辽宁省沈阳市一三四中学2023-2024学年九年级上册数学期末联考模拟试题含解析

辽宁省沈阳市一三四中学2023-2024学年九上数学期末联考模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.一个不透明的盒子里只装有白色和红色两种颜色的球，这些球除颜色外没有其他不同。若从盒子里随机摸取一个球,

有三种可能性相等的结果，设摸到的红球的概率为P,则P的值为（）

111_I1-2

A.-B.—C.一或一D.一或一

323233

2.如图是抛物线yi=ax?+bx+c（a邦）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1,3）,与x轴的一个交点B（4,0）,直

线y2=mx+n（mRO）与抛物线交于A,B两点，下列结论：

①2a+b=0；②abc>0；③方程ax?+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（-1,0）；⑤当1

VxV4时，有y2〈yi,

其中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①③⑤D.②④⑤

3.下列事件中，属于必然事件的是（

A.2020年的除夕是晴天B.太阳从东边升起

C.打开电视正在播放新闻联播在一个都是白球的盒子里，摸到红球

4.如图，是AABC的中位线，则的值为（

BDC

5.下列二次根式中，不是最简二次根式的是()

A.0B.V3C.4D.V5

6.已知二次函数7=++加什<：(存0)的图象如图所示，则下列结论:①a/>cVO；®2a+b=0;@b2—4ac<0；©9a+3b+c

>0;⑤c+8aV0.正确的结论有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，在A48c中，AC=2,BC=4,。为BC边上的一点，且NC4Q=NB.若A4OC的面积为“，则AABQ

的面积为()

22

8.如图，点P(x,y)(x>0)是反比例函数y=((k>0)的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与

x

x轴的正半轴交于点A,若AOPA的面积为S,则当x增大时，S的变化情况是()

C.S的值先增大，后减小D.S的值不变

9.抛物线y=3f先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是()

A.y=3(x+2)2—1•B.y=3(x—2)~+1

C.y—(x—2)2—1D.y-3(x4~2)~+1

10.如图，AABC的顶点均在。0上，若NA=36°,则N0BC的度数为（）

A.18°B.36°C.60°D.54°

11.下列语句，错误的是（）

A.直径是弦B.相等的圆心角所对的弧相等

C.弦的垂直平分线一定经过圆心D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦

12.某地区在一次空气质量检测中，收集到5天的空气质量指数如下：81,70,56,61,81,这组数据的中位数和众

数分别是（）

A.70,81B.81,81C.70,70D.61,81

二、填空题（每题4分，共24分）

13.2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，其中加=1,〃=百,

则AB的长为.

卜anB—班|=0,那么AABC的形状是—.

15.A、B为。O上两点，C为（DO上一点（与A、B不重合），若NACB=l（）0。，则NAOB的度数为

16.已知加是方程X2+2X-1=0的一个根，则代数式（/〃+1）2的值为

17.如图，R1与。。相切于点A,是。。的直径，在。。上存在一点C满足如=PC,连结PB、AC相交于点凡

18.在本赛季CB4比赛中，某运动员最后六场的得分情况如下：17、15、21、28、12、19,则这组数据的方差为

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45。，底部点C的俯角为30。，求楼房

CD的高度（石=1.±7）.

n

i

i

B45°

130°i

「

C

20.（8分）在平面直角坐标系中，抛物线y=〃比2-2X+〃与x轴的两个交点分别是A（-3,0）、8（1,0）,C为顶点.

（1）求”的值和顶点C的坐标;

（2）在）'轴上是否存在点。，使得AAC。是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请

说明理由.

21.（8分）计算：6tan30。—（乃—2019）°+J§—0cos450.

22.（10分）如图，AD是。O的直径，AB为。O的弦，OPJ_AD,OP与AB的延长线交于点P,点C在OP上，满

足NCBP=NADB.

（1）求证：BC是。O的切线;

（2）若OA=2,AB=1,求线段BP的长.

D

B

23.(10分)已知：如图，抛物线丫=办2+加+6与x轴交于点8(6,0),C(-2,0),与丁轴交于点A.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，连结24、PB.设△PAB的面积为S.点P的横坐标为加.

