2023-2024学年上海市高一年级下册3月素养检测数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年上海市高一下册3月素养检测数学模拟试题

一、填空题

1.与角-560。终边相同的最小正角为(用弧度数表示).

【正确答案】等##，兀

99

【分析】根据终边相同的角的概念即可直接得出结果.

【详解】与角-560。终边相同的最小正角为-560°=-360°X2+160。，即瓦.

R

故答案为.掾7r

2.已知sina-cosa=,则sin2a=.

3

7

【正确答案】-

立

分析•

naa

SI-3平方，结合同角三角函数平方关系即正弦二倍角公式求解.

至

详解naca-

SIOS3两边平方得：

(sine-cosa)~=l-2sintzcos<7=l-sin2«=|-,

7

解得.sin2a=g

吗

(y

3.已知。是第二象限角，则:终边在第象限.

2----------

【正确答案】一或三

【分析】根据象限角的范围即可求出结果.

7T

【详解】由题意知万+2®<。<兀+2桁浦EZ,

则二十七兀<£<4+kit.keZ,

422

7TCfTC

当左=2〃,〃cZ时，一+2〃兀<一<一+2〃兀,〃cZ,

422

a

此时?终边在第一象限，

2

57rci3冗

当左=2〃+1,〃£2时，一+Inn<—<一+2mt,neZ,

422

（y

此时5终边在第三象限.

所若终边在第一和三象限.

故一或三.

4.在ABC中，若b=3,c=2,sinC-,则8=

3

【正确答案】彳或手

【分析】根据正弦定理即可求解.

32

b

【详解】根据正弦定理可得:sinB-\/2,解得sin8二4i

sin8sinC~T

3

0<5<7t,且6>c,二8或B=X

44

1»兀_p.37r

故;或

44

5.写出方程0sin（3x）=l在XE内的解集.

3兀11K

【正确答案】

412

【分析】根据正弦函数图像性质即可求出结果.

【详解】vV2sin（3x）=1,/.sin（3x）=

c兀r?―pc3兀r>

/.3x=—+2kit,或3x=—+2KTI,

44

it2latf712kn

/.x=----1------,或x=—i-------,

12343

3兀1171

故答案为.

412

6.已知/（sinx）=2x+l,X€H,那么/[cos|J=

37r

【正确答案】—+1

【分析】根据诱导公式代入即可得结果.

3TH_3兀.雪

【详解】/fcosjU/sinsin—=2x——F1=1,

10105

故答案为.3三兀+1

7.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，对任意占,与e(0,+8),有〃玉)[/(当)>是若

X\~X2

/(1)=0,则/(x)>0的解集为.

【正确答案】(T,0)=(1，叱)

【分析】根据函数为奇函数,由已知得函数/(x)在(0,+8)上单调递增，则函数/(x)在

(一叫0)上单调递增，又/(-1)=-/(1)=0,可得函数大致图象，结合图象即可得解集.

【详解】已知〃x)是定义在R上的奇函数，贝iJ/(x)=-/(-x),且/(0)=0

又对任意x„x2e(0,+8)且x#七，都有/⑺二/㈤>o,

x}-x2

不妨设0<芭<丫2，则再一々<0,所以/(七)-/(》2)<0,即/.(再)</(匕)，

所以函数/(X)在(0,+8)上单调递增，则函数“X)在(-8,0)上单调递增，

又/(1)=0,所以/(-1)=一/(1)=0,

则函数/(X)的大致图象如下图：

根据图象可得不等式〃x)>o的解集为.(-I,O)3I，+8)

故答案为.(-1,0)。(1，+8)

8.在aABC中，a、b、c分别为角/、B、C的对边，且满足4cos2——cos2(8+(7)=—,

则角A的大小是.

TT

【正确答案】§##60°

【分析】根据题意结合三角恒等变换运算求解即可得答案.

【详解】由4+8+。=兀，即8+。=兀一力，故2(8+C)=2兀-24

则

4cos2y-cos2(^+C)=4xI=；'"一cos(2兀-2Z)=2+2cos4-cos2/=2+2cos^-(2cos2A一-2cos2Z+2c(

可得4cos2A-4cos4+1=0,解得cos4=1,

2

因为0＜力＜兀，所以4二三.

故答案为

9.已知sina+cos(a-e)=弓，则sin(a+?)的值为.

【正确答案】-；

【分析】化简得到sin(a+F)=；,sin[+,卜-sin[+J计算得到答案.

■、士初、(兀)•退1.3.yfi和

IVrWJsina+cosa—=sma+——cosa+-sma=-sina+—eosa=——,

\6/22223

即属小+讣冬血血3+4卜-疝卜+升总

故-3

10.已知函数/(X)H『'X；。若多＜》3，且/(%)=/(*2)=/(%3)，则♦/(再)的取

值范围是.

