第13讲 圆中的线段计算专题(解析版)

第13讲圆中的线段计算专题【知识点睛】圆中线段计算口诀——“圆中求长度，垂径＋勾股”弦长、半径、直径是圆中的主要线段，相关计算主要利用垂径定理及其推论，构造“以半径、弦心距、弦长一半为三边的直角三角形”，通过勾股定理列方程求解；圆中模型“知2得3”由图可得以下5点：①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤；以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。常做辅助线：连半径、作弦心距、见直径连弦长得直径所对圆周角【类题训练】1．下列说法，其中正确的有（）①过圆心的线段是直径②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形③大于半圆的弧叫做劣弧④优弧大于劣弧⑤长度相等的两条弧是等弧⑥圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆⑦平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧⑧圆中最长的弦是直径⑨三点确定一个圆A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据等弧，垂径定理，轴对称图形，半圆等知识一一判断即可．【解答】解：①过圆心的弦长是直径，线段不一定，所以①不正确；②由扇形概念可知，正确；③大于半圆的弧是优弧，所以③不正确；④在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，所以④不正确；⑤长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定是等弧，所以⑤不正确；⑥根据同心圆的定义可知，正确；⑦直径平分的弦必须是非直径的弦，不然不一定垂直于弦，所以⑦不正确；⑧正确；⑨不在同一直线上的三个点确定唯一一个圆，共线的三点不能确定一个圆，所以⑨不正确。综上，正确的有②⑥⑧3个故选：C．2．如图，弓形ADB的跨度AB＝8，高CD＝3，则弓形所在圆的直径长为​（）A．5 B．10 C． D．【分析】设弓形所在圆的圆心是O，圆的半径是r，连接OC，OA，由勾股定理得到r2＝（r﹣3）2+42，求出r的值，即可得到答案．【解答】解：设弓形所在圆的圆心是O，圆的半径是r，连接OC，OA，由题意知O、C、D共线，∵AB＝8，∴AC＝AB＝4，∵高CD＝3，∴OC＝r﹣3，∵OA2＝OC2+AC2，∴r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴弓形所在圆的直径长2r＝．故选：C．3．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由题意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径，易得CO是△ABE的中位线得到EB＝2OC，在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1，依据勾股定理求解即可．【解答】解：由题意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径，∴CO是△ABE的中位线，∴EB＝2OC，在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1，∵AO2＝OC2+AC2，∴x2＝（x﹣1）2+22，解得：，即，，∴EB＝2OC＝3，故选：B．4．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，AB＝6，则△ODE的面积为（）A．9 B．15 C． D．【分析】根据垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理求出OD，再根据三角形面积公式进行计算即可．【解答】解：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵AB⊥OC，OC是⊙O的半径，∴AD＝BD＝AB＝3，∵OA＝OE，∴OD是△ABE的中位线，∴OD＝，由于DE＝3DO，可设OD＝x，则DE＝3x，BE＝2x，在Rt△BDE中，由勾股定理得，BD2+BE2＝DE2，即（3）2+（2x）2＝（3x）2，解得x＝3或x＝﹣3（舍去），即OD＝3，∴S△DOE＝OD•BD＝×＝，故选：C．5．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE＝3，BE＝7，且AB＝CD，则圆心O到CD的距离是（）A．2 B． C． D．【分析】过O作ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，连接OC、OB，根据垂径定理求出CN＝DN，AM＝BM＝5，求出CN＝DN＝BM＝AM＝5，求出四边形ONEM是正方形，根据正方形的性质得出ON＝OM＝EM＝5﹣3＝2即可．