福建省邵武市四中学片区2023-2024学年九年级上册数学期末联考试题含解析

福建省邵武市四中学片区2023-2024学年九上数学期末联考试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题3分，共30分）

3

1.关于反比例函数^=-下列说法错误的是（）

X

A.图象经过点（1,-3）

B.图象分布在第一、三象限

C.图象关于原点对称

D.图象与坐标轴没有交点

2.下列判断正确的是（）

A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形B.两组邻边相等的四边形是平行四边形

C.对角线相等的四边形是矩形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形

3.在同一坐标系中，二次函数^=0^+匕的图象与一次函数，=反+。的图象可能是（）

4.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为-2和3,贝（］（）

A.b=l,c=-6B.b=-1,c=-6

C.b=5,c=-6D.b=-1,c=6

5.下列叙述，错误的是（）

A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C,对角线互相平分的四边形是平行四边形

D.对角线相等的四边形是矩形

6.如图，以（1,・4）为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的

3<x<4C<4<x<5D.5<x<6

7.如图，已知抛物线y=法+C（QW（））的对称轴过点（1,0）且平行于y轴，若点P（4,0）在抛物线上，则下列4

个结论：®abc>0；②/<4ac;®a+b+c=0；@4a-2b+c=0.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

8.两个相邻自然数的积是L则这两个数中，较大的数是（）

A.11B.12C.13D.14

9.如图，在。。中，弦A3的长为8,圆心。到43的距离为3,则。。的半径为（)

A.10B.8C.7D.5

10.已知等腰三角形ABC中，腰AB=8,底BC=5,则这个三角形的周长为（）

A.21B.20C.19D.18

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，点勺（和外）,6（々,%），，尺（x,,y“）在函数y=g（x>0）的图象上，.4OA，AA&，,.6A2%,月A-A,都

是等腰直角三角形.斜边OA,A4,44，,仆八都在X轴上（〃是大于或等于2的正整数），点p„的坐标是.

12.写出经过点（0,0）,（-2,0）的一个二次函数的解析式（写一个即可）.

13.已知关于X的一元二次方程能x（x+2）+x=0有两个相等的实数根，则机的值是

14.从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下:

种子粒数100400800100020005000

发芽种子粒数8531865279316044005

发芽频率0.8500.7950.8150.7930.8020.801

根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为（精确到0.1）.

15.如图，直线轴于点P,且与反比例函数必=?（x>0）及刈=§（%>（））的图象分别交于A、B两点,

连接。4、OB,已知△。钻的面积为4,则仁-网=.

16.如图,AB是。O的直径,点C在。O上,AE是。O的切线,A为切点，连接BC并延长交AE于点D.若,AOC=80°,

则一ADB的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.20°

(2x-3<l

17.不等式组，、的解集为_________.

l-x<2

1+2/zz

18.在反比例函数y=--------的图象上有两点A(xi,yi),B(x,y),当xi<0〈X2时，有yi<yz,则m的取值范围

x22

是.

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，四边形A8CE内接于)0,A3是。的直径，点。在的延长线上，延长AE交BC的延长

线于点F,点。是的中点，ZBCD=ZCAE.

(1)求证：CO是。的切线；

(2)求证：ACE尸是等腰三角形；

(3)若89=1,CD=2,求cosNCBA的值及£尸的长.

20.(6分)已知抛物线.丫=4(%-2)~+。经过点4(2,())和与x轴交于另一点3,顶点为O.

(1)求抛物线的解析式，并写出。点的坐标；

(2)如图，点E,F分别在线段上(£点不与重合)，且NDE/=NA,则ADEE能否为等腰三角形？

若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

21.(6分)(1)如图①，在AA3C中，AB=m,AC=n(n>m),点尸在边AC上.当AP=时，AAPB^AABC；

(2)如图②，已知请用直尺和圆规在直线O尸上求作一点Q,使OE是线段。尸和的比例项.(保

留作图痕迹，不写作法)

D

A

22.(8分)在一个不透明的口袋里，装有若干个完全相同的4、B、C三种球，其中4球x个，8球x个，C球(x+D

个.若从中任意摸出一个球是A球的概率为0.L

(1)这个袋中A、B、C三种球各多少个？

(2)若小明从口袋中随机模出1个球后不放回，再随机摸出1个.请你用画树状图的方法求小明摸到1个A球和1

个C球的概率.

