江苏省泰州市某中学2023-2024学年九年级上册数学期末统考试题含解析

江苏省泰州市某中学2023-2024学年九上数学期末统考试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，是。。的直径，弦AB丄C。于E,连接8C、BD，下列结论中不一定正确的是（）

C

D

A.AE=BEB.AD=BDC.OE=DED.ZDBC=90。

2.如图，AOABsAoCD,OA：OC=3：2,△OAB与△OCD的面积分别是Si与S2,周长分别是G与C2,则下列

说法正确的是（）

旦S.3OB3OA_3

R-二一

-

S22OD2

3.四位同学在研究函数＞=/+治+。（仇。是常数）时，甲发现当％=1时，函数有最小值；乙发现T是方程

灰+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4,已知这四位同学中只有一位发现的

结论是错误的，则该同学是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.如图，O是等边AA8C外接圆AC上的点，且NC4O=20。，则NACO的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.45°

5.掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，在下列四个选项中，可能性最大的是（）

A.点数小于4B.点数大于4C.点数大于5D.点数小于5

6.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个

五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑦个图形中五角星的个数为（）

★★

★★★★

★★★★

★★

图①图②图③

A.90B.94C.98D.102

7.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不

断移动，每次移动1m.其行走路线如图所示，第1次移动到4,第2次移动到A2,…，第n次移动到4“则△O4M2018

的面积是（）

8.如图，在AABC中，ZACB=9Q°,AC=5C=1,E，尸是线段AB上的两个动点，且NECF=45。，过点E，

下分别作3C,AC的垂线相交于点垂足分别为，，G.有以下结论：①AB=0；②当点E与点3重合时，

MH=~；③A4CE:MFC；④AF+BE=石厂.其中正确的结论有（）

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图，在。。中，弦BC//OA,AC与08相交于点M,ZC=20°,则NM8C的度数为（）.

AO

BC

A.30°B.40°

C.50°D.60°

10.抛物线y=2x2+3与尊坐标箱的公共点个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

11.已知点（3,-4）在反比例函数y=A的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（）

x

A.（3,4）B.（-3,-4）C.（-2,6）D.（2,6）

12.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字-2、1、4随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p,再

随机摸出另一个小球其数字记为q,则满足关于x的方程*2+卩*+4=0有实数根的概率是（）

1112

A.—B.—C.—D.一

4323

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图所示，在ABCD中，AC、30相交于点。，点E是。4的中点，联结BE并延长交AO于点/，如果

的面积是4,那么ABCE的面积是.

14.如图，矩形A80C的顶点3、C分别在x轴、y轴上，顶点A在第一象限，点8的坐标为（百，0）,将线段0C

绕点。顺时针旋转60。至线段。。，若反比例函数》=丄（A#））的图象进过A、。两点，则厶值为

X

15.用一个圆心角为150。，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为

x,,a+\

16.从-2,-1,1,2四个数中任取两数，分别记为a、b,则关于x的不等式组，有解的概率是.

X..D

17.在AA3C中，已知A8=AC=4cm,BC=6cm,P是BC的中点，以点P为圆心，3cm为半径画。P,则点A

与。P的位置关系是.

18.若关于x的方程（x+a）（x-4）=0和/一3》一4=0的解完全相同，则“的值为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）为纪念“五四运动”100周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比赛.比赛设置一等、二等、

三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调查，并将所得数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据

图中信息解答下列问题：

（1）本次抽样调査学生的人数为.

（2）补全两个统计图，并求出扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数.

（3）若该校共有840名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数.

20.（8分）速滑运动受到许多年轻人的喜爱。如图，四边形8cOG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD//EG,滑台

的高。G为5米，且坡面的坡度为1:1.后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：6.

（1）求新坡面AC的坡角及AC的长；

（2）原坡面底部8G的正前方10米处（EB=10）是护墙£尸，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙

7米。请问新的设计方案能否通过，试说明理由（参考数据：百。1.73）

21.（8分）如图所示，已知在平面直角坐标系X。），中，抛物线y=o?+26+c（其中c为常数，且a<0）与x

轴交于点A,它的坐标是(-3,0),与y轴交于点8,此抛物线顶点C到X轴的距离为4.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求NC钻的正切值；

(3)如果点P是抛物线上的一点，且厶曲试直接写出点P的坐标.

