2024小升初数学思维专项模块训练06 平面几何模型

第8讲共边、共角模型第一关鸟头模型【知识点】共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在中，分别是上的点如图=1\*GB2⑴(或在的延长线上，在上)，则若△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE或∠BAC+∠DAE=180°，

则=

有大、小两个等边三角形，小三角形的面积是10平方厘米，大三角形的边长是小三角形边长的2.5倍，求大三角形的面积

【答案】62.5

如图，已知BD=3AD，AE=2EC，三角形ABC的面积是72cm2，求三角形ADE的面积．

【答案】12

如图，两个等腰直角三角形重叠在一起，阴影部分为重合部分，阴影部分的面积是多少平方厘米？

【答案】21.5

如图，长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AC、AH、DH、BC的中点．三角形EFG的面积是多少平方厘米？

【答案】5

正方形ABCD与等腰直角三角形BEF叠放在一起（如图），M、N点为正方形的边的中点．阴影部分的面积是14cm2，三角形BEF的面积是多少？

【答案】18

图中，三角形ABC的面积是60cm2，已知AF：FC=2：3，E为BC边的中点，那么阴影部分的面积是多少？

【答案】18

梯形ABCD的面积是2000平方厘米，已知AE=EB，△AED的面积是3份，△EBF的面积是5份，△DFC的面积是4份，那么△DEF的面积是多少平方厘米？【答案】800

长方形ABCD的长为9，宽为5，对角线AC被点W、X、Y和Z均分成5份．阴影部分的面积等于多少？

【答案】18

在等边△ABC的三边上分别向外作小正三角形△AMD、△BNE、△CPF，CF=AD=EB=AB，已知△ABC的面积是45平方厘米，求△MNP的面积？

【答案】60

如图，△ABC中，BD=DE=EF=FC，CH=2GH=2AG，△ABC的面积为1，求阴影部分的面积？

【答案】

看图求x的比值

【答案】11.25

如图中放置的三块厚1cm且底面为正方形的长方体木板，已知v1=10cm3，那么v2与v3的和是多少？

【答案】10

如图一个长方形ABCD，ED=AE，BF=FC，如果长方形的面积是420平方厘米，那么S△EOD等于多少平方厘米？

【答案】52.5

长方形ABCD的面积是24cm2，△ABE和△ADF的面积分别是4cm2和9cm2，求△AEF的面积．

【答案】9

求图中阴影部分的面积．

【答案】;8.4

等边三角形ABC，AF=3BF，FH垂直于BC，阴影面积为1平方厘米，求三角形ABC的面积．

【答案】32

如图，在直角三角形ABC中，AD=15厘米，CD=20厘米，DEBF为正方形．图中涂色部分的总面积是多少平方厘米？

【答案】150

如图，△ABC是等腰直角三角形，已知AE=4cm，长方形DGFE的长DG是它的宽DE的3倍．则△ABC的面积是多少？

【答案】50

如图，3个相同的正方形拼在一起，每个正方形的边长为6，求三角形ABC的面积

【答案】6

如图，在钝角三角形ABC中，M为AB边的中点，MD、EC都垂直于BC边．若三角形BDE的面积是3平方厘米，则三角形ABC的面积是多少？

【答案】6

如图，AE=DE，BC=3BD，三角形ABC的面积是30平方分米，求阴影部分的面积．

【答案】12

如图中，三角形ABC面积为48平方厘米，AD=2.5DB，CF=FD，阴影部分的面积总和比空白部分的面积总和少多少平方厘米？

【答案】8

如图，长方形ABCD的面积为120平方厘米，BE=3AE，BF=2FC，求S△AEG.

