2022-2023学年广东省河源市龙川重点学校八年级（下）开学数学试卷（含解析）

20222023学年广东省河源市龙川重点学校八年级（下）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若m,n是一元二次方程好一2%-1=0的两个不同实数根，则代数式一Hi+几的值是（）

A.-1B.3C.-3D.1

2.下列方程是关于X的一元二次方程的是（）

A./+；iB.ax2+bx+c=0

C.（x+1）（%+2）=1D.3x2—2xy-5y=0

3.从正面观察如图的两个立体图形，得到的平面图形是（）

□□B-0□C-Q口D―

4.已知关于x的方程/—kx—6=0的一个根为》=3,则实数k的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.方程%2一%=。的解为（）

A.久］=%2=1B.%1=%2=0

=

C.%1—0,%21D.=1,x2=—1

6.方程x（x-2）=0的解是（）

A.0B.2C.0或2D.无解

7.若（徵2一4）/+3%-5=0是关于x的一元二次方程，则（）

A.m¥=2B.znH—2

C.mH-2,或mW2D.znW—2,且mH2

8,若关于x的一元二次方程广+2（人一1卜+/-1=0有实数根，贝妹的取值范围是（）

A.fc>1B.fc>1C.k<1D.fc<1

9.如果那么攀=（）

10.如图，直线匕〃%〃%，直线，1、%、，3分别和直线m交于点4、B、C,和

直线n交于点4、Bi、G，若48=6,AC=9,AB1=8,则线段的长为

()

A.2

B.3

C.4

D.6

二、填空题(本大题共7小题，共28.0分)

11.如图，在平面直角坐标系中，点4是函数y=g(x<0)图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B,点C

在工轴上，若△ABC的面积为1,贝।味的值为.

12.方程(x-1)(%+5)=3转化为一元二次方程的一般形式是

13.已知：Rt/MBC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,P为AB上任意一点,

PFJ.4C于尸，PEJ.BC于E,贝UEF的最小值是.

14.如图，在菱形4BCD中，对角线4:与BD相交于点。，0E_L4B,垂足为E,

若乙4DC=130°,贝此40E的大小为.

15.如图，在平面直角坐标系中，加1BCD的顶点B,C在x轴上，A,D两点分别在反比例函数y=-|(x<0)

与y=>0)的图象上，则比4BCD的面积为.

16.如图，AABC中，D,E分别是AB,4C上的点，0E//8C,AE：CE=1：3.小

丽随意地抛一粒豆子，恰好落在△4BC中，那么这粒豆子落在△DEC中的概率

是.

17.如图，RtAABC中，乙4c8=90。，BC=3,AB=5,P是△ABC内部的一个动点，且

满足NP4C=/PCB,则线段BP长的最小值为

三、解答题(本大题共8小题，共65.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.(本小题6.0分)

关于x的一元二次方程/+3x+m-1=0的两个实数根分别为Xi、x2.

(1)求m的取值范围；

(2)若2(%1+%2)++10=。，求m的值.

19.(本小题6.0分)

一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=9的图象在第一象限交于点4(3,2),与y轴的负半轴交于点B,

且。8=4.

(1)求函数y=，和y=kx+b的解析式；

(2)请利用两个函数的完整图象，直接写出不等式三＜kx+b的解集.

20.(本小题60分)

如图，一次函数、=kx+b的图象与反比例函数y=9的图象相交于4(一1,切、两点，与y轴相交于

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)若点。与点C关于x轴对称，求44B。的面积；

(3)若事上必)是反比例函数y=/上的两点，当刀1＜尤2＜。时，比较力与的大小关系.

21.(本小题9.0分)

已知，如图，矩形4BCD中，AD=6,DC=7,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形48CD的边

CD,上，AH=2,连接CF.

(1)若DG=2,求证：四边形EFGH为正方形.

(2)当点G在边CD上运动时，点尸到边CD的距离是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

(3)试说明当点G运动到何处时，AFCG的面积最小，并求出这个最小值.

DGC

22.（本小题9.0分）

如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，动点P以2厘米/秒的速度从点4出发，沿AAED的边按照4-EtD-

4的顺序运动一周.设点P从4出发经式》＞0）秒后，△48P的面积是y.

