2023年江苏省中考数学冲刺专题练-13图形的旋转

2023年江苏省中考数学冲刺专题练——13图形的旋转一．选择题（共11小题）1．（2023•泗洪县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，将△ABC绕顶点C旋转得到△A′B′C，若点O是BC中点，点P是A′B′中点，在旋转过程中，线段OP的最大值等于（）A．4 B．6 C．8 D．102．（2023•沛县模拟）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2022•亭湖区校级二模）下列APP图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．（2022•扬州三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（）A．45 B．43 C．52 D．2135．（2022•滨海县一模）如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'．则线段AA'的长为（）A．2 B．3 C．22 D．6．（2022•梁溪区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝53，点P在线段BC上运动（含B、C两点），将点P为绕点A逆时针旋转60°到点Q，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）A．52 B．52 C．533 7．（2022•建邺区一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B．若点B的坐标是（5，﹣1），则点C的坐标是（）A．（﹣0.5，﹣2.5） B．（﹣0.25，﹣2） C．（0，﹣1.75） D．（0，﹣2.75）8．（2022•苏州模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．9．（2022•苏州模拟）如图，是我国国粹京剧的脸谱图案，该图案（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形10．（2022•徐州一模）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（3，5），则点B与点C的坐标分别为（）A．（﹣3，5），（﹣3，﹣5） B．（﹣5，3），（5，﹣3） C．（﹣5，3），（3，﹣5） D．（﹣5，3），（﹣3，﹣5）11．（2022•靖江市二模）如图，在正方形网格中，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（4，3），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，则它的旋转中心的坐标是（）A．（1，2） B．（2，1） C．（3，1） D．（5，4）二．填空题（共8小题）12．（2023•涟水县一模）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2023的坐标是．13．（2023•工业园区校级模拟）如图，把平行四边形ABCD绕着点A按逆时针方向旋转得到平行四边形AEFG，取BE、AG的中点M、Q，连接MQ，若AD＝8，AB＝102，∠BAD＝45°，则线段MQ长度的最大值为．14．（2023•靖江市校级模拟）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图所示，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为度．（写出一个即可）15．（2023•仙桃校级一模）如图，正方形ABCD的边长是5，E是边BC上一点且BE＝2，F为边AB上的一个动点，连接EF，以EF为边向右作等边三角形EFG，连接CG，则CG长的最小值为．16．（2022•建湖县三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D、E分别在边BC、AB上，且DE⊥BC，BD＝6，将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，点D、E分别对应点D1、E1，当A、D1、E1三点共线时，则CD1的长为．17．（2022•扬州三模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是．18．（2022•武进区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，DC=22，∠B与∠D互余，M是BC边的中点，N是AB边上一动点，在MN的右侧作等边三角形MNP，则AP长度的取值范围是．（参考数据：tan75°＝2+3，sin75°19．（2022•惠山区校级二模）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF＝2CF，则∠AEC＝°；连接AF，则AF+2BF的最小值为．三．解答题（共8小题）20．（2023•钟楼区校级模拟）将一副三角板按如图所示的方式摆放，AB＝6，DE＝9，点D为边AC上的点，ADAC=33，（1）∠ADE的大小为度．（2）若三角板DEF固定，将三角板ABC绕点D逆时针旋转，①当点B第一次落在直线DE上时停止旋转，请在图1中用直尺和圆规画出线段AB旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法），则该图形的面积为．②当旋转至A、B、E三点共线时，求BE的长．21．