【答案】

如图，正方形ABCD的边长为4，是BC边的中点的，F是DC边上的点且DF=DC，AE与BF相交于G点．求△ABG的面积．

【答案】

如图，ABCD是正方形，其面积为50平方厘米，3AE=AB，求△GCD的面积多少平方厘米？

【答案】15

矩形ABCD的面积是36平方厘米，在边AB、AD上分别取点E，F，使得AE=3EB，DF=2AF，DE与CF的交点为O，计算△FOD的面积是多少平方厘米？

【答案】4

在平行四边形ABCD中，AE：ED=3：2，已知三角形EFD的面积等于319.68平方厘米，求阴影部分面积．

【答案】1998

已知△ABC的面积为a，AF：FC=2：1，E是BD的中点，且EF∥BC，交CD于G，求阴影部分的面积．

【答案】a

如图，三角形ABC的面积是100平方厘米，AE=ED，BD=BC，求阴影部分的面积

【答案】40

如图，平行四边形ABCD的面积是120．已知E点是AB上靠近A点的三等分点，求阴影部分的面积．

【答案】32

如图，已知四边形ABCD是正方形，边长为6cm，BE=3cm，AF=2cm．求阴影部分的面积．

【答案】9.75

如图，在平行四边形ABCD中，AE=AB，BF=BC，AF与CE相交于O点，已知BC=16厘米，BC边长的高为9厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？

【答案】88

已知ABCD是平行四边形，BC：CE=3：2，三角形ODE的面积为6平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

【答案】21

如图，△ABC中，AE=AB，AD=AC，ED与BC平行，△EOD的面积是1平方厘米，那么△AED的面积是多少平方厘米？

【答案】1.6

AD：AB=1：3，BE：BC=1：4，FC：AC=1：5，如果三角形DEF的面积是20平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？

【答案】48

如图，△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且AB：AD=5：2，BC：BE=3：1，如果△BDE的面积等于1，那么△ABC的面积是多少？

【答案】5

在面积为360的正方形ABCD中，E是AD中点，H是FG中点，且DF=CG，那么三角形AGH的面积是多少？

【答案】70

求阴影部分的面积.

【答案】7.2

如图，边长为10和15的两个正方形并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）的面积.

【答案】45

如图是由边长分别为5厘米和4厘米的两个正方形拼成，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

【答案】

边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接DE交BC于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？

【答案】18

如图，面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E、F是BC边上的三等分点，求出阴影部分的面积．

【答案】3

如图，△ABC是等腰三角直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点，已知正方形EEFG的面积是48，AK：KB=1：3，则△BKD的面积是多少？

【答案】12

如图，AD=2CD，EF=2ED，AE=2EB，若△ABC的面积是24，那么△CDF的面积是多少？

【答案】16

如图，长方形ABCD的长是12厘米，宽是8厘米，FG与BC平行，OG长是4厘米．三角形CEF的面积是多少平方厘米？

【答案】32

图中ABCD是梯形，三角形ADE面积是1.8，三角形ABF的面积是9，三角形BCF的面积是27，那么阴影部分面积是多少？

【答案】4.8

如图，在△ABC中，，E，G分别是AD，ED的中点，若△EFG的面积为1，则△ABC的面积是多少？

【答案】18

如图，D是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？

【答案】

如图，在直角形△ABC中，角C=90°，AC=2，BC=1，D在AC上．将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处．如果AD⊥ED，则△ABE的面积为多少？

【答案】

如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AD和对角线AC上的点，且AP：PD=1：3，AQ：QC=4：1，如果正方形ABCD的面积为100，那么三角形PBQ的面积是多少？

【答案】37.5

图中D是△ABC的BC上的一点，且BD：CD=2：1，过D点作DF∥AC交AB于E，延长DE到F，使FE：ED=2：1，如果△CDF的面积是42平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？

【答案】63

如图，四边形ABCD的面积是10，对角线AC、BD交于E，已知AF=CE，BG=DE，求△EFG面积．

【答案】10

如图所示，△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC为一边向△ABC外作正方形ACDE，中心为O，求△OBC的面积．

