气体分子运动论

关于气体分子运动论12宏观法与微观法相辅相成。热学（Heat）

热学是研究与热现象有关的规律的科学。

热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。

大量分子的无规则运动称为热运动。1.热学的研究方法：宏观法最基本的实验规律

逻辑推理(运用数学)

称为热力学。优点：可靠、普遍。缺点：未揭示微观本质微观法物质的微观结构

+

统计方法

称为统计其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论)优点：揭示了热现象的微观本质。缺点：可靠性、普遍性差。第2页,共46页，2024年2月25日，星期天32.两种研究方法涉及的物理量：宏观量

从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。如M、V、E

等

可以累加，称为广延量。

P、T

等

不可累加，称为强度量。微观量描述系统内微观粒子的物理量。如分子的质量m、直径

d、速度v、动量

p、能量

等。宏观量与微观量有一定的内在联系例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果，它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。第3页,共46页，2024年2月25日，星期天43分子热运动和统计规律分子热运动：大量分子做永不停息的无规则运动.基本特征：(1)无序性某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正是热运动与机械运动的本质区别。(2)统计性

但从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规律，即统计性。分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本质的区别，故不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。必须兼顾两种特征，应用统计力学方法。第4页,共46页，2024年2月25日，星期天5定义:某一事件i

发生的概率为

wi

Ni

事件

i发生的次数N

各种事件发生的总次数

统计规律有以下几个特点:(1)只对大量偶然的事件才有意义.(2)它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).表演实验：伽耳顿板例.扔硬币什么是统计规律性

大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。第5页,共46页，2024年2月25日，星期天6在描写大量分子状态时往往使用统计平均值。

我们描述的是大量分子的运动。一摩尔气体就有6.0221023个分子。一个个地说明其速度、位置等既无必要又无可能，因而实际上常用它们的平均值。怎样求平均值呢？以求分子速率的平均值为例：设有一个系统有N个分子且：具有速率

v1分子数为

n1,出现

v1值的概率为

n1/N；具有速率

v2分子数为

n2,出现

v2值的概率为

n2/N；具有速率

vi分子数为

ni,出现

vi

值的概率为

ni/N；具有速率

vm分子数为

nm,出现

vm

值的概率为

nm/N。故平均值:第6页,共46页，2024年2月25日，星期天7如果速率看作连续分布,设取v

值的概率为dw，则：事实上对任一随机量

x的平均值可表示为dw为出现

x值的几率这种利用几率的办法求得的平均值称为统计平均值.第7页,共46页，2024年2月25日，星期天8微观模型与统计方法理想气体分子的微观假设§2理想气体压强和温度的统计意义1.理想气体微观模型(1)气体分子当作质点，不占体积，体现气态的特性。(2)气体分子的运动遵从牛顿力学的规律；(3)分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力，碰撞为弹性碰撞；一般情况下，忽略重力。气体分子之间的距离引力可认为是零,看做理想气体。范德瓦耳斯力无相互作用的弹性质点！第8页,共46页，2024年2月25日，星期天92.

对大量分子组成的气体系统的统计假设：分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着；(2)分子沿任一方向的运动不比其它方向的运动占有优势,即分子速度在各方向上的分量的各种平均值相等．鉴于气体在平衡状态中，分子的空间分布到处均匀的事实，作如下假设：(1)容器中任一位置处单位体积内的分子数不比其它位置占有优势．第9页,共46页，2024年2月25日，星期天10

设在体积为V的容器中储有N个质量为m的分子组成的理想气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子在容器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为n=N/V.dI为大量分子在dt时间内施加在器壁dA面上的平均冲量。3.压强公式的简单推导从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量。有

为讨论方便，将分子按速度分组，第i组分子的速度为vi（严格说在vi

附近）分子数为Ni,分子数密度为ni=Ni/V,并有n

=

n1+n2+……+ni+….=

ni第10页,共46页，2024年2月25日，星期天11xdAvixdt平衡态下，器壁各处压强相等，取直角坐标系，在垂直于x轴的器壁上任取一小面积dA,计算其所受的压强（如右图）单个分子在对dA的一次碰撞中施于dA的冲量为2mvix.dt

时间内，碰到dA面的第i组分子施于dA的冲量为

2mnivix2dtdA关键在于：在全部速度为vi的分子中，在dt时间内，能与dA相碰的只是那些位于以dA为底，以vixdt

为高，以

vi为轴线的圆柱体内的分子。分子数为

nivixdtdA

。第11页,共46页，2024年2月25日，星期天12dt时间内，与dA相碰撞的所有分子施与dA的冲量为注意：vix<0的分子不与dA碰撞。容器中气体无整体运动，平均来讲

vix>0

的分子数等于

vix<0

的分子数。xdAvixdt第12页,共46页，2024年2月25日，星期天13平衡态下，分子速度按方向的分布是均匀的，有所以或者显示宏观量与微观量的关系。是力学原理与统计方法相结合得出的统计规律。压强的微观意义：压强是大量分子碰撞器壁的平均作用力(单位面积上)的统计平均值。

