2023届山西省“晋商四校”高三第一次模拟考试（数学试题理）试卷

2023届山西省“晋商四校"高三第一次模拟考试（数学试题理）试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-l,0,l,2},B={x|（x+l）（x—2）<0},则集合A8的真子集的个数是（）

A.8B.7C.4D.3

\r-y+4>0,

2.若x,y满足约束条件（犬-2«0,且z=ox+y的最大值为2。+6,则a的取值范围是（）

x+y-2>0,

A.[—l,+oo）B.（—oo,—l]C.（―1,+oo）D.（—oo,-l）

3.若复数z=2加一l+mi（〃zeR）在复平面内的对应点在直线丁=一刀上，则三等于（）

1.11.11.

A.1+/B.1-zC.-----------1D.一一+-1

3333

4.阅读如图的程序框图，若输出的值为25,那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（）

[开始）

A.i>5B.z>8C.z>10D.z>12

5.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说:

甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）

A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了

6.复数z=二T的共根复数在复平面内所对应的点位于（）

1+2/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1—Y

7.函数“xbln;—的大致图像为（）

1+X

r22

8.若A3为过椭圆三-+v匕=1中心的弦，”为椭圆的焦点，则4耳AB面积的最大值为（）

16925

A.20B.30C.50D.60

9.若直线)，=依-2与曲线y=l+31nx相切，则％=()

11

A.3B.-C.2D.-

32

,、log,(1-x)x<0.、

10.定义在R上的函数/(x)满足/(x)='贝1J/(2O19)=()

J(X—DIX>U

A.-1B.0C.1D.2

11.1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客

人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，

发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针

落地后与直线相交的概率约为（）

1321

A.----B.—C.—D.—

17T717171

12.已知数列｛4｝是公比为2的正项等比数列，若明、。“满足2%＜册＜1024%,贝1+〃的最小值为（）

A.3B.5C.6D.1()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球。的表面上.若球。的表面积为

28肛则该三棱柱的侧面积为.

14.若幕函数/(x)=x"的图象经过点(&，；),则其单调递减区间为.

55322345

15.(^-2y)=aox+a^y+a2xy+«,xy+a4xy+a5y,则/+%+。4=•

16.若函数〃x)=sin(20x+2)-g在区间［0,句上恰有4个不同的零点，则正数口的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)等比数列｛4｝中，4=2,%=4%.

(1)求｛叫的通项公式；

(II)记S”为｛4｝的前〃项和.若£=126,求加.

2

18.(12分)已知椭圆W:、+了2=］的右焦点为尸,过点尸且斜率为攵(攵/0)的直线/与椭圆亚交于48两点,线

段A3的中点为用,。为坐标原点.

(1)证明:点M在A轴的右侧;

(2)设线段A3的垂直平分线与x轴、＞轴分别相交于点.若△ODC与_。0/的面积相等，求直线/的斜率上

19.(12分)已知函数-依+(a-l)lnx,g(x)=的最大值为L

(1)求实数8的值；

⑵当。＞1时，讨论函数“X)的单调性；

(3)当a=0时，令产(x)=2/(x)+g(x)+21nx+2,是否存在区间［加,〃仁(1,+8),使得函数在区间

上的值域为［女(加+2),左(〃+2)］?若存在，求实数4的取值范围；若不存在，请说明理由.

20.(12分)P是圆f+y2=4上的动点，尸点在了轴上的射影是。，点M满足。

-2

(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形;

(2)过点N(3,0)的直线，与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以04,08为邻边的平行四边形Q4EB的顶

点E的轨迹方程.

「231

21.(12分)已知矩阵4=,的一个特征值为4,求矩阵A的逆矩阵

t1

22.(10分)如图，直角三角形4?。所在的平面与半圆弧BD所在平面相交于BO,A8=BD=2,E,尸分别为

的中点，C是8。上异于B,£>的点，EC=6.

(1)证明:平面CEFL平面BCD;

(2)若点C为半圆弧8。上的一个三等分点(靠近点O)求二面角A-CE-3的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

转化条件得AB={0,1},利用元素个数为n的集合真子集个数为2"-1个即可得解.

【详解】

由题意得8={x|(x+1)(*-2)<0}={x[—l<x<2},

.•.A3={0,1},.•.集合A8的真子集的个数为22-1=3个.

故选：D.

【点睛】

本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.

2、A

【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断。的范围即可.

【详解】

作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为z=公+)，的最大值为2a+6,所以z=公+在点4(2,6)处取得最大值,

则一a<1,即a之一1.

故选：A

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.

3、C

【解析】

由题意得2m—1+加=0,可求得机=g,再根据共朝复数的定义可得选项.