（2022•亭湖区校级模拟）问题：A4纸给我们矩形的印象，这个矩形是特殊矩形吗？思考：通过度量、上网查阅资料，小丽同学发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值“2”定义：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果ACBC=2，那么点C为线段AB的“白银分割点”如图2，矩形ABCD中，BC应用：（1）如图3，矩形ABCD是白银矩形，AD＞AB，将矩形沿着EF对折，求证：矩形ABFE也是白银矩形．（2）如图4，矩形ABCD中，AB＝1，BC=2，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC（3）已知线段AB（如图5），作线段AB的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）22．（2022•靖江市校级模拟）将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1．（1）如图1当点A1落在AC上时．连接CD1、AD1交CB于点O，求证：DO＝AO；（2）若BC＝5，CD＝3，①如图2，当A1D1过点C时．求出A1A的长度．②当∠A1BA＝45°时，作A1E⊥AB，△A1EB绕点B转动，当直线A1E经过D时，直线A1E交AB边于N，直接写出AN：EN的值＝．（可在备用图上画出草图求解）．23．（2022•盐城一模）如图，已知矩形ABCD中，E是边AD上一点，将△BDE沿BE折叠得到△BFE，连接DF．（1）初步探究如图1，当ADAB=1，BF落在直线①求证：∠EBA＝∠FDA；②填空：AFAE=（2）深入思考如图2，当ADAB=n（n≠1），BF与边AD相交时，在BE上取一点G，使∠BAG＝∠DAF，AG与BF交于点H．求AFAG（3）拓展延伸在（2）的条件下，当n=2，E是AD的中点时，若FD•FH＝12，求AG24．（2022•兴化市二模）已知，如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝3，点E是BC边上的动点，把点E绕着点A逆时针旋转60°得到点F，连接AE、AF、EF、DF（1）当点A、F、C三点在同一条直线上时，求DF的长；（2）如图②，点M在CB的延长线上，且BM＝1，连接AM，当点E在BC上运动时，△AMF的面积的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由．（3）如图③，在点E由B向C运动的过程中，求DF的取值范围．25．（2022•射阳县一模）如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想在图1中，线段PM与PN的数量关系是，∠MPN的度数是；（2）探究证明若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点DE分别在边AB，AC上，AD＝AE，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图2，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸若△ABC中∠BAC＝120°，AB＝AC＝13，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE＝5，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3．①△PMN是三角形．②若△PMN面积为S，直接利用①中的结论，求S的取值范围．26．（2022•灌南县二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别是AC，BC的中点，点P是直线MN上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ，连接AQ，CQ．【问题发现】（1）如图（1），当点P与点M重合时，线段CQ与PN的数量关系是，∠ACQ＝．【探究证明】（2）当点P在射线MN上运动时（不与点N重合），（1）中结论是否一定成立？请利用图（2）中的情形给出证明．（3）连接PC，当△PCQ是等边三角形时，请直接写出的ABPN27．（2022•宝应县一模）在三角形纸片ABC中，点M为AB上一点，直线l过点M．（1）如图1，若∠ACB＝90°，将△ABC沿直线l折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AMCM=（2）如图2，若AC＝BC＝5，AB＝8，将△ABC沿直线l折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMCM的值（3）如图3，若AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A．直线l过顶点C，将△ABC沿直线l折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．①求线段AC的长；②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求PFMF的取值范围．