分子的平均平动动能第13页,共46页，2024年2月25日，星期天14温度的微观意义比较P=nkT

和，有理想气体状态方程的分子形式由：PV=RT

若分子总数N，则有

PV=NRT/NA

定义玻尔兹曼常数:k=R/NA=1.38

10-23J

K-1

则PV=NkT

或

P=nkT4理想气体的温度公式:分子的平均平动动能是分子无规则运动激烈程度的定量表示.温度T标志着物体内部分子无规则运动的激烈程度.第14页,共46页，2024年2月25日，星期天15方均根速率在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。5.方均根速率

(气体分子速率平方的平均值的平方根)平均平动动能只与温度有关

温度是统计概念，只能用于大量分子，温度标志物体内部分子无规则运动的剧烈程度。第15页,共46页，2024年2月25日，星期天161.一定质量的气体,当温度不变时,压强随体积减小而增大;当体积不变时,压强随温度升高而增大，从宏观上说,这两种变化都使压强增大;从微观上说,它们是否有区别?2.两种不同种类的理想气体,压强相同,温度相同,体积不同,试问单位体积内的分子数是否相同?3.两瓶不同种类的气体,分子平均平动动能相同,但气体的分子数密度不同,试问他们的压强是否相同?4.两瓶不同种类的气体,体积不同,但温度和压强相同,问气体分子的平均平动动能是否相同?单位体积中的分子的总平均平动动能是否相同?问题：（答案：前者是由于分子碰撞次数增加导致,后者是由于运动加剧导致）（答案:相同）（答案:不同）

（答案:相同,相同）随堂小议第16页,共46页，2024年2月25日，星期天17

前面我们研究气体动能时把分子看作无相互作用弹性质点的集合，我们发现当用这一模型去研究单原子气体的比热时，理论与实际吻合得很好。但当我们用这一模型去研究多原子分子时，理论值与实验值相差甚远。

1857年克劳修斯提出：要修改模型。而不能将所有分子都看成质点，对结构复杂的分子，我们不但要考察其平动，而且还要考虑分子的转动、振动等。理想气体模型必须修改第17页,共46页，2024年2月25日，星期天18

将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。这样，气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振动。作为统计理论初步，可不考虑分子内部的振动，而认为分子是刚性的。为用统计方法计算分子动能，首先介绍自由度的概念§3能量按自由度均分原理理想气体内能

1.自由度自由度：在力学中，自由度是指决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数.

t:

平动自由度,r:

转动自由度第18页,共46页，2024年2月25日，星期天19刚性双原子分子t=3r=2（两个被看作质点的原子被一条几何线连接）刚性多原子分子t=3r=3质心：3x，y，zc方位：2

，

转动：1

单原子分子(自由运动质点)t=3第19页,共46页，2024年2月25日，星期天202.能量按自由度均分定理平方项的平均值平动自由度一个分子的平均平动动能为：可得平衡态下分子的每一个平动自由度的平均动能都等于推广到转动等其它运动形式，得能量均分定理。第20页,共46页，2024年2月25日，星期天21在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于。是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。是气体分子无规则碰撞的结果。经典统计物理可给出严格证明。非刚性双原子分子除平动能、转动能，还有振动能：每个振动自由度s

分配平均能量1个振动自由度还有第21页,共46页，2024年2月25日，星期天22此结论在与室温相差不大的温度范围内与实验近似相符。i表示一个分子的总自由度N

表示气体分子的总数

表示气体总摩尔数分子的平均动能3.理想气体的内能内能：热力学系统的全部微观粒子具有的总能量，

包括分子热运动的动能、分子间的势能、原子内及核内的能量。这里特指前两种，用E

表示。

对于刚性分子，不计分子间势能，内能仅包括所有分子的平均动能之和。理想气体的内能只是温度的函数而且与热力学温度成正比理想气体的内能第22页,共46页，2024年2月25日，星期天23例1：在标准状态下，若氧气和氦气的体积比为1/2，求其内能之比。解：氧气i1=5和氦气i2=3随堂小议例2：设氦气和氮气的质量相等，方均根速率相等。则氦气和氮气的内能之比为多少？解：氦气i1=3和氮气i2=5第23页,共46页，2024年2月25日，星期天24§4麦克斯韦速率分布律

分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性。

对具有统计性的系统来讲，总存在着确定的分布函数，因此，写出分布函数是研究一个系统的关键之处，具有普遍的意义。N个分子组成的理想气体到达平衡态时，分子的速度分布是什么？这是一个非常有实际意义的问题，也是统计物理研究的主要问题之一。第24页,共46页，2024年2月25日，星期天25速率分布函数dNv

表示速率分布在某区间v

~v

+

dv内的分子数，dNv

/N表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率（百分比）。

dNv/N还应与区间大小成正比。因此有

或归一化条件物理意义：速率在

v

附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。一定量的气体分子总数为N

dNv/N

是v

的函数，在不同速率附近取相等的区间，此比率一般不相等。第25页,共46页，2024年2月25日，星期天26兰媚尔实验原理：速率筛每旋转一周，分子通过筛，到达屏上，但不是所有速率的分子都能通过分子速率筛的。只有满足关系：即只有速率为：的分子才能通过。改变