【答案】10

如图，在三角形ABC中，BD=DC，AA1=AD，A1B1=A1B，B1C1=B1C，三角形ABC的面积是1，求三角形A1B1C1的面积

【答案】

如图，长方形ABCD的长BC=15cm．宽AB=6cm．在AD上有一点E，使得DE=2AE．长方形ABCD的对角线交点为O．连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接OF与AD相交于点G．则阴影部分的面积为多少？

【答案】6

如图所示，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是22和36，则三角形BNE的面积为多少？

【答案】14

如图1，等腰直角三角形DEF的斜边在等腰直角三角形ABC的斜边上，连结AE、AD、AF，于是整个图形被分成五块小三角形，图2中已标出其中三块的面积，那么△ABC的面积是多少？

【答案】36

如图所示，正方形ABCD的边长是20，E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，连接AF、AG、FG、BE、EC，这些线段相交于H、N、M、P点，请问：

（1）△GCF的面积是多少？

（2）△CPF的面积是多少？

（3）五边形HFPMN的面积是多少？

【答案】（1）50；（2）121；（3）

在面积为120平方厘米的等边三角形ABC中，由P点与三个顶点A、B、C连接并形成三个完全相同的三角形．D、E、F分别是△ABC三边上的中点，相连后又形成一个三角形．问图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

【答案】25

如图，在长方形ABCD的外侧取点E，将各顶点用直线连接，AD和EB的交点是F．当三角形EAF是18cm2；四边形FBCD是50cm2；三角形EDC是8cm2时，求三角形EFD的面积.

【答案】6

如图长方形ABCD中，四边形ABEG和四边形HIFD都是正方形，正方形ABEG的面积是60平方厘米，长方形JECF的面积是10平方厘米，求四边形BCFK与三角形AKH的面积之差．

【答案】35

在一个直角三角形纸片上剪一块正方形，并使正方形的面积尽可能大，正方形的面积是多少？

【答案】256

在△ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知△ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积等于多少平方厘米？

【答案】12

已知如图中长方形的面积是22平方厘米，A、B两点分别是长方形的长和宽的中点，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

【答案】8

如果长方形的边上A、B两点分别为长和宽的中点，已知阴影部分面积是4.5平方分米，求长方形面积．

【答案】12

如图，正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为10，阴影长方形的面积为6，那么图中四边形ABCD的面积是多少？

【答案】53

如图，在直角三角形ABC中，BC=6，四边形ABFJ、BCHG均为正方形，线段CE垂直于线段FJ．求长方形DBFE的面积．

【答案】36

正方形ABCD的面积是12平方厘米，E、F、G、H分别是各边的中点．求阴影部分的面积．

【答案】2.4

图中五个阴影所示图形是正方形，那么这五个阴影正方形的面积之和是多少？

【答案】244

如图BD、CF将长方形分成四块，△DEF面积是6平方厘米，△CDE面积是8平方厘米，那么四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

【答案】12

如图，E是矩形ABCD的边BC的中点，BD与AE的交点为F，图中阴影部分的面积为6，那么，矩形ABCD的面积是多少？

【答案】36

如图，在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？

【答案】24

如图，△BOD、△BOC的面积如图所示，求四边形ADOE的面积（单位：cm）

【答案】22

如图，长方形ABCD中，连结BD与AC交于O，E是BC的中点，阴影部分的面积是6平方厘米，求长方形ABCD的面积．

【答案】72

如右图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？

【答案】

长方形AG：BG=2：3，CE：EB=2：1，已知△CEF的面积为3，求整个长方形的面积．

【答案】

在如图中，AE：EC=1：2，CD：DB=1：4，BF：FA=1：3，△ABC的面积S=1，那么四边形AFHG的面积为多少？

【答案】

如图，正方形ABCD的面积为1，BF=2FC，求阴影四边形FHJG的面积

【答案】

如图，四边形ABCD和四边形ECFD都是平行四边形．E为AB上的点，使得∠AED=∠DEC．然后在EB上取点I．IF与EC、DC分别交于G和H．已知CG：CH=8：5，△DHF与△EGI的面积之差为11cm2，求四边形EGFD的面积．

