第19讲 相似三角形专题之母子三角形 (解析版)

第19讲相似三角形之母子三角形【知识点睛】其中：∠A是公共角其中：∠A是公共角AB是公共边BD与BC是对应边当∠ABD=∠ACB时△ABD∽△ACB性质：联系应用：切割线定理：如图，PB为圆O切线，B为切点，则：△PAB∽△PBC得：在Rt△在Rt△ACB与Rt△ADC中，当∠ABC=∠ACD时，有Rt△ACB∽Rt△ADC∽Rt△CDB射影定理：☆：有关射影定理图形常见的三个应用方向：☆：有关射影定理图形常见的三个应用方向：等积法（求斜边上的高）同角的余角相等（得∠A=∠BCD）射影定理在圆中因为直径所对圆周角=90°，转化得此图形，进而利用以上3个结论！☆：“母子△”与“阿氏圆”☆：“母子△”与“阿氏圆”阿氏圆的基本原理就是构造母子三角形，之后再结合两点之间线段最短求解最后结果。母子相似证明题一般思路方法：由线段乘积相等转化成线段比例式相等；分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第三步；【类题训练】1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，有下列条件：①∠A＝∠BCD；②∠A+∠BCD＝∠ADC；③；④BC2＝BD•BA．其中能判断△ABC是直角三角形的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据题目中①②③④给出的条件分别判定△BCD∽△BAC或△ABC∽△ACD即可求得∠ACB＝90°，计算能求证△BCD∽△BAC或△ABC∽△ACD的个数即可解题．【解答】解：①∵∠A＝∠BCD，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，故本命题成立；②条件不足，无法求证∠ACB＝90°，故本命题错误；③∵BD：CD＝BC：AC，∠ADC＝∠CDB＝90°，∴Rt△ADC∽Rt△CDB，（因为都有一个直角，斜边直角边成比例）∴∠ACD＝∠B；∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∴∠ACB＝90°；故本命题正确；④∵BC2＝BD×BA，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴∠ACB＝90°，故本命题成立，故选：D．2．如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（）A．4 B．2 C． D．4【分析】根据矩形的性质可得∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，从而求出AE，CE的长，然后根据射影定理证明△ADE∽△DCE，从而可得DE2＝AE•CE，即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，∵AE＝3CE，∴AE＝AC＝，CE＝AC＝，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠ADE+∠DAC＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△DCE，∴＝，∴DE2＝AE•CE＝×＝，故选：C．3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E为斜边AB的中点，则＝（）A． B． C． D．【分析】利用相似三角形的判定与性质得到∠BCD＝∠A＝22.5°，利用三角形的外角的性质得到∠CED＝45°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AE＝CE＝BE＝AB，设CD＝DE＝x，则CE＝，AD＝（+1）x，代入化简即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，∴∠BCD＝22.5°，∠ACD＝67.5°．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠B＝90°﹣∠BCD＝67.5°，∴∠A＝90°﹣∠B＝22.5°，∴∠BCD＝∠A＝22.5°．∵∠ACB＝90°，E为斜边AB的中点，∴AE＝CE＝BE＝AB．∴∠ECA＝∠A＝22.5°，∴∠CED＝∠A+∠ECA＝45°，∵CD⊥AB，∴CD＝DE．设CD＝DE＝x，则CE＝，∴AE＝x，∴AD＝AE+DE＝（+1）x，∴＝+1．故选：B．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E在BC上，且BE＝DE，若EC＝4，，则⊙O的半径为（）A． B．2 C． D．【分析】连接CD，DO，根据已知∠ACB＝90°，可得∠OCD+∠DCE＝90°，∠B+∠A＝90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADO，∠B＝∠BDE，从而可得∠ADO+∠BDE＝90°，进而可得∠ODC+∠EDC＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ODC＝∠OCD，从而可得∠EDC＝∠DCE，进而可得ED＝EC＝BE＝4，最后根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC＝90°，从而可得∠BDC＝90°，再利用射影定理可得BC2＝BD•BA，从而求出BA的长，再在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，即可解答．【解答】解：连接CD，DO，∵∠ACB＝90°，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∠B+∠A＝90°，∵OA＝OD，EB＝ED，∴∠A＝∠ADO，∠B＝∠BDE，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∴∠ODE＝180°﹣（∠ADO+∠BDE）＝90°，∴∠ODC+∠EDC＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠DCE，∴ED＝EC，∴ED＝EC＝BE＝4，∴BC＝BE+EC＝8，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，∴∠BDC＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BDC∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BA＝，∴AC＝＝＝，∴⊙O的半径为，故选：C．5．如图，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，则△ABC的面积为．【分析】过点C作CE⊥AB于点E，根据∠CDB＝120°求出∠CDE＝60°，然后在Rt△CDE中求出ED，CE的长，再在Rt△CEB中求出BC的长，利用已知条件证得△DBC∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例即可求出AB的长，最后根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，∴∠CED＝90°，∵∠CDB＝120°，∴∠CDE＝60°，∴∠ECD＝30°，∴，由勾股定理得：，∴BE＝BD+ED＝2+2＝4，在Rt△CEB中，由勾股定理得：，∵∠DCB＝∠A，又∵∠DBC＝∠CBA，∴△DBC∽△CBA，∴，即，解得：BA＝14，∴．故答案为：．6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为8．【分析】首先根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，得出＝＝＝，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，得出BC＝8x，DE＝x，得出CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，证明△CDF∽△CBA，得出＝，代入计算即可得出结果．【解答】解：∵∠A＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，∵∠C+∠CDE＝45°∴2∠C+∠CDE＝90°，∴∠ADB+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，如图所示：则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，∴＝＝＝，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，∴BC＝8x，DE＝x，∴CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝，∴BC＝8；故答案为：8．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可；（2）根据已知易证△ACD∽△CBD，然后进行解答即可．【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G．（1）求证：EB2＝EG•EA；（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC，求证：BE＝CE．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质可得结论；（2）由直角三角形的性质得BD＝AC＝CD，再由相似三角形的判定与性质可得EC2＝GE•EA，结合（1）的结论可得答案．【解答】证明：（1）∵AE⊥BD，∴∠BGE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BGE＝∠ABE，∵∠BEG＝∠AEB，∴△ABE∽△BGE，∴＝，即EB2＝EG•EA；（2）在Rt△ABC中，点D是斜边AC的中点，∴BD＝AC＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠CGE＝∠DBC，∴∠CGE＝∠DCB，∵∠GEC＝∠GEC，∴△GEC∽△CEA，∴＝，∴EC2＝GE•EA，由（1）知EB2＝EG•EA，∴EC2＝EB2，∴BE＝CE．9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E，F分别在线段BD，AC上，连结AD，EF交于点G，∠CEF＝2∠CAD．（1）求证：△ABC∽△EFC．（2）若BE＝2DE，＝，求的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠CAB＝2∠CAD，根据题意不难证明△ABC∽△EFC；（2）过点F作FH∥BC，交AD于点H，）根据等腰三角形的性质可得BD＝CD，则DE＝，易证明△AHF∽△ADC，则，易证明△HFG∽△DEG，则，将DE＝，代入即可求解．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵点D是BC的中点，∴∠CAB＝2∠CAD，∵∠CEF＝2∠CAD，∴∠CEF＝∠CAB，在△ABC和△EFC中，，∴△ABC∽△EFC；（2）过点F作FH∥BC，交AD于点H，∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵BE＝2DE，∴，即DE＝，∵HF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴，∵＝，∴，∴，∵HF∥BC，∴△HFG∽△DEG，∴，由上述知，DE＝，，∴＝．10．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG•FE．（1）求证：△CAD∽△CBG；（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．【分析】（1）通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；（2）由相似三角形的性质可得＝，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得＝，由平行线分线段成比例可得＝，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．∴＝，∵∠AFG＝∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∴∠EBC＝∠FAG，∵∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；（2）∵△CAD∽△CBG，∴＝，∵∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴＝，∵AE∥BC，∴＝，∴＝，∴＝，∴DG•AE＝AB•AG．11．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，BD⊥DC，且BD2＝AD•BC，点M是边BC的中点．（1）求证：AD∥BC；（2）作BE⊥DM，垂足为点E，并交CD于点F．求证：2AD•DM＝DF•DC．【分析】（1）由∠BAD＝∠BDC＝90°，BD2＝AD•BC即得△ABD∽△DCB，然后利用相似三角形的性质和平行线的判定即可求解；（2）利用已知条件证明△BDF∽△CDB，然后利用相似三角形的性质和直角三角形中斜边上中线的性质即可证明．【解答】证明：（1）∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°，∴∠A＝∠BDC，而BD2＝AD•BC，∴△ABD∽△DCB，∴∠ADC＝∠DBC，∴AD∥BC；（2）解：∵BE⊥DM，∴∠DBF+∠BDM＝90°，而∠BDM+∠MDC＝90°，∴∠DBE＝∠MDC，又M是边BC的中点，∴DM＝BM＝CM＝BC，∴∠MDC＝∠DCM，∴∠DBE＝∠DCM，∴△BDF∽△CDB，∴BD2＝DF•DC，而BD2＝AD•BC，∴AD•BC＝DF•DC，∴2AD•DM＝DF•DC．12．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，取BC中点E，连接DE并延长，与AB的延长线交于点F，连接BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）如果，求tanA．【分析】（1）连接OD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDC＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线可得ED＝EB，再利用等腰三角形的性质可得∠ODB＝∠OBD，最后根据∠ABC＝90°，从而可求出∠ODF＝90°，即可解答；（2）根据点E是BC的中点，可得△BDE的面积＝△DEC的面积，然后设△ABD的面积为y，△BDE的面积＝△DEC的面积＝x，再根据已知可得y＝4x，从而可得＝＝2，进而可得AD＝2CD，再CD＝a，则AD＝2CD＝2a，最后证明△ADB∽△BDC，利用相似三角形的性质求出BD的长，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，∵点E是BC的中点，∴ED＝EB＝BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB+∠BDE＝90°，∴∠ODF＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；（2）解：∵点E是BC的中点，∴△BDE的面积＝△DEC的面积，设△ABD的面积为y，△BDE的面积＝△DEC的面积＝x，∵，∴＝，∴y＝4x，∴＝＝＝2，∴＝2，设CD＝a，则AD＝2CD＝2a，∵∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C，∵∠ADB＝∠CDB＝90°，∴△ADB∽△BDC，∴＝，∴＝，∴BD＝a或BD＝﹣a（舍去），在Rt△ABD中，tanA＝＝＝，∴tanA的值为．13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，AD＝16，AB＝6，BC＝24．点P从点A沿AD运动到点D，每秒移动a个单位，同时点Q从点C沿CB运动到点B，每秒移动b个单位．运动时间为x秒．若其中一点到达终点，另一点也停止．（1）请求出CD的值；（2）若存在某时刻使DQ垂直平分PC，求a：b的值；（3）若a＝1，b＝3，何时PQ上存在点M，使得∠AMB＝90°．【分析】（1）过D作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形，得BH＝AD＝16，DH＝AB＝6，则CH＝BC﹣BH8，再由勾股定理求出CD的长；（2）设AP＝ax，CQ＝bx，则DP＝10﹣ax，BQ＝24﹣bx，若DQ垂直平分PC，由线段垂直平分线的性质得PD＝CD，PQ＝CQ，再证△DPE≌△QCE（ASA），得PD＝CQ，然后求出bx＝10，ax＝6，即可得出结论；（3）以AB为直径作圆O，若PQ上存在点M，使得∠AMB＝90°，则PQ与圆O有公共点，即PQ与圆O相交或相切，当圆O与PQ相切于M时，OM⊥PQ，OM＝OA＝3，易证AD、BC都是圆O的切线，得出PM＝PA＝x，QM＝QB＝24﹣3x，∠OPQ＝∠OPA，∠OQP＝∠OQB，再证明∠POQ＝90°，得出OM2＝MP•MQ（射影定理），即32＝x（24﹣3x），解得x＝4±，当圆O与PQ相交于M时，0≤x＜4﹣或4+＜x≤8，即可得出结果．【解答】解：（1）如图1，过D作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形，∴BH＝AD＝16，DH＝AB＝6，∴CH＝BC﹣BH＝24﹣16＝8，在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD＝＝＝10；（2）由（1）得：CD＝10，设AP＝ax，CQ＝bx，则DP＝AD﹣AP＝16﹣ax，BQ＝BC﹣CQ＝24﹣bx，设CP与DQ交于点E，如图2所示：∵DQ垂直平分PC，∴PD＝CD，PQ＝CQ，∵AD∥BC，∴∠DPE＝∠QCE，在△DPE和△QCE中，，∴△DPE≌△QCE（ASA），∴PD＝CQ，∴PD＝CD＝PQ＝CQ，∴bx＝16﹣ax＝10，∴bx＝10，ax＝6，∴＝＝＝，∴a：b＝3：5；（3）∵BC＝24，b＝3，∴x≤8，如图，以AB为直径作圆O，∵∠AMB＝90°，∴点M在圆O上，若PQ上存在点M，使得∠AMB＝90°，则PQ与圆O有公共点，∴PQ与圆O相交或相切，当圆O与PQ相切于M时，OM⊥PQ，OM＝OA＝AB＝3，∵∠BAD＝∠ABQ＝90°，∴AD⊥OA，BC⊥OB，∴AD、BC都是圆O的切线，∴PM＝PA＝x，QM＝QB＝24﹣3x，∠OPQ＝∠OPA，∠OQP＝∠OQB，∵AD∥BC，∴∠APQ+∠BQP＝180°，∴∠OPQ+∠OQP＝×180°＝90°，∴∠POQ＝180°﹣90°＝90°，∵OM⊥PQ，∴OM2＝MP•MQ（射影定理），即32＝x（24﹣3x），解得：x＝4±；当圆O与P