2023-2024学年浙江省玉泉区高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年浙江省玉泉区高二上册期末数学

模拟试题

一、单选题

1.直线y=+1的倾斜角是（）

71一九-2万e5%

A.--B.■-C.--D.

633~6

【正确答案】B

【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，从而求出倾斜角。

【详解】因为：y=^x+\,所以：k=6

由于：k=tanO,则加〃0=6，即：

故选：B.

本题考查直线斜率与倾斜角的关系

2.已知数列｛4｝的前〃项和S“=2"-2,则该数列的通项公式为（）

,10/7=1,[0,7?=1,

A.«„=2"B.a"=2"TC.%=D.=[2,l-],n>2

【正确答案】D

【分析】当〃=1时，4=岳=0,当〃22时，a.=S,,-S,i=2"T,得到答案.

【详解】当〃22时，a„=S„-S^=（2"-2）-（2"-'-2）=2n-'.

当”=1时，q=*=2,-2=0,不符合上式；

所以数列的通项公式为。“=（二〃>2.

故选：D.

3.已知数列｛4"｝为等差数列，S,是其前〃项和，若%=3,旬=5,则无=（）

A.96B.72C.48D.60

【正确答案】C

92

根据题意列出方程组，求解得6代入等差数列前〃项和公式即可得解.

4+3d=392

【详解】；+8d=5,求得〃/行

所以几=2+芋4=48.

故选：C

本题考查等差数列基本量的求解，等差数列前〃项和，属于基础题.

4.已知直线（m+l）x+3y+l=0与直线4x+即+1=0平行，则m的值为（）

A.3B.-4C.3或-4D.3或4

【正确答案】B

【分析】根据直线平行的判定得机（〃?+1）-12=0即可求,"值，注意验证两直线是否平行,

而非重合.

【详解】由题设，"，（加+1）-12=机^+机-12=（〃?+4）（加-3）=0,可得用=-4或〃？=3,

当加=-4时，3x-3y-I=0、4x-4y+l=0平行，符合题设；

当加=3时，4x+31+l=0、4x+3y+l=0重合，不合题设：

...加=-4.

故选：B.

5.双曲线二-k=1的左顶点到其渐近线的距离为

916

912

A.2B.-C.—D.3

55

【正确答案】C

先求左顶点坐标以及渐近线方程，再根据点到直线距离公式求结果.

【详解】因为双曲线兰-片=1的左顶点为（-3,0）,渐近线方程为片-片=0,4x±3片0

916916

所以双曲线二-仁=1的左顶点到其渐近线的距离为史七2担出

91655

故选：C

本题考查双曲线渐近线以及点到直线的距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

6.点P是抛物线V=4x上一动点，则点P到点的距离与点P到直线x=-2的距离和

的最小值是（）

A.7?B.y[2C.>/2-1D.V2+1

【正确答案】D

【分析】过点P作PN.准线于点N,由抛物线的定义，推得归/|4归/|+归尸|,求得点P到

A的距离与点P到准线x=-l的距离之和的最小值为|E4|=3,进而求得点P到A的距离与

P到直线x=-2的距离和的最小值.

【详解】由题意，抛物线V=4x的焦点坐标为尸(1,0),准线方程为x=-I,

过点P作PN.准线于点N,连接PF,AF,

如图所示，由抛物线的定义，可得1PM=忸用，则但/同尸闻+|「石，

所以当P为正与抛物线的交点时，点尸到A的距离与点尸到准线x=-l的距离之和的最小值

为附=0,

所以点P到A的距离与尸到直线x=-2的距离和的最小值是应+1.

故选:D.

7.已知椭圆£：(+'=1与双曲线C：/=](°>0)有共同的焦点，则双曲线。的渐

近线方程为()

A.y=B.y=+^-xC.y=±y/5xD.y=±^-x

35

【正确答案】B

先求出椭圆E的焦点坐标，由双曲线与椭圆共焦点可知c=2,再求出°=百，即可求出双

曲线的渐近线.