22.(10分)如图①，矩形ABCD中，AB=2,BC=5,BP=1,NMPN=90°，将NMPN绕点P从P3处开始按顺

时针方向旋转，PM交边AB(或AO)于点£,PN交边AD(或CO)于点尸.当PN旋转至PC处时，ZMPN

的旋转随即停止.

(1)特殊情形：如图②，发现当20过点A时，PN也恰好过点O,此时AA3P是否与APCD相似？并说明理由；

PE

(2)类比探究：如图③，在旋转过程中，一的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

PF

(3)拓展延伸：设AE=r时，A£PF的面积为S,试用含r的代数式表示S；

①在旋转过程中，若f=l时，求对应的AEPF的面积；

23.(10分)如图，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为4(2,1)、3。,—2)、C(3,-l).

y

(1)画出A41与G，使AABCI与AA6c关于点0成中心对称，并写出点A的对应点A1的坐标

(2)以原点。为位似中心，位似比为1：2,在y轴的左侧，画出将AABC放大后的AA282c2,并写出点4的对应点

4的坐标___________________

(3)sinZ.B2A2C2=.

24.(10分)某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的人选.

(1)若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；

(2)用画树状图或列表的方法，写出参加第一场比赛选手的所有可能，并求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概

率.

25.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=30°,AB=10,以A8为直径的。。交8c于点O,交AC于点E,

连接OE,过点B作8尸平行于OE,交。。于点尸，连接CP、OP.

(1)求证：点。为8c的中点;

(2)求A尸的长度；

(3)求证：CP是。。的切线.

26.如图，Rt^ABC中，NB=90。，点D在边AC上，且DE丄AC交BC于点E.

(1)求证：△CDEs/iCBA；

(2)若AB=3,AC=5,E是BC中点，求DE的长.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1,C

【分析】根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：VCD是。。的直径，弦AB丄CD于E,

；.AE=BE,AD=BD，故A、B正确；

TCD是。。的直径，

/.ZDBC=90°,故D正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.

2,A

【分析】根据相似三角形的性质判断即可.

【详解】解：■:AOABSAOCD,OA：0C=3：2,

：.­=~,A正确；

S,9

二甘=7,B错误;

0B3

—,C错误;

OD2

：.OAz0C=3：2,D错误;

故选：A.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

3、B

【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论.

【详解】解：A.假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确

由乙、丁同学的结论可得

0=l-Z?+c

V

4=4+2〃+c

b=-

3

解得：2

c=——

3

17(1Y9S

...二次函数的解析式为：y=x2+-x--=\x+-

3316丿36

125

.•.当x=-二时，y的最小值为一二，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意;

B.假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确

由甲、丙的结论可得二次函数解析式为y=(x—Ip+3

当x=2时，解得y=4,当x=-l时，y=7W0

...此时符合假设条件，故本选项符合题意；

C.假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确

由甲乙的结论可得

h

—=1

,2

0=l-b+c

b=—2

解得：

c=-3

:.y—x"2x—3

当x=2时，解得：y=-3,与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意;

D.假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确

由甲、丙的结论可得二次函数解析式为y=(x—1)2+3

当x=-l时，解得y=7#0,与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意.

故选B.

【点睛】

此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b、c的值是解决此题的关键.

4、C

【分析】根据圆内接四边形的性质得到ND=18(r-NB=120。，根据三角形内角和定理计算即可.

【详解】.,.ZB=60°,

四边形ABCD是圆内接四边形，

.•.ZD=180°-ZB=120°,

:.ZACD=180°-ZDAC-ZD=40°,

故选C.

5、D

【解析】根据所有可能的的6种结果中，看哪种情况出现的多，哪种发生的可能性就大.

【详解】掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后共有6种等可能的情况，

即：点数为1,2,3,4,5,6；其中点数小于4的有3种，点数大于4的有2种，点数大于5的有1种，点数小于5

的有4种，

故点数小于5的可能性较大，

故选：D.

【点睛】

本题考查了等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是关键.

