解直角三角形应用举例

在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠

B＝90º；(3)边角之间的关系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc知识回顾(必有一边)第1页/共38页12021/10/10星期日

温故而知新ABC┌如图，Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若∠A=30°，BC=3，则AC=（2）若∠B=60°，AC=3，则BC=（3）若∠A=α°，AC=3，则BC=（4）若∠A=α°，BC=m，则AC=第2页/共38页22021/10/10星期日1.如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）50°140°520mABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：开挖点E离点D332.8m正好能使A，C，E成一直线.解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE

的一个外角第3页/共38页32021/10/10星期日例4：

2008年10月15日“神舟”7号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）

分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．·OQFPα

如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点．的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算的长需先求出∠POQ（即a）例题第4页/共38页42021/10/10星期日解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．∴PQ的长为

当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km·OQFPα第5页/共38页52021/10/10星期日仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.介绍:第6页/共38页62021/10/10星期日1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝30°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）1.2022.7=300第7页/共38页72021/10/10星期日例2:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?α=30°β=60°120ABCD第8页/共38页82021/10/10星期日巩固练习建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度。BACD第9页/共38页92021/10/10星期日2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题如下：(1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600,求山高AB。

DABC第10页/共38页102021/10/10星期日ABC2、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。问题如下：变式：沿着坡角为30°的斜坡前进300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600,求山高AB。30°DEFxx第11页/共38页112021/10/10星期日3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o，已知塔高BD=30米，求山高CD。ABCαDβ第12页/共38页122021/10/10星期日1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=30。，求飞机A到控制点B的距离.αABC2.两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50.4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝300,测得其底部C的俯角a＝600,求两座建筑物AB及CD的高.课本P92

例4第13页/共38页132021/10/10星期日

当堂反馈3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于

（根号保留）．4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为

（根号保留）．

图3图4第14页/共38页142021/10/10星期日

当堂反馈6.如图2，在离铁塔BE120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=_________（根号保留）．图1图25.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为m，则下面结论中正确的是（）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°C第15页/共38页152021/10/10星期日利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.第16页/共38页162021/10/10星期日新人教版九年级数学(下册)第二十八章

§28.2解直角三角形（3）用数学视觉观察世界用数学思维思考世界第17页/共38页172021/10/10星期日铅垂线水平线视线视线仰角俯角在进行观察或测量时，

仰角和俯角从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；第18页/共38页182021/10/10星期日指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南方位角介绍:第19页/共38页192021/10/10星期日利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.第20页/共38页202021/10/10星期日例1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）60°30°PBCA第21页/共38页212021/10/10星期日例4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BADF60°1230°第22页/共38页222021/10/10星期日BADF解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF=x,AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理在Rt△ABF中，解得x=610.4>8没有触礁危险30°60°第23页/共38页232021/10/10星期日1.如图所示，轮船以32海里每小时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在轮船的北偏东30°处，半小时航行到B处，发现此时灯塔Q与轮船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离（画出图像后再计算）ABQ30°相信你能行第24页/共38页242021/10/10星期日A2．如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时至B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是()

海里.海里C.7海里D.14海里D第25页/共38页252021/10/10星期日

气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动．以O为原点建立如图12所示的直角坐标系．x/kmy/km北东AOBC图12第26页/共38页262021/10/10星期日（1）台风中心生成点B的坐标为

，台风中心转折点C的坐标为

；（结果保留根号）（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为A点）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？x/kmy/km北东AOBC图12第27页/共38页272021/10/10星期日解：（1）

（2）过点C作于点D，如图2，则在中台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．x/kmy/kmAOBC图2D第28页/共38页282021/10/10星期日新人教版九年级数学(下册)第二十八章

§28.2解直角三角形（4）用数学视觉观察世界用数学思维思考世界第29页/共38页292021/10/10星期日修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.

坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝=tana.

显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.第30页/共38页302021/10/10星期日例5.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和β;（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.5解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°

在Rt△CDE中，∠CED=90°第31页/共38页312021/10/10星期日19.4.6

如图一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°．求路基下底的宽．1.认清图形中的有关线段;2.分析辅助线的作法;3.坡角在解题中的作用;4.探索解题过程.练习第32页/共38页322021/10/10星期日解作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知

DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）.在Rt△ADE中，因为所以

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF

≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．答：路基下底的宽约为27.13米．第33页/共38页332021/10/10星期日4