【正确答案】(0,：

【分析】画出函数/(X)的图象，并根据方程根的个数确定每个根对应的取值范围，即可求

得表达式电8的取值范围

x2+x3

【详解】画出函数/(X)的图象如下:

BPx2+x3=4

又0＜々＜2,/（占）=〃》2），

则=々(2-xj=^ig(0%<2)

X]+X34442

f丫111

令g(x)=-++彳,(0<x<2),由二次函数图象可知，g(x)M=g(l)=-z+；=w，

g(x)>g(0)=0,

...兰丛）的取值范围为（04

々+X314

故（哈

11.已知力8。是边长为2的等边三角形.如图，将“I8C的顶点A与原点重合，在x轴

上，然后将三角形沿着x顺时针滚剜，每当顶点A再次回落到x轴上时，将相邻两个A之间

的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：

①一个周期是6；②完成一个周期，顶点A的轨迹是一个半圆；③完成一个周期，顶点A的

轨迹长度是竽；④完成一个周期，顶点A的轨迹与x轴围成的面积是g；其中说法正确的

是.

【正确答案】①③

【分析】根据题目分析出图像的运动情况，画出简图，可以得到一个周期为6,可以判断①

正确：根据运动情况完成一个周期，顶点A的轨迹是两段曲线，不是半圆，可以判断②错误;

利用弧长公式可以判断③正确；利用面积公式可以判断④错误.

【详解】如下图：

AZIBC沿着x轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：

第一步，”8C绕点8顺时针旋转至线段8c落到x轴上8c位置，

得到△4AG，此时顶点A的轨迹是以8为圆心，

|/同为半径的一段圆弧，

即顶点A由原点。沿怒运动至4位置：

第二步，△44G绕点G顺时针旋转至线段G4落在x轴上G4位置,

得到△4与6,此时顶点A的轨迹是以£为圆心，

|G4|为半行的一段圆弧，

即顶点A由4沿/运动至4位置，落到x轴，完成一个周期.

对于①，•••|”|=|取胃=@4|=2,

所以一个周期|44|=6,故①正确：

对于②，完成一个周期，顶点A的轨迹是耳和彳4组成的曲线，

不是半圆，故②错误；

对于③，由已知N4BC=N4G4=y,

ZAtBA=ZA]CtA2=y

而的摭长4=幺84忸C|=F，

AtA2的弧长A=n4G4，|G4|=~，

・•・完成一个周期，顶点A的轨迹长度为"+华=”，

333

故③正确；

如图④，完成一个周期，顶点A的轨迹与x软围成的图形为扇形B/4

,扇形G44与△44G的面积和,

Z.AXBA=Z.A}CxA2—,

_127r2_4兀

二,3扇形小=3扇形中/=/X?-x2=—,

等边边长为2,二•s扇形/画G=6,

・.・完成个周期，顶点A的轨迹与X轴围成的面积是：

4兀4兀rr8nnr

—H-----+>/3=—+。3,

333

故④错误.

故①③.

12.已知。，。{。仁)，sin(2a+/?)=2sin/?,贝ijtan夕的最大值为.

【正确答案】3

3

【分析】依题意利用和差角公式将其变形为泻"^=3tana,整理可得

1-tana-tanp

tan夕=/「n',再利用基本不等式计算可得.

1+3tana

【详解】解：sin(2a+/7)=2sin/?,

/.sin[(a+/?)+a]=2sin[(a+夕)一。],tan«>0,tan>0,

/.sin(a+/?)cosa+cos(a+4)sina=2[sin(a+y?)cosa-cos(a+〃)sina],

即3cos(a+/?)sina=sin(a+/7)cosa,

tan(a+〃)=3tana,即tan(a+/g)=：a;a+1：.

=3tana,

2tana22£

所以tan，=i+3tan%=-f-----------<—

3

+3tana2.1-3tana

tanatana

当且」一=3tana,即tana=3,等号成立，tan夕取得最大值且

tana33

故在

3

二、单选题

13.下列说法正确是()

A.角60。和角600。是终边相同的角

B.第三象限角的集合为｛幻兀+2桁444技+2版,上wz｝

C.终边在y轴上角的集合为｛ala=^7T+p*ez|

D.第二象限角大于第一象限角

【正确答案】C

【分析】根据终终边相同角的表示，可以判断A错误，C正确；根据象限角的表示可以判

断B错误；举特例可以判断D错误.