6,C

【分析】根据前三个图形可得到第n个图形一共有2〃2个五角星，当n=7代入计算即可.

【详解】解：第①个图形一共有2=2x『个五角星；第②个图形一共有8=2x22个五角星；第③个图形一共有

18=2x32个五角星；……第n个图形一共有2/个五角星，所以第⑦个图形一共有2x7?=98个五角星.

故答案选C.

【点睛】

本题主要考査规律探索，解题的关键是找准规律.

7、A

【分析】由OA4n=2n知OA2017=--------+1=1009,据此得出A2A2018=1009-1=1008,据此利用三角形的面积公式计算可

2

得.

【详解】由题意知OA4n=2n,

.,.OA2oi6=20164-2=1008,即A2016坐标为(1008,0),

二A如18坐标为(1009,1),

则A2A2018=1009-l=1008(m),

c11,

SOA2A,OI3=-XA2A2OI8XA1A2=—xl008xl=504(m)

故选：A.

【点睛】

本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可

得.

8、B

【分析】利用勾股定理判定①正确；利用三角形中位线可判定②正确；③中利用相似三角形的性质；④中利用全等三

角形以及勾股定理即可判定其错误.

【详解】•.•ZACB=90。，AC=3C=1,

-AB^>JAC2+BC2=V12+12=V2»故①正确；

••・当点E与点3重合时，CF丄AB,FG丄AC,Z£CF=45°

AFG为AABC的中位线

，GC=MH=丄，故②正确；

2

ABE不是三角形，故不可能AABEMFC,故③错误；

ZA=Z5=45°

将4ACF顺时针旋转90°MABCD,贝1CF=CD,Z1=Z4,NA=N6=45。，BD=AF

VZ2=45°

.•.N1+N3=N3+N4=45°

，ZDCE=Z2

在AECF和AECD中，CF=CD,NDCE=N2,CE=CE

；.△ECF纟△ECD(SAS)

.,.EF=DE

VN5=45°

:.ZBDE=90°

:.DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2故④错误；

故选：B.

【点睛】

此题主要考查等腰直角三角形、三角形中位线以及全等三角形的性质、勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.

9^B

【分析】由圆周角定理(同弧所对的圆周角是圆心角的一半)得到NAOB,再由平行得NMBC.

【详解】解：,••NC=20。

二ZAOB=40°

又•.•弦BC〃半径OA

ZMBC=ZAOB=40°,

故选：B.

【点睛】

熟练掌握圆周角定理，平行线的性质是解答此题的关键.

10>B

【分析】根据一元二次方程2好+3=1的根的判别式的符号来判定抛物线y=2/+3与x轴的交点个数，当x=l时，y=3,

即抛物线y=2必+3与y轴有一个交点.

【详解】解：当y=l时，23+3=1.

•/△=12-4X2X3=-24<1,

二一元二次方程2/+3=1没有实数根，即抛物线y=27+3与x轴没有交点；

当x=l时，y=3,即抛物线了=2必+3与y轴有一个交点，

抛物线y=2x2+3与两坐标轴的交点个数为1个.

故选B.

【点睛】

本题考査了抛物线与X轴、y轴的交点.注意，本题求得是“抛物线y=2炉+3与两坐标轴的交点个数”，而非“抛物线

y=2炉+3与x轴交点的个数”.

11、C

【解析】试题解析：•.•反比例函数y=K图象过点（3,-4）,

X

-4=—9BPk=-12f

3

A.3x4=12w—12,・••此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

B.（-3）x（T）=120-12,.•.此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

C.—2x6=—12,...此点在反比例函数的图象上，故本选项正确.

D.2x6=12/72,.•.此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

故选C.

12、A

【详解】解：列表如下：

-214

-2・•・(1,-2)(4,-2)

1(-2,1)・・・(4,1)

4(-2,4)(1,4)・・・

所有等可能的情况有6种，其中满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根，即满足pZ4qK）的情况有4种，则P（满足

42

方程的根）=-=-

63

故选：A.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、36

【分析】首先证明△AFESACBE,然后利用对应边成比例，E为OA的中点，求出AE：EC=1：3,即可得出］迎=：

【详解】在平行四边形ABCD中，AD/7BC,

则△AFEs^CBE,

.AF_AE

••=,

BCEC

•••O为对角线的交点，

.,.OA=OC,

又TE为OA的中点,

1

.,.AE=-AC,

4

贝!|AE：EC=1：3,

r.AF：BC=1；3,

<?o

aACBEy

，S^CBE=36

故答案为：36

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明

△DFE^ABAE,然后根据对应边成比例求值.

