.e2D.-e2

【正确答案】A

【分析】先求导，再代入即可求解.

【详解】因为〃x)=e2，+,⑴炉,

所以/'(x)=2e2、+2/'(l)x,

所以/'⑴=2e2+2/'(l),

所以/'(l)=-2e，

故选：A.

5.已知直线N-x+l=O与圆/+"=1相交于点4,8,点P为圆上一动点，则45P面积

的最大值是()

,y/2+1„5/21—八1

A.--------B.---1-1C*5/2D.~

222

【正确答案】A

【分析】先利用点线距离公式算得圆心到直线的距离，从而利用弦长公式求得|/回，再利用

圆上动点到直线的距离的最值求法求得点尸到直线的最大距离，由此可求得/8P面积的最

大值.

【详解】因为圆x2+j?=i,所以圆心为(0,0),半径为『=1,如图，

所以圆心到直线y-x+i=o的距离d=I°~O+1I=也，

V1+12

则网=2仄不=虚,

又点尸到直线N-x+l=0的距离的最大值为d+r=1&+l,

2

所以/BP面积的最大值S=gx近

6.已知数列｛〃“｝满足q=2,a“+i=l-J,则。2022=（）

A.IB.2C.-1D.1.5

【正确答案】C

【分析】结合数列的周期性求得正确答案.

一,i11,1,,1c

【详解】^=--=r3=i--=-u4=i-r2I

所以数列｛“"｝是周期为3的周期数列,

所以。2。22=限3=%=-1.

故选：C

7.已知点尸是曲线＞=:机彳上一动点，a为曲线在点/＞处的切线的倾斜角，则a的取值

e、+j3

范围是（）

（C万]「4兀、「万7]，人乃

A.0,—B.—C.—D.0,—

I6」[62）]63」（3」

【正确答案】A

【分析】求出函数y=的导数，利用均值不等式求出切线斜率的取值范围即可计算作

e*+V3

答.

4.ev

【详解】函数'=』的定义域是R,求导得:函数正府而e'>0，

则曲线在点尸（/,%）（/€R）处的切线的斜率

,4.e'4,4#

一3+何，，+=+2加2、以+26-3，

eVe^

3-14-ez

当且仅当e'=2,即S=G，f=；ln3时取“="，而兀-不7>0，

e'2（e'+j3）2

于是得0<tana43，有倾斜角a锐角，因此，0<a4£,

36

所以a的取值范围是（0微.

故选：A

关键点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处

的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.

8.已知"，居是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且怛耳|>|巴4，线段尸石

的垂直平分线过名，若椭圆的离心率为G,双曲线的离心率为e,,则2+与■的最小值为（）

q2

A.8B.6C.4D.2

【正确答案】B

【分析】由于线段咫的垂直平分线过乙，所以有|百用=|「玛再根据双曲线和椭圆的定

义，求出2c的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.

【详解】设椭圆对应的参数为44,c,双曲线对应的参数为生也,c,

由于线段班的垂直平分线过小所以有|4勾=附|=2c.

\\PF\+2c=2a.

根据双曲线和椭圆的定义有1周一2c=2a，

两式相减得到4c=2（q-出）,即。|-。2=2。，

d2>0,c>0,

所以2+卜阴■+/=4+^24—^>4+2-6）

q2c2a2c2a27c2a2

当且仅当过=9即c=2%等号成立，即最小值为6.

c2a2

故选：B.

思路点睛：本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合

性较强的题目，由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同C,对于两

个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.

再利用基本不等式可求得最小值.

二、多选题

9.下列函数中，求导正确的是()

A./(x)=-,/<x)=-4

XX

B./(x)=x\nx,/'(x)=lnx+—

x

c.小)=后“(上帚

D./(x)=(x2+2x)e,,/<x)=(x2+4x+2)e'

【正确答案】ACD

【分析】根据基本初等函数的求导公式及运算法则即可求解.

【详解】解：对于A,/卜)=一，则A正确；

对于B,f(x)=x\nx,f\x)=\nx+x-=lnx+l,则B错误；

x

x(\X+1-X1

对于c,/(x)=:，/r(tx)=7_犷=7中，则c正确；

x+l(x+1)(x+1)

对于D,〃丫)=，+2x)e*,/，(x)=(2x+2)e*+(£+2@e'=(y+4x+@e*,则D正确.

故选：ACD.

