2023年高三数学高考模拟试卷一附参考答案

2023年高三数学高考模拟试卷(1)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.已知集合力={x|log2%W3},B={x|(1)z>|}<则ACB=().

A.[1,8]B.(0,8]C.(0,3]D.[3,8]

2.已知i是虚数单位，z=(x+yi)2,x,yWR，则“x=y=1”是"|z|=2”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.如图，某同学到野外进行实践，测量鱼塘两侧的两棵大榕树A,B之间的距离.从B处沿直线走

A.100(73+l)mB.50(76+V2)mC.100(^3-l)mD.50(76-V2)m

4.从1,2,3,4,5,6这6个数中随机地取3个不同的数，3个数中最大值与最小值之差不小于

4的概率为().

A1D2「3n1

TO15102

5.已知平面向量五=(-1,2).b=(4,2),向量优石在单位向量下上的投影向量分别为访，n,且

n=2m,贝花可以是().

A.(1,2)B.(1,3)

6.中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平

行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，它的高为2,

441，BB「CCi，DDi均与曲池的底面ABCD垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对

应的圆心角为90。，则图中四面体的体积为().

A.旦B.1C.V2D.在

22

7.已知函数f（x）=Asin（3X+（p）®>0,\（p\<^）,/（%）<|/（^）I，f（x）+f（粤-x）=0,/（%）在

G，驾）上单调，则3的最大值为（）.

A.3B.5C.6D.7

8.下列不等式正确的是（）.（其中e=2.718为自然对数的底数，兀“3.14）

JI

A.log27<log38B.?rlng<n-3

C-logs2>|D.In/>磊

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知sina<sing,则下列命题中成立的是（）.

A.若a,0是第一象限角，贝kosa<cos0

B.若a,0是第二象限角,则cosa<cos0

C.若a,6是第三象限角，则tana<tan/?

D.若a,0是第四象限角，则tana<tan/?

10.掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现

点数1的是（）.

A.中位数是3,众数是2B.平均数是4,中位数是5

C.极差是4,平均数是2D.平均数是4,众数是5

11.如图，已知抛物线y2=4x,过抛物线焦点F的直线［自上而下，分别交抛物线与圆（久―1猿+

y2=1于4C,D,B四点，则（）.

A.\AC\•\BD\=1B.\0A\•\0B\>5

C.\AB\•\AF\>8D.4\AF\+\BF\>18

12.若定义在(—1,1)上的函数f(x)满足/(x)+f(y)=/(静)，且当x>0时，/(X)<0,则下列

结论正确的是().

A.若打，X2e(-1.1)，X2>|%1|>贝U/01)+/(%2)>0

B.若渴)=_会则啰=-2

C.若f(2-x)+g(x)=4,则g(x)的图像关于点(2,4)对称

rr

D.若a€(0,4),则/(sin2a)>2/(sina)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数/(%)=cosx—sinx的图象在点©,/弓))处的切线方程为.

14.已知函数/■(%)=(x-2)3,设(X-2)3=a。+a6++&3必，则a。+%+2a2+

3a3=-

15.已知圆C的方程为42+y2=1,若直线y=软%一3)上至少存在一点，使得以该点为圆心，1

为半径的圆与圆C相外切，则k的取值范围为.

2

16.已知Fi，七为椭圆C：卷+/=1的左、右焦点，O为坐标原点，直线1是曲线C的切线，

Hi，%分别为鼻,尸2在切线1上的射影，则△。也”2面积的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asin4=(2b-c)sin8+c(2sinC-

sinB).

(1)求A；

(2)点D在边BC上，且8O=3DC,AD=4,求△ABC面积的最大值.

18.某学校组织“一带一路''知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选

择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类

问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回

答正确得m(0<mW100,meN)分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得n(0<nS

100,neN)分，否则得0分.已知学生甲能正确回答A类问题的概率为Pi，能正确回答B类问题

的概率为P2,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若学生甲先回答A类问题，m=20,n=80,=0.8,p2=0.6,记X为学生甲的累计得

分，求X的分布列和数学期望.

(2)从下面的两组条件中选择一组作为已知条件.学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分

的数学期望最大？并证明你的结论.①m=^l,Pi>P2；②Pi=P2,m>n.

19.已知数列｛an｝的前n项和为S〃，且又=2"+1.

(1)求｛即｝的通项公式；

(2)保持中各项先后顺序不变，在必与以+1之间插入k个1,使它们和原数列的项构成一个

新的数列｛%｝,记｛%｝的前n项和为7\,求Co。的值(用数字作答).

20.如图，在三棱锥P—ABC中，AP1BP,AP1CP,Z.BCP=45°,AP=BP=CP.

A〜

(1)证明：CP1平面ABP；

(2)点E,F分别位于线段AB,PC上(不含端点)，连接EF,若第=霄=上直线EF与平面

4BC所成的角为30。，求k的值.

21.已知双曲线C：与一与=l(a>0,b>0)的离心率为卓，且经过点M(2,0).

ab2

(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

(2)已知过点GQi，yj的直线小工6+4丫1丫=4与过点”(工2,丫2)(%2。修)的直线，2：x2x+

4y2y=4的交点N在双曲线C上，直线GH与双曲线C的两条渐近线分别交于P,Q两点，证明

4|ON|2—|OP|2—|OQ|2为定值，并求出定值.

2

22.已知函数/(%)=34，g(x)=asinx-x+1.

(1)求f(%)的单调性;

(2)若函数九(%)=/(%)-。(乃在(0,兀)上有唯一零点，求实数a的取值范围.

参考答案

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】B,D

10.【答案】B,C,D

【答案】A,B

12.【答案】B,C

13.【答案】x+y+1—^=0

14.【答案】-5

【答案】［一等，等］

15.

16.【答案琦

17.【答案】(1)解:V2asin/4=(2b—c)sinF4-c(2sinC-sinB),

/.2a2=(2b—c)b+(2c—b)c,

22

即Q2=b+c-be，

庐+。2—Q21

,•cos/1==,

2bc2

•・•A€(0,7T)

(2)解：根据题意可得而=话+丽=而+*玩=/话+,而,

所以平方可得16=-TTC2+^zb2+^feccos?.

Ioloo3

又256=c2+9b2+3bc>9bc,所以be<等，

当且仅当｝=窣，。=摩时，等号成立，

93

所以S=/bcsin狂品等x：=等，

即^ABC面积的最大值为第.

18.【答案】(1)解：由题意得X的可能取值为0,20,100.

P(X=0)=0.2,

P(X=20)=0.8X0.4=0.32,

P(X=100)=0.8X0.6=0.48,

分布列如下表：

X020100

P0.20.320.48

E(X)=0X0.2+20x0.32+100X0.4854.4

(2)解：如果选择条件①.

若甲同学选择先回答A类问题，得到对应的分布列为

X10m2m

P1-PlPl(l-P2)P』2

E(XD=0x(1-pi)+mp^l-pz)+2mpip?=巾「1(1+P2)-

若甲同学选择先回答B类问题，得到对应的分布列为

X20n2n

p1一P2p2(l-Pl)P1P2

E(X2)=Ox(l-p2)+np2(l-pj+2np1p2=np2(l+pj.

所以E(Xi)-E(X2)=mpi(l+P2)一般P2(l+Pi)=m(Pi-P2)>°，

所以甲同学先回答A类问题的期望大.

如果选择条件②.

若甲同学选择先回答A类问题，得到对应的分布列为

X30mm+n

p1一PlPl(l-「2)P1P2

E(X3)=0x(1-Pi)+znpi(l-p2)+(m+n)PiP2=Pi(m+np2).

若甲同学选择先回答B类问题，得到对应的分布列为

X40nm+n

p1一P2P2(l-Pl)P72

E(X。=0x(1-p2)+np2(l-Pi)+(m+n)prp2=p2(n4-mpQ.

