八年级数学下册同步讲义（人教版）：第12课 菱形（教师版）

第12课菱形

号目标导航

课程标准

1.理解菱形的概念.

2.掌握菱形的性质定理及判定定理.

极划识精讲

知识点01菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

注意：

菱形的定义的两个要素：

①是平行四边形.

②有一组邻边相等.

即菱形是一个平行四边形,然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

知识点02菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等;

2.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形,有两条对称轴(对角线所在的直线),对称轴的交点就是对称中心.

注意：

(1)菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.

(2)菱形的面积由两种计算方法：

一种是平行四边形的面积公式：底X高；

另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和).实际上，任何一个对角线互相垂直的四

边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

(3)菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

知识点03菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

注意：

前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四

条边相等.

1二£能力拓展

考法01菱形的性质

【典例1】如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，/B=NEAF=60°,ZBAE=18°.求/

CEF的度数.

【分析】

由已知NB=60°,ZBAE=18°,则NAEC=78°.欲求NCEF的度数，只要求出NAEF的度数即可，由/

EAF=60°,结合已知条件易证4AEF为等边三角形，从而/AEF=60°.

【答案与解析】

解：连接AC.

四边形ABCD是菱形，

AB=BC,ZACB=ZACF.

又：NB=60°,

AABC是等边三角形.

NBAC=/ACB=60°,AB=AC.

ZACF=ZB=60°.

又：ZEAF=ZBAC=60°

ZBAE=ZCAF.

AABE^AACF.

AE=AF.

Z\AEF为等边三角形.

ZAEF=60°.

又：ZAEF+ZCEF=ZB+ZBAE,/BAE=18°,

：.ZCEF=18°.

【点睛】当菱形有一个内角为60。时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度

数.在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系.

【典例2］如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的

最小值为（）

A

E

A.1B.2C.3D.4

【分析】作F点关于BD的对称点F,则PF=PF,由两点之间线段最短可知当E、P、F在一条直线上时，EP+FP

有最小值，然后求得EF的长度即可.

【答案】C.

【解析】

解：作F点关于BD的对称点F,则PF=PF,连接EF交BD于点P.

；.EP+FP=EP+FP.

由两点之间线段最短可知：当E、P、F在一条直线上时，EP+FP的值最小，止匕时EP+FP=EP+FP=EF.

•.•四边形ABCD为菱形，周长为12,

；.AB=BC=CD=DA=3,AB//CD,

VAF=2,AE=1,

；.DF=AE=1,

•••四边形AEFD是平行四边形，

；.EF=AD=3.

.-.EP+FP的最小值为3.

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题，明确当E、P、F在一条直线上时EP+FP

有最小值是解题的关键.

【即学即练】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E是AB的中点，如果EO=2,求四边

形ABCD的周长.

【答案】

解：回四边形ABCD为菱形，

0BO=DO,即O为BD的中点，

又HE是AB的中点，

EIEO是回ABD的中位线，

0AD=2EO=2x2=4,

回菱形ABCD的周长=4AD=4x4=16.

考法02菱形的判定

【典例3］如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm,射线AGHBC,点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的

速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s).

(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时，求证：0ADE0EICDF；

【分析】

(1)由题意得至IJAD=CD,再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS

即可得证；

(2)若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6,由E的速度求出E运动的时间即可.

【答案与解析】

(1)证明：EAGEIBC,

00EAD=0DCF,EIAED=0DFC,

团D为AC的中点，

0AD=CD,

在E1ADE和回CDF中，

rZEAD=ZDCF

<ZAED=ZDFC，

AD=CD

EHADEEBCDF(AAS)；

(2)解：①若四边形ACFE是菱形，贝|有CF=AC=AE=6,

则此时的时间t=6+l=6(s).

故答案为：6s.

【点睛】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.

【即学即练】已知，在AABC中，AB=AC=a,M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交

AC于P,交AB于Q.

⑴求四边形AQMP的周长；

(2)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.

【答案】

解：⑴VMQ/7AP,MP〃AQ,

四边形AQMP是平行四边形

.*.QM=AP

又：AB=AC,MP〃AQ,

.*.Z2=ZC,APMC是等腰三角形，PM=PC

；.QM+PM=AP+PC=AC=a

四边形AQMP的周长为2a

(2)M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.

:M位于BC的中点时,易证4QBM与4PCM全等,

；.QM=PM,

四边形AQMP为菱形

考法03菱形的综合应用

【典例4］如图所示，菱形ABCD中，AB=4,ZABC=60°,ZEAF=60°,/EAF的两边分别交BC、CD于E、

F.

(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE+CF的值.

(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论.

【分析】

⑴由菱形的性质可知AB=BC,而/ABC=60°,即联想到4ABC为等边三角形，ZBAC=60°,又/EAF

=60°,所以/BAE=NCAF,可证△BAEg/XCAF,得至ljBE=CF,所以CE+CF=BC.

(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化.

【答案与解析】

解:(1)连接AC.

在菱形ABCD中，BC=AB=4,AB〃CD.

ZABC=60°,AB=AC=BC,ZBAC=ZACB=60°.

ZACF=60°,即/ACF=NB.

ZEAF=60°，ZBAC=60°，

ZBAE=ZCAF.

△ABE^AACF(ASA),

BE=CF.

CE+CF=CE+BE=BC=4.

(2)CE—CF=4.连接AC如图所示.

NBAC=NEAF=60°,

・•・ZEAB=ZFAC.

*.•NABC=NACD=60°,

・•・ZABE=ZACF=120°.

*.•AB=AC,

AABE^AACF(ASA),

・•・BE=CF.

・•・CE—CF=CE—BE=BC=4.

【点睛】

⑴菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等.

⑵注意菱形中的60。角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联

系.

羔分层提分

题组A基础过关练

1.下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是()

A.内角和为360。B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直

【答案】C

【解析】

【分析】

矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项

即可得出答案.

【详解】

A、菱形、矩形的内角和都为360。，故本选项错误；

B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；

C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确

D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，

故选C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.

2.下列条件中，能判定。ABC。是菱形的是（）

A.AC=BDB.AB0BCC.AD=BDD.ACS\BD

【答案】D

【解析】

【分析】

根据菱形的判定条件即可得到结果；

【详解】

解：国四边形4BC。是平行四边形，

团当时，四边形A8CD是菱形；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了菱形的判定，准确理解条件是解题的关键.

3.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DHIBAB于H,则DH等于（）

A.—B.—C.5D.4

55

【答案】A

【解析】

【分析】

根据菱形性质求出A0=4,0B=3,团AOB=90。，根据勾股定理求出AB,再根据菱形的面积公式求出即可.

【详解】

回四边形ABCD是菱形，

0AO=OC,BO=OD,AC0BD,

EIAC=8,DB=6,

0AO=4,0B=3,0AOB=9O°,

由勾股定理得：AB=J32+42=5,

团S菱形ABCD=_xACxBD=ABxDE,

故选：A.

本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD=gxACxBD=ABxDH是解

2

此题的关键.

4.如图，已知菱形的两条对角线分别为6c机和8cm则这个菱形的高。£为（）

A.2AcmB.4.8c:wC.5cmD.9.6cm

【答案】B

【解析】

【详解】

解：如图所示：

回四边形ABCD是菱形,

0OA=^AC=4,0B=；BD=3,AC0BD,

0AB=7(9A2+OB2=A/42+32=5，

团菱形ABCD的面积=AB・DE=gAJBD=gx8x6=24,

24

团DE=——=4.8；

5

故选B.

5.菱形的两条对角线长分别为6,8,则它的周长是（）

A.5B.10C.20D.24

【答案】C

【解析】

【分析】

根据菱形的对角线互相垂直且平分这一性质解题即可.

【详解】

解：国菱形的对角线互相垂直且平分，

回勾股定理求出菱形的边长=5,

团菱形的周长=20,

故选C.

【点睛】

本题考查了菱形对角线的性质，属于简单题，熟悉概念是解题关键.

6.如图，在菱形ABCD中,AB=5,EIBCD=120°,则EIABC的周长等于【

A.20B.15C.10D.5

【答案】B

【解析】

【详解】

0ABCD是菱形，0BCD=12O°,EBB=60°,BA=BC.

H3ABC是等边三角形.EBABC的周长=3AB=15.故选B

7.如图，四边形48。是菱形，对角线AC,8。相交于点。，于点H,连接OH,0CAD=20°,则

aDH。的度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据菱形的性质得OD=OB,AB回CD,BD团AC,则利用DH回AB得至UDH回CD,回DHB=90°,所以OH为RtADHB

的斜边DB上的中线，得至!JOH=OD=OB,利用等腰三角形的性质得回1=MHO,然后利用等角的余角相等

即可求出团DHO的度数.

【详解】

解：团四边形ABCD是菱形，

团OD=OB,AB团CD,BD团AC,

团DH回AB,

团DH团CD,团DHB=90°,

0OH为RtADHB的斜边DB上的中线，

团OH=OD=OB,

团R11=R]DHO,

团DHR1CD,

团团1+回2=90°,

团BD团AC,

回团2+回DCO=90°,

团团1=R]DCO,

团R]DHO=R]DCA,

回四边形ABCD是菱形，

回DA=DC,

酿CAD=mDCA=20°,

回团DHO=20°,

故选A.

D

【点睛】

本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于

中考常考题型.

8.如图，任意四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点，对于四边形EFGH的形状,

某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）

A.当E,F,G,H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形

B.当E,F,G,H是各边中点，且ACI3BD时，四边形EFGH为矩形

C.当E,F,G,H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

D.当E,F,G,H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析:

根据题意，可知，连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断：

A.当E,F,G,H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE,故四边形EFGH为菱形，故A正确；

B.当E,F,G,H是各边中点，且ACI3BD时，EIEFG=I3FGH=EIGHE=9O。，故四边形EFGH为矩形，故B正确;

C.当E,F,G,H不是各边中点时，EF0HG,EF=HG,故四边形EFGH为平行四边形，故C正确；

D.当E,F,G,H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误；

故选D.

考点：中点四边形

9.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,CEEBD,DE0AC,若AC=2,则四边形CODE的周长是（）

A.2.5B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

由CEE1BD,DE0AC,可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得

0C=0D=3,即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案.

【详解】

解：ECE0BD,DE0AC,

回四边形CODE是平行四边形，

回四边形ABCD是矩形，

0AC=BD=2,OA=OC,OB=OD,

0OD=OC=-AC=1

2

回四边形CODE是菱形，

回四边形CODE的周长为：40c=4x1=4.

故选C.

【点睛】

本题考查了矩形性质和菱形判定和性质的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

10.如图，在周长为12的菱形488中，AE=1,AF=2,若尸为对角线加»上一动点，则EP+FP的最小

值为（）

C

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【详解】

试题分析：作F点关于BD的对称点F,则PF=PF,连接EF交BD于点P.

0EP+FP=EP+F,P.

由两点之间线段最短可知：当E、P、F在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+FP=EF.

回四边形ABCD为菱形，周长为12,

0AB=BC=CD=DA=3,AB0CD,

0AF=2,AE=1,

0DF=AE=1,

团四边形AERD是平行四边形，

0EF,=AD=3.

0EP+FP的最小值为3.

故选C.

考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题

题组5能力提升练

11.如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,试添加一个条件：—，使得平行四边形

ABCD为菱形.

【答案】AD=DC（答案不唯一）

【解析】

【详解】

试题分析：由四边形ABCD是平行四边形,

添加AD=DC,根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD为菱形；

添加ACBBD,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD为菱形.

答案不唯一.

12.已知菱形ABCO的面积是12cm2,对角线AC=4cm,则菱形的边长是cm.

【答案】岳

【解析】

【详解】

分析：根据菱形的面积公式求出另一对角线的长.然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求

出菱形的边长.

详解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12x2+4=6,

回菱形的对角线互相垂直平分，

根据勾股定理可得菱形的边长=在方=屈cm.

故答案为相.

点睛：此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直.

13.如图，四边形ABC。是菱形，。是两条对角线的交点，过。点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当

菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为.

【答案】12

【解析】

【分析】

根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的

一半求出面积解答.

【详解】

回菱形的两条对角线的长分别为6和8,

团菱形的面积=gx6x8=24,

00是菱形两条对角线的交点,

团阴影部分的面积=gx24=12.

故答案是：12.

【点睛】

本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关

键.

14.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,过点A作AH0BC于点H,连接0H.若0B=4,S»ABCD=24,

则0H的长为.

【答案】3

【解析】

【分析】

由四边形ABCD是菱形，0B=4,根据菱形的性质可得BD=8,在根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半

求得AC=6,再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得0H的长.

【详解】

回四边形ABCD是菱形，0B=4,

EIOA=OC,BD=2OB=8；

团S菱形ABCD=24,

团AO6；

回AH团BC,OA=OC,

0OH=yAC=3.

故答案为3.

【点睛】

本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式（菱形的面

积等于两条对角线乘积的一半）求得AC=6是解题的关键.

15.如图，在边长为10的菱形ABC。中，对角线16,点。是线段8。上的动点，。国48于E,OF^AD

于F.则OE+OF=.

A

E

c

g、48

【答案】y

【解析】

【分析】

连接AC交8。于尸点，延长EO交CQ于G点，根据菱形的性质求出AC的长度，并证明OF=OG,从而

OE+OF=EG,利用菱形的面积公式求解EG即可.

【详解】

如图所示，连接AC交3。于P点，延长E。交C。于G点，

根据菱形的性质得：AB=10,BP=8,0Ap8=90°,

回在中，根据勾股定理得：AP=6,

E1AC=2AP=：L2,

又根据菱形的对称性得：OF=OG,

团OE+OF=EG,

根据菱形的面积公式：^AC.BD=AB.EG,

0-xl2xl6=lOEG,

2

解得：EG盗48

48

即：OE+OF=——，

5

48

故答案为：—.

【点睛】

本题考查菱形的性质以及面积公式，理解菱形的面积可由对角线乘积的一半进行计算是解题关键.

16.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形,

【答案】AD=BC.

【解析】

【详解】

菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线

互相垂直平分.据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC.等.答案不唯一.

解：条件是AD=BC.

I3EH、GF分另I］是EIABC、I3BCD的中位线，

fflEH0=-BC,GFffl=-BC,

22

BEHH=GF,

国四边形EFGH是平行四边形.

要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC,这样，GH=^AD,

0GH=GF,

回四边形EFGH是菱形.

17.如图，在菱形ABCD中，ZB=60°,E,H分别为A8,BC的中点，G,尸分别为线段H。，CE的中点.若

线段尸G的长为26，则A2的长为.

HC

【答案】8

【解析】

【分析】

连接CD并延长，交AD于点M,连接EM,作ANEIEM于N,先证明EIDh/IGEBHCG,得到。M=C”=^BC=^AD,

进而证明AE=AM,再根据FG为EICEM中位线求出EM,根据等腰三角形性质得到EN=?EM=2若，EIAEN=30°,

即可求出AE,进而求出AB即可.

【详解】

解：连接CG并延长，交AD于点M,连接EM,作AN回EM于N,

回四边形ABCD为菱形，0B=6O°,

SAD0BC,AD=BC=AB

00EAM=12O°,0DMG=0HCG,

0G为DH中点，

0DG=HG,

[fflMGD=R]CGH,

00DMG00HCG,

0DM=HC,CG=MG,

0H为BC中点，

^DM^CH^-BC^-AD,

22

0AM=-AD,

2

既为AB中点，

0AE=-AB,

2

0AE=AM,

即为CE中点，G为CM中点，

0FG为团CEM中位线，

SME=2FG=4y/3,

EIAE=AM,EEAM=120°,ANEEM,

EIEN=；EM=2石，回AEN=30°,

0AE=2AN=4,

回AB=2AE=8.

故答案为：8

【点睛】

本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强,

根据已知条件添加辅助线构造全等三角形，等腰三角形是解题关键.

题组C培优拔尖练

18.如图，在四边形ABCD中，ABDC,AB^AD,对角线AC,BD交于点、O,AC平分N&4O,过点C

作CELAB交A3的延长线于点E,连接0E.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB=5BD=2,求OE的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

【详解】

分析：（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可.

（2）根据菱形的性质和勾股定理求出=J.2_o牙=2.根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即

可求解.

详解：（1）证明：EAB0CD,

SZCAB=ZACD

回4。平分/区4£)

0ZC4B=ZC4£>,

SZCAD=ZACD

0AD=C£)

5^AD=AB

0AB=CD

X0AB0CD,

回四边形ABCD是平行四边形

又E1AB=AD

0ABC。是菱形

(2)解：团四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点、0.

0AC1BD.OA=OC=-AC,OB=OD=-BD,

22

SOB=-BD=l.

2

在Rt_AO3中，ZAOB=90°.

0OA=V>1B2-OB2=2-

0CE1AB,

EINAEC=9O°.

在RtAEC中，ZAEC=90°.。为AC中点.

^\OE=-AC=OA=2.

2

点睛：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练

掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.

19.如图，矩形A8C。中，AB=6,BC=4,过对角线8。中点。的直线分别交AB,CO边于点E,F.

(1)求证：四边形BED尸是平行四边形；

(2)当四边形BED尸是菱形时，求所的长.

E

【答案】(1)证明见解析；(2)”片.

3

【解析】

【分析】

(1)根据矩形ABCD的性质，判定EIB0EH3D0F(ASA),进而得出结论；

(2)在RtEIADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE,由勾股定理求出BD,得出0B,再由勾股定理

求出E0,即可得出EF的长.