①试求S关于阳的函数关系式；

②请说明当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

③过点尸作x轴的垂线，交线段于点O,再过点P做PE//X轴交抛物线于点E，连结OE,请问是否存在点尸使

△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

24.(10分)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=F-2ax+4a+2是常数)，

(I)若该抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),求a的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；

(II)不论a取何实数，该抛物线都经过定点”.

①求点〃的坐标；

②证明点”是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点.

25.(12分)证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比.已知：如图，AABCsZ^VB，。，相似比为k,.求

证.(先填空，再证明)证明：

26.如图，点A的坐标为(33),点8的坐标为(4,0).点C的坐标为(0,-1).

(1)请在直角坐标系中画出ABC绕着点C逆时针旋转90°后的图形A'B'C.

⑵直接写出：点A'的坐标(,________),

(3)点B'的坐标(,).

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【分析】分情况讨论后，直接利用概率公式进行计算即可.

【详解】解：当白球1个，红球2个时：摸到的红球的概率为：P=j

当白球2个，红球1个时：摸到的红球的概率为：%；

1?

故摸到的红球的概率为：,或一

33

故选：D

【点睛】

本题考查了概率公式，掌握概率公式及分类讨论是解题的关键.

2、C

【解析】试题解析：•••抛物线的顶点坐标A(1,3),

h

，抛物线的对称轴为直线x=-=1,

2a

2a+b=0,所以①正确；

•・•抛物线开口向下，

Aa<0,

:.b=-2a>0,

;抛物线与y轴的交点在x轴上方，

Ac>0,

.,.abc<0,所以②错误；

•••抛物线的顶点坐标A（1,3）,

.•.x=l时，二次函数有最大值，

二方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；

••,抛物线与x轴的一个交点为（4,0）

而抛物线的对称轴为直线x=l,

...抛物线与x轴的另一个交点为（-2,0）,所以④错误；

•抛物线yi=ax，+bx+c与直线y2=mx+n（m邦）交于A（1,3）,B点（4,0）

.,.当1VXV4时，y2〈yi,所以⑤正确.

故选C.

考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x轴的交点.

3、B

【分析】根据必然事件和随机事件的概念进行分析.

【详解】A选项：2020年的元旦是晴天，属于随机事件，故不合题意；

B选项：太阳从东边升起，属于必然事件，故符合题意；

C选项：打开电视正在播放新闻联播，属于随机事件，故不合题意；

D选项：在一个都是白球的盒子里，摸到红球，属于不可能事件，故不合题意.

故选：B.

【点睛】

考查了确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件；注：事先能肯定它一定会发生的

事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的.在一定

条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.

4、B

【分析】由中位线的性质得到DE〃AC,DE=-AC,可知△BDESZ\BCA,再根据相似三角形面积比等于相似比的

2

平方可得舁里=j,从而得出qS'BDE的值.

3BCA4»四边形AEDC

【详解】是△ABC的中位线，

.,.DE/7AC,DE=-AC

2

/.△BDE^ABCA

.S^BDE

••歹

。四边形AEDC

故选B.

【点睛】

本题考查了中位线的性质，以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.

5、C

【解析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断即可.

【详解】解：A、、笈是最简二次根式，不合题意，故本选项错误;

B、6是最简二次根式，不合题意，故本选项错误;

C、因为〃=2,所以〃不是最简二次根式，符合题意，故本选项正确；

D、石是最简二次根式，不合题意，故本选项错误；

故选C.

【点睛】

本题考查了最简二次根式的定义，根据定义，最简二次根式必须满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因

式.

6、C

【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的关系，然后根据对称轴及抛物

线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：抛物线开口向下，得：a<0；抛物线的对称轴为x=-2=i,则b=-2a,2a+b=0,b=-2a,故b>0；抛物

2a

线交y轴于正半轴，得：c>0.

.,.abc<0,①正确；

2a+b=0,②正确；

由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac>0,故③错误；

由对称性可知，抛物线与x轴的正半轴的交点横坐标是x=3,所以当x=3时，y=9“+3"c=0,故④错误；

观察图象得当x=-2时，y<0,

即4a-2b+c<0

Vb=-2a,

/•4a+4a+c<0

即8a+c<0,故⑤正确.