【解答】解：∵AE＝3，BE＝7，AB＝CD，∴CD＝AB＝3+7＝10，过O作ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，连接OC，OB，则∠CNO＝∠BMO＝90°，∵ON⊥CD，OM⊥AB，ON和OM斗过圆心O，∴AM＝BM＝5，CN＝DN＝5，∵ON2＝OC2﹣CN2，OM2＝OB2﹣BM2，OC＝OB，∴ON＝OM，∵CD⊥AB，ON⊥CD，OM⊥AB，∴∠ONE＝∠NEM＝∠OME＝90°，∴四边形ONEM是正方形，∴NE＝EM＝ON＝OM＝AM﹣AE＝5﹣3＝2，故选：A．6．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．4 B．4 C．3 D．5【分析】作OM⊥CD于点M，连接OC，在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM的长，然后在直角△OCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而求得CD的长．【解答】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM＝CD，∵BE＝1，AE＝5，∴OC＝AB＝＝＝3，∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2，∵Rt△OME中，∠AEC＝30°，∴OM＝OE＝×2＝1，在Rt△OCM中，∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2，∴CD＝2CM＝2×2＝4．故选：A．7．如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（）A．﹣3 B．3 C．4 D．6【分析】过A作AD⊥BC于D，连接AB，根据点B和点C的坐标求出BC，再根据垂径定理求出BD＝CD＝4，根据勾股定理求出AD即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，连接AB，∵半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），∴AB＝5，BC＝10﹣2＝8，OB＝2，∵AD⊥BC，AD过圆心A，∴CD＝BD＝4，由勾股定理得：AD＝＝＝3，∴点A的横坐标是3，故选：B．8．如图所示，一圆弧过方格的格点ABC，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．【解答】解：如图所示，连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．∵点A的坐标为（0，4），∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．故选：C．9．如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为，则S△PAB的最大值为（）A． B． C． D．【分析】连接OA，如图，利用垂径定理得到AD＝BD，＝，再根据OD＝DC可得到OD＝OA＝，所以AD＝，由勾股定理，则AB＝．△PAB底AB不变，当高越大时面积越大，即P点到AB距离最大时，△APB的面积最大．则当点P为AB所在优弧的中点时，此时PD＝PO+OD＝1+＝，△APB的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD＝BD，∵OD＝DC，∴OD＝OA＝，∴AD＝＝，AB＝2AD＝3．当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝+＝．∴△APB的面积的最大值为：＝×3×＝．故选：A．10．如图是某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分，与矩形ABCD组合而成的图形（点B，C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为25，BC＝14，AB＝26，EF＝48，则香水瓶的高度h是（）A．56 B．57 C．58 D．59【分析】作OG⊥BC交BC于点G，延长GO交EF于点H，连接BO、EO，利用垂径定理，得到BG＝7，EH＝24，再利用勾股定理，求得GO＝24，HO＝7，即可求出香水瓶的高度h．【解答】解：如图，作OG⊥BC交BC于点G，延长GO交EF于点H，连接BO、EO，∵OG⊥BC，BC＝14，∴，∵BO＝EO＝25，在Rt△BGO中，，∵BC∥EF，OG⊥BC，∴OH⊥EF，∴，在Rt△EHO中，，∴h＝HO+GO+AB＝7+24+26＝57，故选：B．11．如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是（）A． B． C．3 D．【分析】连接OE、OC，OC交EF于D，由圆周角定理得出，如果连接OC交EF于D，根据垂径定理可知：OC必垂直平分EF．由MN是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：OD＝CD＝OC＝2．在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF的值．【解答】解：如图所示，∵PC是∠APB的角平分线，∴∠APC＝∠CPB，∴弧AC＝弧BC；∴AC＝BC；∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．