2023年江苏省中考数学冲刺专题练——13图形的旋转参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2023•泗洪县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，将△ABC绕顶点C旋转得到△A′B′C，若点O是BC中点，点P是A′B′中点，在旋转过程中，线段OP的最大值等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：连接PC，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∵点O是BC中点，∴OC＝OB=12BC＝由旋转得∠A′CB′＝∠ACB＝90°，A′B′＝AB＝8，∵点P是A′B′中点，∴PC=12A′B′＝∵OP≤OC+PC，且OC+PC＝2+4＝6，∴OP≤6，∴OP的最大值为6，故选：B．2．（2023•沛县模拟）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．3．（2022•亭湖区校级二模）下列APP图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：即不是中心对称图形也不是轴对称图形的是第二个图形，故选：B．4．（2022•扬州三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（）A．45 B．43 C．52 D．213【解答】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，∴∠EDA＝∠FEG，在△AED和△GFE中，∠A=∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，AD＝EG，∵AD＝AB，∴AB＝EG，∴AE＝BG，∴BG＝FG，∴F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C'，∵EG＝DA，FG＝AE，∴AE＝BG，∴BG＝FG，∴∠FBG＝45°，∴∠CBF＝45°，∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动，∴C'点在AB的延长线上，当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，∴DC'=AD2∴DF+CF的最小值为45，故选：A．5．（2022•滨海县一模）如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'．则线段AA'的长为（）A．2 B．3 C．22 D．【解答】解：由旋转性质可知，AO＝A'O＝2，∠AOA'＝90°，∴△AOA'为等腰直角三角形，∴AA'=AO2故选：C．6．（2022•梁溪区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝53，点P在线段BC上运动（含B、C两点），将点P为绕点A逆时针旋转60°到点Q，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）A．52 B．52 C．533 【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，在△BAP和△FAQ中，BA=FA∠BAP=∠FAQ∴△BAP≌△FAQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°=10∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝53，∴DE＝AD﹣AE=5∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE•sin60°=5根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为52故选：A．7．（2022•建邺区一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B．若点B的坐标是（5，﹣1），则点C的坐标是（）A．（﹣0.5，﹣2.5） B．（﹣0.25，﹣2） C．（0，﹣1.75） D．（0，﹣2.75）【解答】解：如图，设AB的中点为Q，∵A（﹣2，3），B（5，﹣1），∴Q（1.5，1），过点Z作AN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥AN于点K，过点C作CT⊥QK于T，则K（﹣2，1）AK＝2，QK＝3.5，∵∠AKQ＝∠CTQ＝∠AQC＝90°，∴∠AQK+∠CQT＝90°，∠CQT+∠TCQ＝90°，∴∠AQK＝∠TCQ，在△AKQ和△QTC中，∠AKQ=∴△AKQ≌△QTC（AAS），∴QT＝AK＝2，CT＝QK＝3.5，∴C（﹣0.5，﹣2.5）故选：A．8．（2022•苏州模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．9．（2022•苏州模拟）如图，是我国国粹京剧的脸谱图案，该图案（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【解答】解：该图案是轴对称图形，但不是中心对称图形．故选：A．10．（2022•徐州一模）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（3，5），则点B与点C的坐标分别为（）A．（﹣3，5），（﹣3，﹣5） B．（﹣5，3），（5，﹣3） C．（﹣5，3），（3，﹣5） D．（﹣5，3），（﹣3，﹣5）【解答】解：∵正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，且A点的坐标为（3，5），∴C点的坐标为（﹣3，﹣5），B点的坐标为（﹣5，3），故选：D．11．