2023-2024学年四川省达州外国语学校高三（上）入学数学试卷（文科）（含解析）

2023-2024学年四川省达州外国语学校高三（上）入学数学试卷

（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数2=小，则5在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限

2.已知全集U={0,1,2,3,4},集合4={1,2,3},B={2,4},则BC（C"）=（）

A.{4}B.{2}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4）

3.在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样

本数据的频率分布直方图，则（）

A.这种疾病患者的年龄小于等于30的概率为0.2

B.这种疾病患者的年龄的中位数小于45岁

C.这种疾病患者的年龄的众数为45岁

D.这种疾病患者的平均年龄为48岁

4.下列命题是真命题的是（）

A.若a>b>0,贝ijac?>be2B.若Q>b,贝!la2>/

11

贝d

2u->-

C.若a<bV0,则/<ab<bD.若aVb<0,Q>

D

5."M>N"是"InM>InN"的条件.（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要

6.下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数的是()

A.y=|x|B.y=3—xC.y=；D.y=-x2+4

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

.()

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

9.设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间［—1,0)上是增函数，且f(x+2)=—f(x),

则有()

A.</(|)</(I)B./(|)<</(I)

C.〃1)<<D.</(1)<

10.已知尸1，尸2分别为椭圆E：各，=l(a>b>0)的两个焦点，P是椭圆E上的点，P&_L

PF2,且sin/PF?&=3s讥4P&F2，则椭圆E的离心率为()

31

--③蔡，其中真命题的个数为()

11.下列四个命题：①伉兀>1,@ln44sin">

A.0个B.1个C.2个D.3个

12.已知函数/(x)=》若/⑶的图象上存在关于y轴对称的

(xlnx4-%—(m+2)x+1(%>0).

点，则实数m的取值范围是()

A.(―8,仇2+1)B.(/n24-1,+8)C.[In2+1,4-oo)D.(―8,ln2+1]

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.设命题p：Vx>0,x+1>a,若"是假命题，则实数a的取值范围是.

14.函数/(%)=舞为奇函数，则。=.

15.已知函数/'(X)的定义域为(一5，今，其导函数是f'(x).有/''(x)cosx+/(x)sinx<0,则关

于x的不等式/'(x)>2/(》cosx的解集为.

16.已知=2alnx+x2+(b-4)x(a>0,b>0)在x=1处取得极值,则:+，的最小值为

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

在中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且2b•cos4=c-cosA+a•cosC.

(1)求角4的大小；

(2)若a=17，b+c=4,求be的值.

18.(本小题12.0分)

某土特产超市为预估2022年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客

购买情况进行统计，得到如下人数分布表：

购买金额(元)[1,150)[150,300)[300,450)[450,600)[600,750)1750,900)

人数101520152010

参考公式和数据:K2_n(ad-/>c)2

附:—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d.

不少于600元少少于600元合合计计

男—40—

女18——

合计———

(2)为做好2022年元旦的营销活动，该超市从2021年元旦期间的90位游客购买金额少于600元

的人群中按照分层抽样的方法任选6人进行购物体验回访，并在这6人中随机选取2人派发购

物券，问能拿到购物券的2人恰好是一男一女的概率是多少？

19.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P-4BCO中，底面力为直角梯形，AB//CD,/.ABC=90°,AB=2,BC=

CD=1,△PAD为等边三角形,平面24。1,平面4BCD.

(1)证明：BD1PA-.

(2)求三棱锥C-PBO的体积.

20.(本小题12.0分)

已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为F,点P。—2)在C上，且|PF|=2|OF|(。为坐标原

(1)求C的方程;

(2)若a,8是C上的两个动点，且4,B两点的横坐标之和为8,求当|AB|取最大值时，直线4B

的方程.

21.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=xlnx—a/-x,a&R.

(1)若/(x)存在单调递增区间，求a的取值范围；

(2)若与，*2(%i<%2)为/(x)的两个不同极值点，证明：4/nxj+lnx2>3.

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系xOy中，直线，的参数方程为2=2+Ct«为参数)，以坐标原点。为极点,

X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2

2+sm9

(1)求直线l的普通方程及曲线c的直角坐标方程；

(2)已知点M(2,0),若直线I与曲线C交于4,B两点,求高|+意的值.

23.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=|3x4-3|—\2x—6|.

(1)求不等式/(x)>%-4的解集；

(2)设/'(x)的最小值为m,若正实数a,b,c满足a+b+c=—zn,求4+贮+£!的最小值.

cab

答案和解析

I.【答案】A

即2在复平面内对应点坐标为01)，在第一象限.

故选：A.

先根据四则运算求出z,再求出其共舸复数，进而求解结论.

本题考查了复数的几何意义以及共辄复数的求解，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：•••U={0,1,2,3,4},A=[1,2,3),B={2,4},

•••CuA={0,4},Bn(CM={4}.