14、4G

【分析】过点。作OH丄x轴于”，四边形ABOC是矩形，由性质有AB=CO,NCO8=90。，

将。C绕点。顺时针旋转60。，OC=OD,ZCOD=60°,可得/。。7/=30。，

k

设Z）4=x,点。（6x,x）,点A（百，2x）,反比例函数丁=一（际0）的图象经过A、。两点，构造方程求出即

：.AB=CO,NCO8=90°,

•.•将线段。。绕点。顺时针旋转60。至线段OD,

：.OC=OD,NCOD=60°,

:.NDOH=3Q。,

：.OD=2DH,011=6DH,

设DH=x,

...点O（昌,x）,点A（J5,2x）,

•.•反比例函数V=K（厶邦）的图象经过A、O两点,

X

Gxxx=百x2x,

：.x=2,

二点。（2百，2）,

•"•k—2-y3x2=45/3,

故答案为：46.

【点睛】

本题考査反比例函数解析式问题，关键利用矩形的性质与旋转找到A3=C0=0。，NOO”=30。，DH=x,会用x表

示点。（后x,x）,点A（6，2x）,利用4、O正反比例函数y=K（七0）的图象上，构造方程使问题得以解决.

x

10

15、

3

【分析】根据扇形条件计算出扇形弧长，由此得到其所围成的圆锥的底面圆周长，由圆的周长公式计算底面圆的半径.

【详解】•.•圆心角为150。，半径为8

宀,150^-820

.,.扇形弧长：I=———=

1803

20

•••其围成的圆锥的底面圆周长为：—71

3

.•.设底面圆半径为「

ns20310

贝（12%r=—兀,得r=—

33

故答案为：—.

【点睛】

本题考查了扇形弧长的计算，及扇形与圆锥之间的对应关系，熟知以上内容是解题的关键.

2

16、

3

Q+1

【分析】根据关于x的不等式组，有解，得出）WxWa+L根据题意列出树状图得出所有等情况数和关于X的

X..D

工，。+1

不等式组,有解的情况数，再根据概率公式即可得岀答案.

x..b

【详解】解：•・•关于”的不等式组有解,

x..b

...bWxWa+l,

根据题意画图如下:

X,Q+1]〃=—2伉=一1\a=l[a=1

共有12种等情况数，其中关于”的不等式组'有解的情况分别是，…t

x..b[/?=-1[h=-2[b=-2[b=-l

a=lJQ=2{a=2a=2

共8种,

b=2'b=-2'b=-\b=l

则有解的概率是2=|;

故答案为：—.

【点睛】

本题考查了不等式组的解和用列举法求概率，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.

17、点A在圆尸内

【分析】求出AP的长，然后根据点与圆的位置关系判断即可.

【详解】VAB=AC,P是BC的中点，

.,.AP丄BC,BP=3cm,

AP="_32=#jcm,

,:不<3,

...点A在圆尸内.

故答案为：点A在圆P内.

C

BP

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有：

当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d</•时，点在圆内.

18、1

【分析】先分解因式，根据两方程的解相同即可得出答案.

【详解】解：,X2-3x-4=0>

/.(x—4)(x+l)=0,

•关于X的方程(x+a)(x-4)=0和％2一3》_4=0的解完全相同，

:.a=l,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，能正确用因式分解法解方程是解此题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)40；(2)见解析，18°；(3)获得三等奖的有210人.

【分析】(1)根据B的人数和所占的百分比可以求得本次抽样调査学生人数；

(2)根据统计图中的数据和(1)中的结果可以将统计图中所缺的数据补充完整并计算出扇形统计图中A所对应扇形

圆心角的度数；

(3)根据统计图中的数据可以计算出获得三等奖的人数.