（1）若AB=6厘米，BE=8厘米，当点P在线段4E上时，求y关于x的函数表达式；

（2）已知点E是BC的中点，当点P在线段EC上时，y=y%;当点P在线段4。上时，y=32-4x.求y关于x的

函数表达式.

23.（本小题9.0分）

如图，菱形4BC。的对角线AC、BD相交于点0,4E//BD,BE//AC,AE.BE相交于点E,求证：四边形04EB

是矩形.

24.（本小题10.0分）

现有正方形ABCD和一个以。为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线

BC,C。交于点M,N.如图1,若点。与点4重合，容易得到线段OM与。N的关系，

(1)观察猜想：如图2,若点。在正方形的中心(即两条对角线的交点)，0M与ON的数量关系是；

(2)探究证明；如图3,若点。在正方形的内部(含边界)，且OM=ON,请判断三角板移动过程中所有满足条

件的点。可组成什么图形，并说明理由；

(3)拓展延伸：若点。在正方形的外部，且OM=ON,请你在图4中画出满足条件的--种情况，并就“三角

板在各种情况下(含外部)移动，所有满足条件的点。所组成的图形”，写出正确的结论(不必说明理由).

25.(本小题10.0分)

如图，正方形OABC的顶点0是坐标原点，边OA和OC分另在久轴、y轴上，点B的坐标为(4,4).直线/经过点C.

(1)若直线，与边0A交于点M,过点4作直线/的垂线，垂足为D,交y轴于点E.

①如图1,当。E=1时，求直线，对应的函数表达式；

②如图2,连接。。，求证：OD平分“DE.

(2)如图3,若直线，与边4B交于点P,且SzBCpnaSis边形AOCP,此时，在x轴上是否存在点Q，使ACPQ是以

CP为直角边的直角三角形？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：「成是一元二次方程/一2x—1=0的根，

•••m2—2m-1=0,

m2—2m=1,

••m2-m+n=m2—2m+m+n=l+m+n,

m,n是一元二次方程--2x-1=0的两个根，

m+n=2,

m2—m+n=l+2=3.

故选：B.

先根据一元二次方程的解的定义得到小一2m-1=0,则一—2m=1,于是原式可化简为十一2m+m+

n=l+m+n,然后根据根与系数的关系得到m+n=2,再利用整体代入的方法计算.

本题考查了根与系数的关系：若X1，刀2是一元二次方程ax?+bx+c=0(ar0)的两根时，xr+x2=―^

与•冷=?也考查了一元二次方程的解.

2.【答案】C

【解析】解：4、分母上有未知数，不是整式方程，故本选项错误；

B、。=0且匕芋0时，是关于x的一元一次方程，故本选项错误；

C、整理为％2+3X+2=0,是关于x的一元二次方程，故本选项正确；

。、是二元二次方程，故本选项错误.

故选：C.

根据一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2：(2)二次项系数不为0,对各选项分析判断

后利用排除法求解.

本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一

般形式是a/+bx+c=0(且a力0).特别要注意a*0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.

3.【答案】A

【解析】【分析】

此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握从不同方向看得到的图形.

根据从正面看得到的图形，可得答案.

【解答】

解：从正面看左边是一个长方形，右边是一个正方形，

故选A.

4.【答案】A

【解析】解：因为*=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32-31一6=0成立，解得k=l.

故选：A.

一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替

未知数所得式子仍然成立.

本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.

5.【答案】C

【解析】解：x2—x=0,

x(x—1)=0,

x=0或x—1=0,

*'•X1=0,%2=1，

故选：C.

通过提取公因式%对等式的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可.

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：，.•x(x-2)=0,

x=0或x-2=0,

解得：x=。或x=2,

故选：C.

由两因式的积为零知两因式至少有一个的值为零可得x=0或x-2=0,再求解可得.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分

解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：「(小2-4)x2+3%-5=0是关于x的一元二次方程，

二苏一4K0,

解得：m4—2且m丰2,

故选：D.

根据一元二次方程的定义得出仅2一440,再求出m即可.

本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m2-4彳。是解此题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：•.•关于x的一元二次方程/+2(k-l)x+k2-l=0有实数根，

b2-4ac=4(fc-l)2—4(k2—1)=-8k+8>0,

解得：fc<1.

故选：D.

直接利用根的判别式进而分析得出k的取值范围.

此题主要考查了根的判别式，正确得出关于k的不等式是解题关键.

9.【答案】A

【解析】解：'=|,

5

.%+y_各+'_8

---=----=一•

yy3

故选：A.

