2023-2024学年广东省肇庆市高二年级上册期中数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年广东省肇庆市高二上册期中数学模拟试题

一、单选题

1.若直线经过工。,0）,44,-3如）两点，则该直线的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【正确答案】C

【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可

【详解】因为直线经过ZQ,0）,8（4,-3行）两点，

所以直线48的斜率为左=空走=-百.

1-4

设直线43的倾斜角为0,贝Ijtan6»=-Vi,

又0°4。＜180°,

所以。=120°,

所以直线43的倾斜角为120。.

故选：C

-IXU1

2.已知丫为直线/的方向向量，由分别为平面心6的法向量，则下列说法中，正确的

有（）

A.勺//%=0〃4B.〃1_L"2=a_L/?

C.V//MJol/laD.v_L〃]=/_La

【正确答案】B

【分析】由题意，根据空间向量在立体几何中的应用，可得答案.

【详解】对于A,由"7/〃；，则平面a,夕平行或重合，而a〃夕，可得〃）/〃；，故A错误;

对于B,由则a*1■夕，反之也成立，故B正确；

对于C,由则/_La,反之，由〃/a,则丫_1勺，故C错误；

对于D,由v_L〃i，则〃/a或/ua,反之，由/_La,则丫〃勺，故D错误：

故选：B.

3.若bc<o,ab>U,贝lj直线QX+勿+c=0的图象只能是()

B.

C.D.

【正确答案】D

【分析】由一般式方程转化为截距式方程，根据斜率与截距的取值，可得答案.

【详解】由题意，b^O,将方程ax+如+c=0转化为y=易知一£<0,-£>0,

bbbb

故选：D.

4.若异面直线小乙的方向向量分别是。=(0，-2,-1),6=(2,4,0),则异面直线4与4的夹

角的余弦值等于()

24

A.——cD.

5-I-45

【正确答案】D

【分析】由空间向量夹角的坐标运算求异面直线4与4的夹角的余弦值，注意夹角范围.

0-8+04

【详解】设4，，2所成的角为。，则cos6=

岳2石5

故选：D

5.已知过点尸(3,1)的直线与圆(工-1)2+(歹-2)2=5相切，且与直线x-加yT=0垂直，则加=

)

AC.-2D.2

-4B・I

【正确答案】C

【分析】先求出过点P(3,l)的直线与圆(x-l)2+(y-2)2=5相切的直线方程，利用两直线垂

直列方程求出m.

【详解】设过点尸(3,1)的直线为/.

(1)当/的斜率不存在时，直线/“=3圆(乂-1)2+。-2)2=5的圆心到/的距离为

|3-1|=2*6'，所以不是圆的切线，不合题意.

(2)当/的斜率存在时，直线/)-1=无('-3)由题意可得：啜曰=6解得：A=2.

因为/与直线xr»y-l=O垂直，所以2x^=-l,解得：m=-2.

m

故选：C

6.如图，在三棱锥。一/BC中，设04=。，OB=b，OC=c>若AN=NB，BM=2MC»

则MV=()

1X2、1Xif2>1x1,x1>1X1>

A.—a+—b——cB.——a——b+—cC.—a——b——cD.——a+-b+-c

263263263263

【正确答案】A

【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解.

..................................................1、一

【详解】MN=BN-BM=-BA--BC9

=](Q4_Q8卜3(0C-O8),

1"X1rN)

=-OA+-OB——OC,

263

1x1x2>

=—a+—b——c,

263

故选：A.

7.如图，在平行六面体/8CD-48CQI中，=4D=AB=2,NBAD=；,

TT八八

ZBAA,=ZA}AD=-,则()

DiCl

/,////

...J--'c

//z//

/B

A.12B.8C.6D.4

【正确答案】B

【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即

可.

【详解】

AB,AD}={<AB+AA^AD+AA^=AB-AD+AB-AA{+AD-AAX+AA^

nAB.AD,=0+2x2x—F2X2X—+2?=8,

1'22

故选：B

8.已知两点Z（-3,2）,8（2,l）,过点尸（0,-1）的直线与线段/B有交点，则直线/的倾斜角的

取值范围为（）

713兀]「八兀713兀

A.-y,—B.0,—

_44J4[24」

3

C八兀]D,|「_兀4,兀2），兀兀

【正确答案】A

（分析】分别求出点P与线段力8端点所成直线的斜率,即可得直线/的斜率范围，再由倾

斜角与斜率关系求倾斜角范围即可求解.

