高中数学竞赛知识点

不等式块

1.排序不等式（又称排序原理）

设有两个有序数组a<a<-<a及6<b<-<b,

I2n12n

则+.・.+〃/?（同序和）

1I22nn

>ahb+…+ah（舌L序和）

1/12j2njn

>ab+ab+…+（逆序和）

1n2n-1n1

其中j,j是1，2,…，n的任一排列.当且仅当a-a=■■•=a或

12n12n

b=b=---=b时等号（对任一排列j,j,■■■,］）成立.

I2nI2n

2.应用排序不等式可证明“平均不等式”：

设有n个正数a。的算术平均数和几何平均数分别是

I2n

止匕外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到

和平方平均（在统计学及误差分析中用到）

QEE三三这四个平均值有以下关系”<G<A<e.©

"V〃nnnn

3.应用算术平均数一一几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式.

柯西(Cavchy)不等式：设a、a、a,…，a是任意实数，则

I23n

等号当且仅当b=ka(k为常数，i=1,2,…，")时成立.

4.利用排序不等式还可证明下述重要不等式.

切比雪夫不等式：若a<a<•-<a，h<h<•••</?，

12n12n

rn.iah+ab+-・•+〃/?a+〃H--------\-ab+b+••・+/?

则-J—J----2_2----------->—1---------------2------------------a.­—1-------2-----------a-.

nnn

例题讲解

1•a,b,c>0,求证：ab(a4-/?)+bc(b+c)+ca(c+a)>6abe.

2.a,b,c>0>求证：a^bhec>(abc)3

.c./〃2+Z72/?24-C2C2+Q2。3。3

o•a,/?,cwR+,+。+cW---------+---------+----------«—+—+—.

2c2a2bbecaab

4.设a,a,…,aeN*，且各不相同,

I2n

会［正.t111/aaa

23n12232〃2

5.利用基本不等式证明+。2+c22ab+be+ca.

6.已矢口。+。=1,“/20,求证：04+/>4>1.

8

7.利用排序不等式证明G44

8.证明：对于任意正整数R,有（1+1）,,<（I+_L）.+L

nn+1

9.n为正整数，证明：4（1+«）^-11<1+-+-+-1）»^.

23n

例题答案：

1.证明：ab（a4-/?）+bc（b+c）+ca（c+«）-6ahc

评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在

因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明02+。2+。22必+儿+四时，可将

Q2+。2

-（Q〃+/?C+CQ）配方为1［（〃一份2+（b—C）2+（C-Q）2］，亦可利用〃2+人2>2ab,

2

h2+c2>2hc.c2^a2>2ca,3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.

2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.

不等式关于对称，不妨〃2。2c,则a-瓦匕-CM-c£R+,且2,生

bc

2都大于等于1.

C

评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定〃个字母的大小顺序，可方便解题.

（2）本题可作如下推广:若a>0（i=1,2,…则a4。4.N

/12n

a,+a-i-Fa

（67a…a）'n

12n

（3）本题还可用其他方法得证。因a“4Na鲂”，同理bbcc>bccb,cca(t>c^ac9

另aabbCc>QabbCc,4式相乘即得证.

（4）设〃NbNcNO,则igaNigbNigc.例3等价于alga+big62algb+Mga,类似例4可

证alga+blgb+cigc2algb+blgc+ciga2algc+blgb+ciga.事实上，一般地有排序

不等式（排序原理）：

设有两个有序数组a<a<--<a,b<b<•••</?，则a/?+abH---------\-ab（顺序

I2n12nII22itn

和）

>ab+ab+•••+«b（舌L序和）

1A2j2〃jn

>ab+ahd--------ab（逆序和）

1n1〃-1n1

其中j,j,…，j是1,2,…，儿的任一^排列.当且仅当a=a=…=a或匕=b='••=/?

12n12n12n

时等号成立.

排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为

两个有序数组的积的形式.如

,,4262c2、，1,111,11

>a2〃+/72-C+C2•%——H-------+—>a+Z?+C=Q21-/?2FC2•一之〃2卜b2FC2.一•

bcabcaabc

3.思路分析：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证

明.

不妨设Q282C,则Q22/?22c2,1212,则Q2.1+/?2.J_+C2.1（乱序和）

cbacab

2〃2.J_+02.J_+C2.1（逆序和），同理Q2.2+。2.J_+C2._L（乱序和）

abccab

>a2-L+b2.L+ci-L（逆序和）两式相加再除以2,即得原式中第一个不等式.再考

虑数组03>加>C3及之±>±,仿上可证第二个不等式.

beacab

4.分析：不等式右边各项幺._1；可理解为两数之积，尝试用排序不等式.

设，…，b是a,a，…,a的重新排列，¥两足A<b<…<b,

又1>J_〉_L>…〉_L.

2232

所以a+4+M+...+L淮+幺+人+…+2_.由于,-b是互不相同的正整数,

12232n12232〃212〃

故b之1力>2,•••,/?从而？+幺+组+...+幺_21+1+...+1,原式得证.

12n19?2)7n

评述：排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，a2+b2>a-h+b-a,

5.思路分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用

塾谈的方法.

a2+b2>2必同理加+c3N2bge2+a2>2ca;三式相加再除以2即得证.

评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等

技巧.

如或+合+...+£"+X+…+X，可在不等式两边同时加上X+X+…+X+X.

XX

再如证（4+1）9+1）（0+'）33+。）3225642吠3（兄儿。〉0）时，可连续使用基本不等

式.

（2）基本不等式有各种变式如（竺£）24竺士竺等.但其本质特征不等式两边的

22

次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2,系数和为1.

6.思路分析：不等式左边是a、方的4次式，右边为常数1,如何也转化为a、b

8

的4次式呢.

要证Q4+>\即证Q4+加之1（a+6）4.

88

评述：（1）本题方法具有一定的普遍性.如已知X+x+x=l,x20,求证：

123I

X3+X3

12

+心21右侧的1可理解为l（x+x+x）3.再如已知X+X+X=0,求证：XX+XX

3-3,331231231223

+xx<0,此处可以把0理解为3（x+x+X”，当然本题另有简使证法.

318123

（2）基本不等式实际上是均值不等式的特例.（一般地，对于〃个正数

a,a，…a）

12n

调和平均“_

nil1

—+—+…+—

aaa

I2

几何平均G=Ja-a•••«

“、12n

算术平均A”

n

平方平均Q…运

这四个平均值有以下关系：H<G<A<Q，其中等号当且仅当

nnnn

a-ci=•,•=〃时成乂•

12n

7.证明：令b==1,2,…则bb…b=1,故可取x,x,->•%>0，使得

i（~r12n12n

b-=巴>，…/•/=匕■由排序不等式有:

1x2xxnx

23n1

=土_+'+..・+匕一（乱序和）

X