10.已知圆C:(x+2)2+/=%直线/：("?+l)x+2y-l+机=0(mwR),则()

A.直线/恒过定点(-U)

B.当加=0时，圆C上恰有三个点到直线/的距离等于1

C.直线/与圆C有一个交点

D.若圆C与圆丁+/一2工+8了+。=0恰有三条公切线，则a=8

【正确答案】AD

【分析】A选项，将直线变形，即可得到直线过的定点.B选项，结合点到直线的距离公式,

可得到结果.C选项，由定点在圆内，即可求解.D选项，由公切线条数可确定两圆位置关系,

根据圆心距与两圆半径之间的关系来求解.

【详解】对于A选项，直线/:("?+l)x+2y-l+m=0(meR),所以"i(x+l)+x+2p-l=0,

fx+1=0fx=-1

令、I八，解得，，所以直线恒过定点(T，l)，故A选项正确・

[x+2y-l=0[j=l

对于B选项，当加=0时，直线/为：x+2y-｝=0,则圆心C(-2,0)到直线/的距离为

=挛,2-迈<1,所以圆上只有2个点到直线的距离为

”」7Vl2：+°2二2155

1,故B选项错误.

对于C选项，因为直线过定点(T1),所以(-l+2y+F<4,所以定点在圆内，则直线与圆

有两个交点.故C选项错误.

对于D选项，由圆的方程f+y2-2x+8y+a=0可得，(x-1)2+(^+4)2=17-«,所以圆心为

(1,-4),半径为JiF,因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则

J(1+2)2+(0+4。=5=2+Jl7-a,解得a=8,故D选项正确.

故选：AD

11.已知等比数列｛凡｝的公比为此其前〃项之积为且满足0<q<1,做。22a2。23-1>0,

蜂二<0,则()

“2023-1

A.4>1B.%021。2023-1<°

C.心心的值是。中最小的D.使7；<1成立的最大正整数”的值为4043

【正确答案】ABD

【分析】由等比数列的性质得0<出。22<1<。2。23,再对选项逐一判断，

a—1

2

【详解】由0<6<1,。2022a2023-1>°，.<0f>?>0,且0<在022<1<。2023，

“2023-1

对于A,g=色空>1,故A正确，

“2022

对于B，^2021^2023=^2022<1，故B正确，

对于C,当14〃K2022时，0<an<1,当〃N2023时,an>\9

故%022的值是北中最小的，故C错误,

对于D,T4g3=a黑;<1，几中=(«2022«2023)2022>1，故使北<1成立的最大正整数〃的值为4043,

故D正确，

故选：ABD

12.如图，在长方体44GA中，/5=百/。=6/4=百，点p是线段4c上的

动点，则下列结论正确的是()

A.当4。=24P时，B、P、2三点共线

B.当4d时，AP±D,P

C.当4c=34尸时，。1尸//平面8£>G

D.当4。=54尸时，4c_L平面。|/尸

【正确答案】ACD

【分析】如图，以。为原点，DA,DC,DD、为x,y,z轴建立空间直角坐标系。-斗，设

A.C=kA}P,表示出4/：万，%方的坐标，再逐个分析判断即可.

【详解】解：如图，以。为原点，DA,DC,。々为x,y,z轴建立空间直角坐标系。-师：

则。(0,0,0),。(0,百,0),£>.(0,0,1),

4(1,0,0),4(1,0,1),s(i,V3,0),q(0,73,1),

设4?^c=(-i,71,-1).则42=」3_r

~~k'~k~~k>

(

可得。/=44+4尸=1-_L也」〕

~k'~k~~k)

AP=AA+AP=」

X{k'3k'3k；

对于A：当4c=24尸时，则点p为对角线4c的中点,

根据长方体性质可得民尸,R三点共线，故A正确;

对于B：当4P_L4c时,

,,K101

/•AP'AC——I----1-----1=0,解得左=5,

ykkk

@g、40

所以NP=，D}P=，"

5'T5?

（\RA\

则力尸出尸十;芋巳）但在11

252525

因此NPLRP不正确，故B错误：

..(?Ji1、

对于C：当4c=34尸时:D\P=,

\3S5)

设平面5Z)G的法向量为〃=(x,y,z),

D5=(l,^3,0),DC；=(0,V3,l),

n,DB=x+>/3y=0,n-DC}=>J3y+z=0,

当y=T时,x=百，Z=5故工(省

X♦♦♦JC)R1•、,

••n'D[P=—xy/3—-——x->J3=0，・・〃_LOf,

又RPZ平面5QG，・・・2尸//平面8。4，故C正确；

•、•・(1百4)八

对于D：当力。=54P时,可得4/=--，-^-，―,D}A=(1,0-1),

设平面。/尸的法向量为加=①也C),

则加•4尸二一1〃+与+，，m•D、A=a—c=0,

555

取〃二-1,贝(Jb=6，c=-1，•*•tn=(-1,5/3,-1),

而4(?=(-1,宕,-1),二4C)w,4C，平面D/P，故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13.已知圆C:(x-iy+(y+l)2=4,若直线y=h+l与圆C相交得到的弦长为26，则

3

【正确答案】--##-0.75

4

【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式和几何法求出圆

的弦长，列出关于人的方程，解之即可.