【详解】由题意：如下图所示：

T

所以心，=钊=-1，⑥8=用=1，则””（口,一1]

口,+8）,

—J—UZ—U

若直线/的倾斜角同。孙则“ta®所以。呜争,

故选.A

二、多选题

9.设直线/:ox+(2〃+3)y-3=0与〃-2)x+ay-1=0,则()

A.当。=一2时，l//nB.当a=g时，/_L〃

C.当〃/〃时，/、〃间的距离为好D.坐标原点到直线”的距离的最大值为也

22

【正确答案】ACD

【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数a,再代入验证，进而

应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线〃的距离最值,

即可判断C、D.

【详解】A：“=-2时，/:2x+y+3=0,〃：2x+y+；=0,易知〃/〃，正确；

B：a=g时，/:x+lly-9=0,〃:5x-y+3=0,则1lx(-l)+5xl=-6*0,故/_L〃不成立,

错误；

C：〃/〃时，a2=(2a+3)(a-2),则/-a-6=(a-3)(a+2)=0,可得a=3或a=-2,

当a=3时，/:x+3y-l=0,n;x+3y-\=0,两线重合，排除；

3-1I-

所以。=-2,由A知：它们的距离“=2=V5,正确；

垂)2

D：坐标原点到直线〃的距离〃="竟节=诲呆7,故所1时初l当，正确•

故选：ACD

10.下列说法中，正确的有()

A.过点尸(1,2)且在x、V轴截距相等的直线方程为x+y-3=0

B.圆Y+/=4与圆x2+/-8x-6y+16=0的位置关系是夕卜切

C.直线x-6y+l=0的倾斜角为60”

D.过点(5,4)且倾斜角为90,的直线方程为x-5=0

【正确答案】BD

【分析】利用直线的截距式方程可判断A选项；判断两圆的位置关系，可判断B选项：求

出直线的倾斜角，可判断C选项；求出所求直线的方程，可判断D选项.

【详解】对于A选项，当直线过原点时，设所求直线方程为夕=去，代入点P的坐标可得

k=2,

当直线不过原点时，设所求直线方程为x+y=〃，代入点。的坐标可得。=3.

综上所述，过点尸（1,2）且在X、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0或y=2x,故A错

误；

对于B选项，圆/+贯=4的圆心为（0,0）,半径为2,

圆/+/—8x-6y+16=0的标准方程为（x-4）2+（y-3）2=9,圆心为（4,3）,半径为3,

圆心品巨为d=,（4-0）2+（3-0）2=5=3+2,

因此，圆x?+y2=4与圆x2+V-8x-6y+16=0的位置关系是外切，B对；

对于C选项，直线x-岛+1=0的斜率为乎，该直线的倾斜角为30”，C错；

对于D选项，过点（5,4）且倾斜角为90”的直线方程为x-5=0,D对.

故选:BD.

11.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）

A.若向量｛a,6,可是空间的一个基底，则｛a+b,a-6，W也是空间的一个基底

B.若广，；0，则强的夹角是锐角

人---3

C.己知。=（-1,1,2）/=（0,2,3）,若ka+b与2a-b垂直，贝此=*

D.空间向量二（-2,-1,1），，:（3,4,5）夹角的余弦值为-立

6

【正确答案】AD

【分析】根据空间向量基底概念得到加=X〃+W+ZC,设出〃?=X]（a+。）+乂-b）+Z1C，

计算出七=守，必=土干,z=4且不全为0,A正确；B选项，举出反例；C选项，由垂直

列出方程，求出左=-1,C错误；利用空间向量夹角余弦公式求出答案.

【详解】向量｛2芯是空间的一个基底，故存在不全为0的x/,z使得任意向量

m=xa+yb+zc9

贝Ij设加=X](〃+b)+必(Q_6)+Z/=仅]+乂)+包―必1+Z[C,

x-山

r1-2

X[+必=X

对照系数可知：,X|-M=y,解得：

z=z.