正确的结论有①②⑤，

故选:C

【点睛】

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换,

根的判别式的熟练运用.

7、C

【分析】根据相似三角形的判定定理得到AACZ)ABC4,再由相似三角形的性质得到答案.

【详解】•••NC4Z)=NB,ZACD=ZBCA,

AMCDA5C4,

..二一〔茄『4'

解得，ABC4的面积为4a,

二AABD的面积为：4a-a=3a,

故选C.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.

8、D

【分析】作PBLOA于B,如图，根据垂径定理得到OB=AB,则S»OB=SNAB,再根据反比例函数k的几何意义得到

SAP°B=；|A|,所以S=2«,为定值.

【详解】作于B,如图，则。3=48,...SAPO叱S△队B.

VS»OB=-1*1，S=2k,S的值为定值.

2

故选D.

【点睛】

本题考查了反比例函数系数A的几何意义：在反比例函数尸七图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂

X

线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|用.

9、A

【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可.

【详解】由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2先向向下平移1个单位可得到抛物线y=3xZl；

由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2-l先向左平移2个单位可得到抛物线y=3(x+2>-1.

故选A.

【点睛】

本题考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则.

10、D

【解析】根据圆周角定理，由NA=36°,可得NO=2NA=72°,然后根据OB=OC,求得NOBC=(180°-ZO)=

ta

(180°-72°)=54°.

故选：D

点睛：此题主要考查了圆周角定理，解题时，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出圆心角，再根据等腰三

角形的性质和三角形的内角和定理求解即可，解题关键是发现同弧所对的圆心角和圆周角，明确关系进行计算.

11、B

【分析】将每一句话进行分析和处理即可得出本题答案.

【详解】A.直径是弦，正确.

B」.•在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，

.•.相等的圆心角所对的弧相等，错误.

C.弦的垂直平分线一定经过圆心，正确.

D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦，正确.

故答案选：B.

【点睛】

本题考查了圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.

12、A

【分析】根据中位数的定义和众数的定义即可得出结论.

【详解】解：将这5天的空气质量指数从小到大排列后为：56,61,70,81,81,

故这组数据的中位数为：70

根据众数的定义，出现次数最多的数据为81,故众数为81.

故选：A.

【点睛】

此题考查的是求一组数据的中位数和众数，掌握中位数的定义和众数的定义是解决此题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、2-73

【分析】延长B4交CE于点E，设C户_L3产于点F,通过解直角三角形可求出。尸、AE的长度，再利用

A3=CD+OE-AE即可求出结论.

【详解】延长BA交CE于点E,设CFLBF于点F,如图所示,

乙DBF=30°,

DF=BF•tan/DBF=

3

在H/AACE中，ZA£C=90°,Z4CE=45°,

AE=CE=BF=n,

AB=BE-AE=CD+DF-AE=tnH———n-n>

3

/〃=1,n=百>

AB=2-5

故答案为：2-百.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用.通过解直角三角形求出。E、AE的长度是解题的关键.

14、等边三角形

【分析】由非负性和特殊角的三角函数值，求出NA和/B的度数，然后进行判断，即可得到答案.

【详解】解：^cosA--+|tanB-V3|=0,

••cosA=/，tanB-^3>

ZA=60°,ZB=60",

AZC=60°,

.'.△ABC是等边三角形；

故答案为：等边三角形.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，正确得到NA和NB的度数.

15、160°

【分析】根据圆周角定理，由NACB=100。，得到它所对的圆心角Na=2NACB=200。，用360。-200。即可得到圆心角

ZAOB.

【详解】如图，

VZa=2ZACB,

而NACB=100°,

，Na=200°,

：.ZAOB=360°-200°=160°.

故答案为：160°.

【点睛】

本题考查了圆周角定理.在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的

一半.

16、2

【分析】根据方程的根的定义，得加2+2〃?一1=0,结合完全平方公式，即可求解.

【详解】•••，〃是方程V+2x-l=0的一个根,

m2+2m—1=0»即：m2+2m=1

(m+1)--m2+2m+1=1+1=1.

故答案是：1.

【点睛】

本题主要考查方程的根的定义以及完全平方公式,，掌握完全平方公式，是解题的关键.

17、回.

4

【分析】连接OP,0C,证明可得PC与。0相切于点C,证明BC=CP,设则BC=CP=

1+

AP=2x,证得△AMPS/\OAP,可得：*=y,证明由竺=竺可得出答案.

8BFAP

【详解】解：连接OP,OC.

•••力与。。相切于点4,PA=PC,

：.ZOAP=90°,

'：OA=OC,OP=OP,

:.△OAP色AOCP(.SSS),

：.ZOAP=ZOCP=90°,

.,.PC与。。相切于点c,

,:NAPB=3NBPC,NAPO=NCPO,

；.NCPB=NOPB,

••,AB是。。的直径，

/.ZBCA=90°,

'：OP±AC,

J.OP//BC,

NCBP=NCPB,

：.BC=CP=AP.

"：OA=OB,

11

-

:.0M=2-0-

1^

设。M=x,则8C=CP=A尸=2x,PM=y,

•.•/OA/»=NAMP=90°,ZMPA=ZAPO,

：.AAMP<^/\OAP,

,AP_OP

''~PM一~AP'

:.AP2=PM*OP,

(2x)2=y(y+x),

解得：x=1+而y，x=1-后y(舍去).

88

'：PM//BC,

:.APMFsABCF,

.竺_丝_"=y_>/17-1

"'~BF~~BC~=-4

故答案为：姮二1.

4

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理.正确作出辅助线,

熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

18、25—.

9

【分析】先计算出这组数据的平均数，然后根据方差公式求解.

12

【详解】解：平均数=-(17+15+21+28+12+19)=18-

63

所以方差是S2=

1222?22

—[(17—18—>+(15-18—>+(21—18—>+(28-18--+(12—18—)2+(19—18—力

6333333

=25-

9

故答案为：25(.

【点睛】

本题考查方差：一般地设n个数据，Xi,X2,…X”的平均数为无，则方差

S2=L」(内一可—可…+(x.一可2],它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

nL」

三、解答题(共78分)

19、32.2m.

【详解】

试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解.

试题解析：如图，过点B作BE_LCD于点E,

根据题意，ZDBE=25°,ZCBE=30°.

VAB1AC,CD±AC,

...四边形ABEC为矩形，

.,.CE=AB=12m,

〜-BE

在RtACBE中，cotZCBE=——，

CE

：.BE=CE»cot30°=12xg=12Q,

在RtABDE中，由NDBE=25°,

得DE=BE=12百.

.*.CD=CE+DE=12(73+1)-32.2.

答：楼房CD的高度约为32.2m.

AC

考点：解直角三角形的应用仰角俯角问题.

20、(1)团=一1,〃=3,(-1,4)；(2)在y轴上存在点D(O,3)或D(0,1),使AACD是以AC为斜边的直角三角

形

【分析】(1)把AG3,0),B(l,0)代入y=mr2-2x+〃解方程组即可得到结论：

⑵过C作CE_Ly轴于E,根据函数的解析式求得C(-l,4),得到CE=LOE=4,设。(0,。)，得到OD=a,DE=4-a,

根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】(1)把A(-3,0)、B(l,0)分别代入y=mx2-2x+n,

9m+6+〃=0

"一2+〃=0

解得：m=-L〃=3,

则该抛物线的解析式为：y=—f-2x+3,

Vy=-x2-2x+3=-（加+1）?+4,

所以顶点。的坐标为(—1,4);

故答案为：m=-\,〃=3,顶点。的坐标为(一1，4);

(2)如图1,过点C作CE_Ly轴于点E，

ESI

假设在）'轴上存在满足条件的点D,

设。（0,C）,则O£）=c,

•.•A（-3,0）,C（-l,4）,

/.CE=\,OA=3,OE=4,E£）=4-c,

由NC£）A=90。得N1+Z2=90°,

XVZ2+Z3=90°,

/.Z3=Z1,

又；4£0=/D04=90°,

.,•△CED^ADOW,

.CEDO

••=,

EDOA

变形得c、2—4c+3=0，

解得q=l,c2=3.