故选：A.

进行补集和交集的运算即可.

本题考查了集合的列举法的定义，补集和交集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属

于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：小于等于30的概率为：0.001X10+0.002x10+0.012X10=0.15,故A错误；

中位数左右两侧的矩形的面积和相等，结合图形可以看出中位数大于45,故B错误；

平均年龄：

x=(5x0.001+15x0.002+25x0.0124-35x0.0174-45x0.023+55x0.0204-65x

0.017+75X0.006+85X0.002)X10=47.9(岁)，故。错误；

而众数为最高矩形的中点，所以众数为45,故C正确：

故选：C.

利用概率、中位数、众数、平均数、频率分布直方图直接求解.

本题考查概率、中位数、众数、平均数、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

4.【答案】D

【解析】解：对于4若a>b>0,则tic?>be2,c=0时，4不成立；

对于B,若a>b,则a?>b2,反例a-0,b=—2,所以B不成立；

对于C,若a<b<0,则Q2<QbvZ)2,反例a=-4,b=—1,所以C不成立;

11

立

贝

H成

H->-

对于D,若a<b<0,JQ6

故选：D.

利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可.

本题考查命题的真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，是基本知识的考查.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系是解决本题的关键，是基础题.

根据不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答】

解：由/nM>得M>N>0,则M>InN”可推出“M>N”，故必要性成立；

若“M>0>N"，则推不出“InM>InN”，故充分性不成立，

则“M>N”是“InM>InN”的必要不充分条件，

故选：B.

6.【答案】A

【解析】解：y=|x|是偶函数，并且在区间(0,1)上为增函数，正确；

y=3-x不是偶函数，错误；

y=:是奇函数，不正确；

、=一产+4是偶函数，但是在区间(0,1)上为减函数，不正确；

故选：A.

判断函数的奇偶性以及单调性即可.

本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，是基础题.

7.【答案】D

【解析】解：•.•函数/(乃=空定义域为R,

且汽_乃=上生产2=誓=/(办即为偶函数，

排除AC,

又樗)=»=-誓。，

排除B,

故选：D.

直接借助于定义域、函数的奇偶性和函数值的正负判断选项.

本题根据函数性质判断函数图象，考查数形结合思想，属于基础题.

8.【答案】a

【解析】【分析】

本题主要考查推理案例，属于基础题.

因为只有一个人预测正确，所以本题关键是要找到互相关联的两个预测入手就可找出矛盾，从而

得出正确结果.

【解答】解：由题意，可把三人的预测简写如下：

甲：甲〉乙.

乙：丙〉乙且丙〉甲.

丙：丙〉乙.

••,只有一个人预测正确，

二分析三人的预测：

如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意；

如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，

则有丙〉乙，乙〉甲，

•••乙预测不正确，而丙〉乙正确，

•••只有丙〉甲不正确，

二甲〉丙，这与丙＞乙，乙〉甲矛盾.

不符合题意；

•••只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，

则有甲〉乙，乙〉丙.

故选A.

9.【答案】A

【解析】解：因为/(乃为奇函数，

-f(T)=-7CO,

又•••/•(%+2)=

所以/'(%+4)=f(x),即函数的周期为4,

•・•后)=一/(一>/(1)=-/(-1)./©)=/(—+2)=_/(一》,

又一1<-：<一：S0且函数在区间［一1,0)上是增函数，

11

>-/(-|)>-/(|)­/⑴>/(|)>熊)，

故选:A.

由已知结合函数的奇偶性及单调性，周期性即可比较函数值的大小.

本题主要考查了函数的奇偶性及周期性，单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题.

10.【答案】B

【解析】解：由题意及正弦定理得：|PFi|=3仍?21

令|PF1|=3|PFz|=3n,则3n+n=2a,9n2+n2=4c2,可得|a2=4c2,

故选：B.

由题意得［PF/=3|PFz|,利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系，即可求离心率.

本题考查椭圆的离心率的求法，属中档题.

11.【答案】D

【解析】解：由bur>/ne=l,所以①正确；

考虑函数/'(x)=Inx-x+1,/(I)=0,

又［。)=5-1,

所以f(x)在(0,1)上单调递增，且f(x)</(I)=0,

则/(》=尾+9<0,故②正确；

.32

考虑函数/(%)=sinx—x+?/'(%)=cosx—1+/，且/(0)=0.

又/"(%)=x—sinx,f"(0)=0,

由当欠>0时，x>sinx.

所以%>0时，/(%)为增函数.

所以%>0时，/'(%)>0.

所以f(x)为(0,+8)上的增函数.

硝>"0)=0,即sin：>微一抵肃蔡故③正确.

故选：D.

直接利用对数的运算性质，构造相应的函数关系式，利用导数工具进行求解即可.