即△ABC是等腰直角三角形．连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB；∴OC⊥EF，OD＝OC＝2．连接OE，根据勾股定理，得：DE＝＝2，∴EF＝2ED＝4．故选：A．12．已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个 B．3个 C．6个 D．7个【分析】利用勾股定理得出线段AD和AC的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可．【解答】解：∵CD是直径，∴OC＝OD＝CD＝×10＝5，∵AB⊥CD，∴∠AMC＝∠AMD＝90°，∵AM＝4.8，∴OM＝＝1.4，∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，∴AC＝＝8，AD＝＝6，∵AM＝4.8，∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，故选：C．13．如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，在点P运动的过程中，OQ的长度为（）A．1 B．1.5 C．2 D．不能确定【分析】连接OP．OQ，根据矩形的判定得出四边形PMON是矩形，根据矩形的性质得出MN＝OP＝2，根据直角三角形斜边上的中线性质得出OQ＝MN，再求出答案即可．【解答】解：连接OP，PQ，则OP＝2，∵AB⊥CD，PM⊥OA，PN⊥OD，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四边形PMON是矩形，∴MN＝OP＝2，∵∠MON＝90°，Q为MN中点，∴OQ＝MN＝＝1，故选：A．14．如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A． B． C． D．【分析】过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，根据垂径定理得到CF＝DF，AH＝BH＝3，所以OH＝1，再利用勾股定理计算出EH＝4，则EF＝1，OF＝4，接着利用勾股定理计算出FD，然后计算出OD，从而得到D点坐标．【解答】解：过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，则CF＝DF，AH＝BH∵A（0，﹣2），B（0，4），∴AB＝6，∴BH＝3，∴OH＝1，在Rt△BHE中，EH＝＝＝4，∵四边形EHOF为矩形，∴EF＝OH＝1，OF＝EH＝4，在Rt△OEF中，FD＝＝＝2，∴OD＝FD﹣OF＝2﹣4，∴D（2﹣4，0）．故选：B．15．已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．2 B．4 C．2或4 D．2或4【分析】连接OA，由AB⊥CD，根据垂径定理得到AM＝4，再根据勾股定理计算出OM＝3，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，∴AM＝BM＝AB＝×8＝4，在Rt△OAM中，OA＝5，∴OM＝＝＝3，当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC＝＝＝4；当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC＝＝＝2．故选：C．16．如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A． B． C． D．【分析】利用垂径定理和勾股定理建立方程求出ON，再求出半径后，根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接OA、OC，过点O作OM⊥CD于M，MO的延长线于AB延长线交于N，则四边形BCMN是矩形，∵OM⊥CD，CD是弦，∴CM＝DM＝CD＝1＝BN，∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，设ON＝x，则OM＝8﹣x，在Rt△AON、Rt△COM中，由勾股定理得，OA2＝AN2+ON2，OC2＝OM2+CM2，∵OA＝OC，∴AN2+ON2＝OM2+CM2，即52+x2＝（8﹣x）2+12，解得x＝，即ON＝，∴OA2＝52+（）2＝，∴S⊙O＝π×OA2＝π，故选：A．17．如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A． B．1 C． D．【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则△AOB、△COD分别为等边三角形，等腰直角三角形，进而可得到AB、CD长；再过点O作OH⊥EF于点H，根据垂径定理可得EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH＝60°，根据锐角三角函数可求出FH，进而可得EF；再根据AB2+CD2＝EF2可判断以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形，即可求出其面积．