综合上述：在y轴上存在点0(0,3)或0(0,1),使AACD是以AC为斜边的直角三角形.

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键.

21、272-1

【分析】首先计算乘方、开方、特殊三角函数值，再计算乘法，最后实数的加减法即可.

【详解】V3tan30°--2019)°+^-V2cos45°

=V3x--1+2V2-V2X—

32

=1-1+272-1

=2>/2-l.

【点睛】

本题考查了幕的乘方、二次根式、特殊三角函数值等知识点，熟记各运算法则和特殊三角函数值是解题关键.

22、(1)见解析；(2)BP=1.

【分析】(1)连接OB,如图，根据圆周角定理得到NABD=90。，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出NOBC=90。,

即可得出结论；

(2)证明AAOPs^ABD,然后利用相似三角形的对应边成比例求BP的长.

【详解】(1)证明：连接OB,如图，

•；AD是。O的直径，

.,.ZABD=90°,

.•.NA+NADB=90。，

VOA=OB,

/.ZA=ZOBA,

VZCBP=ZADB,

.,,ZOBA+ZCBP=90°,

.,.ZOBC=180°-90°=90°,

.,.BC±OB,

...BC是。O的切线;

(2)解:VOA=2,

.,.AD=2OA=4,

VOP±AD,

.,.ZPOA=90°,

.,.ZP+ZA=90°,

.,.NP=ND,

VZA=ZA,

/.△AOP^AABD,

•AP_AO\+BP_2

即

,*AD-ABT

解得：BP=1.

【点睛】

本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和

切线的判定是解题的关键.

23、(1)y=-gx2+bx+6；(2)①S=-m("L3)2+；,②当m=3时，S有最大值，③点P的坐标为(4,6)或(5-如，

3V17-5).

【分析】(1)由y=a(x-6)(x+2)=a(x2-4x-12),贝!|-12a=6,求得a即可；

(2)①过点P作x轴的垂线交AB于点D,先求出AB的表达式y=-x+6,设点加，-+2m+6),则点D(m,

1/1\QQ

・m+6),然后再表7KS=—xPDxOB=3PD=3(—m~+2/刀+6+机—6I=­m~+9m=—(机—3)H-----即可；

2I2)222

②由在S=—?(加—3『+空中，—2<0,故S有最大值；

2''22

③4PDE为等腰直角三角形，贝!|PE=PD,然后再确定函数的对称轴、E点的横坐标，进一步可得|PE|=2m-4,即

—；加*+2m+6+m—6=|2m-4|求得m即可确定P的坐标.

【详解】解：(1)由抛物线的表达式可化为丁=公2+汝+6=41-6)。+2)=。卜2一4%—12),

贝lj・12a=6,解得：a=--,

2

19z

故抛物线的表达式为：y=--x+bx+6i

-2

(2)①过点P作x轴的垂线交AB于点D,

由点A(0,6)、B的坐标可得直线AB的表达式为：y=-x+6,

设点m2+2m+6],则点D(m,-m+6),

.•.S=-xPDxOB=3PD=3--m2+2m+6+m-6]=--m2+9m^--(m-3)2+—；

2I2)22V72

0V5=--(/n-3)2+—,--<0

2、,22

.•.当m=3时，S有最大值；

③△PDE为等腰直角三角形，

.,.PE=PD,

•点P(加，一g，/+2加+6]，函数的对称轴为：x=2,则点E的横坐标为：4-m,

贝！||PE|=2m-4,

即一gm2+2m+6+/7?-6=\lm-4|,

解得：m=4或・2或5+或5-如(舍去・2和5-&7)

,10

当m=4时，——nV+2根+6=6；

2

当m=5-VF7时，+2m+6=3V17一5.

故点P的坐标为(4,6)或(5-J万，3^17-5).

【点睛】

本题属于二次函数综合应用题，主要考查了一次函数、等腰