23.(8分)如图，在4kBe中,点〃在48边上，ZABC=ZACD,

(1)求证：&ABCs4ACD

(2)若AO=2,A8=5.求AC的长.

A

24.(8分)如图1,我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果英=g，那么称点C为线段AB的黄金分割

ABAC

点.某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金

S.S,

分割线”的定义：直线1将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1,S2,如果U=那么称

JkJI

直线1为该图形的黄金分割线.

如图2,在AABC中，ZA=36",AB=AC,NC的平分线交AB于点D.

(1)证明点D是AB边上的黄金分割点；

(2)证明直线CD是△ABC的黄金分割线.

25.(10分)已知：关于x的方程f一(加+1»+加2-1=(),根据下列条件求m的值.

(1)方程有一个根为1;

（2）方程两个实数根的和与积相等.

26.（10分）列一元二次方程解应用题

某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元.假设该公

司2、3、4月每个月增长的利润率相同.

（1）求每个月增长的利润率；

（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、B

【解析】反比例函数&邦）的图象4>0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随工的增大而减小；时

x

位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.根据反比例函数的性质并结合其对称性对各选项进行判断.

【详解】4、把点（1,-3）代入函数解析式，-3=-3,故本选项正确，不符合题意，

5、.•.图象位于二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意，

C、反比例函数的图象可知，图象关于原点对称，故本选项正确，不符合题意

y均不能为0,故图象与坐标轴没有交点，故本选项正确，不符合题意.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查的是反比例函数的性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.

2、A

【分析】利用特殊四边形的判定定理逐项判断即可.

【详解】A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此项正确

B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此项错误

C、对角线相等的平行四边形是矩形，此项错误

D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此项错误

故选：A.

【点睛】

本题考查了特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）的判定定理，掌握理解各判定定理是解题关键.

3、C

【分析】根据二次函数、一次函数图像与系数的关系，对每个选项一一判断即可.

【详解】A.由一次函数图像可得：a>0,Z»0；由二次函数图像可得：a>0,b<d,故A选项不可能.

B.由一次函数图像可得：a>0,辰0；由二次函数图像可得：”>0,占>0,故B选项不可能.

C.由一次函数图像可得：a<0,b>0；由二次函数图像可得：a<0,b>0,故C选项可能.

D.由一次函数图像可得：a>0,6>0；由二次函数图像可得：a<0,b<0,故D选项不可能.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，根据一次函数、二次函数图像判断系数的正负是解题关键.

4、B

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到-2+3=-b,-2x3=c,即可得到b与c的值.

【详解】由一元二次方程根与系数的关系得：-2+3=-b,-2x3=c,

.\b=-1,c=-6

故选：B.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根内，々满足

bc

%+%2=-------,Xj,X=—，是解题的关键.

a2a

5、D

【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四边形的判定方法分别分析即可得出答案.

【详解】解：4、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，此选项正确,

不符合题意；

8、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，此选项正确，不符合题意；

C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，此选项正确，不符合题意；

根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，

此选项错误，符合题意；

选：£>.

【点睛】

此题主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，关键是需要同学们准确把握矩形、菱形正方形以及平行四

边形的判定定理之间的区别与联系.

6、C

【解析】试题解析：•••二次函数y=ax2+bx+c的顶点为（1,-4）,

•••对称轴为x=l,

而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是-3VxV-2,

.••右侧交点横坐标的取值范围是4<x<l.

故选C.

考点：图象法求一元二次方程的近似根.

7、B

【分析】根据二次函数的图象与性质对各个结论进行判断，即可求出答案.

