北京市海淀区清华附中本部2023-2024学年上学期九年级统练数学试卷一

2023-2024学年北京市海淀区清华附中本部九年级（上）统练数

学试卷（一）

一、选择题（共2小题，本题共8分，每题4分）

1.（4分）实数小〃在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

1gl।।।।।>

-3-2-10123

A.a+b>0B.\a\>bC.a>-2D.b-a<0

2.（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△£>£（?,使点A的对应点。恰好落在边

AB上，连接BE,下列四个结论：®AC=CD；®ABLEB；④CD平分NADE（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②®④

二.填空题（共2小题，本题共8分，每题4分）

3.（4分）有甲、乙两组数据，如下表所示:

甲1112131415

乙1212131414

甲、乙两组数据的方差分别为s甲2,5乙2,则$甲2$乙2（填“>”，“<”或“=

4.（4分）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝

下，排列规则如下:

ABCDEF

第一行:

第二行:

abcdef

①左至右，按数字从小到大的顺序排列;

②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边.

将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则

白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e的卡片写有数字.

三.解答题（共12小题，本题共84分，第5-6题每题5分，第7-11题每题6分，第12-13

每题8分，14-15题每题10分，第16题8分）

5.（5分）计算：（&-n）°-|1-2加件任-（1）2

2

2-4x<7+x

6.（5分）解不等式组：],4+x.

7.（6分）已知关于x的方程初7+（3-）x-3=0（m为实数，〃[W0）.

（1）求证：此方程总有两个实数根.

（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数〃?的值.

8.（6分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：直线/及直线/外一点P.

求作：直线PQ,使得PQ〃/.

作法：如图，

①在直线/上取一点4,作射线以，以点A为圆心，交外的延长线于点8；

②在直线/上取一点C（不与点A重合），作射线BC,以点C为圆心，交8c的延长线

于点Q；

③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线.

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：：A8=,CB—,

：.PQ//l（）（填推理的依据）.

9.（6分）列分式方程解应用题.

当矩形（即长方形）的短边为长边的近二1倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82

2

厘米的矩形.现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱.为了使装裱后的作品接近黄金

矩形（注：近二1七0.618）

10.（6分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD=6,AC=8,NABC=NBCD.过点。作

DE±BC,延长QE至点凡使EF=QE,CF.

（1）求证：四边形4BFC是矩形；

（2）求。E的长.

11.（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（-1,m）是直线y=-x+2上一点

（1）求8点的坐标；

（2）若直线/：y=kx-2（无#0）与线段AB有公共点，直接写出我的取值范围.

12.（8分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太

空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课.为了激发学生

的航天兴趣，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）

参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛.为了解八年级学生的太空科

普知识掌握情况，并整理成部分信息如下：

/乙校区学生成绩的频数分布直方图如图（数据分为5组：65WxV80；80Wx<85；85

Wx<90；90Wx<95；95Wx<100）：

b.乙校区的学生成绩数据在90Wx<95这一组的是：

91919294

c.两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示：

校区平均数中位数方差

甲校区89.388.542.6

乙校区89.3m87.2

根据上述信息，解答问题：

（1）；

（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是校区，

成绩更整齐的是校区（填“甲”或"乙”）；

（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分.该校计划从两个校

区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中人

13.（8分）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷

枪，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，水流的最高点与喷

枪的水平距离记为x,水流的最高点到地面的距离记为y.

y与x的几组对应值如下表：

X（单位：机）01132_534...

222

y（单位：m）12,5旦3_13Z2・・・

848284

（1）该喷枪的出水口到地面的距离为

（2）在平面直角坐标系xO），中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图

象；

（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为6垃时m（精

确到1m）.根据估算结果，计算此时水流的射程约为m（精确到1m）.

y/m木

5-

4

3

2

1

012345678910x/m

图1图2

14.(10分)在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线y=，-2fx+P-L

(1)求抛物线的顶点坐标(用含f的代数式表示)；

(2)点尸(xi，yi),Q(必然)在抛物线上，其中LlWxiWf+2,x2=1-t.

