适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习课时规范练66求曲线轨迹方程的方法新人教A版

课时规范练66求曲线轨迹方程的方法基础巩固练1.已知点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a为3和5时,点P的轨迹分别是()A.双曲线的右支B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线2.已知点A(-2,-1),B(2,1),若动点P满足直线PA与直线PB的斜率之积为12,则动点P的轨迹方程为(A.x26+y23=1,x≠±2 B.x2C.x22-y2=1,x≠±2 D.y2-x22=1,3.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是()A.x236+y220=1(x≠0) B.y2C.y220+x26=1(x≠04.(多选题)(2024·湖南浏阳模拟)已知点A(-1,0),B(1,0),直线AP,BP相交于点P,直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,则下列说法正确的是()A.当k1·k2=-2时,点P的轨迹为除去A,B两点的椭圆B.当k1·k2=2时,点P的轨迹为除去A,B两点的双曲线C.当k1-k2=2时,点P的轨迹为抛物线D.当k1k2=2时,5.两条直线x-my-1=0和mx+y-1=0的交点的轨迹方程是.

6.已知点P为椭圆x225+y216=1上的任意一点,O为坐标原点,点M满足OM=7.椭圆x29+y2=1上有动点P,点F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,则△PF1F2的重心M的轨迹方程为8.动圆M过点A(2,0),且与圆C:x2+y2+4x+3=0外切,则动圆圆心M的轨迹方程是.

综合提升练9.(2024·江苏南通模拟)已知圆C的方程为x2+y2=16,直线l为圆C的切线,记A(-2,0),B(2,0)两点到直线l的距离分别为d1,d2,动点P满足|PA|=d1,|PB|=d2,则动点P的轨迹方程为()A.x2+y2=4 B.x216C.x216-y212=1 D10.(多选题)(2024·湖南邵阳模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知点P为定圆O上的动点,点A为圆O所在平面上的定点且不与点O重合,线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q,则点Q的轨迹可能是()A.一个点 B.直线C.椭圆 D.双曲线11.已知MN是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中垂直于长轴的动弦,A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,则直线AM创新应用练12.(2024·浙江绍兴模拟)蒙日是法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现椭圆或双曲线上两条相互垂直的切线的交点P的轨迹为圆,该圆称为蒙日圆,如图所示.则双曲线C:x29-y24A.4π B.5π C.9π D.13π

课时规范练66求曲线轨迹方程的方法1.D解析依题意得|F1F2|=10.当a=3时,2a=6<|F1F2|,且|PF1|-|PF2|=6>0,所以点P的轨迹为双曲线的右支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,故点P的轨迹为一条射线.2.C解析设P(x,y)(x≠±2),因为直线PA与直线PB的斜率之积为12,所以-1-y-2-x·1-y3.B解析∵△ABC的周长为20,顶点B(0,-4),C(0,4),∴|BC|=8,|AB|+|AC|=20-8=12.∵12>8,∴点A到两个定点的距离之和等于定值,∴点A的轨迹是椭圆.∵a=6,c=4,∴b2=20,∴椭圆的方程是y236+x24.AB解析设P(x,y),x≠±1.A选项,k1·k2=-2,故yx+1·yx-1=-2,变形为x2+y22=1,且x≠±1,故点P的轨迹为除去A,B两点的椭圆,A正确;B选项,k1·k2=2,故yx+1·yx-1=2,变形为x2-y22=1,且x≠±1,故点P的轨迹为除去A,B两点的双曲线,B正确;C选项,k1-k2=2,故yx+1-yx-1=2,变形为y=1-x2,且x≠±1,故点P的轨迹为除去A,B两点的抛物线,C错误;D选项,k5.x2+y2-x-y=0解析两直线的方程分别变形为x-1=my,1-y=mx,即x2-x=mxy,y-y2=mxy,故x2-x=y-y2,也就是x2+y2-x-y=0.6.x2254+y24=1解析设点M(x,y),由OM=12OP,得点P(2x,2y),而点P为椭圆x225+y216=7.x2+y219=1(y≠0)解析设点P(x1,y1),点M(x,y).椭圆的焦点为F1(-22,0),F2(22,0).∵△PF1F2存在,∴y1≠0∵y1≠0,∴y≠0.∵点P在椭圆上,∴x129+y12=1,∴(3x)29+(3y)2=1(y≠0),故△PF18.x214-y2154=1(x≥12)解析圆C:x2+y2+4x+3=0的圆心为C(-2,0),半径为R=1.因为动圆M过点A(2,0),且与圆C外切,所以|MA|=r,|MC|=r+R,所以|MC|-|MA|=1<|AC|=4.由双曲线的定义得点M的轨迹是以A,C为焦点,实轴长为1的双曲线的右支,因为实轴长为1,焦点为C(-2,0),A(2,0),所以动圆圆心M的轨迹方程是x214-y29.B解析如图,分别过点A,O,B作直线l的垂线,垂足分别为A1,O1,B1,则AA1∥OO1∥BB1,d1=|AA1|,d2=|BB1|,切点为O1.因为A(-2,0),B(2,0),所以O是AB的中点,所以OO1是梯形ABB1A1的中位线,所以|OO1|=|又圆C的方程为x2+y2=16,其半径为4,所以|OO1|=4,所以d1+d2=8,即|PA|+|PB|=8>|AB|.所以动点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为8的椭圆,设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则2a=8,c=2,所以a=4,b2=a2-c2=10.ACD解析分以下几种情况讨论:设定圆O的半径为R,①当点A在圆O上时,连接OA,则|OA|=|OP|.所以点O在线段AP的垂直平分线上,又因为点Q是线段AP的垂直平分线与OP的公共点,所以点Q与点O重合,此时,点Q的轨迹为圆心O,故A正确.②当点A在圆O内,且点A不与圆心O重合时,连接AQ,由垂直平分线的性质可得|QA|=|QP|,所以|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=|OP|=R>|OA|,此时,点Q的轨迹是以点A,O为焦点,且长轴长为R的椭圆,故C正确.③当点A在圆O外时,连接AQ,由垂直平分线的性质可得|QA|=|QP|,所以||QA|-|QO||=||QP|-|QO||=|OP|=R<|OA|,此时点Q的轨迹是以点A,O为焦点,且实轴长为R的双曲线.故D正确.故选ACD.11.x2a2-y2b2=1(x≠±a)解析设M(x1,y1),N(x1,-y1),P(x,y).椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴端点为A(-a,0),B(a,0).因为A,M,P三点共线,所以yx+a=y1x1+a,x≠-a.因为N,B,P三点共线,所以yx-a=-y1x1-a,x≠a.两式相乘得y2x2-a2=-y12x12.B解析设两条互相垂直的切线的交点为P(x0,y0),由题可知,双曲线上两条互相垂直的切线的斜率均存在且均不为0,设过点P且与双曲线C相切的一条切线方程是y-y0=k(x-x0),k≠0,由x29-y24=1,y-y0=k(x-x0),消去y,整理得(4-9k2)x2+(18x0k2-18ky0)x-9(kx0-y0)2-36=0,4-9k2≠0,则Δ1=0,