（2022•靖江市二模）如图，在正方形网格中，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（4，3），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，则它的旋转中心的坐标是（）A．（1，2） B．（2，1） C．（3，1） D．（5，4）【解答】解：平面直角坐标系如图所示，作AC、BD的垂直平分线交于点E，旋转中心为点E，E（2，1），故选：B．二．填空题（共8小题）12．（2023•涟水县一模）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2023的坐标是（﹣2023，﹣2024）．【解答】解：如图，过点D1作D1E⊥y轴于E，过点D2作D2F⊥x轴于F，过点D3作D3G⊥y轴于G，过点D4作D4H⊥x轴于H，过点D5K作D5K⊥y轴于K，∵正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，D（1，0），∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝BC＝CD＝AD=2，∠BAO＝∠CBO＝∠DCO＝∠ADO＝45∴A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，∴∠D1AE＝45°，∠AED1＝90°，AD1＝AD=2∴AE＝AD1•cos∠D1AE=2cos45°＝1，D1E＝AD1•sin∠D1AE=2sin45°＝∴OE＝OA+AE＝1+1＝2，BD1＝AB+BD1=2+2∴D1（1，2），∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，∴∠D2BF＝45°，∠D2FB＝90°，BD2＝BD1＝22，∴D2F＝BD2sin∠D2BF＝22sin45°＝2，BF＝BD2cos∠D2BF＝22cos45°＝2，∴OF＝OB+BF＝1+2＝3，∴D2（﹣3，2），再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……同理可得：D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，观察发现：每四个点一个循环，D4n（4n+1，﹣4n），D4n+1（4n+1，4n+2），D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），D4n+3（﹣4n﹣3，﹣4n﹣4），∵2023＝4×505+3，∴D2023（﹣2023，﹣2024）；故答案为：（﹣2023，﹣2024）．13．（2023•工业园区校级模拟）如图，把平行四边形ABCD绕着点A按逆时针方向旋转得到平行四边形AEFG，取BE、AG的中点M、Q，连接MQ，若AD＝8，AB＝102，∠BAD＝45°，则线段MQ长度的最大值为26+52【解答】解：取AE的中点K，过D作DH⊥AB于H，连接DE，QK，KM，BD，如图：∵AD＝8，∠BAD＝45°，∴AH＝DH=AD2=∵AB＝102，∴BH＝62，∴BD=DH2∵平行四边形ABCD绕着点A按逆时针方向旋转得到平行四边形AEFG，∴EG＝BD＝226，∵Q为AG中点，K为AE中点，∴KQ=12EG∵M为BE中点，K为AE中点，∴KM=12AB＝5在△MKQ中，MQ＜KQ+KM，∴当M，K，Q共线时，MQ最大，如图：此时QM＝KQ+KM=26+5∴MQ最大为26+52故答案为：26+5214．（2023•靖江市校级模拟）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图所示，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为60（答案不唯一）度．（写出一个即可）【解答】解：360°÷6＝60°，则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合，故答案为：60（答案不唯一）．15．（2023•仙桃校级一模）如图，正方形ABCD的边长是5，E是边BC上一点且BE＝2，F为边AB上的一个动点，连接EF，以EF为边向右作等边三角形EFG，连接CG，则CG长的最小值为72【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，∴BE＝EH，∠BEH＝60°，∠GHE＝90°，∴△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，∴∠PEC＝180°﹣∠PEH﹣∠BEH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴PC=12则CM＝MP+CP＝HE+12EC＝2∴CG长的最小值为72故答案为：7216．（2022•建湖县三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D、E分别在边BC、AB上，且DE⊥BC，BD＝6，将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，点D、E分别对应点D1、E1，当A、D1、E1三点共线时，则CD1的长为12或6．【解答】解：如图1，当点D1在线段AE1上，∵∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，∴AB＝12，BC=3AC＝63∵将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，∴D1B＝6＝DB，∠BD1E1＝90°，∴AD1=AB2-D∴AD1＝BC，且AC＝BD1，∴四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB＝90°，∴四边形ACBD1是矩形，∴CD1＝AB＝12，如图2，当点D1在线段AE1的延长线上，∵∠ACB＝∠AD1B＝90°，∴点A，点B，点D1，点C四点共圆，∴∠AD1C＝∠ABC＝30°，∵AC＝BD1，AB＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△BAD1（HL），∴∠D1AB＝∠ABC＝30°，且∠BAC＝60°，∴∠CAD1＝30°＝∠AD1C，∴AC＝CD1＝6，综上所述：CD1＝12或6，故答案为：12或6．