IlZ=Z]

故x“M，Z|不全为0,故A正确：

若a,b共线且同向，此时满足广6>0,但夹角为0,不是锐角，B错误；

ka+h'=(-k,k,2k)+(0,2,3)=(-4,女+2,2月+3),

=(-2,2,4)-(0,2,3)=(-2,0,1),

3

由题意得：2A'+2左+3=0,解得：k―――,C错误；

4

/X卡式(-2,-1,1).(3,4.5),分56

空间向量c°s(哂=浦="+1+79+16+25=京了一不'。正确・

故选：AD

12.如图，已知长方体/BCr>-44CQ|中，四边形/8CD为正方形，AB=2,AAt=72,

E,尸分别为Z8,8c的中点.则()

A.A}E1DFB.点4、E、尸、G四点共面

C.直线CQ与平面8AGC所成角的正切值为&D,三棱锥E-GDF的体积为正

2

【正确答案】BCD

【分析】利用反证法判断A；利用直线平行判断B；利用线面角的定义判断C；利用锥体体

积公式判断D.

【详解】对于/,假设由题意知8c人平面4Eu平面Z/R/,

•1.AtE±BC,又8。1。尸=尸，.•.4E，平面/8CD,由长方体性质知力£与平面/BCD不

垂直，故假设不成立，故/错误；

对于8,连接EF,AC,4G，由于£，尸分别为48,8c的中点，.•.£尸〃ZC,又因为

长方体Z8CD-44G。，知A£//AC,:.EF"A£,所以点4、E、尸、四点共面，故8

正确；

对于C,由题意可知。C_L平面.•./OCC为直线G。与平面88。。所成角，在直

角△OCG中，CC\=近,8=2,则tan/OCC=*=7J=C,故。正确：

对于D,连接。E,C、E,AB=AD=2,则

1113

=

SyDEF=$wABCD-ADE~S'BEF-S\CDF2x2——X2x1——X1X1—-X1x2=—,利用等体积法

知：展QF=VC,-DEF=1-5VD£FCC\=}gx6=孝,故。正确

故选：BCD

三、填空题

13.过两直线2x+y-8=o与x-2y+l=0的交点，且与直线3x-4y-8=0垂直的直线的方

程为.

【正确答案】4x+3y-18=0

【分析】求出两直线交点坐标，再根据所求直线与直线3x-4y-8=0垂直，确定所求直线

斜率，再利用点斜式即可得到答案.

12x4-y—8=0Ix=3/、

【详解】根据题意可得J.2；，+i=0，解得，p=2'则两直线交点坐标为(3,2)，

4

又所求直线与直线3x-4y-8=0垂直，则所求直线的斜率为左=-§,

则所求直线方程为y-2=-g(x-3),整理得4x+3y-18=0,

故答案为.4x+3y-18=0

14.直线/：x+y-3=0被圆C：x2+V-6x+8y-ll=0截得的弦长为.

【正确答案】4近

【分析】求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线/的距离，然后利用

半径，圆心距和弦的关系可求出弦长

【详解】由f+y2_6x+8y-ll=0,得(x-3f+(y+4)2=36,

所以圆C的圆心为(3,-4),半径为6,

13-4-311-

因为圆心到直线/的距离为J一尸」=272,

72

所以直线/被圆C截得的弦长为216y2可=46.

故4近

15.已知直线/过定点4(3,2,1),且；:(1,0,1)为其一个方向向量，则点尸(3,3,2)到直线/的

距离为.

【正确答案】—

22

【分析】利用空间中的点到直线的距离公式求解即可.

八八(近向XX万

【详解】设4=4。=(0,1,1),〃X=r,则〃•〃=——

卬I22\2

16.已知圆G：(x-a)2+(y-a)2=8(a>0)与圆6：/+/-2》-2了=0没有公共点，则实数

。的取值范围为

【正确答案】0<"2或a>4

【分析】根据两圆无公共点，可知两圆相离或者内涵，故根据圆心距和两圆半径的关系即可求

解.

【详解】圆G的圆心为G(a,。)，半径4=20,圆C?的圆心为。2(1，1)，半径圆

心距|。©|=]("1)，("1)2=0|"小因为两圆没有公共点，所以两圆外离或内含，则

|。。2|>{+々或仁。2|<上々，即忘|"1|>3忘或0|"1|<&',又因为4>0,所以0<4<2

或a>4.