【答案】

如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O．已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积．

【答案】

如图，在梯形ABCD中，三角形AOB的面积是13平方厘米，线段OB的长度是OD的2倍．△BOC的面积是多少平方厘米？

【答案】26

如下图，梯形ABCD的AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

【答案】144

在梯形ABCD中，上底长4厘米，下底长8厘米，S△COD=9平方厘米，梯形ABCD面积是多少？

【答案】40.5

如图，梯形ABCD中，BO=3OD，三角形ABO的面积为12平方厘米，则梯形ABCD的面积为多少平方厘米？

【答案】64

如图，在梯形ABCD中，三角形ABO的面积是6平方厘米，且BC的长是AD的2倍，请问：梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

【答案】27

如图，ABCD是直角梯形，AB=4，AD=5，DE=3，那么梯形ABCD的面积是多少？

【答案】40

如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与梯形的一条腰DC平行，AE与BD相交于O点．已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC=．求梯形ABCD的面积．

【答案】28

如图，AD=DF=FB，AE=EG=GC，阴影部分的面积是6平方厘米，那么，三角形ADE的面积是2平方厘米，梯形FBCG的面积是多少平方厘米？

【答案】10

图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？

【答案】51.2

如图，正方形ABCD的边长为10厘米，CE为25厘米，BE与AD相交于F点，求梯形BCDF的面积。

【答案】80

如图，ABCD为长方形，AD=6厘米，AB=5厘米，阴影部分面积为6平方厘米，求梯形ABCD的面积多少平方厘米？

【答案】40

长方形ABCD的面积是2011平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积．

【答案】2011

图中，四边形FMCG和FDHG都是梯形．D为BC的中点，BE=BA，MF=MA，△ABC的面积为1．那么梯形FDHG的面积是多少？

【答案】

如图，等腰梯形ABCD中，交于O点的两条对角线互相垂直，三角形ECB是直角三角形，OC比AO长20厘米，已知三角形ADE的面积是250平方厘米，则梯形ABCD的面积为多少平方厘米？

【答案】2450

如图，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120°的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形．请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？

【答案】25

如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米．若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少平方米．（π取为3）

【答案】2.43

平行四边形ABCD中，AE=EB，BF=FC，平行四边形的面积是60平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？

【答案】40

如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=4AE，BC=4CF．如果平行四边形的面积为1，那么阴影部分的面积是多少？

【答案】0.35

第二关金字塔模型【知识点】

(一)金字塔模型(二)沙漏模型①；②．相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

图是一个山坡的示意图（假定山坡的坡度处处相同）如图A点的高度是50m，求B点的高度。

【答案】40

请根据如图给出的各种数据，计算a+b。

【答案】5

一个边长为10cm的正方形被两条线段分割成两个等高的直角梯形S1、S2和一个直角三角形．已知S1、S2的面积相差10cm2，那么图中x的值是多少？

【答案】4

线段MN的长是多少cm？

【答案】

如图，正方形ABCD中，E为DC的延长线上一点，连接AE交BC于点F，△ABF的面积比△CEF的面积大8cm2，AD=10cm，求DE的长．

【答案】18.4

如图．正方形ABCD的各个顶点都落在直角三角形AEF的各边上．已知正方形ABCD的面积是36，DE的长是4．则线段BF的长是多少？

【答案】9

图中有三个直角三角形．求x。

【答案】15

两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？

【答案】6

如图，四边形FBCE为长方形，四边形ABCD为边长为1的正方形．若AX长n，求AF长。

【答案】

如图，在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，求FC。

【答案】8

如图，梯形ABCD的上底AD长12厘米，高BD长18厘米，BE=2DE，则下底BC长多少厘米？

【答案】24

如图，在长方形ABCD中，AB=30，阴影部分面积是120，求CF。

【答案】8

如图，有两条线段BG和EF把一个边长15分米的正方形分成两个高相等（AF=FD）的直角梯形与一个直角三角形，已知两个梯形面积的差是18平方分米，图中线段CG的长是多少分米？