17．（2022•扬州三模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是63-4．【解答】解：如图，作AG⊥BC于点G，连接BD交AF于点I，连接GI，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴BC＝AB＝6，∴BG＝CG=12BC＝∵∠AGB＝90°，∴AG=AB2∵四边形ABFD是平行四边形，∴AI＝FI，BI＝DI，∵CD＝4，∴GI=12CD＝∵AI+GI≥AG，∴AI≥33-2∴2AI≥63-4∴AF≥63-4∴线段AF的最小值是63-4故答案为：63-418．（2022•武进区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，DC=22，∠B与∠D互余，M是BC边的中点，N是AB边上一动点，在MN的右侧作等边三角形MNP，则AP长度的取值范围是12(6-4)≤AP≤2．．（参考数据：tan75°＝【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠B与∠D互余，∴∠B+∠D＝90°，∴∠B＝∠D＝45°，当点N在点B时，点P的位置如下图所示，当点N运动到点A的位置时，动点P的位置用P′来表示如下图所示，由此可知，P的运动轨迹是一条线段，∵△B（N）PM是等边三角形，△A（N）MP′是等边三角形，∴BM＝PM，∠BMP＝60°，AM＝P′M，∠AMP′＝60°，∴∠BMP＝∠AMP′，∴∠BMA＝∠PMP′，∴△ABM≌△PMP′（SAS），∴∠P′PM＝∠ABM＝45°，∴PP′是一条线段，点P的轨迹是一条线段，则AP的最小值是当AP⊥PP′时，AP最小，AP的最大值是AP′，过点A作AH⊥PP′，垂足为H，过点M作MQ⊥AB，垂足为Q，如下图所示，过点A作AE⊥PM．垂足为E，∵∠ABM＝45°，M是BC边的中点，∴BM=1∴BQ=BM∴AQ＝AB﹣BQ=22∴AM=A∴∠AMB＝90°，∴∠AMP＝∠AMB﹣∠BPM＝90°﹣60°＝30°，∵PM＝BM＝AM＝2，∴∠APM=180°-30°∴AE=1∵sin∠APM=AE∴AP=AE∴∠APP′＝∠APM﹣∠MPP′＝75°﹣45°＝30°，在Rt△APH中，AH=1AP′＝AM＝2，∴AP长度的取值范围是12(6-故答案为：12(6-19．（2022•惠山区校级二模）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF＝2CF，则∠AEC＝60°；连接AF，则AF+2BF的最小值为63．【解答】解：∵将边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，如图1，∴∠BAD＝α，AB＝AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝60°，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠ACD+∠BAE＝∠CDA+∠DAE＝∠AEC，又∵∠AEC+∠ACD+∠BAE+∠BAC＝180°，∴∠AEC＝60°；如图2，过F作FH∥AD，交AC于H，取AC的中点M，连接FM，则AM＝CM＝3，∴△CFH∽△CDA，∴CFCD∵DF＝2FC，∴FH6∴CH＝FH＝2，∴MH＝3﹣2＝1，∵FHAH=2∴FHAH∵∠FHM＝∠AHF，∴△FHM∽△AHF，∴FMAF∴FM=12∴当B、F、M三点共线时，BF+FM＝BF+12AF的长最小，如图3，此时BM⊥∴BM=62-∵AF+2BF＝2（12AF+BF）＝2BM∴AF+2BF的最小值是63．故答案为：60，63．三．解答题（共8小题）20．（2023•钟楼区校级模拟）将一副三角板按如图所示的方式摆放，AB＝6，DE＝9，点D为边AC上的点，ADAC=33，（1）∠ADE的大小为75度．（2）若三角板DEF固定，将三角板ABC绕点D逆时针旋转，①当点B第一次落在直线DE上时停止旋转，请在图1中用直尺和圆规画出线段AB旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法），则该图形的面积为18+12π．②当旋转至A、B、E三点共线时，求BE的长．【解答】解：（1）如图1中，设DE交BC于点T．∵BC∥EF，∴∠DTC＝∠E＝45°，∴∠ADE＝∠DTC+∠C＝45°+30°＝75°．故答案为：75；（2）①图形如图1﹣1所示：∵AB＝6，∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴AC=3AB＝63∵ADAC∴AD＝6，∴DB=AB2∴阴影部分的面积＝S△ABD+S扇形DBB﹣S扇形ADA′﹣S△A′DB′＝S扇形DBB′﹣S扇形ADA′=30π×(6＝3π．故答案为：3π．②如图2﹣1中，当点B落在线段AE上时，在Rt△AED中，AE=DE2∵AB＝6，∴BE＝AE﹣AB＝35-6如图2﹣2中，当点A落在BE上时，同法可得AE＝35，此时BE＝AE+AB＝35+6综上所述，满足条件的BE的值为35-6或35+21．