【详解】由圆C:(X-1)2+3+1)2=4,得圆心C(l,-1),半径r=2,

则圆心C(l,-1)到直线S=白+1即"7+1=0的距离为

八！"加

有(k+急i+U小?5解得我3

3

故答案为.北

14.在直三棱柱ABC-481G中，/1BCA=90°,D,尸分别是44，4G的中点,

8C=C4=CG，则BO与4尸所成角的余弦值是.

【正确答案】叵##士历

1010

【分析】己知/8C-48G是直三棱柱，取8c的中点O,连接NO,F。，DF,可得/尸和尸O

所成角即为8。与/尸所成角.求出边长，利用余弦定理求解角的大小.

【详解】D,尸分别是4耳，4G的中点，

取8c的中点。，连接/0,尸。，FD,

则8C//尸。且尸D=g8C=BO,所以BDFO为平行四边形，BD//FO,

那么AF和FO所成角即为8。与AF所成角.

^BC=CA=CC,=2,NBC4=90。，/8C-48c是直三棱柱，

:.AO=45,AF=亚,FO=BD=4f>

故场

10

15.已知等差数列｛%｝的前〃项和为5“生=2,$5=15,则数列的前2017项和

【正确答案】士二

2018

【分析】设等差数列｛4,,｝的公差为d，由”2=2,S，=15,根据基本量法可得4,利用裂项相

消法求解数列的和即可.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为"，由题意£=5。3=15,故％=3.

又。2=2,故〃=%-。2=1，故%=2+(〃-2)xl=〃.

,---1-------1-----1----1-

••%”「n(n+l)nn+1'

则数列的前2017项和为

11,12017

-------=1----------=------

2017201820182018

,,2017

故而?

16.已知抛物线C:/=2x,过焦点的直线/与C交于43两点，若以48为直径的圆与C

的准线切于点则/的斜率为.

【正确答案】2

［分析】当直线I斜率不存在时显然不成立,当直线/斜率存在时,设/的方程为y=k

设/（3,必），与抛物线方程联立，利用韦达定理代入痴:加;0的坐标运算可得答案.

【详解】当直线/斜率不存在时显然不成立，

当直线/斜率存在时，设/的方程为y=（x-g）,设4（项,必），

联立方程组I2）消x化简，得如2-2y-«=0,A=4+4公2＞0,

y2=2x

2

所以必+为=7=T，代入到。：/=2x中可得,

力+货_(凹+%尸一2%%_21

-2记+L5-履

2

又以N8为直径的圆与C的准线切于点可知，物1MB,

所以=0，且M4=卜］+王M一=卜+万，％-5J，

所以1+乩+£|+,-{|1-£|=。，

整理得工/2+；（$+£）+；+%%-；（必+为）+；=°，

口J1/2八1

即一+—x|—+1+——-1-

42U)42k4

即，一：+；=0,解得k=2.

故2.

四、解答题

I,

17.已知函数/(x)=]x2-x+inx.

(1)求y=/(x)的导数；

(2)求曲线夕=/(x)在点(1,/(I)处的切线方程.

【正确答案】(l)f'(x)=x-l+L

X

(2)2x~2y~3=0.

【分析】(1)根据基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则即可计算；

(2)根据导数几何意义求出切线斜率，再根据直线点斜式方程即可求切线方程.

【详解】(1)由题意，/%)=X—1+J：

(2)/(1)=1；

二曲线/=危)在点(1,)1)处的切线方程为:

y+g=x-l,即2x-2y—3=0.

18.已知圆C:x2+y2-2x-4y+2=0和直线/：ax+y-l-a=0.

(1)判断直线/与圆C的位置关系；

(2)求直线/被圆C截得的最短弦长及此时直线I的方程.

【正确答案】(1)相交

(2)272；y=[

【分析】(1)根据直线过定点以及点与圆的位置关系即可得到结果；

(2)当当直线/_LCM时，直线/被圆C截得的弦长最短，结合弦长公式即可得到最短弦长

及直线/的方程.

【详解】(1)因为直线/："+”1-。=0,即“x-l)+y—l=0恒过定点

又因为圆C：x2+/-2x-4y+2=0,BP(x-1)2+(y-2)2=3

即圆心C(l,2),半径为厂=百

因为|CM|=J(l-if+(2-以=1<6

所以点〃在圆内，即直线/与圆C相交.

