专题03任意角及其度量 （2大考点3种题型）（原卷版）

专题03任意角及其度量（2大考点3种题型）思维导图核心考点聚焦考点一、任意角考点二、角的度量题型一．任意角的三角函数的定义题型二．三角函数值的符号题型三：角的度量考点一、任意角1.正角、负角、零角：正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的.零角：当一条射线没有旋转时，称为零角.零角的始边与终边重合.【小结】这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过的角.2.象限角和轴线角：（1）为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限.如图，和都是第一象限角，和都是第二象限的角.（2）当角的终边在坐标轴上时，就说这些角不属于任一象限，这种角称为轴线角.3.终边相同的角：我们把所有所有与角终边重合的角（包括角本身）的集合表示为.【小结】①终边在轴正半轴上的角的集合为；②终边在轴负半轴上的角的集合为；③终边在轴上的角的集合为；④终边在轴上的角的集合为；⑤终边在坐标轴上的角的集合为；⑥第二象限角的集合为.【注意】后缀表示射线，表示直线.考点二、角的度量一般地说，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么就是角的绝对值，即，的符号由它的始边旋转至终边的方向决定【逆正顺负】.【注意】角度弧度（5）象限角的表示：第一象限的角的集合：第二象限的角的集合：第三象限的角的集合：第四象限的角的集合：【注意】题型一．任意角的三角函数的定义【例1】．（2023春•浦东新区校级月考）下列命题中，正确的是A．第二象限角大于第一象限角 B．若，是角终边上一点，则 C．若，则、的终边相同 D．的解集为【例2】．（2023春•浦东新区校级期中）“，”是“”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【例3】．（2023春•青浦区校级月考）若角的终边上有一点，则实数的值为．【例4】．（2023•上海模拟）已知为角终边上一点，则．【例5】．（2023春•宝山区校级月考）已知终边过点，若，则．【例6】．（2023春•徐汇区校级期中）角是第四象限角，其终边与单位圆的交点为，把角顺时针旋转得角，则角终边与单位圆的交点的坐标为．题型二．三角函数值的符号【例1】．（2023春•浦东新区期中）已知点在第四象限，则角的终边在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例2】．（2023春•宝山区校级月考）设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是A． B． C． D．【例3】．（2023春•青浦区校级期中）点是第______象限角终边上的点A．一 B．二 C．三 D．四【例4】．（2023春•长宁区校级期中）若，，则是第象限角．A．一 B．二 C．三 D．四【例5】．（2023春•青浦区校级期中）为第三象限角，且，则在第象限．题型三：角的度量【例1】．（2023下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为弧度.【例2】．（2023下·上海长宁·高一统考期末）将弧度化为角度：弧度=°．【例3】．（2023下·上海嘉定·高一校考期末）把化为弧度.【例4】．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）150度＝（填弧度）；【例5】．（2023下·上海浦东新·高一校考期中）在单位圆中，圆心角为的弧长为．【例6】．（2023下·上海闵行·高一校考阶段练习）若扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为.【例7】．（2023上·上海松江·高一校考期末）若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为.【例8】．（2023上·上海·高一上海市建平中学校考阶段练习）已知一个扇形的圆心角大小为，弧长为，则其面积为.【例9】．（2023下·上海静安·高一统考期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为.【例10】．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角的弧度为．【例11】．（2023下·上海奉贤·高一校考期中）已知半径为的扇形的圆心角为，则扇形的面积为．【例12】．（2023上·上海·高一上海市行知中学校考阶段练习）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为．【例13】．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是．

一、填空题1．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）与角终边重合的角的集合是.2．（2023上·上海·高一上海市行知中学校考阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴正半轴重合，其终边经过，则.3．（2023上·上海·高一上海市行知中学校考阶段练习）若，则是第象限角.（填“一”、“二”、“三”或“四”）4．（2023下·上海·高一上海市七宝中学校考期中）已知2弧度的圆心角所对的弧长为4厘米，则此圆心角所夹的扇形面积为.5．（2023下·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）已知扇形的半径为10，圆心角为，则扇形的弧长为．6．（2023下·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期中）已知扇形的弧长为2cm，半径为2cm，则该扇形的圆心角7．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）已知，若与的终边相同，且，则8．（2023下·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期中）一个扇形的圆心角为弧度，扇形面积是1平方厘米，扇形半径是1厘米，则圆心角是弧度.9．（2023上·上海·高一上海市建平中学校考阶段练习）已知角的终边经过点，其中，则角的余弦值为.10．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）若，则点必在第象限．11．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）将角的终边按顺时针方向旋转得角，写出所有终边与相同的角的集合．12．（2023下·上海静安·高一校考期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则．二、单选题13．（2023下·上海静安·高一统考期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角.①小于的角一定是锐角；

②第二象限的角一定是钝角；③终边重合的角一定相等；

④相等的角终边一定重合.其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．414．（2020下·上海静安·高一统考期末）的值是（

）A． B． C． D．15．（2023上·上海·高一上海市建平中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．三、解答题17．（2021下·高一课时练习）已知角的集合为，回答下列问题：(1)集合M中有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)求集合M中的第二象限角．18．（2023下·上海浦东新·高一上海市进才中学校考开学考试）已知角的终边经过点，且，求及的值．19．（2023下·上海浦东新·高一上海市进才中学校考开学考试）已知，求角的正弦和余弦值．20．（202