（2022•亭湖区校级模拟）问题：A4纸给我们矩形的印象，这个矩形是特殊矩形吗？思考：通过度量、上网查阅资料，小丽同学发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值“2”定义：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果ACBC=2，那么点C为线段AB的“白银分割点”如图2，矩形ABCD中，BC应用：（1）如图3，矩形ABCD是白银矩形，AD＞AB，将矩形沿着EF对折，求证：矩形ABFE也是白银矩形．（2）如图4，矩形ABCD中，AB＝1，BC=2，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC（3）已知线段AB（如图5），作线段AB的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【解答】（1）证明：∵矩形ABCD是白银矩形，AD＞AB，∴设AB＝m，则AD=2m∵将矩形沿着EF对折，∴∠AEF＝∠DEF＝90°，AE＝DE=12AD=∵∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABFE是矩形，∵ABAE∴矩形ABFE也是白银矩形；（2）证明：如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°＝∠C，∵矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，∴BF＝BC=2，∠BFE＝∠C＝90°＝∠GFE，EF＝CE∵AB＝1，∴AF=BF∴AB＝AF，∴△ABF是等腰直角三角形，∠AFB＝45°＝∠GFD，∵∠ADC＝90°＝∠ADG，∴∠G＝45°，∴△GFE的等腰直角三角形，∴GE=2EF∴GE=2CE∴E是线段GC的”白银分制点”；（3）如图：过B作BH⊥AB，在BH上取BE＝AB，连接AE，作∠AEB的角平分线交AB于K，点K即为线段AB的“白银分割点”．22．（2022•靖江市校级模拟）将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1．（1）如图1当点A1落在AC上时．连接CD1、AD1交CB于点O，求证：DO＝AO；（2）若BC＝5，CD＝3，①如图2，当A1D1过点C时．求出A1A的长度．②当∠A1BA＝45°时，作A1E⊥AB，△A1EB绕点B转动，当直线A1E经过D时，直线A1E交AB边于N，直接写出AN：EN的值＝523【解答】（1）证明：如图2中，连接BD1，BD，DD1．∵BA＝BA1，BD＝BD1，∠ABA1＝∠DBD1，∴∠BAA1＝∠BDD1，∵∠BAA1＝∠BDC，∴∠BDC＝∠BDD1，∴D，C，D1共线，∵∠BCD1＝∠BAD1＝90°，BD1＝D1B，BC＝A1D1，∴Rt△BCD1≌Rt△D1A1B（HL），∴CD1＝BA1，∵BA＝BA1，∴AB＝CD1，∵AC＝BD1，∴四边形ABD1C是平行四边形，∴OC＝OB，∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO，∴△DCO≌△ABO（SAS），∴DO＝OA；（2）解：①如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．在Rt△A1BC中，∵∠CA1B＝90°，BC＝5．AB＝3，∴CA1=BC∵12•A1C•A1B=12•BC•A∴A1F=12∵∠A1FB＝∠A1EB＝∠EBF＝90°，∴四边形A1EBF是矩形，∴EB＝A1F=125，A1E＝BF∴AE＝3-12在Rt△AA1E中，AA1=A②如图4中，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAN＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，在Rt△A1BE中，∵BA1＝BA＝3，∠A1BE＝45°，∴BE＝EA1=3∵∠DAN＝∠BEN＝90°，∠AND＝∠BNE，∴△DAN∽△BEN，∴ANEN故答案为：5223．（2022•盐城一模）如图，已知矩形ABCD中，E是边AD上一点，将△BDE沿BE折叠得到△BFE，连接DF．（1）初步探究如图1，当ADAB=1，BF落在直线①求证：∠EBA＝∠FDA；②填空：AFAE=1（2）深入思考如图2，当ADAB=n（n≠1），BF与边AD相交时，在BE上取一点G，使∠BAG＝∠DAF，AG与BF交于点H．求AFAG（3）拓展延伸在（2）的条件下，当n=2，E是AD的中点时，若FD•FH＝12，求AG【解答】（1）①证明：如图1，∵ADAB=∴AD＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，DA⊥AB∴∠DAB＝90°，由折叠可知∠FBE＝∠DBE，BF＝BD，∠BFE＝∠BDE＝45°，∵折叠时BF落在直线BA上，∴∠FAE＝∠DAB＝90°，∴∠AEF＝45°＝∠BFE，∴AE＝AF，在△EAB和△FAD中，AB=AD∠EAB=∠FAD∴△EAB≌△FAD（SAS），∴∠EBA＝∠FDA；②解：由①知：AE＝AF，∴AFAE=故答案为：1；（2）解：AFAG=n，理由如下：如图2，延长BE交DF于点由折叠可知BE垂直平分DF，∴DT＝FT，BT⊥DF，∴∠FDA+∠DET＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴DA⊥AB，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵∠AEB＝∠DET，∴∠FDA＝∠ABE，又∵∠DAF＝∠BAG，ADAB=n（n≠∴△DAF∽