【详解】600。=360。+240。，与60。终边不相,故A错误;

第三象限角的集合为｛aE+2E<a<甘+2E,%ez1,故B错误；

终边在V轴上角的集合为]ala=2；77c+pnez|lj|a|a=2〃兀+,

即｛ala=2mr+],"eZjlj｛ala=(2n4-l>c-n|,??GZj,

即卜a=E+]"ez｝,故C正确；

120°是第二象限角，390。第一象限角，120。<390。，

故D错误；

故选：C.

14.已知一Jisinx+cosx=4sin(x-/?),其中4>0,月«0,2无),则夕=()

2兀一5兀-7兀-47i

A.—B.-—C.■-D.—

3663

【正确答案】C

【分析】利用辅助角公式化筒即可求出结果.

【详解】一0sinx+cosx=2----sinx+—cosx=2sin[x+—Jsin(x-y0)

I6

C5兀_.

—p=+2kli,

v/7e(0,27t),

"-PB=—6,

故选:C.

15.在平面直角坐标系X。中，1为第四象限角，。的终边与以2为半径的圆O交于点

2(%,八)，若cos[a+F]=g,则％=()

A43„473+3「36-44&±3

5555

【正确答案】A

【分析】由三角函数的定义知与=2cosa,因为cosa=cos+,所以利用两角差

的余弦公式可求.

【详解】在平面直角坐标系xOy中，a为第四象限角,

角的终边与半径为2的圆交于点P(4,%)，

/.xQ=2cosa

(_.71_.)兀(_.71,.Tt],)

,/aGI2kn--,2/c7ij,:.a+—e\2/ai--y2/cK+—\,kGZ

cos(a+E)=[<乎,<cos2+^+sin2+^=1

7tf_.71~

6Z+—el2E--,2knyke

.(*_3

..sinctH———

I6)5

x0=2cosa=2cos(C琮)q=2cos[acosa+2sin(ajsine

46-3

xo=飞,

故选:A

22

16.己知。，b,a,夕eR,满足sina+cos4=a,cosa+sin/?=/),0<a+b<4,有以

下2个结论：

①存在常数”，对任意的实数beR,使得sin(a+£)的值是一个常数；

②存在常数6,对任意的实数aeR,使得cos(a-p)的值是一个常数.

下列说法正确的是()

A.结论①、②都成立

B.结论①不成立、②成立

C.结论①成立、②不成立

D.结论①、②都不成立

【正确答案】B

【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将sin(a+⑶和cos(a-Q)用。，b表示即可.

【详解】对于结论①，

•/sina+cos4=a,cosa+sin夕=h,

:.a2=sin2a+2sinacos>0+cos2p,b2=cos2a+2cosasin/?+sin20,

:.a2+b2=2+2sinacos〃+2cosasin1=2+2sin(a+夕),

Asin(a+/?)=&——-,

当。为常数，beR时，sin(a+£)=正^^不是一个常数，故结论①不成立；

对于结论②，

方法一：

,:ah=(sina+cos/?)(cosa+sin/7)

=sinacosa+sinasin,+cosacos/y+sin夕cos夕

=cos(a—4)+sinacosa+sin/?cosy0

XVsin(a+/?)cos(a-/3)

二(sinacosp+cosasin(cosacos尸+sinasinf3)

=sinacosacos2/?+sin2asinpcosp+cos2asinpcos/?+sinacosasin2p

=(sin2/3+cos2夕)sinacosa+(sin?a+cos2a)sin夕cos0

=sinacosa+sinpcosf3

:.ab=cos(a-/?)+sinacosa+sin^cos^

=cos(a一夕)+sin(a+.)cos(a一,)

=cos(a-yg)+fl——-cos(«->?)

化简得cos(a-£)=学

a~+b~

.•.存在常数6=0,对任意的实数aeR,使得cos(a-£)=0,故结论②成立.

方法二：(特值法)

当a=^+/?时、b=cosa+sin/3=cosj+sin=-sin/7+sin/?=0,

兀7T

'.a-p=—,cos(a->3)=cos—=0.

.♦.存在常数6=0,对任意的实数aeR,使得cos(a-/?)=0,故结论②成立.

故选：B.

本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特

值法可以有效验证其正确性，减少运算量.

三、解答题

17.已知sina=2cosa,求：

⑴化简一4------4sin（a-2兀）cos（2兀-a）；

si\T+aJ

（2）求————的值.

sma+sinacosa-cosza-1

4

【正确答案】（Dy

（2）1

【分析】(1)利用平方关系和诱导公式即可求出结果;

(2)根据商数关系结合齐次式即可求出结果.

【详解】(1)因为sina=2cosa,sin2a+cos2a=1.