（2）当直线时，直线/被圆C截得的弦长最短，

此时可得弦长的一半为J户=万T=母

即最短弦长为2五

又因为点M,c横坐标相同，故直线MCLx轴，

则直线/的斜率为0

所以直线/的方程为y=i

19.如图，在长方体/BCD—44GA中，AB=AD=^AA[=6.

（1）求G到平面48。的距离;

（2）求直线AC与平面A.BD所成角的正弦值.

【正确答案】（1）噂

血

II

【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，从而求得8C；与平面48。的法向量，进而利

用空间向量法求得点G到平面48。的距离；

（2）结合（I）中结论，求得xd的坐标表示，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可

求得结果.

【详解】（1）根据题意，以点A为原点，建立空间直角坐标系，如图，

则“（0,0,0）,4（0,0,6）,8（4,0,0,40,4,。«4,4,04,4,6,

则BC,=（0,4,6）,A[B=（4,0,-6）,BD=（-4,4,0）,

A

〃=4x-6z=0

设平面46。的一个法向量为〃=（x,y,z）则

gn=-4x+4y=0

令x=3,则y=3,z=2,故〃=(3,3,2),

（2）由（1）得/C=（4,4,0）,平面的一个法向量为“=（3,3,2）,

设直线AC与平面ABD所成角为。,

线

则sin。=卜0$(/(7,"，|12+12|3vH=-----

刘；-J16+16xj9+9+411

所以直线AC与平面A、BD所成角的正弦值为今?.

20.已知数列a,,=(；］,a+2=31ogJ,("£N*),数列｛与｝满足g=a"也.

⑴求数列也｝的通项公式；

（2）求数列｛q,｝的前”项和S”.

【正确答案】（1也=3”-2

⑵S“=4一”当

【分析】（1）首先求bg|°"=〃，再代入即可求数列｛4｝的通项公式;

（2）由（1）可知c.=a”也=（3〃-2）（3）,再利用错位相减法求和.

【详解】(1)

，log/“=",

2

又4+2=310gA=3〃,

2

bn=3n-2.

(2)由(1)知”=3"-2,

，。"=4"。=所2)

,2=唱+4x(5+7x(5+

*唔卜唱5(4

故①-②得gs〃:=lx；+3x(3)+3x(7+3x(3++3x8〃-2*(?-

=、3xI(2咱。券

2〃2

.2=4-9

〃2〃

£=1(4>6>0)的离心率为坐，且经过点

21.已知椭圆C：

(1)求椭圆。的方程.

(2)过点尸(0,2)的直线交椭圆。于A、B两点，求/O8为原点)面积的最大值.

丫2

【正确答案】(1)5+/=1

cV6

e=­=——

a3

91

【分析】（1）由题意可得才+犷=1,解得b,即可得出答案.

a2=b2+c2

（2）由题意可知直线/的斜率存在，设直线，：丁=代+2,力（不，必），例看,必），联立直线/与

椭圆的方程，结合韦达定理可得项+工2,由弦长公式可得点到直线的距离公式

可得点。到直线/的距离/，再计算498的面积，利用基本不等式，即可得出答案.

c-76

e=—=——

a3

91

【详解】（1）解：由题意可得不+力=1,

4a~46一

a2=h2+c2

解得a=y/3,b=1,

所以椭圆C的标准方程为二+/=1.

3

（2）解：由题意可知直线/的斜率存在，设直线/：卜=丘+2,A（Xl,y,）,B（x2,y2）,

y=kx+2

联立X2,,得(3/+l)x?+12米+9=0,

—+V=1

3'

A=144Zr2-36(3Ar2+1)=36(A:2-1)>0,

所以22>1,即左>1或左<-1,

12k9

则nilX.+工2---',XX=—：---,

'23k2+\'23公+1

⑵2(X厂6J(公+1)(公-1)

故M可=y/k2+1•|x,—x,|=yjk2+1•.(―

3k2+lX3/C2+1~3/C2+1

2

点O到直线/的距离d=赤彳,

所以403的面积S=』力外"",

2113F+1

设/="2_]>0,则〃="+],

e_6/_66J7

故‘-3(*+1)+1-小区位一下，当且仅当2"言时，等号成立，

t

所以面积的最大值为1.

2

22.已知圆A/：(x+2"VJ)~+/=—^-的圆心为A/,圆M(x-2>/^)~+y~=§的圆心为N,

一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C

(1)求曲线C的方程；

(2)已知点尸(6,3),直线/不过尸点并与曲线C交于4B两点,且K：尸£10,直线/是否