【详解】

由题意得2加―1+加=0,解得，"=：,所以z=—1+1"所以5=-1一1，，

33333

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的几何表示和共粗复数的定义，属于基础题.

4、C

【解析】

根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i的值，进而得判断框内容.

【详解】

根据循环程序框图可知，S=0,i=l

贝!|S=l,i=3,

S=4,z=5,

S=9,i=7,

S=16,i=9,

S=25,i=l1,

此时输出S,因而i=9不符合条件框的内容，但7=11符合条件框内容，结合选项可知C为正确选项，

故选：C.

【点睛】

本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.

5、C

【解析】

假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.

【详解】

解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，

若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，

若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，

综上可得甲被录用了，

故选：C.

【点睛】

本题考查了逻辑推理能力，属基础题.

6、D

【解析】

由复数除法运算求出z,再写出其共粗复数，得共朝复数对应点的坐标.得结论.

【详解】

zz(l-2z)z+221.-21,_21一一

z===-Z-^~+~l>z=---i,对应点为(£,一£)，在第四象限•

1+2/n(1+2z)(l-2z)5555555

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查共轨复数的概念，考查复数的几何意义.掌握复数的运算法则是解题关键.

7、D

【解析】

通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.

【详解】

1—X11

函数人力二皿^—的定义域为{x|x#±l},当x=7时，/(-)=-ln3<0,排除B和C；

当x=—2时，/(-2)=ln3>0,排除A.

故选：D.

【点睛】

本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.

8、D

【解析】

先设4点的坐标为(x,y),根据对称性可得8(-x,-y),在表示出A"AB面积，由图象遏制，当点A在椭圆的顶点时,

此时△耳A8面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.

【详解】

由题意，设A点的坐标为(x,y),根据对称性可得8(-x,-y),

则MA8的面积为S=gx|0刊x|2.y|=c|y|,

当3最大时，的面积最大，

由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大,

r22

又由工+2v_=1,可得椭圆的上下顶点坐标为(0,-5),(0,5),

16925

所以A8的面积的最大值为S=cb=V169-25x5=60.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化

归与转化思想的应用.

9、A

【解析】

设切点为5,2),对y=l+31nx求导，得到了=」从而得到切线的斜率％=一,结合直线方程的点斜式化简

x/

得切线方程，联立方程组，求得结果.

【详解】

设切点为(%,5-2),

,3—=k①,

Vy=—,/.<x

■X0

5-2=1+31nX。②，

由①得5=3,

代入②得l+31n/=l,

则%=1,k=3,

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单

题目.

10、C

【解析】

推导出/(2019)=/(403x5+4)=〃4)=〃—l)=Iog22,由此能求出“2019)的值.

【详解】

•.•定义在R上的函数〃x)满足/(%)=|j[5)*〉0'

.•.”2019)=/(4O3x5+4)=/(4)=/(-l)=log22=l,故选C.

【点睛】

本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.

11、D

【解析】

根据统计数据，求出频率，用以估计概率.

【详解】

704_1

2212

故选:D.

【点睛】

本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.

12、B

【解析】

利用等比数列的通项公式和指数募的运算法则、指数函数的单调性求得-〃<10再根据此范围求(加-1)2+〃的

最小值.

【详解】

数列｛4｝是公比为2的正项等比数列，am、凡满足2a“<am<1024。“，

由等比数列的通项公式得2a「2"T<4<1()244-2"T,即2"<2"i<2"+9,

.•.2<2'"-"<2i°，可得1〈机—〃<10,且。、〃都是正整数，

求〃的最小值即求在1<加—且加、〃都是正整数范围下求加一1最小值和"的最小值，讨论加、n

取值.

二当，篦=3且〃=1时，(m-1)'+n的最小值为(3-1)2+1=5.

故选：B.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和指数幕的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思

想，是中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、36

【解析】

只要算出直三棱柱的棱长即可，在△。。田中，利用。质2+0］。2=。42即可得到关于》的方程，解方程即可解决.

【详解】

由已知，4万川=287，解得R=5,如图所示，设底面等边三角形中心为。।,

直三棱柱的棱长为x,则O|A=#x，OQ=gx，故QA2+OQ2=OA2=R2=7,

〉2

即工+工=7,解得x=26,故三棱柱的侧面积为3%2=36.

34

故答案为：36.

【点睛】

本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.

14、(0,+oo)

【解析】

利用待定系数法求出塞函数f(x)的解析式，再求出/(x)的单调递减区间.

【详解】

解：幕函数=£的图象经过点(&1),

则(0)"=g,

解得a=-2；

所以/(x)=<2,其中x«YO,0)l(0,+8)；

所以/(%)的单调递减区间为(0,+a)).