【详解】椭圆E的焦点为4(2,0),5(-2,0),所以双曲线。的焦点为耳(2,0),马(-2,0),

则在双曲线C中：c=2/=1,a£d=也，

所以双曲线C的渐近线方程为)=±2》=±追^

a3

故选：B

本题考查双曲线与椭圆的简单性质，双曲线的渐近线方程，属于基础题.

v-22

8.已知直线了=丘与双曲线C：--4=vl(a>0,b>0)的左、右两支分别交于A、5两点,

ab~

rrTT

尸为双曲线的右焦点，其中=N8/尸=：,则双曲线C的离心率0=()

26

A.2B.百+1C.拒D.7

【正确答案】D

取左焦点为耳，连接4环,可得四边形/尸8片是矩形，由8片="厂=28尸及双曲线的性

质可求得8F=2a,再分别求出O5=ga,OF=c,8E=2a,由勾股定理列出方程求出

C=>/1a)即可求出离心率.

【详解】取左焦点为耳，连接力片,8片，如图所示，

易知尸=28尸，由双曲线的定义知B片-8尸=2”，两式联立可得8尸=为，

则AF=4AB=2J5。，由双曲线的对称性知04=OB=；AB=Jia,

在RtABC中OB=“a,OF=c,BF=2a,

OB2+BF-=OF2,即4/+3/=。2,c=41a,所以e=£=V7

a

故选：D

本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线离心率的求法，属于中档题.

离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①

直接求出a,c从而求出e；②构造。、c的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以及圆锥

曲线的定义来求解.

二、多选题

9.已知空间三点4-2,0,2),5(-1,1,2),C(-3,0,4),设£=而石=式.则下列结论正确的是

()

A.若日=3,且"〃而，则"=(2,1,-2)

B.Z和3的夹角的余弦值-巫

10

C.若应+石与元-%互相垂直，则人的值为2；

D.若2(°+石)+〃(“-5)与z轴垂直，则2,〃应满足2-〃=0

【正确答案】BD

【分析】利用空间向量的基本定理及坐标表示判断即可.

【详解】依题意£=(1,1,0),5=(-1,0,2),而=(-2,-1,2),

对于A,因为"//品，所以工=2宓=(-2/1,-2,2⑷，又付=3,所以

7(-2A)*23+(-A)2+(2/l)2=3,解得;l=±I,所以[=(2,1,-2)或"=(-2,-1,2),A不正确；

~7a-b_1"VTo

对于B,3＜设＞=丽=正芯="^’B正确；

对于C,因元+B与〃-2否互相垂直，则

(ka4-ftj-[ka-26j=k~a-ka-b-lb=2—+"10=0,

解得左=2或％=-*,C不正确；

2

对于D,因为2(a+5)+〃(a“)=4(0,1,2)+以2,1,-2)=(2“2+“2；1-24，z轴的一个方

向向量4=(0,0,1),

依题意(2〃乂+〃,24-2〃)-(0,0,1)=2彳-2〃=0,即"〃=0,D正确;

故选：BD

10.已知椭圆C：卷+『=1的左、右焦点分别为耳，£,点尸在椭圆上，则下列说法正确

的是()

A.片，鸟的坐标分别为(-2,0),(2,0)B.椭圆的离心率为亚

3

C.|尸箱的最小值为1D.当P是椭圆的短轴端点时，俱取到最

大值

【正确答案】ACD

【分析】由椭圆方程知/=9,〃=5“2=4,利用椭圆的性质可判断ABC；利用余弦定理结

合基本不等式可判断D.

【详解】椭圆《+己=1,其中/=9,/=5,.上2=〃2-62=4

95

对于A,c=2,5,行的坐标分别为（-2,0）,（2,0）,故A正确；

C2

对于B,椭圆的离心率为e=£=故B错误；

对于C,a-c<\PF\<a+c,所以忸用的最小值为1,故C正确；

对于D,当P在椭圆的长轴端点时，牙尸石=0；当尸不在长轴端点时，0<%严2<%,

利用余弦定理可知

2222

rn„/尸”.II+|PF21-IFtF2P4a-4c-21PF,||PF2\

21P用|尸耳2\PFt\\PF2|

-2^__]>_改_______]旦_!

IPFyIIPF21(|P£|+|%|J2

当|「耳|=|尸月|,即尸在椭圆的短轴端点时，cos/片程最小，此时最大，故D正确;

故选：ACD

11.已知方程加^+，92=1,其中"/+/HO,则（）

A.〉0时，方程表示椭圆

B.〃〃2<0时;方程表示双曲线

C.〃=0时，方程表示抛物线

D.〃>m>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆

【正确答案】BD

兰+片=1_

当加〃<0时，11表示双曲线，相>0,"<0时表示焦点在x轴上的双曲线，加<0,〃>0

mn

表示焦点在y轴上的双曲线；当a>〃>0时表示焦点在y轴上的椭圆，当〃>加>0时表示

焦点在X轴上的椭圆.

