《第十八章 平行四边形》知识串讲+热考题型（原卷版）

八年级下册数学《第十八章平行四边形》本章知识综合运用四个图形的性质和判定四个图形的性质和判定●●一、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质：平行四边形的对边平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形.●●二、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：①矩形具有平行四边形的一切性质.②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等.判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④矩形是轴对称图形，有两条对称轴.●●三、菱形定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.性质：①菱形具有平行四边形的一切性质.②菱形的四条边都相等.③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.④菱形是轴对称图形，有两条对称轴.判定：①有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.②对角线互相垂直的平行四边形是菱形.③四条边相等四边形是菱形.●●四、正方形定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质.①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；④正方形式轴对称图形，有四条对称轴；判定：①有一组邻边相等的矩形是正方形.②有一个角是直角的菱形是正方形.③对角线相等的菱形是正方形.④对角线垂直的矩形是正方形.两个性质定理两个性质定理●●1、三角形的中位线定理◆定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.◆性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.●●2、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.题型一平行四边形的性质与判定题型一平行四边形的性质与判定【例题1】（2022•云冈区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF和CE．（1）证明：四边形AECF是平行四边形；（2）已知BD＝6，DF＝2，BC＝5，求CE的长．解题技巧提炼平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.【变式1-1】如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A．18 B．19 C．20 D．21【变式1-2】如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，CE平分∠BCD，交AB于点E，AD＝6，AB＝7，则EF长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【变式1-3】如图，平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，AB＝AE，AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．85°【变式1-4】（2021春•嘉兴期中）如图，已知在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（）A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BD C．∠BAE＝∠DCF D．AF＝CE【变式1-5】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E、P．连接OE，∠ADC＝60°，AB=12BC＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝2③S平行四边形ABCD＝AB•AC；④AD＝4OE．其中结论正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-6】（2022•嘉定区二模）如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AC＝AD，点E在边BC上，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，联结DE．（1）求证：BC＝DE；（2）当AC＝BC时，求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式1-7】（2022秋•招远市期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝80°，∠DCE＝30°，求∠CBE的度数．【变式1-8】（2022春•蓬江区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）求证：AE平分∠DAB；（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．题型二三角形的中位线定理题型二三角形的中位线定理【例题2】（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝5，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6解题技巧提炼运用中位线定理求线段长或推理证明题的方法：当题中出现有三角形的中点时，联想到三角形中位线定理，应用定理证明两直线的位置关系或线段之间的关系.有时需要添加辅助线构造.【变式2-1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【变式2-2】（2022秋•封丘县校级期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为（）A．1 B．32 C．2 D．【变式2-3】如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（）A．12 B．14 C．24 D．21【变式2-4】（2022春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．【变式2-5】（2022秋•郸城县期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．题型三矩形的性质与判定题型三矩形的性质与判定【例题3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．6 B．7 C．5 D．5.6解题技巧提炼1、矩形中有直角，所以对于线段长度的问题常用到勾股定理；2、矩形的判定一定要先明确前提条件，若前提是平行四边形，则找一个角是直角或对角线相等；若前提是四边形，则需证明有三个角是直角.3、矩形的性质与判定综合应用时要分清条件和结论，灵活选用方法是解题的关键.【变式3-1】（2021秋•泗县期末）如图，在矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若△ABE的周长为8，AB＝3，则AD的长为（）A．2 B．5.5 C．5 D．4【变式3-2】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE【变式3-3】（2022•定安县一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（）A．83 B．8 C．43 D．6【变式3-4】（2022春•鹿城区校级期中）如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，延长BE，CD交于点F，连接AF，BD．