所以sin%+（萼）=1,即sin2a=g,

sina..94

------sinccosa=sirra=-.

cosa5

sincr

（2）vtancr==2,

cosa

sin2a

sin2a+sinacosa-cos2a-1

_2sincrcosa

sin%+sincrcosa-(2cos2a--1

_2sinacosa

sin2a+sinacosa-2cos2a

_2tancr

tan%+tana-2

2x2,.

=~；---------=1

2*2+2-2

18.已知0<a<3，——</?<0,tana-1,sinp=.

⑴求cos(<z-夕)的值;

(2)求tan(a-20的值,并确定a-24的大小.

【正确答案】⑴噜

3兀

(2)-1.T

【分析】(1)由tana解得sina,cosa,由sin夕求出cos夕，利用两角差的余弦公式求解

cos(a-Q)的值;

(2)由sin夕，cos夕求出tan夕，再求tan27?,利用两角差的正切公式计算tan(c-2£)的值,

并得到a-24的大小.

sina「

7Ttana=-------=7q五正,

【详解】(1)由，cosa,sina=------，cosa=

10101

sin2a+cos2a=1

又•••一］<夕<0,sinp=~~~~fcosP~~~~f

cos(a-P)=cosacos夕+sinasinp-x--x

51051010

(2)由⑴可知,tan”-；,.,2”^

,c0、tana-tan2/7,

tan(a-2/7)=-----------------=-l,

1+tanatan24

八一c37r-八3兀

，•0<a—24<cc—2夕—

TTJT

19.如图，点心是锐角a的终边与单位圆的交点，。发逆时针旋转g得。R。々逆时针旋转g

若点向(〃的横坐标是求2a+1

(2)6eN*)g,tan的值.

【正确答案】(1)上探

(2)±y

【分析】(1)根据三角函数定义结合和差公式可得:

(2)根据三角函数定义和诱导公式，分类可求得cos(a+；),然后由平方关系和二倍角公

式可得.

(34143

【详解】⑴因为点用子不，根据三角函数的定义可得sina=^,cose,,

根据题意可知点1的横坐标为:

cosfa^kcosacos^-sinasi^2d，忠

I3J33525210

(2)根掂题意可知点鸟〃+[的横坐标为cosa+-----------=cos[nr+a+—j=—,

因为所以a+；e

当"为奇数时，有cos(c+；一：＜0,所以a+ge传年sin(a+作3

53\26I3J5

所以tan(a+；)=_*，

所以tan|2a+

当〃为偶数时,sin(a+—)=—

35

所以tan(a+§i_=—3,

2tan\a+—

所以tan(2a+gj=tan21a+：TlI3.24

3兀1~

1-tan2a+—

3

20.如图所示是某斜拉式大桥图片，为了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的

结构进行了简化，取其部分可抽象成图(1)所示的模型，其中桥塔/氏与桥面4C垂直,

通过测量得知力8=50m,%。=50m,当尸为4C中点时，ZBPD=45°.

图1图2

(1)求CO的长;

(2)设=写出tan/BPD与％的函数关系式；

(3)己知命题：函数V=tanx在内为严格增函数；求证该命题为真命题，并用该命

题求解P在线段/C的何处时，/8PO达到最大，最大值为多少？

【正确答案】(l)75m

25(x+100)

(2)tanZ5PZ)=,0<x<50

x2-50x+3750

]

(3)证明见解析，2尸=25而-100时,，N3P力最大值为arctan

2^-10

【分析】(1)利用两角和的正切公式结合条件即得；

(2)利用两角和的正切公式即可求出结果；

(3)利用函数单调性定义即可进行证明；再结合基本不等式求出结果.

【详解】(1)设NBPA=a,NDPC=/3,CD=h,

h

则tana=2,tan夕=—,

2+A

由tan(a+夕)=----=tan(180°-451=-1,

解得8=〃=75m；

(2)设4尸=x(0<x<50),则tana=里,tanp=75

x50—x

5075

---卜-----

X5OY

所以tan/BPD=-tan(a+/?)=5()~5=粤吗)550.

x2-50x+375d

1---------

x50-x

(3)任取再,乙€0,5),且X]<々,

sinx.sinxsinx.co&r-sinx.cosx.=5皿3一超)<(

!?!7!

tanX]-tanx2=----------=------------------

L

COST,COST2馍即8对cosjqco&Tz

所以命题成立.

因为x2-50x+3750>0,所以tan/BPD,即N8P。为锐角，

令f=x+100e(100,150),则x=f-100,

/ccc25/25/

所以tan/BPD=-------z-----；------；--------=---------------

切以”-100)2-50(1-100)+50x75_250z+18750

25251

tanZBP£>