【详解】若，〃<0,〃<0,则加、2+叫？=1不表示椭圆，故A错误；

2222

xy-.—

若〃?>0,〃<0,则_1表示焦点在x轴上的双曲线，若机<0,〃>0,则[[J-表

mnnm

示焦点在y轴上的双曲线，故B正确；

当〃=0时，若加工0,则方程表示两条垂直于x轴的直线，若a=0则不表示任何图形，故

C错误：

11-+^-=\

〃>加>0时，0<-<—,11表示焦点在x轴上的椭圆，D正确.

nm——

mn

故选：BD

本题考查圆锥曲线的标准方程，由标准方程判断焦点的位置，属于基础题.

12.已知正项数列｛%｝前〃项和为S,,,且满足4s“=(a“+l)2()

A.数列是等差数列B.a,=1

C.数列｛疯+。“｝不是等差数列D.邑。=400

【正确答案】ABD

【分析】根据给定的递推公式，结合〃22,见=5.-，1求出数列｛凡｝的通项公式，再逐项判

断作答.

22

【详解】数列｛““｝中，V«6N*,a„>0,4S„=(a„+l),当“22时，4S„_,=(a„.,+1),

则4%=a,；+2a“+1-⑷一+2^_,+1)，即4+%)(%一的)=2(a„+%)，

因此即一。,1=2,而4q=(q+l『，解得q=l,即数列｛%｝是首项为1,公差为2的等差

数列，A,B都正确；

=《+2(〃-1)=2"-1,S"="(。|广)=〃2,何"+。“=3〃-1,

于是(点二+〃用)-(疯+为)=3(〃+1)-1-(3〃-1)=3,数列｛疯+%｝是等差数列，C错误;

$20=2()2=400,D正确.

故选：ABD

思路点睛：给出点与。“的递推关系,求。“，常用思路是：一是利用Sz-S,=a7转化为凡

的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S”的递推关系，先求出S“与〃之间的关系，再

求明.

三、填空题

13.已知点44,0),。(0,0),8(0,-3),则/O8的内切圆的方程为

【正确答案】(X-1)?+3+1>=1

【分析】根据给定条件，确定力。8内切圆的圆心位置，设出圆心坐标，再借助点到直线的

距离公式求解作答.

【详解】依题意，内切圆的圆心C在第四象限，并且到X、夕轴距离相等，令此圆半

径为r(r>0),则圆心C&,—),

直线N8方程为：5+2=1，即3x-4y-12=0,直线N8是圆C的切线,

4-3

|3r-4(-r)-12|

因此'=，2；(£)2，解得'=1或'=6'

显然r<|08|=3,于是/•=1,圆心

所以/08内切圆的方程为(x-l>+(y+l)2=l.

故(x―l)2+(y+l)2=]

14.在棱长为2的正方体ABCD-ABiGR中，点到平面4BCR的距离为.

【正确答案】近

【分析】由正方体的性质易得△88C斜边上的高为用到平面ZBCQ的距离，结合己知即可

求值.

【详解】由题设可得示意图如下，根据正方体的性质知：面8B£_L面Z8CQ，又△88£为

等腰直角三角形,

斜边上的高，即为为到平面N8G2的距离，又正方体棱长为2,

/.5,到平面MCQ的距离为0.

故答案为.0

15.若直线了=船+2与焦点在x轴的椭圆｝

=1伍>0）恒有两个公共点，则实数。的范

16b2

围

【正确答案】（2,4）

【分析】直线和椭圆恒有两个交点，则直线过定点，定点在椭圆内部，据此即可求出6的范

围.

【详解】直线夕=履+2恒过定点（0,2）,要保证直线与椭圆有两个公共点，定点需在椭圆内，

+又..•椭圆的焦点在x轴上，.../<I6nb<4,;）w（2,4）.

故（2,4）.

16.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.今

有抛物线C：V=2px（p>0）（如图）一条平行x轴的光线射向C上一点尸点，经过C的焦点

尸射向C上的点0,再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4,则C

的方程是.