【答案】4

如图正方形ABCD的边长是10厘米，图中两个梯形AEFB与EFGD的面积之差是10平方厘米，E是AD的中点，请你求出线段GC的长是多少厘米？

【答案】4

矩形ABCD（如图）的边长AB=30，BC=40，P为BC边上一点，PS垂直于BD，PR垂直于AC．求PR+PS的和．

【答案】24

平形四边ABCD的周长为30，AC，BD相交与点O．BD为12，点E是BC的中点，并连接点O．求三角形BEO的周长？

【答案】13.5

如图，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米．如果EF与上、下底平行，那么EF的长度为多少？

【答案】12

如图，在矩形ABCD中，已知对角线长为2，且∠1=∠2=∠3=∠4．求四边形EFGH的周长．

【答案】4

正三角形ABC的边长为12厘米，BD，DE，EF，FG四条线段把它的面积5等份，求AF，FD，DC，AG，GE，EB的长．

【答案】AF，FD，DC，AG，GE，EB的长分别是6.4厘米，3.2厘米，2.4厘米，4.5厘米，4.5厘米，3厘米

如图，ABCD是一个长方形，从G、F、E引出的小横线都平行于AB．若AD=12，则AG等于多少？

【答案】3

将一张长方形纸片依如图所示之方式折叠，使得纸片的一个顶点落在一条短边的中点上．若阴影部分的两个三角形是完全相同的三角形（三条边相等ao=do；oe=ob；ac=db，三个角相等，面积相等），且未折叠前的长方形纸片短边长度是12厘米．那么，BF的长度是多少厘米．

【答案】10

如图所示，在四边形ABCD中，BC=13厘米，从内部的点E向其顶点A、B、C、D分别作线段EA、EB、EC、ED，有AB=EC，EB=CD，∠ABE=∠ECD=45°，∠AED=90°．另外，四边形BCDE的面积为30平方厘米，求DE的长度．

【答案】7

如图，正方形ABCD的边长为4，正方形CEFG的边长为12，D、C、E三点在一条直线上，联结DF，作GI∥DF与DA的延长线交于点I．作IH⊥DF与DF交于点H．则IH的长度为多少？

【答案】7.2

如图，ABCD是长边为6的正方形，ADGH是一个梯形，点E、F分别是AD、GH的中点，HF=6，EF=4，EF⊥GH．联结HE并延长交CD于点I，作IJ⊥HA，求IJ。

【答案】3.6

第三关等高模型、蝴蝶等【知识点】①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如下图③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；反之，如果，则可知直线平行于．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

如图，A是长方形宽的中点，B位于长方形长边的三分之一处，长方形的面积是阴影部分面积的多少倍？

【答案】3

如图，△ABC中，DE、FC、BC互相平行，AD=DF=FB，求S△ADE：S四边形DEGF：S四边形FGCB。

【答案】1：3：5

如图，在三角形ABC中，AD的长度是AB的，AE的长度是AC的．请问：三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？

【答案】1：2：6

如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙面积的连比是多少？

【答案】三角形AED的面积是三角形ABC面积的二分之一

如图，在△ABC中，AB=11cm，AC=9cm．首先，在BC边上，取点H使么∠BHA=90°；然后在BC边上，在H与C之间取点D，使么BAD=60°；这样，∠DAC是∠HAD的2倍．请问，这时BH的长度是CH长度的几倍？

【答案】

如右图，在△ABC中，DC：BC=1：3，BO：OE=4：1，求CE：EA。

【答案】1：1

如图所示，在三角形ABC中，DC：BC=2：5，BO：OE=4：1，AE和EC的比是多少？

【答案】3：5

如图所示，E是矩形ABCD的边BC的中点，BD与AE