（1）求证：四边形ABDF为平行四边形．（2）若BE为∠ABC的角平分线，AB＝5，求四边形ABDF的周长．【变式3-5】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．【变式3-6】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．题型四直角三角形斜边上的中线的性质题型四直角三角形斜边上的中线的性质【例题4】（2022春•交城县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，连接AD，点E，F分别是BC，AD的中点，若EF＝3，则AD的长为（）A．3 B．33 C．6 D．32解题技巧提炼在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边的中线，从而利用直角三角形斜边中线的性质解决问题.【变式4-1】（2022春•蓬莱市期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上的一点，F为AD的中点，且∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∠ADE＝30°，AE＝3，则EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．6【变式4-2】（2022春•青县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则DE的长是（）A．6 B．5 C．4 D．2【变式4-3】（2022秋•西安月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，以AC为斜边作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB，E、F分别是BC、AC的中点，连接EF、DE、DF，则DE的长为．【变式4-4】（2022秋•新民市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．（1）求证：MN⊥BD；（2）若∠DAC＝64°，∠BAC＝56°，求∠DMB的度数．【变式4-5】（2022秋•江都区校级月考）如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，求∠DME的度数；（3）猜想∠DME与∠A之间的关系，并证明你的猜想．题型五菱形的性质与判定题型五菱形的性质与判定【例题5】（2022秋•青羊区校级月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则EF的长为．解题技巧提炼菱形的判定可以确定菱形的存在，再利用菱形的性质，可以得出线段或角的对应关系.【变式5-1】（2022春•夏邑县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝时，平行四边形CDEB为菱形．【变式5-2】（2022•玉树市校级一模）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，P是AB边一个动点，E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为．【变式5-3】（2022秋•永春县期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是．（填序号）①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③EA平分∠GEF；④FB平分∠EFG；⑤四边形BEFG是菱形．【变式5-4】（2022春•五华区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC＝24，BD＝10，求△ADE的周长．【变式5-5】（2022•武威模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，∠ADC＝∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E，B作EF∥AB，BF∥AC，当∠FCE和∠DCE满足怎么样的数量关系时，四边形EFCD是菱形？请说明理由．【变式5-6】（2022春•莱芜区期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且点E、F不与点B、C、D重合．（1）证明：不论点E、F在边BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在边BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出四边形AECF的面积；如果变化，请说明理由．题型六正方形的性质与判定题型六正方形的性质与判定【例题6】（2022春•衡山县期末）如图，在矩形ABCD中，有以下结论：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形．正确的结论是．解题技巧提炼正方形具有所有特殊平行四边形的性质，正方形的判定可以确定正方形的存在，再利用正方的性质，可以得出线段或角的对应关系从而解决问题.【变式6-1】（2022•南海区一模）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠CEB和∠CFD都是直角且点C，E，F三点共线，BE＝2，则阴影部分的面积是．【变式6-2】（2022秋•桐柏县期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BF＝CE＝4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为13．【变式6-3】（2022秋•零陵区期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF，其中正确的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【变式6-4】（2022春•江宁区期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）当△ABC满足时，四边形ADFE是正方形．【变式6-5】（2020春•朝天区期末）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？题型七特殊平行四边形综合运用题型七特殊平行四边形综合运用【例题7】（2022春•綦江区月考）下列说法中错误的是（）A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．两条对角线相等的菱形是正方形解题技巧提炼综合利用菱形、矩形、正方形的性质与判定方法实现相应线段、角之间的转化时解题的关键，前提是要熟悉各图形的性质与判定的方法.【变式7-1】（2022秋•东明县校级期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-2】F，BE⊥CD于点E．（1）求证：四边形DFBE是矩形；（2）若DE＝2，BE＝4，求AD的长．【变式7-3】（2022春•峄城区期中）问题解决：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．【变式7-4】（2022秋•高明区月考）如图，在▱ABCD中，E、M分别为AD、AB的中点，DB⊥AD，延长ME交CD的延长线于点N，连接AN．（1）证明：四边形AMDN是菱形；（2）若∠DAB＝45°，判断四边形AMDN的形状，并说明理由．【变式7-5】（2022秋•青岛期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，DC⊥AC，∠B＝∠D，点E，F分别是BC，AD的中点．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）求证：四边形AECF是菱形；（3）给三角形ABC添加一个条件，使得四边形AECF是正方形，并证明你的结论．