△BAG，∴AFAG=（3）解：如图3，延长BE交DF于点T，连接FG，∵E是AD的中点，∴DE＝AE，由折叠可知EF＝DE，BF＝BD，∴EF＝DE＝AE，∴∠EDF＝∠DFE，∠EAF＝∠EFA，又∵∠EDF+∠DFE+∠EAF+∠EFA＝180°，∴2（∠DFE+∠EFA）＝180°，∴∠DFE+∠EFA＝90°，即∠DFA＝90°，由（2）知△DAF∽△BAG，∴∠AFD＝∠AGB＝90°，FDGB=AF∴AG⊥BE，GB=22AF=2AG=2xAD=∵BT⊥FD，∴∠DTE＝∠AGE＝90°，在△DTE和△AGE中，∠DTE∴△DTE≌△AGE（AAS），∴DT＝AG，设AG＝x（x＞0），则DT＝x，由折叠得：BE垂直平分FD，∴FT＝DT＝x，FD＝2DT＝2x，∴GB=22FD=22×∴AF＝GB=2x在Rt△AGB中，AB=AG∵AD=2AB∴AD=2×3x∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴BF＝BD=AB2∵∠BAG＝∠DAF，∴∠BAG+∠DAG＝∠DAF+∠DAG，即∠BAD＝∠GAF＝90°，又∵∠AGB＝90°，∴∠AGB＝∠GAF＝90°，∴AF∥GB，又∵AF＝GB=2x∴四边形ABGF是平行四边形，∴FH＝BH=12BF=12×又∵FD•FH＝12，∴2x•32x＝12即x2＝4，∵x＞0，∴x＝2，即AG＝2．24．（2022•兴化市二模）已知，如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝3，点E是BC边上的动点，把点E绕着点A逆时针旋转60°得到点F，连接AE、AF、EF、DF（1）当点A、F、C三点在同一条直线上时，求DF的长；（2）如图②，点M在CB的延长线上，且BM＝1，连接AM，当点E在BC上运动时，△AMF的面积的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由．（3）如图③，在点E由B向C运动的过程中，求DF的取值范围．【解答】解：（1）连接AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC＝3∴tan∠CAB=BC∴∠CAB＝60°，∵点E绕着点A逆时针旋转60°得到点F，∴∠EAF＝60°，∵点A、F、C三点在同一条直线上，∴点E与点B重合，∴AF＝AB=3=∴F为AC中点，∴DF=1（2）不变．理由如下：过点F作FP⊥AM，交MA的延长线于点P，∵AB=3，BM＝1∴tan∠MAB=BM∴∠MAB＝30°，∵点E绕着点A逆时针旋转60°得到点F，∴EA＝FA，∠EAF＝60°，∴∠PAF+∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠PAF＝∠AEB，∵∠P＝∠ABE＝90°，∴△APF≌△EBA（AAS），∴PF＝AB=3∵BM＝1，∴AM=AB∴S△AMF=12AM•PF（3）以AD为边向右侧作等边△ADQ，连接QE，∵△ADQ为等边三角形，∴AD＝AQ，∠DAQ＝60°，又∵AF＝AE，∠EAF＝60°，∴∠DAF＝∠QAE，∴△ADF≌△AQE（SAS），∴DF＝QE，当E在B（或C）时，QE有最大值为3，当E在BC中点时，QE有最小值为32∴DF的取值范围是3225．（2022•射阳县一模）如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想在图1中，线段PM与PN的数量关系是PM＝PN，∠MPN的度数是120°；（2）探究证明若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点DE分别在边AB，AC上，AD＝AE，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图2，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸若△ABC中∠BAC＝120°，AB＝AC＝13，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE＝5，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3．①△PMN是等边三角形．②若△PMN面积为S，直接利用①中的结论，求S的取值范围．【解答】解：（1）PM＝PN，∠MPN＝120°，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，∴PM=12EC，PN=12BD，∴PM＝PN，∠MPD＝∠ACD，∠PNC＝∠B＝60°，∵∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠ACD+∠DCB+∠PNC＝120°，故答案为：PM＝PN；120°；（2）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：连接BD，CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∵PN是△BCD的中位线，∴PN=12BD，PN∥同理PM∥CE，PM=12∴PM＝PN，∵∠DPN＝∠PNC+∠BCD＝∠DBC+∠DCB，∠MPD＝∠DCE，∴∠MPN＝∠ABD+∠ACB＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）①连接BD，CE，由（2）同理可得，△PNN是等边三角形，故答案为：等边三角形；②∵PN=12∴当BD最大时，S最大；当BD最小时，S最小，∵AB＝13，AD＝5，∴BD最大为18，最小为8，∴PN最大值为9，最小值为