【详解】解：(1)本次抽样调查学生的人数为：8・20%=40,

故答案为：40；

2

⑵A所占的百分比为：一X100%=5%,

40

20

D所占的百分比为：—X100%=50%,

40

C所占的百分比为：1-5%-20%-50%=25乐

获得三等奖的人数为：40X25%=10,

补全的统计图如图所示,

扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是360°X5%=18°；

(3)840X25%=210(人)，

答：获得三等奖的有210人.

【点睛】

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

20、(1)新坡面AC的坡角为30，AC=10米；(2)新的设计方案不能通过，理由详见解析.

【分析】(D过点C作CH丄BG,根据坡度的概念、正确的定义求出新坡面AC的坡角；(2)根据坡度的定义分别求

出AH、BH,求出EA,根据题意进行比较，得到答案.

【详解】解：如图，过点。作C"丄垂足为4

(1)新坡面AC的坡度为1:石,

:.taMCAH=1点=昱,

3

ZCAH=30°即新坡面AC的坡角为30

AC=2CH=10米；

(2)新的设计方案不能通过.

理由如下：

坡面8c的坡度为1:1,

:.BH=CH=5,

,/…CH

tcin^.CAH=------=—»

AH3

AH=也CH=5陋

AB=AH-BH=5岳5,

AE=EB-AB=\O-(573-5)=15-56®6.35<7,

,新的设计方案不能通过.

【点睛】

本题考査的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

21、(1)y=—f_2x+3；(2)-；(2)点尸的坐标是(1,0)或卜J

【分析】(1)先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4,将点(-2,

0)代入求得a的值即可；

(2)先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理

可证明NABC=90。，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；

(2)记抛物线与x轴的另一个交点为D.先求得D(l,0),然后再证明NDBO=NCAB,从而可证明NCAO=ABD,

故此当点P与点D重合时，ZABP=ZCAO；当点P在AB的上时.过点P作PE〃AO,过点B作BF〃AO,则PE/7BF.先

证明NEPB=NCAB,贝(]tanNEPB=l,设BE=t,贝UPE=2t,P(-2t,2+t),将P(-2t,2+t)代入抛物线的解析式可

3

求得t的值，从而可得到点P的坐标.

【详解】解：(1)抛物线的对称轴为x=-2=-L

2a

Va<0,

抛物线开口向下.

又•.•抛物线与x轴有交点，

；.C在x轴的上方，

二抛物线的顶点坐标为(-1,4).

设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4,将点(-2,0)代入得：4a+4=0,解得：a=-l,

•••抛物线的解析式为y=-x2-2x+2.

(2)将x=0代入抛物线的解析式得：y=2,

AB(0,2).

VC(-1,4)、B(0,2)、A(-2,0),

.,.BC=V2>AB=20,AC=2逐，

.\BC2+AB2=AC2,

AZABC=90°.

tanACAB-.

AB3

即NC4B的正切值等于L

3

(2)如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D.

1

AtanZDBO=­.

3

又..,由(2)可知：tanNCAB=丄.

3

/.ZDBO=ZCAB.

XVOB=OA=2,

AZBAO=ZABO.

AZCAO=ZABD.

，当点P与点D重合时，ZABP=ZCAO,

：.P(1,0).

如图2所示：当点P在AB的上时.过点P作PE〃AO,过点B作BF〃AO,则PE〃BF.

VBF//AO,

AZBAO=ZFBA.

XVZCAO=ZABP,

AZPBF=ZCAB.

又・・・PE〃BF,

AZEPB=ZPBF,

AZEPB=ZCAB.

.,.tanNEPB二丄.

3

设BE=t,贝！JPE=2t,P(-2t,2+t).

将P(-2t,2+t)代入抛物线的解析式得：y=-x2-2x+2得：-9t2+6t+2=2+t,解得t=0(舍去)或t=£.

./532、

..P(—，—).

39

532

综上所述，点P的坐标为P(1,0)或P(-3,y).

【点睛】

本题主要考査的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、

等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含t的式子表示点P的坐标是解题的关键.

pp14公

22、(1)相似；(2)定值，-一-=-；(3)①2,②/=2—空2.