故答案为：(0,田).

【点睛】

本题考查了幕函数的图象与性质的应用问题，属于基础题.

15、121

【解析】

在所给的等式中令x=l,丁=1,令》=1,y=-l可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求.

【详解】

令x=1,y=1得(1—2)'=+a1+a、+q++4——1,令x=1,y~-1得

(l+2y=«(；—«1+«2-«3+a4-a5=243,两式相加，得2(0n+&+&)=242,所以g+g+4=121.

故答案为：121.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，考查学生分析问题的能力，属于基础题，难度较易.

【解析】

求出函数“X)的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间［0,句上，第四个零点在区间［0,句外即

可.

【详解】

由/(尢)=sin(2s+/］-1=0,得2°4+2=氏"+(—1)”•石，keZ,

\6)266

x=-［k7r+(-l)k•-,keZ、

2a)66

V/(0)=0,

1c71兀、」

——(3乃-------)<71

.2a)66切4

，，解4得H一4<2.

1n713

——(4^-d------)>71

12°66

4

故答案为：弓,2).

【点睛】

本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零

点，因此只有前3个零点在区间［0,句上.由此可得①的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)4=2"或《,=—(—2)”(II)12

【解析】

(1)先设数列｛%｝的公比为4,根据题中条件求出公比，即可得出通项公式;

(2)根据(1)的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】

(1)设数列｛q｝的公比为4,

•一%=4

••4一一一,

%

q=±2,

.・・4=2〃或〃〃二—(—2)”.

(2)4=2时，5=_A__1_/=2"-2=126，解得〃=6；

"1-2

4=—2时，5“J。-2)

«无正整数解；

综上所述〃=6.

【点睛】

本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.

18、(1)证明见解析(2)土注

4

【解析】

(1)设出直线/的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点M的横坐标即可证出；

(2)根据线段AB的垂直平分线求出点的坐标，即可求出△ODC的面积，再表示出_CM尸的面积，由ODC

与。质的面积相等列式，即可解出直线/的斜率k.

【详解】

(1)由题意，得F(G,o),直线/：-5(攵#0)

设4(西，%)，B(x2,y2),

y=k(x-y/3),

联立x22,消去y,得(4F+l)x2-8限4+(12公_4)=0,

〔厂=L

显然d>0,

1-4二+1

则点M的横坐标x“=乜产=，等，

因为“需>。

所以点”在y轴的右侧.

（2）由（1）得点用的纵坐标九=%（与一6）=二理

4k+1

Hn.“4向2

即-6k

4/+14A2+1

所以线段A3的垂直平分线方程为：y+7-=—L（x-坐-）.

-4k2+1k4炉+1

令x=0,得。（0,受竺）；令y=o,得c（土”,0）.

4k2+14V+1

H一八八八弘一如。1,3瓜,,3^2,21k1-\k\

所以°DC的面积"咏=1•I赤jI•I诉yl=MF+16

CME的面积&诩=万日3-赤^|一赤1r2《r+i）2.

因为OOC与.CM尸的面积相等，

27/.阳_3（公+1）.的加

所以2（4m+1尸一2（4%2+1尸，解得八±彳.

所以当ODC与。质的面积相等时，直线/的斜率女=±42.

4

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学

运算能力，属于中档题.

19、（1）l=0;（2）a=2时，/（x）在（0,+»）单调增；l<a<2时，/（%）在（。一1,1）单调递减，在（0,。—1）,（1,+»）

单调递增；a>2时同理/（x）在（1,。-1）单调递减，在单调递增；（3）不存在.

【解析】

分析：（1）利用导数研究函数的单调性，可得当x=!时，g（x）取得极大值，也是最大值，

由=：+b=可得结果；&)求出厂(刀)，分三种情况讨论。的范围，在定义域内，分别令/(力>0求得x

的范围，可得函数/(力增区间，尸(x)<0求得x的范围，可得函数“X)的减区间；(3)假设存在区间

[m,n]o(l,+oo),使得函数/(%)在区间|m,八|上的值域是,(根+2)，%(〃+2)],贝！I

{cJ,问题转化为关于X的方程d-xlnx+2=%(x+2)在区间(1,+8)内是否存在两

个不相等的实根，进而可得结果.

详解：⑴由题意得g'(x)=-lnx-l,

令g'(x)=0,解得x=L

e

当时，g(x)>0,函数g(x)单调递增；

当xe(：,+oo]时，g(x)<0,函数g(x)单调递减.

所以当x=，时，g(x)取得极大值，也是最大值，

e

所以8解得人=0.

\e)ee

(2)/(%)的定义域为(0,+8).

r,(xa—\—ax+tz-1(x—+l—a)

f(x)=x-a+-----=-----------------=------—----------

xxx

①。-1=1即a=2,则/'(力=(1),故〃x)在(0,+8)单调增

②若。一1<1,而a>l,故l<a<2,则当xe(a-l,l)时，/'(x)<0；

当xe(0,a-1)及xe(l,+oo)时，/'(x)>0

故"X)在(a—1,1)单调递减，在(O,a—l),(l,+s)单调递增.

③若a-l>l,即a>2,同理/(x)在(1,。-1)单调递减，在(0,1),(。-1,母)单调递增

(3)由(1)知/(%)=%2—xlnx+2,

所以F'(x)=2x-lnx+l,令。(％)=户'(％)=2%-111¥+1,则〃(%)=2-，>0对胃¥6(1,+00)恒成立，所以F'(x)

在区间（1,+8）内单调递增,

所以尸'（x）>F⑴=1>0恒成立,

所以函数尸（X）在区间（1,+8）内单调递增.

假设存在区间［加,〃仁（1,48）,使得函数尸（X）在区间上”,〃］上的值域是仅（加+2）,攵（"+2）］,

F(/n)=m2-mlnm+2-k^m+2^

则｛

F(H)=n2-nlnn+2=Z(〃+2)

问题转化为关于x的方程d-加底+2=Z（x+2）在区间（1,物）内是否存在两个不相等的实根,

即方程女=匚独竺土2在区间（1,+8）内是否存在两个不相等的实根,

x+2

x~+3元—4—21nx

令XG(1,+O)),贝!|〃(无)=

设〃(x)=x2+3x—4—21nx,xw(l,+oo),则p'(x)=2x+3--=——”、+2)>o对Vxw(l,+co)恒成立,所

xX

以函数P（”在区间（1,+8）内单调递增,

故p（x）>p（l）=0恒成立，所以“（X）>0,所以函数〃（x）在区间（1,+8）内单调递增，所以方程kJflnx+2在

x+2

区间（1,长。）内不存在两个不相等的实根.

综上所述，不存在区间上％n\o（1,母），使得函数F（x）在区间Mn\上的值域是［k（m+2）,左（〃+2）］.

点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：（1）确定函

数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果

左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个

极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.

2

20、（1）点M的轨迹C的方程为工+丁=1,轨迹C是以（-石,0）,（G,0）为焦点，长轴长为4的椭圆（2）

4

x2+4y2-6x=0（0<x<g）

【解析】

（1）设M（x,y）,根据。可求得P（x,2y）,代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是

以(-6,0),(g,0)为焦点，长轴长为4的椭圆;

(2)设]:y=%(x—3),与椭圆方程联立，利用/＞0求得公＜:；利用韦达定理表示出西+々与y+必，根据平

行四边形和向量的坐标运算求得OE，消去攵后得到轨迹方程；根据/＜《求得x的取值范围，进而得到最终结果.

【详解】

(1)设M(x,y),则Z)(x,0)

由。河=5。「知：P(x,2y)

点P在圆—+y2=4上Ax2+4y2=4

2

，点M的轨迹C的方程为：—+/=1

4

轨迹C是以卜百,0),(6,0)为焦点，长轴长为4的椭圆

(2)设七(x,y),由题意知/的斜率存在

2

设/:y=z(x—3),代入^+y2=i得：(1+4公卜2一24左23+36%2-4=0

贝!]A=(—24左2)2一4(1+4&2)(36/—4)>0,解得：k2<-

/、/、24"2

设A(%,y),3(%,%)，则％+x,=「7T

1+4公

24犷-6k

X+%="(百一3)+%(4-3)=&(%+々)-6火=-----r-6k=-----r

1+4/1+4女2

四边形为平行四边形

'24k2-6k

OE=OA+OB=(芯+%2，乂+%，)=

J+4/’1+4公

24k2

X—£

22

又OE=(x,y)1+4"一，消去女得：x+4y-6x=0

-6k

2m2_6(1+附_66fA

28

k<-5

51+4F--1+4/--―]+4/％3>

二顶点E的轨迹方程为/+4丁-6x=o[o＜尤＜|

【点睛】

本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系

式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略X的取值范围.

3'

21、A-'=；：•

.2~2.

【解析】

根据特征多项式可得/(4)=(4-2)(4-1)-3，=0,可得/=2,进而可得矩阵A的逆矩阵A，

【详解】

因为矩阵A的特征多项式/(4)=(4—2)(4-1)一3乙所以/(4)=(4一2)(4-1)-3»=0,所以=2.

-23'

因为A=,,且2x1—2x3=T#0,

21

_±.一13

4-

-3一14

1

一

所以川=-4-42I一-1

-2一