【正确答案】y2=4x

先由题意得到尸。必过抛物线的焦点，设出直线尸。的方程，联立直线尸。与抛物线方程，利

用韦达定理表示出弦长，得出P。的最小值，进而可求出。的值，得出抛物线方程.

【详解】由抛物线的光学性质可得：P。必过抛物线的焦点尸（5,0）,

当直线斜率不存在时，易得|「。|=22；

当直线尸。斜率存在时，设的方程为夕=（卜-9，P（x”必），。（3，力）

由"卜一万），得小-川+总=2*，整理得4支-（458力+"=0,

y2=2px

所以演+j=卜PjP,x、x2=9,

所以|「。|=8+覆+P=（2+看>>2p;

综上，当直线P。与X轴垂直时，弦长最短，

又因为两平行光线间的最小距离为4,故2。=4,

所以抛物线方程为V=4x.

故V=4x.

本题主要考查了直线与抛物线位置关系，解决这类问题通常需要联立直线与抛物线方程，结

合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题.

四、解答题

17.求下列曲线方程.

（1）已知抛物线C：y=；x?,求准线/方程.

（2）己知双曲线C:£-E=l的焦距为6,渐近线方程为夕=逝》，求双曲线C的方程.

a~b~2

【正确答案】⑴歹=-1

⑵工-匕=1

45

【分析】（1）由曲线方程化成标准方程，再由抛物线准线的定义即可求得准线/方程；

（2）由焦距为6,及渐近线方程为y=可知2c=6,2=或，再由，2=/+/即可求得

2a2

双曲线的标准方程.

【详解】(1)由抛物线。：夕=!》2可得/="，则2P=4,p=2,即准线/方程为y=-I

4

r22

(2)双曲线C:0-4v=1的焦距为6,即2c=6,c=3；

ab

渐近线方程为y=旦,即心立,

2a2

再由T=/+b2可解得a2=4,b2=5；

则双曲线的方程为《-仁=1

45

18.已知圆C的圆心在直线y=2x-3上,且与x轴相交于点M(2,0)和N(4,0).

(1)求圆C的标准方程：

(2)若过点P(L-l)的直线/与圆C交于4,B两点、,且|工8|=2厢，求直线/的方程.

【正确答案】(l)(x-3y+(y-3)2=I0

(2)x=l,3x-4y-7=0

【分析】(1)根据题意求圆心与半径，然后写出标准方程

(2)待定系数法设直线方程，根据弦长公式解出参数

【详解】(1)由题设，"N中点为(3,0),则圆心在直线x=3上，联立y=2x-3,

二圆心为(3,3),圆的半径为r=7(3-2)2+32=M，

综上,圆C的标准方程.(x-程+(丁-3)2=10

(2)；(1-3/+(-1-3)2=20>10,

P在圆外，当直线/斜率不存在时，直线方程为x=l,

则”(1,3-卡)，8(1,3+卡)，显然|/8|=2几符合题设；

当直线/斜率存在时，设为丁+1=后。-1),联立圆C可得：

(1+k2)x2-2(公+4左+3)x+A?+8。+15=0,

廿jz■,n/、.hi2(左~+4无+3)4~+8上+15

若/(X|，x),B(x,y),则％+》2=-^-----~~-，xx=------—

22■\+k2'2\+k52

\AB\=Jl+/,J(X]+甘)2=/6+3)(?_^2=276,可得.%=之

、1+氏4

3

・・・此时，直线/：歹+1=一(工一1),BP3x-4y-7=0.

4

综上，符合条件的直线有2条，分别为x=l,3x-4尸7=0.

19.某山村为响应他提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资

64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后，第一年需支出各项费用11万元，以后每年支

出费用增加2万元.从第一年起，每年收入都为36万元.设/(〃)表示前"年的纯利润总和

(/(〃)=前〃年的总收入-前〃年的总支出费用-投资额)

(1)求/(〃)的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值；

(2)计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值.

【正确答案】(1)/(〃)=-〃2+26〃-64,〃仁1<.前13年的纯利润总和最大，最大值为105

万元.(2)前8年的年平均纯利润最大，最大值为10万元.

(1)根据题意知每年的支出费用构成等差数列，求出通项公式，从而求出前〃年的纯利润总和,

利用一元二次函数的单调性求得最值；(2)求出前〃年的年平均纯利润的表达式，利用均值不

等式可求得最值.