题型八平行四边形中的分类讨论问题题型八平行四边形中的分类讨论问题【例题8】（2022春•东湖区校级期中）菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，点E在线段BC上，CE＝23，若点P是菱形边上异于点E的另一点，CE＝CP，则∠EPC的度数为．解题技巧提炼分类讨论思想要做到两点：（1）要有分类的意识，善于从问题的情景中专注分类的对象；二是找出科学、合理的分类标准.本章中出现的图形运动、边长、面积等题目常用到分类讨论思想.【变式8-1】（2023•龙川县校级开学）在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点P在正方形的边上，若∠AEB＝105°，AE＝EP，则在△AEP中，∠AEP的度数为．【变式8-2】（2021春•嘉兴月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），当t为时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形．【变式8-3】（2022春•璧山区期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A．C的坐标分别为（10，0），（0，3），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．【变式8-4】（2022春•西湖区期中）如图，正方形ABCD的边长为6．E，F分别是射线AB，AD上的点（不与点A重合），且EC⊥CF，M为EF的中点．P为线段AD上一点，AP＝1，连接PM．当△PMF为直角三角形时，则AE的长为．题型九平行四边形中的折叠问题题型九平行四边形中的折叠问题【例题9】（2022秋•电白区期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处．（1）求AF的长；（2）求CE的长．解题技巧提炼在很多问题中，经常涉及折叠问题，折叠前后的图形具有全等的特性，由此得到一些线段相等或角相等，并将平行四边形、矩形结合在一起，综合解决问题.【变式9-1】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求线段AE的长．（2）线段BF的长为．【变式9-2】（2023春•吴江区月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．185 B．125 C．165 【变式9-3】（2022秋•梅县区校级期末）如图是一张矩形纸片ABCD，点E，G分别在边BC，AB上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处，HF＝1，BF＝8，则矩形ABCD的面积为（）A．420 B．360 C．4202 D．【变式9-4】（2022秋•遵义期末）如图，已知矩形ABCD，AB＝5，AD＝3，矩形GBEF是由矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°得到的，点H为CD边上一点，现将四边形ABHD沿BH折叠得到四边形A'BHD'，当点A'恰好落在EF上时，DH的长是（）A．175 B．72 C．185 【变式9-5】如图，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．（1）求证：四边形ADED′是菱形；（2）如果AB2＝AE2+BE2，求证：BE平分∠ABC．题型十平行四边形中的动点运动问题题型十平行四边形中的动点运动问题【例题10】（2021春•魏县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q以每秒3cm的速度从点D出发，沿DC，CB向B运动，两个点同时出发，在运动秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．解题技巧提炼解决动点问题时，要抓住点在运动过程中的特殊时刻（或一个确定的位置），以静制动，寻找问题的突破口，有时要用到方程思想或分类讨论的思想.【变式10-1】如图，在矩形ABCD中，BC＝15cm，动点P从点B开始沿BC边以每秒2cm的速度运动；动点Q从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为t秒，则当t＝（）秒时，四边形ABPQ为矩形．A．3 B．4 C．5 D．6【变式10-2】（2021秋•平顶山期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段AC上以0.5cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为ts．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为4cm的等边三角形，当t＝s时，四边形DEBF为正方形．【变式10-3】（2022春•浚县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝10cm，F是AB的中点，E为边CD上一点，DE＝4cm．点M从D点出发，沿D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C；同时点N从点B出发，沿B→A以2cm/s的速度匀速运动到点A．一个点停止运动后，另一个点也随之停止运动．当点M运动时间是秒时，以点M，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形．【变式10-4】（2022秋•鄄城县期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s的速度向点D运动．（1）若点E，F同时运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形？【变式10-5】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）作DE⊥BC于E，则CD边的长度为cm；（2）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？（3）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．题型十一平行四边形中的最值问题题型十一平行四边形中的最值问题【例题11】（2022秋•镇平县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是．解题技巧提炼在解决四边形中的最短问题时，利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短线段和.【变式11-1】（2021秋•海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为．【变式11-2】（2022•南海区一模）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝3．运动过程中点D到点O的最大距离是．【变式11-3】如图所示，在边长为2的菱形ABCD中∠ABC＝60°，点O为对角线的交点，点P为BC边上的一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A．32 B．52 C．5 D【变式11-4】（2021春•上思县期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点F在AD上，AF＝1，E是对角线BC上的一个动点，则AE+EF的最小值为．【变式11-5】（2021秋•沙坪坝区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6，△BDC面积为21，AB的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8题型十二平行四边形综合压轴探究题题型十二平行四边形综合压轴探究题【例题12】（2021春•禹城市期中）【发现与证明】如图1，