【详解】解：•••抛物线了=依?+历:+。（。/0）的对称轴过点（1,0）,

b

...抛物线的对称轴为x=l,即--=1,可得Z?=—2a

2a

由图象可知a>0,c<0,则。<0,

：.abc>Q,①正确；

•.•图象与X轴有两个交点，

•••△=/一4%>0,即〃>4ac，②错误；

•••抛物线的顶点在x轴的下方，

...当x=l时，y=a+b+c<0,③错误；

•.•点P（4,0）在抛物线上，即P（4,0）是抛物线与*轴的交点，

由对称轴x=l可得，抛物线与x轴的另一个交点为（-2,0）,

故当x=-2时，y=4a-2b+c=0,④正确；

综上所述：①④正确，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题的关键是逐一分析每条结论是否正确.解决

该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键.

8、B

【分析】设这两个数中较大的数为X,则较小的数为（X-1）,根据两数之积为1,即可得出关于X的一元二次方程，

解之取其正值即可得出结论.

【详解】解：设这两个数中较大的数为X,则较小的数为（X-1）,

依题意，得：X（X-1）=1,

解得：Xl=12,X2=-11（不合题意，舍去）.

故选：B.

【点睛】

本题考查的知识点是一元二次方程的应用，找准题目中的等量关系式是解此题的关键.

9、D

【分析】根据垂径定理可得出AE的值，再根据勾股定理即可求出答案.

【详解】解：,••OE_LAB,

.♦.AE=BE=4,

AO=YIAE2+OE2=725=5-

故选：D.

【点睛】

本题考查的知识点是垂径定理，根据垂径定理得出AE的值是解此题的关键.

10、A

【解析】试题分析：由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解：

V8+8+5=1.

这个三角形的周长为1.

故选A.

考点：等腰三角形的性质.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、（5/77+yJn—\,yfn—Jn—1）

【分析】过点Pi作PiE±x轴于点E,过点P2作P2F±X轴于点F,过点P3作P3G±X轴于点G,根据APiOAi,2SP2A1A2,

△P3A2A3都是等腰直角三角形，可求出Pl,P2,P3的坐标，从而总结出一般规律得出点Pn的坐标.

【详解】解：过点P1作PiELx轴于点E,过点P2作P2F_Lx轴于点F,过点P3作P3G_Lx轴于点G,

•••APiOAi是等腰直角三角形，

.\PiE=OE=AiE=-OAi,

2

设点Pi的坐标为（a,a）,（a>0）,

将点Pi（a,a）代入y可得a=L

故点Pi的坐标为（1,1）,则OAi=2,

设点P2的坐标为（b+2,b）,将点P2（b+2,b）代入y=L可得b=J5-l，

X

故点P2的坐标为（夜+1，V2-1）.

贝！JA1F=A2F=72-1»OA2=OA1+A1A2=2V2，

设点P3的坐标为（C+2加，C）,将点P3（C+2加，C）代入y=J,

可得c=百-0，故点P3的坐标为（g+夜，垃）,

综上可得：P1的坐标为（1,1）,P2的坐标为（8+1，正-1）,P3的坐标为（夜+1，夜-1）,

总结规律可得：Pn坐标为（册+-；

故答案为：（五+一1）.

本题考查了反比例函数的综合，根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P”P2,P3的坐标，从而总结出一

般规律是解题的关键.

12、y=x2+2x（答案不唯一）.

【解析】设此二次函数的解析式为y=ax（x+2）,令a=l即可.

【详解】•••抛物线过点（0,0）,（-2,0）,

可设此二次函数的解析式为y=ax（x+2）,

把a=l代入，得y=x?+2x.

故答案为y=x?+2x（答案不唯一）.

【点睛】

本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一.

1

13、——

2

【解析】根据方程有两个相等的实数根，可得b2-4ac=0,方程化为一般形式后代入求解即可.

2

【详解】原方程化为一般形式为：mx+（2m+l）X=0,

•••方程有两个相等的实数根

:.(2m+l)2-4mx0=0

m=-

2

【点睛】

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型.