故答案为：0<”2或a>4.

四、解答题

17.直线4：2x+5y-12=0与直线/2：-3x+y+l=0相交于点A,直线/过点A且与直线

2x-y+l=0平行.

(1)求直线/的方程；

(2)求圆心在直线/上且过点0(0,0),8(2,0)的圆的方程.

【正确答案】(l)2x-y=0；

⑵(x-l>+(y-2)2=5.

【分析】(1)由题可得/(1,2),然后根据直线的位置关系可设/：2x-y+c=0,进而即得;

(2)根据圆的几何性质可得圆心和半径，即得.

f2x+5y-12=0[x=1/、

【详解】(1)由。-，八，可得、，即/L2,

|-3x+y+l=0[y=2'

由题可设直线/：2x-y+c=0,又直线/过点”(1,2),

所以c=0,

所以直线/的方程为2x-y=0；

(2)因为圆心在直线/上且过点。(0,0),8(2,0),

由0(0,0),8(2,0),可得线段08的中垂线方程为x=l,

由Uo,可得H，

所以圆心坐标为（1,2）,半径为厂=彳方=石，

所以圆心在直线/上且过点。（0,0）,8（2,0）的圆的方程为（*-1）2+（夕_2）2=5.

18.如图在棱长为1的正方体中，E为44的中点，尸为的中点，H为

。々的中点，K为84的中点.

（1）求直线4H到直线KC的距离;

（2）求直线FC到平面AEC,的距离.

【正确答案】（1）率

（2）当

6

【分析】（1）建立空间直角坐标系，经过计算可发现4"//KC,则直线4"到直线KC的距

离可转化成点4到直线KC的距离，然后利用向量方法进行求解即可；

（2）经过计算可发现/C〃平面/EG，则直线FC到平面/EG的距离可转化成C到平面

/EC的距离，然后利用向量方法进行求解即可

以2为原点，Dd，D£,4。所在直线分别为X,Z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系，

则4(1,0,0),c(4LOj)，G(o』,0,〃(0,0,9，《1,1,小,尸1。

所以谓［［TO1),冷［-1,0,g),则4/1长8，即4/力Kd,则4〃//KC,

所以直线4H到直线KC的距离可转化成点4到直线KC的距离,

KA,在K?上的投影向量的长度为

所以点4到直线KC的距离d=g4=粤.

所以直线4〃到直线KC的距离为当

(2)由⑴可得灌二NC：1(-1,1,-1),

设平面ZEG的法向量为1(x,y,z),

XT1

n-AE=—y-z=0一

由，2，令歹=2,则x=l,z=l,得〃=(1,2,1),

n-ACt=—x+y—z=O

因为尸3；;0,所以尸m则尸C〃平面NEC，

所以直线FC到平面的距离可转化成C到平面NEG的距离，

则CG=(O,O,-l),

|c%)二1=显

所以直线FC到平面AEC［的距离［=

|«|a6

19.已知平行四边形48co的三个顶点的坐标为4(-1,4),C(3,2).

(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.

(2)求四边形N8CO的面积.

(3)求/8C边Z8上的高所在直线方程.

【正确答案】(1)0(5,7)；

⑵24；

(3)2x+5y-16=0.

【分析】(1)利用平行四边形的性质结合中点坐标公式计算得解.

(2)求出直线BC的方程，再求出顶点A到直线BC的距离及线段BC的长即可计算得解.

(3)求出直线N8的斜率即可求得N8C边N8上的高所在直线方程.

【详解】(1)Y-8的顶点«-1,4),5(-3,-1),C(3,2),则对角线ZC中点为(1,3),

于是得对角线5。的中点是(1,3),设。(x,y),因此有辞=1,U=3'解得:x=5

7=7

所以平行四边形的顶点。(5,7).

(2)因8(-3,-1),C(3,2),即有直线8c斜率左=注少=^,直线BC的方程:

y-2=；(x-3),即x-2y+l=0,

因此，点/到直线8c的距离为上二巴1=4

而18cz6?+3?=#，

V5V5

从而得S“SCO=£X3石=24,

所以四边形的面积为24.