【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则∠AOB＝60°，∠COD＝90°，∠EOF＝120°，在Rt△COD中，CD＝＝．∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝1，过点O作OH⊥EF于点H，则EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH＝60°，∴FH＝OFsin60°＝1×＝．∴EF＝2FH＝．∵，即AB2+CD2＝EF2，∴以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形，∴其面积为：＝．故选：D．18．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（）A．4+ B．9 C．4 D．6【分析】连接OC，OF，设OB＝x，则AB＝BC＝2x，在Rt△BCO和Rt△FEO中利用勾股定理列出等式计算x的值，进一步求出半径即可．【解答】解：连接OC，OF，设OB＝x，∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，在Rt△BCO中，OC＝，在Rt△FEO中，OF＝，∵OF＝OC，∴5x2＝x2+8x+32，解得x＝4或x＝﹣2（舍去）当x＝4时，OC＝4，则半圆O的半径是4．故选：C．19．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C，D为⊙O上两动点（C，D不与A，B重合），且CD为定长，CE⊥AB于E，M是CD的中点，则EM的最大值为（）A．4 B．4.5 C．5 D．6【分析】如图，通过画图观察可知，当CD∥AB时，EM的值最大，连接OM，CE，根据垂径定理推出四边形OMCE是矩形，根据矩形的性质即可得解．【解答】解：如图，通过画图观察可知，当CD∥AB时，EM的值最大，连接OM，CE，∵M是CD的中点，∴CM＝DM，∴OM⊥CD，∵CD∥AB，CE⊥AB，∴四边形OMCE是矩形，∴EM＝OC＝5，∴EM的最大值为5，故选：C．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最大值为（）A．2 B．5 C．6 D．7【分析】连接OC，由垂径定理得OC⊥AB，再由圆周角定理得点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，利用一次函数解析式确定E（0，﹣3），D（4，0），则DE＝5，然后证△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH的长，得MP的长，当C点与M点重合时，△CDE的面积最大，即可求解．【解答】解：连接OC，如图，∵点C为弦AB的中点，∴OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝4，则D（4，0），∴OD＝4，∴DE＝＝5，∵A（2，0），∴P（1，0），∴OP＝1，∴PD＝OD﹣OP＝3，∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，∴△DPH∽△DEO，∴PH：OE＝DP：DE，即PH：3＝3：5，解得PH＝，∴MP＝PH+1＝，∴S△MED＝×5×＝7，当C点与M点重合时，△CDE面积的最大值为7，故选：D．21．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；③图2中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为2π；④图3中，在△ABC中随机取一点，则该点取自勒洛三角形DEF部分的概率为．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④【分析】根据轴对称的性质，等边三角形的性质，求出勒洛三角形的面积，由测度比是面积比逐一判断即可﹒【解答】解：①勒洛三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故①错误；②夹在平行线之间的勒洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故②正确；③∵等边三角形DEF的边长为2，∴勒洛三角形的周长＝3×＝2π，故③正确；④如图，设△ABC的边长为2，则正三角形DEF的边长为1，以D为圆心的扇形面积是＝，△DEF的面积是×1×1×＝，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为3×（﹣）+＝，△ABC的面积为，∴所求概率为＝，故④错误；故选：C．22．已知：如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝2，则DE的长是（）A． B． C． D．1【分析】设AC与EF交于点G，由于EF∥AB，且D是BC中点，易得DG是△ABC的中位线，即DG＝1；易知△CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE＝FG，根据相交弦定理得BD•DC＝DE•DF，而BD、DC的长易知，DF＝1+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长．【解答】解：如图．过C作CN⊥AB于N，交EF于M，则CM⊥EF．根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O．∵EF∥AB，D是BC的中点，∴DG是△ABC的中位线，即DG＝AB＝1；易知△CGD是等边三角形，而CM⊥DG，则DM＝MG；由于OM⊥EF，由垂径定理得：EM＝MF，故DE＝GF．∵弦BC、EF相交于点D，∴BD•DC＝DE•DF，即DE×（DE+1）＝1；解得DE＝（负值舍去）．故选：B．23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若AC＝6，∠C＝60°，则⊙O的半径长为（）A． B． C． D．【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为O′，则⊙O与⊙O′设等圆，∠ACD是公共的圆周角，所以可以证得AB＝AD，过A作AM⊥BC于M，则M为BD的中点，在Rt△AMC中，利用勾股定理，可以求出AM和CM的长度，由于D是BC中点，可以证明MC＝3BM，所以BM可以求，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AB的长度，连接OA，OB，由于△AOB是顶角为120°的等腰三角形，过O作OG⊥AB于G，利用30度的特殊角和勾股定理，可以证明AB＝3OA，由此圆O半径可求．【解答】解：如图1，设折叠后的所在圆的圆心为O′，连接O′A，O′D，∴∠AO′D＝2∠ACB＝120°，连接OA，OB，同理，∠AOB＝120°，∴∠AOB＝∠AO′D，∵⊙O与⊙O′是等圆，∴AB＝AD，设⊙O的半径为R，过O作OG⊥AB于G，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，AB＝2AG，∴OG＝，∴，∴，如图2，过A作AM⊥BC于M，∵AB＝AD，∴可设BM＝DM＝x，则BD＝2x，∵D为BC的中点，∴CD＝BD＝2x，∴MC＝DM+CD＝3x，∵AM⊥BC，∠ACB＝60°，∴∠MAC＝30°，在Rt△AMC中，MC＝，∴3x＝3，∴x＝1，∴AM＝，BM＝x＝1，在Rt△ABM中，AB＝，∵，∴，故选：D．24．大武口青山公园地上有一排大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你，请帮小明算出大理石球的半径是50cm．​【分析】经过圆心O作地面的垂线，垂足为C点，连接AB，交OC于点D，可得出OC与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD的长，设圆的半径为xcm，即OA＝OC＝xcm，在直角三角形AOD中，OD＝OC﹣CD＝（x﹣20）cm，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为这个大理石球的半径．【解答】解：如图所示，过圆心O作地面的垂线OC，交地面于点C，连接AB，与OC交于点D，∵AB与地面平行，∴OC⊥AB，∴D为AB的中点，即AD＝BD＝AB＝40cm，又CD＝20cm，设圆的半径为xcm，则OA＝OC＝xcm，∴OD＝OC﹣CD＝（x﹣20）cm，在Rt△AOD中，根据勾股定理得：OA2＝AD2+OD2，即x2＝402+（x﹣20）2，整理得：x2＝1600+x2﹣40x+400，即40x＝2000，解得：x＝50，故答案为：50cm．25．如图，沿弦AB折叠扇形纸片AOB，圆心O恰好落在上的点C处，若AB＝，则四边形OACB的面积为8．【分析】由折叠可得AB垂直平分OC，再根据垂径定理得出AD＝BD，进而得出四边形OACB是菱形，根据直角三角形的边角关系求出OD，进而得出半径OC，由菱形的面积公式可求答案．【解答】解：如图，连接OC交AB于点D，由题意可知，AB垂直平分OC，即AB⊥OC，OD＝CD＝OC，AD＝BD＝AB＝2，∵OA＝OC，∴OD＝OA，∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝90°﹣30°＝60°，∴△AOC是等边三角形，同理△BOC是等边三角形，∴四边形OACB是菱形，∴AD＝OA＝2，∴OA＝4＝OC，∴S四边形OACB＝AB•OC＝8，故答案为：8．26．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为．【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF＝r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF＝60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出EF：GH的值是多少即可．【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，设⊙O的半径是r，则OF＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，∵OA＝OF，∴∠OFA＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r•sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r，∵AO＝2OI，∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，∴，∴GH＝BD＝r，∴＝．故答案为：．27．如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由和矩形ABCD组成，且点B，​C也在所在的圆上，已知AB＝4m，M是BC的中点，此时隧道的最高点P离地面BC的距离MP＝8m，则该道路的路面宽BC＝8m；在上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若点E是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是（2+2）m．【分析】连接PM，作AB的垂直平分线OG，交PM于点O，交AB于点G，则点O是圆心，连接OB，可得半径，在利用勾股定理求BM即可；连接PA、OE交于点N，作AH⊥PM于点H，EQ⊥BC于点Q，交OG于点K，用勾股定理求出AP，进而可求ON，在证明△EOK≌△OPN即可．【解答】解：连接PM，作AB的垂直平分线OG，交PM于点O，交AB于点G，则点O是圆心，连接OB，∴OM＝BG＝AB＝2m，∵MP＝8m，∴圆的半径为8﹣2＝6m，∴BM＝，∴BC＝2BM＝8m，连接PA、OE交于点N，作AH⊥PM于点H，EQ⊥BC于点Q，交OG于点K，∵MP＝8m，MH＝AB＝4m，∴PH＝8﹣4＝4m，∵AH＝BM＝4m，∴PA＝m，∵E是的中点，∴OE垂直平分AP，∴PN＝AP＝2m，∴ON＝m，∵EQ⊥BC，PM⊥BC，∴EQ∥PM，∴∠OEK＝∠EOP，在△EOK和△OPN中，，∴△EOK≌△OPN（AAS），∴EK＝ON＝2m，∴EQ＝EK+KQ＝（2+2）m，故答案为：8m、（2+2）m．28．如图，直线l与圆O相交于A、B两点，AC是圆O的弦，OC∥AB，半径OC的长为10，弦AB的长为12，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿射线AB方向运动．当△APC是直角三角形时，动点P运动的时间t为16或20秒．【分析】利用分类讨论的方法分两种情况解答：①当∠APC＝90°时，连接OA，过点O作OH⊥AB于点H，利用垂径定理和矩形的判定定理解答即可；②当∠ACP＝90°时，连接OA，过点O作OH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AP于点M，同①方法，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：①当∠APC＝90°时，连接OA，过点O作OH⊥AB于点H，如图，∵OH⊥AB，∴AH＝AB＝6，∴OH＝＝＝8．∵OC∥AB，OH⊥AB，CP⊥AB，∴四边形OHPC为矩形，∴PH＝OC＝10，∴AP＝AH+HP＝16，∵点P以每秒1个单位的速度前进，∴t＝16；②当∠ACP＝90°时，连接OA，过点O作OH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AP于点M，如图，∵OH⊥AB，∴AH＝AB＝6，∴OH＝＝＝8．∵OC∥AB，OH⊥AB，CM⊥AP，∴四边形OHMC为矩形，∴HM＝OC＝10，CM＝OH＝8，∴AM＝16，∵∠ACP＝90°，CM⊥AP，∴△AMC∽△CMP，∴，∴，∴MP＝4，∴AP＝AM+MP＝20．∵点P以每秒1个单位的速度前进，∴t＝20，综上，当△APC是直角三角形时，动点P运动的时间t为16秒或20秒，故答案为：16或20．29．如图所示，AB为⊙O的直径，AB＝2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在上，＝2，点P是OC上一动点，则阴影部分周长的最小值为+．【分析】B是A关于OC的对称点，连接BD则就是AP+PD的最小值．根据已知条件可以知道∠ABD＝30°，由于AB是直径，所以∠ADB＝90°，解直角三角形求出BD，利用弧长公式求出的长即可．【解答】解：如图，连接BD，AD，PB．根据已知得B是A关于OC的对称点，所以BD就是AP+PD的最小值，∵＝2，而弧AC的度数是90°的弧，∴的度数是60°，∴∠ABD＝30°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，而AB＝2，∴BD＝，∵的长＝＝，∴AP+PD的最小值是，∴阴影部分的周长的最小值为+．故答案为：+．30．如图，⊙O的直径AB＝10，P是OA上一点，弦MN过点P，且AP＝2，MP＝2，那么弦心距OQ为．【分析】先根据AB＝10，AP＝2求出OP及OA的长，连接OM，则在Rt△OMQ及Rt△OPQ中利用勾股定理可得出关于OQ，PQ的方程组，进而可得出OQ的长．【解答】解：∵直径AB＝10，AP＝2，∴OA＝OM＝5，OP＝3，在Rt△OMQ中，OM2＝OQ2+（MP+PQ）2，即52＝OQ2+（2+PQ）2①，在Rt△OPQ中，OP2＝OQ2+PQ2，即32＝OQ2+PQ2②，①②联立可得OQ＝，PQ＝．故答案为：．31．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为．【分析】根据题意画出图形，连接OC，OD，延长BO交上面的正方形与点A，设定圆心与上面正方形的距离为x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：连接OC，OD，延长BO交上面的正方形与点A，设定圆心与上面正方形的距离为x，则BO＝1﹣x，BC＝1，AD＝0.5，AO＝1+x，故BC2+BO2＝AD2+AO2，即1+（1﹣x）2＝（1+x）2+0.52，（两边都是圆半径的平方）解得，x＝，所以能将其完全覆盖的圆的最小半径R2＝1+（1﹣x）2，解得R＝．故答案为：．32．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．【分析】（1）根据三个直角可得矩形，再利用垂径定理可得一组邻边相等，进而可得结论；（2）根据勾股定理可得半径．【解答】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝AB，AE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，∴四边形ADOE是正方形；（2）解：连接OA，∵AC＝2cm，∴AE＝1cm，在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），答：⊙O的半径是cm．33．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点．（1）请用圆规和直尺画BE的垂直平分线交⊙O于点C，点C位于AB上方（不写作法，保留作图痕迹）；（2）设EA和BC的延长线相交于点D，试说明∠BCE＝2∠BDE．【分析】（1）根据垂直平分线的作法即可画BE的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质可得CE＝CB，CF⊥BE，再根据等腰三角形的“三线合一”可得∠ECF＝∠BCF，然后证明OF∥AE，即可得结论．【解答】解：（1）如图，直线CF即为BE的垂直平分线；（2）∵直线CF为BE的垂直平分线，∴CE＝CB，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴∠BCE＝2∠BCF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴OF∥AE，∴∠BDE＝∠BCF，∴∠BCE＝2∠BDE．34．如图1，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝9，点P在半径OB上，连接AP．（1）把△AOP沿AP翻折，点O的对称点为点Q．①当点Q刚好落在弧AB上，求弧AQ的长；②如图2，点Q落在扇形AOB外，AQ与弧AB交于点C，过点Q作QH⊥OA，垂足为H，探究OH、AH、QC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图3，记扇形AOB在直线AP上方的部分为图形W，把图形W沿着AP翻折，点B的对称点为点E，弧AE与OA交于点F，若OF＝3，求PO的长．【分析】（1）①如图所示，连接OQ，根据折叠的性质可得△QOA是等边三角形，可得∠QOA＝60°，再根据弧长公式即可求解；②如图所示，过点O作OG⊥AQ，垂足为点G，则AG＝CG（垂径定理），根据题意可得△AQH≌△AOG，由此即可求解；（2）方法一：如图所示，将△AOP沿着AP翻折得△AQP，过点Q作QH⊥AF，垂足为点H，过点P作PD⊥QH，垂足为点D，则四边形OHDP是矩形，Rt△QHA中，可求出QH的长度，再证△PDQ∽△QHA，由此即可求解；方法二：在Rt△QHA中，求出QH的值，再根据勾股定理即可求解．【解答】（1）解：①如图所示，连接OQ，由翻折可知，OA＝QA，∴OQ＝OA，∴OA＝QA＝OQ，∴△OQA是等边三角形，∴∠QOA＝60°∴＝3π，②OH＝QC+AH．理由如下，如图所示，过点O作OG⊥AQ，垂足为点G，则A＝CG（垂径定理），在△AQH与△AOG中，∴△AQH≌△AOG，∴AH＝AG，且AG＝CG，∴AH＝CG，OA﹣AH＝AQ﹣AG，即OH＝QG，∴QG＝QC+CG＝QC+AH，∴OH＝QC+AH．（2）解：方法一：如图所示，将△AOP沿着AP翻折得△AQP，过点Q作QH⊥AF，垂足为点H，过点P作PD⊥QH，垂足为点D，则四边形OHDP是矩形，由折叠和（1）可知，AH＝FH，∵OF＝3．∴AH＝FH＝3∴OH＝PD＝6．Rt△QHA中，QH＝＝＝6，∵∠PQD+∠HQA＝90°，∠QAH+∠HQA＝90°，∴∠PQD＝∠QAH，∵∠PDQ＝∠QHA＝90°．∴△PDQ∽△QHA，∴，∴，∴PQ＝＝OP．方法二：如图所示，将AOP沿着AP翻折得△AQP，过点Q作QH⊥AF，垂足为点H，过点P作PD⊥OH，垂足为点D，∵四边形OHDP是矩形，由折叠和（1）可知，AH＝FH，∴OF＝3，∴AH＝FH＝3，∴OH＝PD＝6，Rt△QHA中，QH＝＝＝6．设OP＝x，则DH＝OP＝PQ＝x，DQ＝6﹣x，由PD2+DQ2＝PQ2得，62+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝．即OP＝．35．根据素材解决问题．设计货船通过圆形拱桥的方案素材1图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面