14、1.2

【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，从而得到结论.

【详解】•••观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在L2左右，

...该玉米种子发芽的概率为1.2,

故答案为1.2.

【点睛】

考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比.

15、1.

【分析】根据反比例函数Z的几何意义可知：AAQP的面积为1占，ABOP的面积为』Z，然后两个三角形面积作

22-

差即可求出结果.

【详解】解：根据反比例函数Z的几何意义可知：A4OP的面积为1尢，ABOP的面积为

22•

:.AAO8的面积为一k,k、,:.—k、%,=4,—心=8.

2222-

故答案为1.

【点睛】

本题考查反比例函数Z的几何意义，解题的关键是正确理解攵的几何意义，本题属于基础题型.

16、B.

【解析】试题分析：根据AE是。O的切线，A为切点，AB是OO的直径，可以先得出NBAD为直角.再由同弧所

对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出NB,从而得到NADB的度数.由题意得：ZBAD=90°,

VZB=AZAOC=40°,.,.ZADB=90O-ZB=50°.故选B.

考点：圆的基本性质、切线的性质.

17、-l<x<2

【解析】首先分别解出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集.

2%-3<1①

【详解】解答：

1742②

由①得：x<2,

由②得：xN—1,

...不等式组的解集为-l<x<2,

故答案为：—lWx<2

【点睛】

此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是解不等式.

18、m>—-

2

1+9/77

【详解】•・•反比例函数尸------的图象上有两点A（X1,Ji）,B（X2,72）,当X1V0VX2时，有71<丁2,

X

:.1+2机>0,

故m的取值范围是：帆》--,

2

故答案为：加>-士■.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象与性质，对于反比例函数丫=A，当4>0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，

X

在每一象限内J随X的增大而减小；当AV0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内J随X的增大

而增大.

三、解答题（共66分）

19、（1）见解析；（2）见解析：（3）cosNCBA=旦,EF=-

55

【分析】（D根据圆的切线的定义来证明，证NOCD=90。即可；

（2）根据全等三角形的性质和四边形的内接圆的外角性质来证；

（3）根据已知条件先证ACDBs^ADC,由相似三角形的对应边成比例，求CB的值，然后求求cosNCBA的值；连结

BE,在RtAFEB和RtAAEB中，利用勾股定理来求EF即可.

【详解】解：（1）如图1,连结。C,

（245是）。的直径，；.4。，3/，

又点。是8尸的中点，AC=AC

.-.AACBsMCT7.

ZCAB=ZCAE

OC=OA,ZCAB=ZOCA

又/BCD=NCAE

：.4BCD=4OCA

/.Z.OCD=NOCB+/BCD=ZOCB+ZOCA

=ZACB=90°

:.CD是)。的切线

(2)四边形ABCE内接于0,

:.NFEC=NCBA

AAC5合AACF.

•••NF=NFBA

：.NF=4FEC,

：.FC=EC

即AC所是等腰三角形

(3)如图2,连结8E,

设0C=x,EF=y,

在HfAOC。中，OC2+CD2=OD2

X1+22=0+1)2

.,.x=1.5,AB-3

由(1)可知NBCD=NC4B,又ZD=ZD

：.ADC3\DAC,

BCBD1

,AC-CD-2

在R/AAC6中，AC2+CB2^AB2

BC=EC=FC=3瓜

,“A_BC也

..cosNC3A-----——>

AB5

QAB是。的直径，.•.5E_L4?,

：.AB2-AE2^BF2-EF2

2

即32-(3-y)2-y2

【点睛】

本题考查了圆的切线、相似三角形的性质、勾股定理的应用，解本题关键是找对应的线段长.

2533

20、(1)(2,3)；(2)可能，命的长为5或不；(3)当0＜，”右时，满足条件的点P的个数有4个，当机=右时,

o1U10

3

满足条件的点P的个数有3个，当〃?＞历时，满足条件的点P的个数有2个(此时点P在BO的左侧).