①若yi的最小值是-2,求yi的最大值；

②若对于xi，X2，都有yi<)2，求出r的取值范围.

15.(10分)已知△AOE和AABC都是等腰直角三角形，/ADE=/8AC=90°,P为AE

的中点

(1)如图1,点A、8、。在同一条直线上，直接写出。尸与BC的位置关系；

(2)将图1中的△AOE绕点A逆时针旋转，当A。落在图2所示的位置时，点C、D、

P恰好在同一条直线上.

①在图2中，按要求补全图形，并证明NBAE=N4CP；

②连接8D,交AE于点尸，判断线段B尸与。F的数量关系

16.(8分)在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C,若△A8C是以AB为一条直角

边，则称点C为线段AB的“从属点”.已知点4的坐标为(0,1).

(1)如图1,若点B为(2,1),在点Ci(0,-2),C2(2,2).C3(1,0),C4(0,

3)中，线段A3的“从属点”是；

(2)如图2,若点8为(1,0),点P在直线y=-Zr-3上，求点P的坐标；

(3)点8为x轴上的动点，直线y=4x+b(6#0)与x轴，N两点，若存在某个点B,

直接写出匕的取值范围.

1111A

123456H

图2备用图

2023-2024学年北京市海淀区清华附中本部九年级（上）统练数

学试卷（一）

参考答案与试题解析

一、选择题（共2小题，本题共8分，每题4分）

1.（4分）实数a,入在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

I：I1।」IIIA

-3-2-10123

A.a+b>0B.\a\>bC.a>-2D.b-a<0

【分析】根据题意可得-3<a<-2,再根据有理数四则运算法则，逐项判断

即可.

【解答】解：根据题意可知，--2,

A、a+b<3,不符合题意；

B、\a\>b,符合题意；

C、-3<a<-2,不符合题意；

D、b-a>2,不符合题意；

故选:B.

【点评】本题主要考查数轴，有理数运算，根据题意得到-3<a<-2,是解

题的关键.

2.（4分）如图，将aABC绕点C顺时针旋转得到使点A的对应点。恰好落在边

AB上，连接BE,下列四个结论：®AC=CD；®ABA.EB；④CD平分NAOE（）

A.①②④B.①②③C.①®@D.①②③④

【分析】由旋转的性质可得4C=CO,BC=CE,AB=DE,NA=NCDE,可判断①，由

等腰三角形的性质可判断②④，由于NA+NABC不一定等于90°,于是得到NABC+/

CBE不一定等于90°,故③错误.

【解答】解：；将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,

：.AC=CD,BC=CE,故①正确；

ZACD^/BCE,NEBC=ABEC,

：.ZA=ZADC=A(1800-ZACD)旦(180°-NBCE),

22

.•./A=/BEC,故②正确；

；将AABC绕点C顺时针旋转得到△OEC,

ZA=ZCDE,

"AC^CD,

.,./4=/4£>C,

NADC=NCDE,

即CD平分NAOE,故④正确；

；/A+/ABC不一定等于90°,

.•./ABC+NCBE不一定等于90°,故③错误；

故选：A.

【点评】本题考查了旋转的性质，解题的关键是依据旋转的性质找出相等的角和相等的

边，再通过角的计算求出角的度数是关键.

二.填空题(共2小题，本题共8分，每题4分)

3.(4分)有甲、乙两组数据，如下表所示：

甲1112131415

乙1212131414

甲、乙两组数据的方差分别为s甲2,$乙2,则$申2>S/(填">”,“V"或“=

【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得

出答案.