本题考查了对数的性质、导数的综合运用，属于中档题.

12.【答案】C

【解析】解：/(%)在(一8,0)上关于y轴对称的函数为g(x)=/-2x-1,

即f(%)在(0,+8)上与g(x)图像有交点，

，方程工"工4-%2—(m-F2)x4-1=%2—2%—1有根，

即方程工"尢-mx+2=0有根，

设九(%)=xlnx-mx+2(x>0),即九(%)存在零点，

・,・九'(%)=Inx+1—m,h〃(x)=；>0,

・•.九'(%)在(0,+8)上单调递增，

令九'(%)=0得：x=em-1,

当Ovxvem-i时，九，(%)<0,以%)单调递减；当时，〃(X)>(),世工)单调递增，

:，hMmin=/i(emT)=2-em-i<o,

・•・m>ln2+1,

故选：C.

/(X)在(一8,0)上关于y轴对称的函数为g(x)=X2-2X-1,即/(%)在(0,+8)上与g(x)图像有交

点，即方程%仇%—mx+2=0有根，设九(%)=-+2(%>0),即八(%)存在零点，求导得

当0<%<*T时,以%)单调递减;当%>e^T时，似%)单调递增，所以只需九(%)min=九(*-1)<0,

从而求出小的取值范围.

本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数的图像变换，同时考查了利用导数研究函数的单调

性和极值，是中档题.

13.【答案】(一8,2V~^)

【解析】解：因为「p是假命题，故p为真命题，

因为x>0,故X+222，2,当且仅当％=「时，等号成立，

X

故a<2，攵，即Q的取值范围是(―8,2A/~2).

故答案为：(—8,2/2).

根据原命题为真结合基本不等式可求参数的取值范围.

本题主要考查全称命题，命题真假的判断与应用，考查运算求解能力，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】解：由f(x)=芝翳知该函数在x=0处有定义，

因为f(x)=震为奇函数，

所以"0)=0,则竽=0,解得a=l,经检验符合题意.

故答案为：L

由奇函数的性质，在x=0处有定义，/(0)=0,可得答案.

本题主要考查了函数奇偶性性质的应用，属于基础题.

15.【答案】(一羽)

【解析】解：依题意令F(x)=嫖，％6(一9》

则=f'Wcosx+/~(x)sEx,

I)COS2X

因为当一?<x<]时、f'[x}cosx4-/(x)smx<0,

所以当％W(一舞)时,F\x)<0,

所以F(x)在(一转)上单调递减,

则/(X)>2/G)cos无等价于©>纯，即F(x)>尸6)，

3COSXCOS2J

(X<1

所以兀3兀,

(~2<X<2

解得冶<x<5，

所以所求不等式的解集为(-热》.

故答案为：(-K).

构造函数F(x)=3,利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得

即可.

本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

16.【答案】4

【解析】解：因为/(%)=2alnx+%24-(b—4)x,

所以「(x)=F+2x+b—4,

因为f(x)在x=1处取得极值，

所以/'(1)=2a+2+b—4=0,即2Q+b=2,

因为a>0,b>0,

所以=2①£/=§=4，

ab2ab~2a+b2

当且仅当及畀，即a=：,b=l时取等号，

2ab2

所以工+会的最小值为4.

ab

故答案为：4.

求出/'(%),由极值的定义得到((1)=0,即2a+b=2,然后利用基本不等式的结论求解最值即

可.

本题考查了利用导数研究函数极值的应用，基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与

转化化归能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)已知等式2b-cosA=c-cosA+a-cosC,

由正弦定理化简得：2sinB-cosA=sinCcosA+sinAcosC,

即2s讥BcosA=sin(4+C)=sinB,

在△48C中，sinB0,

“1An

**•cosA=—,A=

(2)a=17,A=g；

由余弦定理得：

a2=h2+c2-2bccos60Q=7,

代入b+c=4得(b+c)2-3bc=7

be=3.

【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,

根据sMB不为0求出cosA的值，即可确定出4的度数；

(2)利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b+c,Q以及cosA的值代入求出儿的

值.

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用I.解题的关键是利用这两个定理完成了边角问题的互

化.

18.【答案】解：(1)2x2列联表如下表所示:

不少于600元少于600元合计

男124052

女182038

合计306090

90x(12x20-40x18)2

K2工5.830>3.841，

30x60x52x38

因此有95%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关.

(2)按照分层抽样应该选4名男性，2名女性.

记4名男性分别为4、B、C、D,2名女性分别为a、b,

恰好选到一男一女的事件记为E,则任选2人派发购物券的所有可能结果为：

48、AC、A。、AayAb、BC、BDBa、Bb、CD、Ca、Cb、Da、Db、ab,共15种,

事件E包含的基本事件有：Aa.Ab.Ba、Bb、Ca、Cb、Da、Db,共8种，

因此,P(E)=<

【解析】(1)根据题目所给的数据填写2x2列联表，计算K2,对照题目中的表格，得出统计结论;

(2)根据古典概型概率公式计算即可.

本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目.

19.【答案】解:(1)证明:取4B中点E,连DE,

因为4B〃CD,£.ABC=90%AB=2,BC=CD=1,

所以四边形EBCD为正方形，△4ED为等腰直角三角形,

则AD=，7,BDJLAD,

因为面PADJL面ABC。，面PADn面力BCD=AD,BDu面ABC。，

所以8。1平面PAD,又24u平面24。，所以BD1PA.

(2)取AD中点0,连P。，则P0JL4D,且po=?,

因为平面P4C_L平面4BCD,面PADn面4BCD=4D,尸。u面PAD,

所以P。，平面ABC。，又△BCO面积为=；,

三棱锥C一P8。的体积为%_p80=VP_BCD=|sABCD-PO=冶.

【解析】(1)取AB中点E,连DE,易得EBCD为正方形,△力ED为等腰直角三角形，再根据面面垂

直的性质有BC1平面PAD,最后由线面垂直的性质证结论.

(2)取4D中点。，连P0,由面面垂直的性质有PO1平面48CD,根据棱锥体积公式求三棱锥C-PBD

的体积.

本题考查线线垂直的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题.

20.【答案】解：(1)由题意得解得仁二；，

所以C的标准方程为必=©.

(2)设4(xi，yQ,8(尤2，丫2)，且*I+%2=8.

设4B中点为D(m,n),则m=红/，n=上芳，

当％1=%2时，UB：x=4,\AB\=8；

当X】力©时，施8="=与义=+=2，

12%2-勺光一比及+%n

则加：y-n=^(%-4),即％=](y—九)+4,

与C联立方程消去工,整理得、2一2政+2n2-16=0,

=2

由4>0,得小<16,yi+y22n,yry2=2n—16,

22

|4B|=J1+(J21yl-y2\=(n+4)(16-n)<精+4；6f2=心

当层=6时取“="，所以|AB|的最大值为10,

此时AB的方程为2x+V~6y-2=0-

【解析】(1)利用已知条件，列出方程组，求解p,即可求出C的标准方程.

(2)设B(x2,y2)-且+x2=8.设AB中点为。(m,n),当/=x2B^,lAB：x=4,\AB\=8；

当X1WX2时，求出直线的斜率，直线方程，然后直线方程与C联立方程消去X,整理得y2—2ny+

2n2-16=0,利用韦达定理，弦长公式求解即可.

本题考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，是中档题.

21.【答案】解：(1)函数定义域为(0,+8),根据题意知((x)=lnx-2ax>0有解，即a〈器有

解，

令g。)=嗷,则o'。)=舞，

且当Ov%<e时，g'(%)>0,g(%)单调递增，当％>e时，g'(%)<0,g(x)单调递减,

二@<gO)mg=g(e)=

1

...ae(-co,—)；

(2)证明：由％i，彳2是/'(X)的不同的极值点，知X],&是f'(x)=0的两根,

lnx-2Q%I=0则伊Xi=2axi

即1

AJUnx=2ax

lnx2—2ax2=022

lnxi—lnx2

xl-x2

要证4仇与+lnx2>3,只需证4-2axr+2ax2>3,BP2a(4x1+x2)>3‘即证(5+

%2)>3,

V%1<X2,

3(X「X2)3(*1),

・,・只需证In也<

X24XJ4-%24・又+1

x2

令"茅0<t<1,则问题转化为证明"(t)=Int-若，<0(0<t<1)成立，

B，，八11516/―7t+l、cm,))

而W(t)=7----------7=----------5->0(0<t<1),

，Jt(4t+l)2t(4t+l)2''

・・・9(t)在(0,1)上单调递增，

・••当te(0,1)时，(p(t)<0⑴=0,即？(t)=Int-笔奈<0(0<t<1)成立，由此得证.

【解析】(1)依题意，a〈野有解，令g(x)=野，对g(x)求导，求出g(x)的最大值，即可求得实

数a的取值范围；

(2)利用分析法转化为证明3(t)=bit-笑?<0(0<t<1)成立，利用导数求出租⑷在(0,1)上的

单调性，进而求得取值情况，由此得证.

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运

算求解能力，属于中档题.

22.【答案】解：⑴•••直线，的参数方程为｛；：；+'不(t为参数)，

・•・消去参数t得直线I的普通方程为x-Cy-2=0，

•••曲线C的极坐标方程为p2=「%.

2+sin0

:，2p2+(psm0)2=6,又％2+y2=p2,pstn。=y,pcosQ=%,

・•・2(x2+y2)+y?=6,:.2x2+3y2=6,

•••曲线C的直角坐标方程为q+4=1；