,-1-45

(3)依题意，直线AB的斜率G—=5'则/8C边N8上的高所在直线的斜率为

_2

f

5

于是有：y-2=-j(x-3),即2x+5y_16=0.

所以N8C边上的高所在直线的方程为2x+5y-16=0.

20.已知圆心为M的圆经过4-2,6),8(6,0),C(-8,-2)这三个点.

(1)求圆M的标准方程：

(2)直线/过点P(4,6),若直线/被圆M截得的弦长为10,求直线/的方程.

【正确答案】⑴(x+l)2+(y+l)2=50

(2)12x-35y+162=0或x=4

【分析】(1)设圆加的标准方程为(x-a『+(y-b)2=/&>0),带入三点坐标解方程组可

得答案；

(2)当直线/的斜率不存在时，得直线方程求弦长；当直线/的斜率存在时，设其方程为

y-6=k(x-4),利用圆心到直线的距离、圆的半径、弦的一半构成的直角三角形计算可得

答案.

【详解】(1)设圆股的标准方程为(》-“+(尸6)2=，&>0),

因为过4-2,6),8(6,0),C(-8,-2),所以

222

(-2-a)+(6-b)=rfa=-l

■(6-t/)2+(O-Z>)2=r2，解得"=-1,

(-8一疗+(-2-6)2十z卜=50

所以圆M的标准方程为(x+l)2+(y+l)2=50；

(2)当直线/的斜率不存在时，其方程为x=4,

x=4fx=4f%=4

由\27\2_A»解得｛/1或(久,

(x+1)+(y+l)=50[y=4[y=_6

所以直线/被圆例截得的弦长为4-(-6)=10,符合题意；

当直线/的斜率存在时，设其方程为y-6=Mx-4),即米-》-4左+6=0,

|一/+1_妹+6|_|7—5对

圆心w(-1,-1)到直线/的距离为d=

因为直线/被圆M截得的弦长为10,所以-=/+(')一,

即50=(K)+25,解得人=1|,

直线/的方程为12x-35y+162=0.

综上所述，直线/的方程为12x-35y+162=0或x=4.

21.如图，已知PZ平面N8C。，底面为矩形，PA=AD=AB=2,M,N分别为

AB,PC的中点.

(1)求证：mV//平面E4。；

(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值；

(3)求平面PA/C与平面尸/。的夹角的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析：

⑵冬

3

⑶半.

【分析】(1)若E为尸。中点，连接易证⑷必归为平行四边形，则A/N//4E,根

据线面平行的判定证结论；

(2)构建空间直角坐标系，求PD的方向向量与平面尸MC的法向量，应用向量夹角坐标表

示求线面角的正弦值；

(3)由“=(1,0,0)是面勿。的一个法向量，结合(2)并应用向量夹角坐标表示求面面角的

余弦值；

【详解】(1)若E为尸。中点，连接又M、N为AB、PC的中点，底面/8C0为

矩形，

所以NE"CD且NEJcD,^AM=-AB=-CD且/A///。，

222

所以NE"AM且NE=AM,故NMNE为平行四边形，

故MV//ZE,又MNN面P4D,4Eu面R4D,则MN〃面P4D.

(2)由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，PA=AD=AB=2,

UUU'、

所以P(0,0,2),Q(0,2,0),M(1,O,O),C(2,2,0),则尸。=(0,2,-2)，PM=(1,0,-2),

PC=(2,2,-2),

,、••，,、

若机：(x,y,z)是面PMC的一个法向量，则也魏一'-'一°,令x=2,故

[mPC=2x+2y-2z=0

..一八八八

所以尸。与平面PMC所成角的正弦值为|cos<PD,m>|=侬啾=厂4=也

\PD\\m\2V2xV63

(3)由(2)知：加二(2,-1,1)是面PMC的一个法向量，又；:(1,0,0)是面尸4。的一个法向

量，

所以cos<〃?,〃>=出幺=3=池，故平面PMC与平面尸/。的夹角的余弦值远.

|m||n|V633

22.如图多面体/8CDE/中，四边形Z8C。是菱形，入15c=60。，E4_L平面N8CZ),

EAHBF,AB=AE=2BF=2

(1)证明：平面ENC,平面E/C；

(2)在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABC