2024届苏南京一中学九年级上册数学期末质量检测模拟试题含解析

2024届苏南京一中学九上数学期末质量检测模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.己知点4（一3,乂）,8（—2,%）,。（3,%）都在反比例函数〉=3的图象上，则（）

A.y∣<%<%B.%<%<MC.为<Ji<%D-%<X<%

2.如图，点AI的坐标为（1,0）A在y轴的正半轴上,且NAιA2θ=3（T,过点A2作A2AUA1A2,垂足为A2,交X轴于点

A3,过点A3作A3A4∙LA2A3,垂足为A3,交y轴于点A4；过点A4作人4人5_1_人3人4,垂足为A*交X轴于点As；过点As作

ASA6J∙A4A5,垂足为A5,交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点Azm的横坐标为（）

3.如图，A、B是曲线y=之上的点，经过A、B两点向X轴、y轴作垂线段，若S网影=1则S1+S2=（）

X

A.4D.8

4.如图，在AABC中，点。是Be的中点，点E是AC的中点，若0E=3,则AB等于（）

BD

A.4B.5C.5.5D.6

5.圆锥的母线长为4,底面半径为2,则它的侧面积为（）

A.4πB.6πC.8πD.16π

6.如图，在RtAABC中，NAC5=90。，BC=I,AB=2,则下列结论正确的是（）

B

/

AC

A.sinA=B.tanA=ɪC.CoSB=忠-D.tanB=ʌ/ɜ

222'

7.如图，抛物线y=αx2+bx+c(α≠0)与X轴交于点A(1,0)和3,与y轴的正半轴交于点C,下列结论：①αbc>O;

(2)4«-2⅛+c>0;③2α-Z>>0,其中正确的个数为()

A.0个B.1个C.2个D.3个

8.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则tanA的值为()

9.如图，已知A,B是反比例函数y=-(k>0,x>0)图象上的两点，BC〃x轴，交y轴于点C,动点P从坐标原

X

点O出发，沿OTATBTC(图中所示路线)匀速运动，终点为C,过P作PM_LX轴，垂足为M.设三角形

OMP的面积为S,P点运动时间为t,则S关于X的函数图象大致为()

X

SSSS

∖∙p→,∖jCQD∙p

k

10.若反比例函数y=［仅NO)的图象过点(-2,1),则这个函数的图象一定过点()

A.(2,-1)B.(2,1)C.(-2,-1)D.(1,2)

11.二次函数y=0√+笈+C(QkO)的部分图象如图所示，图象过点(-3,0),对称轴为x=—1.下列说法：①或c<0；

②2a-b=U;③4α+2Hc<0;④若(-5,χ),(2,%)是抛物线上两点，则耳〉必，错误的是()

A.①B.②C.③D.④

12.如图，。。的半径为6,点A、B、C在。。上，且NBeA=45。，则点。到弦A8的距离为()

A.3B.6C.3√2D.6√2

二、填空题(每题4分，共24分)

13.已知点A(m,l)与点B(3,n)关于原点对称，则m+n=»

14.已知二次函数y="χ2+842χ+α(〃是常数，α≠0),当自变量X分别取-6、-4时，对应的函数值分别为刈、%,

那么力、)2的大小关系是：JI-J-2(填“>”、或“=").

X2x+y

15.如果一二彳，那么---=___________.

>3y

16.如图，圆锥的母线长为5,底面圆直径CD与高AB相等，则圆锥的侧面积为.

17.函数y=」一的自变量的取值范围是

X-I-------

18.在一个不透明的布袋里装有若干个只有颜色不同的红球和白球,其中有3个红球,且从布袋中随机摸出1个球是红球

的概率是三分之一，则白球的个数是

三、解答题(共78分)

19.(8分)如图，已知AABC,以AC为直径的。O交AB于点D,点E为弧AD的中点，连接CE交AB于点F,且

BF=BC,

(1)求证：Be是。。的切线；

(2)若。。的半径为2,—求CE的长.

AB5

20.(8分)如图，已知抛物线》=依2+次+，的图象经过点人(3,3)、8(4,0)和原点。，尸为直线Q4上方抛物线上

的一个动点.

（1）求直线04及抛物线的解析式；

（2）过点P作X轴的垂线，垂足为。，并与直线OA交于点C,当ACO为等腰三角形时，求。的坐标；

（3）设尸关于对称轴的点为Q,抛物线的顶点为M,探索是否存在一点P,使得PQM的面积为：，如果存在，

O

求出P的坐标；如果不存在，请说明理由.

21.（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量

是300本.已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了

X元.请解答以下问题：

（1）填空：每天可售出书本（用含X的代数式表示）；

（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？

22.（10分）如图，AB是。。的直径，过。。外一点尸作。O的两条切线尸C,PD,切点分别为C,D,连接OP,CD.

(1)求证：OPLCD；

(2)连接A。，BC,若NZMB=50。，ZCBA=70o,0A=2,求OP的长.

23∙（10分）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有L2,3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明

的口袋中.

（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；

（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸

出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由.

24.（10分）如图，在aABC中，AB=AC,点。为BC的中点，经过AO两点的圆分别与AB,AC交于点E、尸，连

接DE,DF.

（1）求证：DE=DFi

（2）求证：以线段3E+CF,BD,OC为边围成的三角形与AABC相似，

25.（12分）已知在AABC中，NA=NB=30。.

（D尺规作图：在线段AB上找一点O,以O为圆心作圆，使。O经过A,C两点;

（2）在（1）中所作的图中，求证：BC是。。的切线.

26.某市某幼儿园“六一”期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏.主持人准备把家长和孩

子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c.

（1）若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率是多少（直接写出答案）？

（2）若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参加游戏，恰好是两对家庭成

员的概率是多少.（画出树状图或列表）

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

4

【解析】试题解析：；点A(byι)、B(1,y】)、C(-3,y3)都在反比例函数y=—的图象上，

X

,44

∙∙yι=-y;yι=-1i;丫3=§，

44

V->-->-1,

33

.*.y3>yι>yι∙

故选D.

2、A

【分析】由题意根据坐标的变化找出变化规律并依此规律结合2017=504X4+1即可得出点A2017的坐标进而得出横坐标.

O

【详解】VZAIA2O=30,点Al的坐标为(1,0),

.∙.点A2的坐标为(0,6).

VAzAaXAiAit

，点A3的坐标为(-3,0).

同理可得：A4(0,-3√3)，A5(9,0),A6(0,9√3),

4n+l4n+2

.∙.A4n÷ι((6产，0),A4n÷2(0,(√3)),A4n+3(-(√3),0),A4n+4(0,-(6产4)(n为自然数).

V2017=504X4+1,

ΛA2OI7((石产6,J)),即(31008,0),点A2017的横坐标为3⑼,

故选：A.

【点睛】

本题考查规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形，根据点的变化找出变化规律是解题的关键.

3、D

【分析】B是曲线y=°上的点，经过A、B两点向X轴、y轴作垂线段围成的矩形面积都是5,从而求出Sl和Sz的

X

值即可

【详解】TA、B是曲线y=之上的点，经过A、B两点向X轴、y轴作垂线段围成的矩形面积都是5,

X

,'.'S阴影=1,ΛSI=S2=4,即S1+S2=8,

故选D

【点睛】

本题主要考查反比例函数上的点向坐标轴作垂线围成的矩形面积问题，难度不大

4、D

【分析】由两个中点连线得到DE是中位线，根据DE的长度即可得到AB的长度.

【详解】：点D是BC的中点，点E是AC的中点，

，DE是aABC的中位线，

ΛAB=2DE=6,

故选：D.

【点睛】

此题考查三角形的中位线定理，三角形两边中点的连线是三角形的中位线，平行于三角形的第三边，且等于第三边的

一半.

5、C

【分析】求出圆锥的底面圆周长，利用公式S=!LA即可求出圆锥的侧面积.

2

【详解】解：圆锥的地面圆周长为2nX2=4”,

则圆锥的侧面积为L×4π×4=8π.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，能将圆锥侧面展开是解题的关键，并熟悉相应的计算公式.

6、D

【分析】根据三角函数的定义求解.

【详解】解：Y在RtAABC中，NACB=90。，BC=I,AB=I.

,AC=√AB2-BC2=√22-I2=√3，

BC1BC1√3BC1AC/T

.∙.sinA=-----=—,tanA=-----==----,cosB=------=--ftanB=-----=√3.

AB2AC√33AB2BC

故选：D.

【点睛】

本题考查了解直角三角形，解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义.

7、C

【分析】由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断C与1的关系，进而判断①；根据x=-2

时，y>l可判断②；根据对称轴x=-l求出2a与b的关系，进而判断③.

【详解】①由抛物线开口向下知aVl,

V对称轴位于y轴的左侧，

.*.a>b同号，BPab>l.

•••抛物线与y轴交于正半轴,

.,.abc>l;

故①正确;

②如图，当X=-2时，y>l,贝!∣4a-2b+c>l,

故②正确;

b

③：对称轴为X=——>-1,

Λ2a<b,即2a-bVl,

故③错误；

故选：C.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系.

8、D

【分析】由三角函数定义即可得出答案.

【详解】如图所示：

5y

5

F

由图可得：AD=3,CD=4,

••4CD4

..tanA=-----=—.

AD3

故选：D.

【点睛】

本题考查了解直角三角形.构造直角三角形是解答本题的关键.

9、A

【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成OTA、ATB、BTC三段位置来进行分析三角形OMP面积的计

算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案.

【详解】设NAOM=α,点P运动的速度为a,

〜_.（at∙cosa）∙（at∙sin«）1,.

当点P从点O1≡动到点A的过程中，S=-----------------------------=—a2∙cosα∙sinα∙t2,

22

由于a及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；

当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知AoPM的面积为'k,保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线

2

段；

当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，AoPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；

故选A.

点睛：本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在OTA、A→B.B→C三段位

置时三角形OMP的面积计算方式.

10、A

k2

【解析】先把（-2,1）代入尸一求出k得到反比例函数解析式为y=--,然后根据反比例函数图象上点的坐标特征,

XX

通过计算各点的横纵坐标的积进行判断.

【详解】把（-2,1）代入y=K得k=-2Xl=-2,

X

2

所以反比例函数解析式为y=--,

X

因为2X（-1）=-2,2×1=2,-2X（-1）=2,1X2=2,

2

所以点（2,-1）在反比例函数y=—-的图象上.

X

故选A.

【点睛】

k

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y二一（k为常数，k#0）的图象是双曲线，图象上的点（x,

X

y）的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

IKC

【分析】根据抛物线的对称轴和交点问题可以分析出系数的正负.

【详解】由函数图象可得：a>O,c<O,x=-2=-1

2a

所以b>0,2a-b=0,

所以abc<O,

抛物线与X轴的另一个交点是（L0）,当x=2时，y>0,

所以4α+20+c>0,故③错误，

因为（-5,y∣）,（2,必）是抛物线上两点,且（一5,凹）离对称轴更远,

所以y>y2

故选：c

【点睛】

考核知识点：二次函数图象.理解二次函数系数和图象关系是关键.

12、C

【分析】连接。4、OB,作Oz)JLAB于点O,则AQAB是等腰直角三角形，得到Oz)=JAB,即可得出结论.

【详解】连接。4、OB,作OQ_LAB于点ZX

2

,.•△048中，O8=OA=6,NAO3=2NAC8=90°,：.AB=y/()^+Qβɪ6√2.

又；ODLAB于点D,.∙.O0=JA5=3√I.

本题考查了圆周角定理，得到aQAB是等腰直角三角形是解答本题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、-1

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可直接得到m=-3,n=-l进而得到答案.

【详解】解：V点A(m,1)与点B(3,n)关于原点对称，

Λm=-3,n=-l,

：•m+n=-l,

故答案为：-1.

【点睛】

此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律.

14、>

【分析】先求出抛物线的对称轴为X=T,由/>0,则当χ<T,y随X的增大而减小，即可判断两个函数值的大

小.

【详解】解：•••二次函数y=02f+8∕χ+α储是常数，α≠o),

Q-

.∙.抛物线的对称轴为：％=-an=-4,

2a2

'：a2>0,

.∙.当x<-4,y随X的增大而减小，

∙.∙-6<γ,

：.X>必；

故答案为：>.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题.

15、2

3

【解析】VX-=;2,根据和比性质，得一x+-y=3ξ+-2=5

y3y33

故答案为2.

3

16、5λ∕5π

【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长进行

计算.

【详解】解：设CB=x,则AB=2x,

根据勾股定理得：X2+(2x)2=52,

解得：X=ʌ/ʒ，

.∙.底面圆的半径为石，

.∙.圆锥的侧面积=y×√5×2π×5=5√5π.

故答案为：5√5π.

【点睛】

本题考查圆锥的面积，熟练掌握圆锥的面积公式及计算法则是解题关键.

17、x≠l

【解析】该题考查分式方程的有关概念

根据分式的分母不为O可得

χ-l≠O,gpX≠l

那么函数y=的自变量的取值范围是χ≠l

X-I

18、6

纤球1

【分析】设白球的个数是X个，根据W=W列出算式，求出X的值即可.

总球3

【详解】解：设白球的个数是X个，根据题意得：

X1

--------二一

3+x3

解得：x=6.

故答案为6.

【点睛】

本题考查了概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

三、解答题(共78分)

19、(1)证明见详解；(2)延.

5

【分析】(1)连接AE,求出NEAD+NAFE=90。，推出NBCE=NBFC,ZEAD=ZACE,求出NBCE+NACE=9(Γ,

根据切线的判定推出即可.

BC3

(2)根据AC=4,—=-,求出BC=3,AB=5,BF=3,AF=2,根据NEAD=NACE,ZE=ZE≡∆AEF^∆CEA,

AB5

推出EC=2EA,设EA=x,EC=2x,由勾股定理得出f+4f=馆，求出即可.

【详解】

(1)答：BC与OO相切.

证明：连接AE,

TAC是。O的直径

：.ZE=90o,

ΛZEAD+ZAFE=90o,

,NBCE=NBFC=NAFE,

∙.∙E为弧AD中点，

.∙.ZEAD=ZACE,

.∙.ZBCE+ZACE=ZEAD+ZAFE=90o,

ΛAC±BC,

VAC为直径，

.∙.BC是。O的切线.

(2)解：YOO的半为2,

ΛAC=4,

..BC_3

'^AB~^5

ΛBC=3,AB=5,

ΛBF=3,AF=5-3=2,

VZEAD=ZACE,ZE=ZE,

Λ∆AEF^ΔCEA,

.EAAF_2_\

"fC^AC^4^2

.*.EC=2EA,

设EA=x,则有EC=2x,

由勾股定理得：x2+4x2=16.

.∙.χ=述(负数舍去)，

5

即CE=2x=犯T

5

【点睛】

本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力.

20、(1)直线04的解析式为V=%,二次函数的解析式是y=-V+4x；⑵Q(3-"0)；(3)存在，*T)或g，9

【分析】(1)先将点A代入求出OA表达式，再设出二次函数的交点式，将点A代入，求出二次函数表达式；

(2)根据题意得出当△「口＞为等腰三角形时，只有OC=PC设点D的横坐标为X,表示出点P坐标，从而得出PC

的长，再根据OC和OD的关系，列出方程解得；

(3)设点P的坐标为尸S,-r+4”)，根据条件的触点Q坐标为Q4-〃,-"+4”)，再表示出PQ用的高，从而表示

出PQM的面积，令其等于J,解得即可求出点P坐标.

【详解】解：(1)设直线的解析式为X=履，

把点A坐标(3,3)代入得：k=l,

直线Q4的解析式为V=x；

再设必=以(X-4),

把点A坐标(3,3)代入得：a=-∖,

函数的解析式为y=-f+4x,

：.直线OA的解析式为V=%,二次函数的解析式是y=-X2+Ax.

(2)设。的横坐标为加，则P的坐标为(，％->+4加)，

VP为直线OA上方抛物线上的一个动点，

.φ.0<m<3.

此时仅有OC=PC,OC=近OD=Mn，

∙*∙Tn2+3m=>j2m>解得〃？=3—J5，

ΛD(3-√2,0)；

(3)函数的解析式为y=ι√+4x,

.,•对称轴为》=2,顶点M(2,4),

¾P(n,-n2+4n),

则Q(4-n,-n2+4«),M到直线PQ的距离为4-(-n2+4n)=(n-2)2,

要使一PQM的面积为J,

O

则:∙PQ∙("2)2=L即：|4—2〃心—2尸二，

2O2o

35

解得：〃=大或〃=彳，

22

••・吟争或e%

【点睛】

本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象及性质的运用，点坐标的关系，综合性较强，解题的关键是利用条件

表示出点坐标，得出方程解之.

21、(1)(300-10x).(2)每本书应涨价5元.

【解析】试题分析：(1)每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了X元，则每天就会少售出IOX本,

所以每天可售出书(300-IOx)本；(2)根据每本图书的利润X每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可

求解.

试题解析：

(1)∙.∙每本书上涨了X元，

，每天可售出书(300-IOx)本.

故答案为300-IOx.

(2)设每本书上涨了X元(x≤10),

根据题意得：(40-30+x)(300-IOx)=3750,

整理，得:X2-20x+75=0,

解得：xι=5,X2=15(不合题意，舍去).

答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元.

22、(1)详见解析；(2)迪.

3

【分析】(1)方法1、先判断出RtZXODPgRtZ∖OCP,得出NDoP=NCOP,即可得出结论；

方法2、判断出OP是CD的垂直平分线，即可得出结论；

(2)先求出NCOD=60。，得出aOCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论.

【详解】解：(1)方法1、连接OGOD,

J.OC=OD,

,：PD,PC是。。的切线，

•：ZODP=ZOCP=90°,

[OD=OC

在RtZ∖OO尸和RtZkOC产中，＜,

OP=OP

：.RtZkOO尸@RtZkOCP(HL),

.∙.NDOP=NCOP,

,:OD=OC,

：.OPLCDi

方法2、：尸。，尸C是。。的切线，

：.PD=PC,

•：OD=OC,

：.P,。在CZ)的中垂线上,

.,.OP±CD

(2)如图，连接0。，0C,

：.OA=OD=OC=0B=2,

：.ZADO=NZMO=50。，ZBCO=ZCBO=IQo,

：.ΛAOD=S0o,ZBOC=40o,

.∙.ZCOD=60o,

"：OD=OC,

...△CO。是等边三角形，

由(1)知，NooP=NeoP=30。，

ɪ.,OD4√3

在RtZλkOO尸中，OP=---------=HLi

cos3003

【点睛】

本题考查圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定(HL)和性质和锐角三角函数，解题的关键是掌握圆周角定理、

切线的性质、全等三角形的判定(HL)和性质和锐角三角函数.

23、(1)-(2)这个游戏不公平，理由见解析.

3i

【分析】(1)由把三个分别标有L2,3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式

求解即可求得答案；

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大

小，即可知这个游戏是否公平.

【详解】解：(1)由于三个分别标有L2,3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，

故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：

(2)这个游戏不公平.

画树状图得：

开始

123

Z∖∕T∖∕1∖