所以4X3)-F(X4)=(m-n)pi>0,

所以甲同学先回答A类问题的期望大.

19.【答案】⑴解:由数列的前n项和为%,且Sn=2"+1,

当n22时，Sn_i=2=T+1.

所以an=Sn-Sn_i=2"-2"-1=2“T,n>2,

当71=1时，%=Si=21+1=3，不符合上式，

所以数列｛斯｝的通项公式为即=|=1

(2)解：保持数列｛4｝中各项先后顺序不变，在以与四+1(卜=1，2,…)之间插入k个1,

则新数列｛%｝的前100项为3,1,21,1,1，22,1.h1，23,1，h1,1,23…，2~1,

1,1,I,1,1,1,1,1,1,

则Tioo=[3+(21+22+…+212)]+[(1+2+3+-+12)+9]

=90+213-2=88+213=8192+88=8280.

20.【答案】(1)证明：因为BP=PC,/.BCP=45°,

所以^BPC为等腰直角三角形，BP1PC,

又因为/P_LPC,APQBP=P,AP,BPu平面4BP,

所以PC1平面4BP.

(2)解：如图，以P为坐标原点，分别以可，PC,而，为%轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不

妨假设ZP=BP=CP=1,

所以得到P(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),B(0,0,1),AB=(-1,0,1),AB=

(-1,1,0),

设E(&,y0,zO),AE=(^XQ-1,y0，zO),EB=(-%o>几，z。—1),由荏=k前，解得％o=

击，yo=O,Zo=益,则E(右，0,提)，

由而=k而同理可得F(0,鲁■，0)，则丽=(一白，磊,一鲁).

设平面ABC的法向量为记=(x,y,z).

n-=0(―x+z=0

n-AC=o't-x+y=0取久=1,即运=(1,1,1).

又因为EF与平面ABC所成的角为30。,

一1

\cos(EF,n)|=|--平---|=sin30°=

所以「i+k2+k2

珞2

J(k+D

故k增

o

21.【答案】(1)解：因为双曲线C：翁一苴=1(Q>0,b>0)经过点M(2,0),所以a=2.

又因为e=—=*，所以c=岳,b2=c2—a2=6=1,

a2

所以双曲线C的标准方程为［一必=1(渐近线方程为y=±|x.

(2)解：设点NO。，")，贝ij竽一羽=1，即说-4%=4.

因为N(x(py。)为直线匕：+4y1y=4和直线%：到％+4y2y=4的交点，

所以1K：：；；；：二:所以点G,H都在直线%x+4y0y=4上，

所以GH所在的直线方程为WX+4yoy=4,

4

(xox+4yoy=4(xP

将直线GH与渐近线方程联立得1,解得《和+2%

2，

I，=尹(yP

和+2%

424—2

即P（次方许），同理得Q（B,中），

所以4|0/7|2一|。「|2一|。<2|2=4诏+4韬一7（%+12.沏）2一（［%+2片为）一（，和一12；%）。0-2、0）

、_____16__________4___________16___________4

22

因为（%o+2yo）（和+2丫0）2（x0-2y0）。0-2、0）2

11

二-20［------------2+--------------?）

（%o+2y0）（XO-2y0）

22

（x0-2y0）+（x0+2y0）

=-20-----------------------------

［（x0+2y0）（x0-2y0）］

40（就+4光）

=----------------2~

（魅-4%）

5（魅+4%）.

一2

所以4|ON|2—\OP\2—\OQ\2=4%o+4诏—'而；、，。）=|（%o-4弁）=6，

所以引ON/-|OP|2一|OQ『为定值6.

22.【答案】（1）解：f（%）=（,*，2-，f（x）=0>则x=—2，

（1+x）'2

又因为函数/（久）的定义域为（一8,-1）U（-1,+00）,

所以/（久）的单调增区间为（_；,+00）,

单调减区间为（—8,—1）,（―1,—

（2）解：先证明两个结论：久>