【解答】解：-=Ax(11+12+13+14+15)=13,

x甲5

s甲4=2[(J]-]3)3+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)8+(15-13)2]=2,

5

~=^.X(12+12+13+14+14)=13,

x乙5

S乙2=W[(12-13)2+(12-13)7+(13-13)2+(14-13)2+(14-13)4]=0.8,

5

V5>0.8,

•'•S甲8>S乙之；

故答案为：>.

【点评】本题考查方差的定义：一般地设〃个数据，加，X2,…斯的平均数为7,则方差

S2=A［（X!-X）2+（X2-X）2+-+（^-X）21.它反映了一组数据的波动大小，方差

n

越大，波动性越大，反之也成立.

4.（4分）有黑、白各6张卡片，分别写有数字I至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝

下，排列规则如下：

ABCDEF

第一行：

第二希

abcdef

①左至右，按数字从小到大的顺序排列；

②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边.

将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则

白卡片数字1摆在了标注字母B的位置,标注字母e的卡片写有数字4.

【分析】根据排列规则依次确定白1,白2,白3,白4的位置，即可得出答案.

【解答】解：第一行中8与第二行中c肯定有一张为白1,若第二行中c为白1,

•••白卡片数字4摆在了标注字母B的位置，

黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置,；

第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2,若第二行中c为白4,b只能是黑1,而A

为黑1，

.•.第一行中C为白2；

第一行中尸与第二行中c肯定有一张为白3,若第一行中尸为白3,E只能是黑7,此时

黑2在白2右边，

.•.第二行中c为白4,

...第二行中。为黑2,匕为黑3；

第一行中F与第二行中e肯定有一张为白3,若第一行中F为白4,E只能是黑3,与b

为黑2矛盾，

.•.第二行中e为白4.

故答案为：B；4.

【点评】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出

白1,白2,白3,白4的位置.

三.解答题（共12小题，本题共84分，第5-6题每题5分，第7-11题每题6分，第12-13

每题8分，14-15题每题10分，第16题8分）

5.（5分）计算：-7T）°T1--（A）-2.

2

【分析】本题涉及零指数基、负指数基、二次根式化简和绝对值4个考点.在计算时，

需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

【解答】解：原式=1-（2我-1）+2加，

=1-2V7+1+2V3.

=-2.

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决

此类题目的关键是熟练掌握负整数指数第、零指数第、二次根式、绝对值等考点的运算.

2-4x<7+x

6.（5分）解不等式组：/4+x.

【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不

等式组的解集即可.

’2-4x<2+x①

解不等式①，得-1,

解不等式②，得xW6,

所以不等式组的解集是-7<xW6.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组

的解集是解此题的关键.

7.（6分）已知关于x的方程wir2+（3-m）x-3=0Cm为实数，〃?#0）.

（1）求证：此方程总有两个实数根.

（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.

【分析】（1）根据判别式即可求出答案.

（2）由求根公式即可求出〃?的值.

【解答】解：（1）△=（3-〃?）2-6WX（-3）

=m2-6/n+9+12/w

=苏+7〃7+9

=（加+3）620

・•・此方程总有两个不相等的实数根.

（2）由求根公式，得-（3-m）土（m+3）,

2m

.♦.内=5,（巾#4）.

Xv2m

•；此方程的两个实数根都为正整数，

•••整数m的值为-1或-3.

【点评】本题考查根的判别式，解题的关键熟练运用根的判别式以及求根公式，本题属

于基础题型.

8.（6分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：直线/及直线/外一点P.

求作：直线PQ,使得PQ〃/.

作法：如图，

①在直线/上取一点A,作射线%,以点A为圆心，交物的延长线于点8；

②在直线/上取一点C（不与点A重合），作射线BC,以点C为圆心，交BC的延长线

于点。；

③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线.

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：'：AB=AP,CB=CO,

：.PQ//l（三角形中位线定理）（填推理的依据）.

【分析】（1）根据题目要求作出图形即可;

（2）利用三角形中位线定理证明即可；

【解答】（1）解：直线P。如图所示;

0,

（2）证明："：AB=AP,CB=CQ,

.•.P。〃/（三角形中位线定理）.

故答案为：AP,CQ；

【点评】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

9.（6分）列分式方程解应用题.

当矩形（即长方形）的短边为长边的近二1倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82

2

厘米的矩形.现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱.为了使装裱后的作品接近黄金

矩形（注：近二1七0.618）

【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于0.6列出方程，解方程得到答案.

【解答】解：设边衬的宽度设置为x厘米，

由题意得：82+2X=36

150+2x

解得：x=10,

经检验：x=10是原方程的解，

答：边衬的宽度应设置为10厘米.

【点评】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等

关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力.

10.（6分）如图，在四边形ABCZ）中，AB=CD=6,AC=8,ZABC=ZBCD.过点。作

DE±BC,延长OE至点尸，使CF.

(1)求证：四边形A8FC是矩形;

(2)求。E的长

【分析】(1)根据垂直的定义得到NQEC=NFEC=90°,根据全等三角形的性质得到

CF=CD,推出四边形A8FC是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；

(2)过A作AHLBC于H,根据全等三角形的性质得到AH=OE,根据三角形的面积公

式得到AH=AB"AC=6X8=4.8.于是得到结论.

BC10

【解答】(1)证明：•.♦OE_LBC,

:.NDEC=NFEC=90°,

在△£>R:与中，

rDE=EF

<ZDEC=ZFEC-

CE=CE

:.ADEC名AFEC(SAS),

:.CF=CD,ZDCE^ZFCE,

'：/A8C=NBCD,

NABC=NFCE,

：.AB//CF,

'：AB^CD,

：.CF=AB,

...四边形A8FC是平行四边形，

'：AB=6,8C=10,

：.ZBAC=90,1,

...四边形ABFC是矩形；

(2)过A作A”_LBC于H,

：./AHB=NDEC=90°,

在△ABH与aOCE中，

，ZABH=ZDCE

<ZAHB=ZDEC-

AB=CD

...△A8H丝△QCE(AAS),

：.AH=DE,

•♦《△ABC=LB・AC=2，

42

.•.AH=AP/AQ-=7X?..=4.5.

BC10

：.DE=AH=4.S.

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，

勾股定理的逆定理，证得△A8”丝是解题的关键.

11.（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（-1,机）是直线y=-x+2上一点

（1）求8点的坐标；

（2）若直线/：y=H-2（&W0）与线段4B有公共点，直接写出人的取值范围.

【分析】（1）将点4（~1,m）代入y=-x+2,求出"?，得到点A的坐标，再根据向右

平移，横坐标相加纵坐标不变求出点B的坐标；

（2）分别求出直线/：了=匕-2过点A（-1,3）、点8（3,3）时A的值，再结合函数

图象即可求出6的取值范围.

【解答】解：（1）I•点A（-l,胆）是直线y=-x+2上一点，

**•m=8+2=3.

.•.点A的坐标为（-5,3）.

...点（-1,4）向右平移4个单位长度得到点8的坐标为（3.

(2)当直线/：y=fcv-3过点A(-1,3)时,

得2=-4-2,解得k=-5.

当直线/：y=fcv-6过点8(3,3)时，

得6=34-2,解得％=3.

3

12.（8分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太

空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课.为了激发学生

的航天兴趣，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）

参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛.为了解八年级学生的太空科

普知识掌握情况，并整理成部分信息如下：

a.乙校区学生成绩的频数分布直方图如图（数据分为5组：65Wx<80；80Wx<85；85

Wx<90；90Wx<95；95^x<100）：

b.乙校区的学生成绩数据在90Wx<95这一组的是：

91919294

c.两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示：

校区平均数中位数方差

甲校区89.388.542.6

乙校区89.3m87.2

根据上述信息，解答问题:

（1），*=91；

（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是乙校区,

成绩更整齐的是甲校区（填“甲”或“乙”）；

（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分.该校计划从两个校

区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中人被选

中

7

6

5

4

3

2

1

O

【分析】（1）根据中位数的定义求即可；

（2）根据平均数、中位数和方差的意义分析即可；

（3）用两个校区竞赛成绩不低于95分用总人数减去乙校区成绩不低于95分的学生是人

数即可.

【解答】解：（1）中位数是第10个和第11个数的平均数，%=91+91；

2

故答案为：91；

（2）•••甲校区的中位数小于平均数，乙校区的中位数大于平均数，

；•高于本校区平均分的人数更多的是乙校区，

♦.♦甲校区的方差小于乙校区的方差，

,成绩更整齐的是甲校区；

故答案为：乙，甲；

（3）•••两个校区竞赛成绩不低于95分共有400X30%=120（人），乙校区成绩不低于

95分的学生有200X_L,

20

•••甲校区成绩不低于95分的学生有120-70=50（人）,

故答案为：50.

【点评】本题考查频数（率）分布直方图、平均数、中位数、方差、用样本估计总体，

解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

13.（8分）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷

枪，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，水流的最高点与喷

枪的水平距离记为x,水流的最高点到地面的距离记为y.

y与x的几组对应值如下表:

X（单位：机）0113.2_534・・・

~2~2

y（单位：m）19_5113137_2・・・

s-7V~2V7

（1）该喷枪的出水口到地面的距离为1m-,

（2）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出），与*的函数图

象；

（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为6m时3加（精

确到1〃?）.根据估算结果，计算此时水流的射程约为6m（精确到L"）.

【分析】（1）由图象可得出水口到地面的距离;

（2）直接描点可得图象；

（3）求出y与x的关系式，把x=8代入可得水流的最高点到地面的距离，再根据顶点

式得到水流轨迹的关系式，可得水流的射程.

【解答】解：（1）由图象可得，喷枪的出水口到地面的距离为1〃7,

故答案为：1;

（2）如图,

（3）由（2）得，y与x是一次函数关系，

设），=丘+6,把（5,2）代入得［b=l,

I3k+b=2

解得｛K3，

b=l

与x的关系式为y=Xx+\,

5

当x=6时，y=/"；

25

设水流轨迹w=a（x-6）2+8,

把（0,1）代入得2,

18

w=-—（%-6）‘+3,

18

当w=0时，%—8±^-.

6

水流的射程为6+返^4Cm）.

6

故答案为：3,6.

【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标得到函数关系式是解题关键.

14.（10分）在平面直角坐标系xOj中，己知抛物线y=7-2氏+「-L

（1）求抛物线的顶点坐标（用含，的代数式表示）；

（2）点P（xi，yi）,Q（12，”）在抛物线上，其中LIWXIW什2,冷=1-九

①若》的最小值是-2,求巾的最大值；

②若对于加，垃，都有“＜）明求出/的取值范围.

【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；

（2）①先确定出当时，yi的最小值为3进而求出3再判断出当x=f+2时，yi取

最大值，即可求出答案；

'X-x〉0

②先由yiV”得出（X2-制）（12+戈1-2,）>0,进而得出<21或

x2+x]-2t>0

x^-x[<0

,’1，最后分两种情况，利用LlWxiW什2,12=1-/，即可求出答案.