【详解】(1)由题意，每年的支出费用组成首项为11,公差为2的等差数列，

故前〃年的总支出费用为1山+也二9x2=/4-10/7,

2

.•./(〃)=36"-(1+10")-64=-n2+26〃-64,月eN*.

/(n)=-(«-13)2+105,

.♦.〃=13时-，/(〃)取得最大值105,

即前13年的纯利润总和最大，且最大值为105万元.

(2)由(1)知，前〃年的年平均纯利润为

迤=一〃2+26-64=/〃+/+26,

nn\nJ

•."+竺22,「亘=16,当且仅当“="，即”=8时等号成立,

n\nn

.*,ZM<_16+26=10,

n

即前8年的年平均纯利润最大，且最大值为10万元.

本题考查等差数列前〃项和，一元二次函数，均值不等式，属于基础题.

20.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在直线/：x-2y-2=0上.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）过点/30）的直线机与焦点在x轴上的抛物线C交于4B两点,若原点。在以线段

48为直径的圆外，求实数。的取值范围.

【正确答案】（l）/=-4y或/=8x

（2）"0或。>8

【分析】（1）由抛物线的顶点在原点及焦点在直线/：x-2y-2=0上，可根据直线与坐标轴

的交点，求得抛物线的焦点，即可求得抛物线的方程；

（2）由直线与抛物线联立求得弦长，及交点的中点，即可求得以线段为直径的圆的方

程，再由原点在圆外，代入原点，即可求得实数”的取值范围.

【详解】（1）当x=0时，y=-i,此时焦点为（0,-1）,即此时抛物线焦点在V轴，开口向下,

顶点在原点，则抛物线方程为/=-4y；

当y=0时，x=2,此时焦点为（2,0）,即此时抛物线焦点在x轴，开口向右，顶点在原点，

则抛物线方程为/=8、；

（2）设过点M3。）直线机的方程为'=叩+",设直线机与抛物线的交点分别为

A（x„yl）,B（x2,y2）

-2

联立方程”=8x消去X得犬_8叫-8a=0,

x=my+a

A=（-8w）2-4xlx（-8a）>0BP2m2+a>0>必+%=&〃，乂为=-刈；

AB的中点为（弋生■，必；及）=（4"+。,4加3

=J1+”/“必+N2y_4凹％=4，1+〃/+2a;

则以线段为直径的圆的方程为-a）+（_v—4w）-=（X1+mW4如+20

若原点O在以线段为直径的圆外，则（0-4/-/+（0-4加）2>（2J+加2&m2+2a,化

简得“2_8“>0，即。<0或a>8.

21.如下图，在四棱锥尸-18。中，以，平面/BCD,底面Z8CD是菱形，48=2,ZABC

=60。，点m，N分别为8C,R1的中点.

(1)证明：MN〃平面PC。；

⑵若直线/C与平面的所成角的正弦值为孚，求平面.与平面P8夹角的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

Q吟

【分析】(1)通过构造平行四边形的方法来证得MN〃平面产。；

(2)建立空间直角坐标系，由直线ZC与平面P8C所成角的正弦值求得尸/,再利用向量

法求得平面R1C与平面PC。夹角的余弦值.

【详解】(1)取中点。，连接N0,CQ.

♦:NQ为的中位线，，NQ//AD且NQ=；，

又•••四边形为菱形，用为8c中点，...”。//。且必7=工/。，

2

:.NQHMC昱NQ=MC.所以四边形NQCW为平行四边形，所以MN//QC,

又：MV/平面PCD,QCu平面PCD,...MN〃平面PCD

(2)设ZCnBO=。，则ZC18。，依题意P/_L平面48c

以。为原点，以08,0c所在直线分别为x,y轴，以过点。与巴平行的直线为z轴，建

立空间直角坐标系。-不2,

设P/=a(a>0),A(0,-l,0),5(73,0,0),C(0,l,0),P(0,-l,a),-百,0,0),

就=(0,2,0),SC=(->/3,l,0),PC=(O,2,-a),CD=(-V3,-l,0),

设G=(3,z)为平面P8C的一法向量，『吧=一限+'=°,

n-PC=2y-az=0

故可设G=(®,3a,6),

直线AC与平面PBC所成角的正弦值为：若