PF25

【分析】(1)根据“两角相等的两个三角形相似”即可得出答案；

(2)由AEBPAPG尸得出竺="，又/6=厶8=2,82=1为定值，即可得出答案；

PFGF

(3)先设AE=I,BE=2—t结合SAEPF=S矩形“BGF—5小印—5厶的)—5厶呐5得出

S=/一书+5①将t=l代入S=/一屮+5中求解即可得出答案；

②将s=4.2代入S=/一期+5中求解即可得出答案.

【详解】(1)相似

理由：：ZR4P+N3PA=90°,NCPO+ZB弘=90°,

:.4BAP=4CPD,

又VZABP=ZPCD=90°,

AMBP"CD；

(2)

在旋转过程中不U的值为定值，

PF

理由如下：过点尸作FG丄于点G,VZBEP^ZGPF,

.PEBP

NE8P=NPGb=90°，AAEBPNPGF,：.—=—,

PFGF

•.•四边形ABC。为矩形，.•.四边形ABGF为矩形，

:.FG=AB=2,BP=1

PE1

.*.----——

PF2

PFPF1

即在旋转过程中，言的值为定值，—

PFPF2

BEPE1

(3)由(2)知：\EBP\PGF>......------——>

PGPF2

又AE—t,BE—2—t,

：.P6=2(2—f)=4—2f,BG=AF=BP+PG=l+(4-2t)=5-2t,

••S»EPF=S矩形ABGF-SAAEF-SABEP-S^PFG

=2(5-2r)一$x(5—2r)-；xlx(2一。一;x2x(4一2r)=+5

即：S=产一4f+5;

①当f=l时，用下的面积S=F—4xl+5=2,

②当SMPF=4.2时，.•.产一冬+5=42

解得:“2一警"2+竽（舍去）

•••当AEPF的面积为4.2时，t=2一正

5

【点睛】

本题考查的是几何综合，难度系数较高，涉及到了相似以及矩形等相关知识点，第三问解题关键在于求出面积与AE

的函数关系式.

23、(1)画图见解析，(―2,—1)；(2)画图见解析，(T,—2)；(3)日.

【分析】(D先作出A、B、C三点关于原点对称的点4、小、Ci,再顺次连接即可；利用关于原点对称的点的坐标

特点即可得出点4的坐标；

(2)利用位似图形的性质分别作出A、B.C三点的对应点42、员、Ci,再顺次连接即可；利用位似图形的性质即可

得出点儿的坐标；

(3)先根据勾股定理的逆定理判断AABC的形状，进一步即可求出N5AC的度数，再根据位似图形的性质和特殊角

的三角函数值解答即可.

【详解】解：(1)如图，即为所求，4(-2,-1),故答案为：(-2,-1)；

(2)如图A4232G即为所求，A(T,-2),故答案为：(-4,-2)；

(3)VAC2=5,BC2=5,AB2=10,AAC2+BC2=AB2>AZACB=9()°,AC=BC,：.ZBAC=45°,

：.sinZB,AC,=sinZBAC=sin45°=—.

2

故答案为：叵.

2

【点睛】

本题考查了中心对称图形的作图、位似作图、等腰直角三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数值等知识，属于基

本题型，熟练掌握上述知识是解答的关键.

24、(1)-；(2)-

23

【分析】(D根据概率公式求解可得；

(2)此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；

二者的比值就是其发生的概率.

【详解】解：（1）根据题意，甲参加第一场比赛时，有（甲，乙）、（甲，丙）两种可能,

...另一位选手恰好是乙同学的概率1;

（2）画树状图如下：

其中一人甲乙丙

另一人乙丙甲丙甲乙

结果（甲7,）（甲丙）（乙甲）（7,丙）（丙甲）（丙乙）

所有可能出现的情况有6种，其中乙丙两位同学参加第一场比赛的情况有2种,

...选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率为t2=31.

【点睛】

考核知识点：求概率.运用列举法求概率是关键.

25、（1）BD=DCt（2）172；（3）详见解析.

【分析】（D连接AD,由圆周角定理可知NADB=90。，证得结论;

（2）根据等腰三角形的性质得到AD平分NBAC,即NBAD=NCAD,可得BD=