x2+x1-2t<0

【解答】解：（1）:产7-2a+P-f=（X-t）2-3

・••抛物线的顶点坐标为G,-/）；

（2）oVy=x2-3/x+?-t=（x-t）2-t,

・・・抛物线的对称轴为x=/,

V5>0,

・•・抛物线开口向上，

IWXB这什2,

・•・当时，yi的最小值为-1，

・・・”的最小值是-2,

1=2,

Vk-8-/|=l,|r+2-r|=8,

•二当x=/+2时，yi最大=（r+5-r）2-t=4-t=S-2=2,

即”的最大值为2；

②;点尸（xi，》6），Q（X2,72）在抛物线丫=（x-f）6-/上，

Ayi=Cxi-r）3-6”=（x2-r）5-r,

•・•对于用,X2，都有丁〈”,

・二”"兆=（X2~/）2-t-（X7-t）2+t=（X2-/）8-（XI-f）2=（X5-XI）（X2+X8-2f）

>0,

Z

,x8-X1>0fx2-X1<4

•・<或<，

X3+X]-2t>6x2+x]-5t<0

X’-Xq>0①

I、当I*J时，

乂2+乂7-21；>0②

由①知,X3>X1，

丁，-1WX7</+2,JQ=7-r,

r.1-0r+2,

T

由②知，x2+x7>2r»

Ll这X44+2,X2=5-t,

OWX2+A：3W3,

2/<6»

fVO,

即t<-1

5

2-xi<4③

II、当4时,

x2+xl-3t<0④

由③知，X2<X4»

Vz-Kxi^r+5,X2=l-tt

-t<t-1,

Ar>1,

由④知，X5+X1<26

f-3W;qWr+2,X3=1-h

0Wx4+xi<3,

4r>3,

2

即r>2；

2

即满足条件的t的取值范围为t<-匹或t>l.

27

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的

思想解决问题是解本题的关键.

15.(10分)已知△AOE和△ABC都是等腰直角三角形，NAOE=NB4C=90°,P为AE

的中点

(1)如图1,点A、B、。在同一条直线上，直接写出。尸与BC的位置关系;

(2)将图1中的绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点。、D、

「恰好在同一条直线上.

①在图2中，按要求补全图形，并证明N8AE=/4CP；

②连接B。，交AE于点F,判断线段BF与£>尸的数量关系

【分析】(1)根据△ACE是等腰直角三角形，可得AD=ED,由P为AE的中点，依据

等腰三角形性质''三线合一”，即可得至IJQPLAE；进一步证得A£〃BC,得出。PLBC；

(2)①按照题意补全图形，根据等腰三角形性质可得/BAE+/CA£>=/84C-ZDAE

=45°,即可证明结论；

②延长CP至G,使PG=OP,连接AG,BG,利用SAS证明aAPG四△AP。，

△CA。，可得NBGC=NAPG,进而可得P尸〃BG,根据平行线分线段成比例定理即可证

明结论.

【解答】解：(1),.•△4OE是等腰直角三角形，/AL>E=90°,

：.AD=ED,

为AE的中点，

：.DP±AE；

又；和AABC都是等腰直角三角形，

：.ZEAD=ZABC=45°,

J.AE//BC,

：.DP±BC；

(2)①补全图形如图2所示；

证明：•.•△AOE和△A8C都是等腰直角三角形，ZA£>E=ZBAC=90°,

：.ZDAE=45°,AD=ED,

为AE的中点，

.../ADP=/E£)P=45°,

：.ZBAE+ZCAD=ZBAC-ZDAE=45°,

"：ZCAD+ZACP^ZADP=45°,

AZBAE=ZACP；

②BF=DF.证明如下：

如图3,延长C尸至G,BG,

•:△AOE是等腰直角三角形，ZADE=90°,

：.AD=DEfZDAE=45°,

・・・P为AE的中点，

AZAPD=ZAPG=90°,AP=DP=PG,

・••△APGdA尸。(SAS),

：.AG=ADfZPAG=ZDAE=ZAGP=45°,

：.ZGAD=ZBAC=90°,

/.ZBAG-^ZBAD=ZCAD+ZBAD=90°,

/.NBAG=NCAD,

VAG=AD,AB=ACf

：.ABAG^ACAD(SAS),

AZAGB=ZADC=ISO°-ZADP=\35°,

AZBGC=ZAGB-ZAGP=90°,

ZBGC=ZAPG,

:・PF〃BG,

.­.DF=DP=4,

BFPG

：.BF=DF.