【解析】(1)利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题.

(2)可能分三种情形①当£也=。尸时，②当。£=所时，③当DF=EF时，分别求解即可.

(3)如图2中，连接80,当点P在线段30的右侧时，作D//1.A5于，，连接PD,PH,PB.设

3，

Pn,--(n-2Y+3

16V),构建二次函数求出"80的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题.

16a+c=0

【详解】(1)由题意：\9

4a+c=一

4

_2_

解得〈”记

c=3

3,

，抛物线的解析式为y=-—(x-2)2+3,

16

二顶点。坐标(2,3).

(2)可能.如图1,

yt

/A(AE

图1

A(-2,0),0(2,3),3(6,0)

AB=S,AD=BD=5

①当DE=DF时，ADFE=ADEF=ZABD

:.EF//AB,此时E与3重合，与条件矛盾，不成立.

②当DE=£F时，

又AB£F〜AAEZ),

：.^BEF=/^\ED,

.•.BE=AD=5

③当。歹=所时，ZEDF=ZDEF=ZDAB=/DBA

AFDE-ADAB

,EFDE

'BD-AB

EFBD_5

,DE-AB-8(

AAEF~\BCE

.EBEF5

"AD-DE-8，

525

88

25

答：当BE的长为5或豆时，ACEE为等腰三角形.

(3)如图2中，连接8。，当点P在线段的右侧时，作于H,连接PD,PH,PB.设

223

则SPBD=S&PBH，S~PDH~^ABDH=-x4x--—(n-2)+3+—x3x(n-2)--x4x3=(n-4)+—

2L16」22872

，〃=4时，AP8D的面积的最大值为g,

q

CBD

3

-

23

二当点P在BO的右侧时，加的最大值-=一

5

10

观察图象可知：当0(加＜2时，满足条件的点P的个数有4个，

3

当〃2=士时，满足条件的点P的个数有3个，

10

3

当根＞本时，满足条件的点P的个数有2个(此时点P在3。的左侧).

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的

判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的

思想思考问题，属于中考压轴题.

2

m

21、(1)—；(2)见解析.

n

【分析】(1)根据相似三角形的判定方法进行分析即可；

(2)直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案.

【详解】(1)解：要使AAPBsaABC成立，NA是公共角，贝!|空=生，即生=’-,.・.AP=^.

ACAPnAPn

(2)解：作

如图点。就是所求作的点

【点睛】

本题考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

22、(1)这个袋中4、B、C三种球分别为1个、1个、2个；(2)-

3

【分析】(1)由题意列方程，解方程即可；

(2)首先画树状图，由概率公式即可得出答案.

【详解】解：由题意得：—[x+x+(x+1)]=x,

4

解得：x=1>.♦.x+l=2,

答：这个袋中A、B、C三种球分别为1个、1个、2个；

(2)由题意，画树状图如图所示共有12个等可能的结果，摸到1个A球和1个C球的结果有4个,

41

•••摸到1个A球和1个C球的概率为一=4.

123

开始

ABCC

/NZl\/Nz4\

BCCACCABCABC

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件;

树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意方程思想的应用.

23、(1)详见解析；(2)VW

【分析】(D根据NABC=NACD,NA=NA即可证明，

(2)由上一问列出比例式，代入求值即可.

【详解】证明：

(1)VZABC=ZACD,ZA=ZA

A

(2)解：AABC^AACD

.ACAB

e，AD-AC

VAD=2,AB=5

.AC5

a■-'

2AC

.*.AC=V10

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，属于简单题，列比例式是解题关键.

24、(1)详见解析；(2)详见解析.

【分析】⑴证明AD=CD=BC,证明△BCDs^BCA,得至！|—.则有包=型，所以点D是AB边上的黄金分割

ABBCABAD

点；

(2)证明SACD：SABC=SBCD：SAS，直线CD是aABC的黄金分割线；

【详解】解：(1)点D是AB边上的黄金分割点.理由如下：

AB=AC,NA=36",：ZB=