，

等可让不同速率的分子通过,（装置置于真空之中）1.分子速率的实验测定通过光度法测量沉积层的厚度,可得不同速率的分子数占总分子的百分比。第26页,共46页，2024年2月25日，星期天27下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比。

v

(m/s)

N/N%90以下6.290

14010.32140

19018.93190

24022.70240

29018.30290

34012.80340

3906.2390以上4.0粒子速率分布实验曲线如下所示Ov相对粒子数光度法测量沉积层的厚度vv+dv第27页,共46页，2024年2月25日，星期天282.麦克斯韦速率分布律麦克斯韦的主要科学贡献在电磁学方面，同时在天体物理学、气体分子运动论、热力学、统计物理学等方面，都作出了卓越的成绩。（1858年从理论上推导）vv+dv第28页,共46页，2024年2月25日，星期天29麦克斯韦速率分布函数在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v

~

v

+

dv

的分子数占总分子数的比率为麦克斯韦速率分布律（一定条件下，速率分布函数的具体形式）第29页,共46页，2024年2月25日，星期天30曲线下面宽度为dv

的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N

。麦克斯韦速率分布曲线vpvv+dvf(v)vf(vp)最概然速率－与

f(v)

极大值对应的速率。物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在vP

所在区间的分子数比率最大。归一化条件当v=vp时第30页,共46页，2024年2月25日，星期天31温度越高，速率大的分子数越多vp

随

T

升高而增大，随m增大而减小。可讨论T和m对速率分布的影响。同一气体不同温度下速率分布比较第31页,共46页，2024年2月25日，星期天32三者和T、m(或

)的关系相同;三种速率使用于不同的场合。一般与速率有关物理量g(v)的平均值，可由下式决定第32页,共46页，2024年2月25日，星期天33试用气体的分子热运动说明为什么大气中氢的含量极少？随堂小议

在空气中有O2，N2，Ar，H2，C02等分子，其中以H2的摩尔质量最小。从上式可知，在同一温度下H2的的平均速率较大，而在大气中分子速度大于第二宇宙速度11.2公里/秒时，分子就有可能摆脱地球的引力作用离开大气层。

H2摩尔质量最小，其速度达到11.2公里/秒的分子数就比O2、Ar、C02达到这一速度的分子数多。H2逃逸地球引力作用的几率最大，离开大气层的氢气最多．所以H2在大气中的含量最少。第33页,共46页，2024年2月25日，星期天34＊速度空间的概念表示分子的速度以其分量vx、vy、vz为轴可构成一直角坐标系，由此坐标系所确定的空间为速度空间。0v速率空间体积元速度空间体积元麦克斯韦速度分布律vzvyvx第34页,共46页，2024年2月25日，星期天35在平衡态下，当气体分子之间的相互作用可忽略时，速度分量vx在区间vx~vx+dvx，vy

在区间vy~vy+dvy，vz在区间vz~vz+dvz内的分子数占总分子数的比率为麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速度分布律第35页,共46页，2024年2月25日，星期天36§5

玻尔兹曼分布律麦氏速度分布律为其指数仅包含分子运动动能设气体分子处于某一保守力场中，分子势能为

p

，分子受力场的影响，按空间位置的分布却是不均匀的，依赖于分子所在力场的性质。用x,y,z和vx,vy,vz

为轴构成的六维空间中的体积元dxdydzdvxdvydvz

代替速度空间的体积元dvxdvydvz

第36页,共46页，2024年2月25日，星期天37玻尔兹曼分布律（分子按能量分布定律）

当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz内，同时速度介于vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz内的分子数为n0为在

p=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。将玻尔兹曼分布率对速度空间积分,有归一化条件第37页,共46页，2024年2月25日，星期天38重力场中粒子按高度的分布（）等温大气压强公式（高度计原理）假设：大气为理想气体，不同高度处温度相等。利用：P=nkT可得:每升高10米，大气压强降低133Pa。近似符合实际，可粗略估计高度变化。第38页,共46页，2024年2月25日，星期天391.分子碰撞

分子间的无规则碰撞在气体由非平衡态过渡到平衡态的过程中起着关键作用。在研究分子碰撞规律时，可把气体分子看作无吸引力的有效直径为d的刚球。§6分子平均碰撞次数平均自由程

分子碰撞也是“无规则”的,相隔多长时间碰撞一次,每次飞翔多远才碰撞，也都有是随机的、偶然的，因此也只能引出一些平均值来描写。气体分子自由程线度~10-8m第39页,共46页，2024年2月25日，星期天40一个分子连续两次碰撞之间经历的平均路程叫平均自由程

。一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫平均碰撞频率z

。单位时间内分子经历的平均距离

v

，平均碰撞

z

次。气体分子自由程线度~10-8m2.平均自由程平均碰撞频率第40页,共46页，2024年2月25日，星期天41假设：其他分子静止不动，只有分子A在它们之间以平均相对速率运动。

平均自由程和平均碰撞频率的计算A

分子A的运动轨迹为一折线以A的中心运动轨迹（图中虚线）为轴线，以分子