【详解】

(1)证明：回四边形ABCD是矩形，。是BD的中点，

00A=9O°,AD=BC=4,AB0DC,OB=OD,

00OBE=0ODF,

在自BOE和EIDOF中，

ZOBE=ZODF

OB=0D

ZBOE=ZDOF

00BOEEI0DOF(ASA),

0EO=FO,

回四边形BEDF是平行四边形；

(2)当四边形BEDF是菱形时，BD0EF,

设BE=x,贝ljDE=x,AE=6-x,

在RtEIADE中，DE2=AD2+AE2,

0x2=42+(6-x)2,

13

解得：x=

0BD=7AD2+AB2=2岳,

0OB=yQD=y/l3，

0BD0EF,

0EO=-OB2=,

EIEF=2EO=MI.

3

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和

勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键

20.在RtlSABC中，ElBAC=9(r,D是BC的中点，E是AD的中点.过点A作AFEIBC交BE的延长线于点F

(1)求证：0AEFB0DEB；

(2)证明四边形ADCF是菱形；

(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.

【答案】([)证明详见解析；(2)证明详见解析；(3)10.

【解析】

【分析】

(1)利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；

(2)由(1)可得AF=BD,结合条件可求得AF=DC,则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角

形的性质可证得AD=CD,可证得四边形ADCF为菱形；

(3)连接DF,可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案.

【详解】

(1)证明：BAF^\BC,

SEAFE=^DBE,

BE是AD的中点，

^\AE=DEf

在妫尸E1和团D3E1中，

ZAFE=ZDBE

</FEA=/BED

AE=DE

^\AFE^\DBE(AA5)；

(2)证明：由(工)知，^AFE^DBE,则A尸二

她。为3C边上的中线

国DB=DC,

⑦AF=CD.

团四边形ADCF是平行四边形，

00BAC=9O°,。是BC的中点，E是AD的中点,

E1A£)=OC=；BC,

团四边形ADCF是菱形；

团四边形A3。尸是平行四边形，

^\DF=AB=5,

团四边形4OCF是菱形，

as菱形ADCF二；AC-DF^yx4x5=10.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的

应用.

21.如图，在I3ABCD中，AEEIBC,AF0CD,垂足分别为E,F,且BE=DF

(1)求证：E1ABCD是菱形；

(2)若AB=5,AC=6,求EIABCD的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)s平行四边形ABCD=24

【解析】

【分析】

(1)利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；

(2)连接BD交AC于0,利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题;

【详解】

(1)团四边形ABCD是平行四边形,

00B=0D,

0AE0BC,AF0CD,

00AEB=0AFD=9O0,

0BE=DF,

EHAEBEBAFD,

0AB=AD,

回四边形ABCD是菱形；

(2)连接BD交AC于。，

团四边形ABCD是菱形，AC=6,

0AC0BD,

AO=OC=；AC=《x6=3,

EIAB=5,A0=3,

0BO=y/AB2-AO2=为2-32=4，

0BD=2BO=8,

本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、

正确添加辅助线是解题的关键.

22.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,E是AD的中点，点F,G在AB上，EF0AB,OG0EF.

(1)求证：四边形0EFG是矩形；

(2)若AD=10,EF=4,求0E和BG的长.

D

【答案】⑴见解析；(2)OE=5,BG=2.

【解析】

【分析】

⑴先证明E0是回DAB的中位线，再结合已知条件0GI3EF,得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF0AB,

得到四边形OEFG是矩形；

(2)先求出AE=5,由勾股定理进而得到AF=3,再由中位线定理得到0E=gAB=gAD=5,得到FG=5,最后

BG=AB-AF-FG=2.

【详解】

解：⑴证明:国四边形ABCD为菱形，

回点。为BD的中点，

回点E为AD中点，

EIOE为I3ABD的中位线，

0OE0FG,

EIOGEIEF,国四边形OEFG为平行四边形

0EF0AB,团平行四边形OEFG为矩形.

(2)回点E为AD的中点,AD=10,

(3AE=-AD=5

2

B3EFA=90°,EF=4,

El在RtHAEF中，AR=<AE。-EF。=752-42=3.

团四边形ABCD为菱形，

0AB=AD=1O,

0OE=yAB=5,

回四边形OEFG为矩形，

0FG=OE=5,

0BG=AB-AF-FG=lO-3-5=2.

故答案为：0E=5,BG=2.

【点睛】

本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，特殊四边形的性质和判定属于中考常考

题型，需要重点掌握.

23.如图，在一ABC中，点。、E分别是边BC、AC的中点，过点A作A/〃交。E的延长线于尸点，连

接AD、CF,过点。作。于点G.

⑴求证：四边形是平行四边形：

(2)若43=3,BC=5.

①当AC=时，四边形ADC尸是矩形；

②若四边形AD