用y表示出x,然后代入比例式进行计算即可得解.

本题考查了比例的性质，用y表示出x是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：

AB_4]B]

••・AC=-iQ'

Bpl=急，

・•・A1C1=12,

AB1C1=416—4/1=12—8=4.

故选：C.

根据平行线分线段成比例定理得到*=答答，则可计算出&C1=12,然后计算4G-4当即可.

/ICL1

本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

11.【答案】一2

【解析】【分析】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得到三角形ABC的面积OB=1,得到网=

2,即可得到结论.

【解答】

解：二,4轴，

:.AB〃CO,

••・S^ABC~,OB=1,

A|/c|=2,

•.•函数y=：(x<0)的图象在第二象限，

k<0,k=—2,

故答案为-2.

12.【答案】x2+4x-8=0

【解析】【分析】

考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：。/+/7%+。=0(£1也(:是常数且。。0)特

别要注意ar0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中a/叫二次项，人叫一次项，c

是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

方程去括号，移项合并，整理为一般形式即可.

【解答】

解：方程整理得：x2+4x—8=0,

故答案为：x2+4%-8=0.

13.【答案】2.4

【解析】解：连接CP,如图所示：xL

•••"=90。，PFLAC^F,PE1BC于E,

•­•/.C=ZPFC=Z.PEC=90°,/

•••四边形CEPr是矩形，

EF=CP,

要使EF最小，只要CP最小即可，

当CP_L48时，CP最小，

在Rt△力BC中，“=90°,AC=3,BC=4,

由勾股定理得：AB=5,

由三角形面积公式得：1x4x3=jx5xCP,

CP=2.4,

即EF=2.4,

故答案为：2.4.

根据已知得出四边形CEP尸是矩形，得出EF=CP,要使EF最小，只要CP最小即可，根据垂线段最短得出即

可.

本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题

目比较好，难度适中.

14.【答案】65°

【解析】解：在菱形ZBCD中，^ADC=130°,

乙BAD=180°-130°=50°,

/.BAO=^Z.BAD=；x50。=25°,

•・,OE1AB,

・・•Z.AOE=90°-Z.BAO=90°-25°=65°.

故答案为：65°.

先根据菱形的邻角互补求出4B力。的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出484。的度数，然后根据

直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.

本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟

练掌握性质是解题的关键.

15.【答案】4

【解析】【分析】

本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=:图象中任取一点，过这一个点向无轴和y轴

分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值%|,在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这

一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是百|k|，且保持不变.也考查了平行四边形的性质；

连接。4、OD,如图，利用平行四边形的性质得力。垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得

到，OAE=|，S^ODE=所以S.。=2,然后根据平行四边形的面积公式可得到团力BCD的面积=2SA04D=

4.

【解答】

解：连接。力、0D,如图，

•••四边形4BCD为平行四边形，

力。垂直y轴，

S^OAE=2X|-3|=S&ODE=2X|1|=5,

SAOAD=2,

图ABCD的面积=2SAOAD—4.

故答案为4.

16.【答案】2

1O

【解析】解：・・・4E：CE=1：3,

...S&ADE_1

SACDE

S〉CDE=3sMDE，

•・,DE//BC,

*'.△ADE~AABC»

，，~BC=AC=4,

...S^ADE—1

SAABC16，

AS^ABC=16s△/£)£，

3

•*,S&CDE=正S—B。，

・・・这粒豆子落在△DEC中的概率是沁=也

故答案为：之.

1O

根据AE：CE=1：3,得(„=:，根据DE〃BC,得4ADE^-b.ABC,所以器=》所以S“DE=^^AABC,

根据几何概率公式即可得出答案.

本题主要考查几何概率，相似三角形的判定与性质及三角形的面积，掌握同高三角形的面积比即为底的比

是解题的关键.

17.【答案】y/~13-2

【解析】解：•.•乙4cB=90。，

AZ.ACP+/.BCP=90°,一朱''

v/.PAC=4PCB/V\

/.CAP+Z.ACP=90°,:'。卜

^APC=90°,

CB

.•.点P在以北为直径的。0上，连接OB交。。于点P,此时PB最小，

在Rt△C8。中，

%•Z.OCB=90°,BC=3,AB=5,

AAC=VAB2—BC2=752—32=4，

・•・OB=VOC2+BC2=7^3，

・・・PB=OB-OP=ATT3-2.

・•・PB最小值为Qg-2.

故答案为：V13—2.

首先证明点P在以AC为直径的O。上，连接。B与。。交于点P,此时PB最小，利用勾股定理求出0B即可解

决问题.

本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到

圆的最小、最大距离，属于中考常考题型.

18.【答案】解：(1),••方程％2+3x+m-1=0的两个实数根，

•••△=32—4(m-1)=13—4m>0,

解得：m<^.

4

j

(2),方程％2+3%4-m-1=0的两个实数根分别为Xi、x2

・••x1+x2=-3,xrx2=m-1.

,•*2(/+%2)+%iX2+I。=0，即—6+(rn-1)+10=0，

Am=-3.

【解析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当△之0时，方程有两个实

数根”；(2)根据根与系数的关系结合2(%+%2)+%1%2+10=0,找出关于m的一元一次方程.

(1)由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出租的

取值范围；

(2)根据根与系数的关系可得出+%2=-3、%1%2=m一1，结合2Q1+%2)+X1X2+10=0可得出关于m

的一元一次方程，解之即可得出m的值.

19.【答案】解：(1)把点4(3,2)代入反比例函数y=£,可得Tn=6,

・••反比例函数解析式为y=p

vOB=4,

・・•8(0,-4),

把点4(3,2),8(0,-4)代入一次函数y=kx+b,可得

一次函数解析式为y=2x-4；

・••一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=9的图象的交点为(3,2)和(-1,6),

不等式g<kx+b的解集—1<x<0或x>3.

【解析】⑴把点4(3,2)代入反比例函数丫=/，可得反比例函数解析式，把点4(3,2),8(0,-4)代入一次函

数丫=卜X+匕，可得一次函数解析式；

(2)解析式联立，解方程组求得交点坐标，根据图象即可求得不等式的解集.

本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例

函数与一次函数交点坐标同时满足两个函数解析式.

20.【答案】解：(1)•••反比例函数y=£经过点8(2,-1),

•••m=—2,

,点在y=子上，

・•・71=2,

:.4(—1,2),

把A,B坐标代入丫=/^+比则有二，1，

解得仁「

・••一次函数的解析式为y=-x+l,反比例函数的解析式为y=-|.

(2)•••直线y=—x+1交y轴于C,

・••C(O,1),

•：D,C关于％轴对称，

:.D(0,—1)»

・・，8(2,-1)

・・・8。〃》轴，

1

SXABD=EX2X3=3,

(3)vM(%i，yi)、N(%2，y2)是反比例函数y=一;上的两点，且%1v&v0，此时)随％的增大而增大,

・・・力<y2.

【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会

利用反比例函数的性质，比较函数值的大小.

(1)利用待定系数法即可解决求问题.

(2)先求出C点，再根据对称性求出点。坐标，发现轴，利用三角形的面积公式计算即可.

(3)利用反比例函数图象的性质即可解决问题.

21.【答案】(1)证明：•.・四边形4BCD为矩形，四边形HEFG为菱形，

:.4D=4A=90°,HG=HE,

在RtZMHE与中，

(AH=DG

、HG=HE'

・・・Rt△AHEwRt△DGH(HL),

・・・乙DHG=(HEA,

・・・Z,AHE+Z.HEA=90°,

・•・"HE+乙DHG=90°,

・•・(EHG=90°,

・•・四边形，EFG为正方形；

(2)解：过F作尸M1OC交OC延长线于M,连接GE,

,:AB“CD,

・♦・乙AEG=Z-MGE，

•・・HE//GF,

・•.Z.HEG=乙FGE,

・••/.AEH=乙MGF,

在△力HE和AMFG中,

/.AEH=NMGF

Z.A=ZM=90°,

HE=FG

：.^AHE=^MFG(AAS),

•••FM=HA=2,

当点G在边。。上运动时，点F到边CD的距离为定值2.

(3)解：设DG=x,则由(2)得：

S&FCG=7—X,

在△AHE中，AE<AB=7,

HE2<53,

x2+16<53,

x<V37,

SXFCG的最小值为7—V37»

此时DG=y/~17,

二当DG=，■方时，△FCG的面积最小为7-V37.

【解析】(1)由于四边形4BCD为矩形，四边形HEFG为菱形，那么=乙4=90°,HG=HE,而4”=DG=2,

易证△AHE=LDGH,从而有Z_DHG=Z.HEA,等量代换可得乙4HE+乙DHG=90°,易证四边形HEFG为正

方形；

(2)过F作/M_LDC交DC延长线于M,连接GE,根据全等三角形的判定和性质解答即可；

(3)先设DG=X,由第(2)小题得，SAFCG=7-％，在△4HE中，AE<AB=7,利用勾股定理可得“研<53,

在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得/+16W53,进而可求x<y/^7,从而可得当x=「7时，△GCF的

面积最小.

本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确画出图形，学

会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题.

22.【答案】解：(1)••・四边形4BCD是矩形，

•••LABE=90°.

又48=6,BE=8,

AE=762+82=10.

设AABE中，边4E上的高为九,

11

•・・S^ABE=2AE,h=2AB,BE，

・,.h-K又4P=2%,

24

.-.y=y%(0<%<5).

(2)・・•四边形/BCD是矩形，

・・・ZF=ZC=90°,AB=DC,AD=BC.

・・・E为BC中点，

・,.BE—EC.

・•・△ABE=LDCE.

・•・AE=DE,

当点P运动至点。时，ShABP=ShABD,由题意得蒋x=32-4x,

解得x=5,

当点P运动一周回到点4时，S^ABP=0,由题意得32-4%=0,

解得％=8,

・・,AD=2x(8-5)=6,

・•・BC=6,

・•,BE=3,

且4E+ED=2x5=10,

AE=5,

在Rt△4BE中,AB=V52-32=4,

设△ABE中，边4E上的高为九，

11

■:S^ABE=2AE•九=2AB,BE,

,12

h=—,

又AP=2x,

・•・当点P从A运动至点E时，y=y%(0<x<2.5),

・•・y关于％的函数表达式为：当0V%W5时，y=y%；当5v%W8时，，y=32-4%.

【解析】(1)设△ABE中，边4E上的高为/i,由Sz\4BE=gAE•九=AP=7.x,即可解决问题.

(2)分别求出当点P在线段4E上时，当点P在线段AC上时，x的取值范围即可解决问题.

本题考查函数的应用，矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解

决问题，属于中考常考题型.

23.【答案】证明：­：AE//BO,BE//AO,

•••四边形04E8是平行四边形，

又•.•四边形48CD是菱形，

AC1DB.

：.Z.AOB=90°,

平行四边形04EB是矩形.

【解析】首先判定四边形04EB是平行四边形，再由菱形的性质得出N4OB=90。，从而判定四边形。力EB是

矩形.

此题综合考查了菱形的性质与矩形的判定方法.矩形的判定定理有:

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；

(2)有三个角是直角的四边形是矩形；

(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.

24.【答案】解：(1)OM=ON

(2)三角板移动过程中所有满足条件的点。可组成线段4C(对角线AC)

如图3,过点0分别作OE1BC,OF1CD,垂足分别为E,F,

则NOEM=乙OFN=90°,

又ZC=90°,

乙EOF=4MON=90°,

乙MOE=乙NOF,

在AMOE和ANOF中，•••/OEM=NOFN,乙MOE=LNOF,OM=ON,

MOE三△NOFQMS)

・••OE=OF,

又•・•OE1BC,OFLCD,

•••点。在NC的角平分线上.

・•・三角板移动过程中所有满足条件的点。可组成线段AC(对角线AC)

(3)三角板移动过程中所有满足条件的点。可组成直线4c或过点C且与4c垂直的直线.

【解析】【分析】

此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线构

造全等三角形.解题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理.

(1)连接OC、0B,则通过判定三△CON,可以得到OM=ON；

(2)过点。作。E1BC,作。FJ.CD,可以通过判定△MOEmANOF,得出OE=OF,进而发现点。在NC的平

分线上；

(3)如图4,可以运用(2)中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论；如图5,可同理得也结论.

【解答】

解：(1)如图2,连接。C、0B,

则由正方形4BCD可得，乙BOC=90°,BO=CO,Z.OBM=^OCN=45°

乙MON=90°,

.1.乙BOM="ON,

在△BOM和△CON中，

2OBM=4OCN

OB=OC,

./.BOM=乙CON

••.△BOM三△CONQ4S4),

OM=ON,

故答案为OM=ON；

(2)见答案;

(3)画图