中考数学一轮复习课件二次函数的图象和性质2

二次函数的图象和性质

二次函数的概念、图象和性质1.二次函数的概念（1）一般地，形如

（a，b，c是常数，

a≠0）的函数叫做二次函数.（2）特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊

形式.y＝ax2＋bx＋c

2.解析式的三种形式（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）；（2）顶点式：

（a，h，k为常数，

a≠0，（h，k）为顶点坐标）；y＝a（x－h）2＋k

（3）交点式：

（a，x1，x2为常

数，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标，a≠0）.三者之间的转换关系如下：y＝a（x－x1）（x－x2）

3.二次函数的图象和性质（1）二次函数的图象是一条

⁠.（2）二次函数的图象和性质抛物线

顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a，

h，

k是常数，

a≠0）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常数，a≠0）大致图象a＞0a＜0a＞0a＜0a＞0a＜0

开口方向

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠向上

向下

向上

向下

向上

向下

顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a，

h，

k是常数，

a≠0）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常数，a≠0）对称轴直线x＝

⁠直线x＝

⁠直线＝

⁠顶点坐标

⁠

⁠

⁠

⁠

h

（h，k）

）

－

顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a，

h，

k是常数，

a≠0）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常数，a≠0）增

减性在对称

轴左

侧，即

当x＜h

时，y随x的增大

而

；

在对称

轴左

侧，即

当x＜h

时，y随x的增大

而

；

在对称轴左侧，即

当x＜－

时，y随的增大而

⁠；在对称

轴左侧，即当x＜－时，y

随x的增

而

⁠⁠；在对称

轴左

侧，即

当x＜

⁠

⁠时，y随x的增大

而

；

在对称

轴左侧，即当x

＜

⁠

⁠时，y随

x的增大

而

；

减小

增大

减小

增大

减小

增大

顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a，

h，

k是常数，

a≠0）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常数，a≠0）增

减性在对称

轴右

侧，即

当x＞h

时，y随x

的增大

而

⁠

⁠在对称

轴右侧，即当x＞h

时，y随x

的增大

而

⁠

⁠在对称轴右

侧，即当x＞－时，y

随x的增大

而

⁠

⁠在对称

轴右侧，即

当x＞－

时，y随x的增大

而

⁠

⁠在对称

轴右侧，即当x

＞

⁠

⁠

时，y随x

的增大

而

⁠

⁠在对称

轴右侧，即当x

＞

⁠

时，y随

x的增大

而

⁠

⁠

增大

减小

增大

减小

增大

减小

顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a，

h，

k是常数，

a≠0）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常数，a≠0）最值抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值，y最小值

＝

⁠抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值，y最大值

＝

⁠抛物线有最低点，当x＝－

时，y有最小值，y最小值＝

⁠抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，y最大值＝

⁠抛物线有最低点，当x＝

⁠

⁠

时，y有

最小值，y最小值＝

⁠

抛物线有最高点，当x

＝

⁠

⁠

时，y有

最大值，y最大值＝

⁠

k

k

－

－

注意点若二次函数解析式以y＝a（x－x1）（x－x2）＋c（a，c，x1，x2

是常数，a≠0）给出，则相关性质可参考交点式进行直观想象.4.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a，b，c之间的关系字母符号图象的特征aa＞0开口

⁠a＜0开口

⁠｜a｜越大开口越

⁠向上

向下

小

字母符号图象的特征a，bb＝0对称轴为

⁠轴ab＞0（a与

b同号）对称轴在y轴

侧（“左同”）ab＜0（a与

b异号）对称轴在y轴

侧（“右异”）y

左

右

字母符号图象的特征cc＝0经过

⁠c＞0与y轴

⁠相交c＜0与y轴

⁠相交b2－4acb2－4ac＝0与x轴有

⁠交点（顶点）b2－4ac＞0与x轴有

⁠交点b2－4ac＜0与x轴

⁠交点原点

正半轴

负半轴

唯一的

两个

没有

字母符号图象的特征a，b，c满足的相等关系a＋b＋c＝0图象经过点

⁠a－b＋c＝0图象经过点

⁠4a＋2b＋c＝0图象经过点

⁠4a－2b＋c＝0图象经过点

⁠（1，0）

（－1，0）

（2，0）

（－2，0）

字母符号图象的特征a，b，c满足的不等关系a＋b＋c＞0当x＝

时，对应的函数值y＞

0，即点（1，y1）位于

⁠

⁠a－b＋c＞0当x＝

时，对应的函数值y

＞0，即点（－1，y1）位于

⁠

⁠1

x轴上方

－1

x轴

上方

字母符号图象的特征a，b，c满足的不等关系4a＋2b＋c＞0当x＝

时，对应的函数值y＞

0，即点（2，y1）位于

⁠

⁠4a－2b＋c＞0当x＝

时，对应的函数值y

＞0，即点（－2，y1）位于

⁠

⁠2

x轴上方

－2

x轴

上方

二次函数解析式的确定及图象的平移1.二次函数解析式的确定待定系数法求解析式的步骤：（1）设二次函数的解析式（根据给出的条件，巧设解析式，

如已知顶点坐标或对称轴，可设顶点式；再如已知图象与x轴

交点坐标，则可设交点式等等）；（2）根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；（3）解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解

析式.

已知条件常设表达式抛物线上任意三点一般式：y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0）＋任意一点交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）

已知条件常设表达式与x轴的一个交点＋对称轴＋任意一点顶点式：y＝a（x－h）2＋k顶点C（h，k）＋任意一点对称轴＋最值＋任意一点2.二次函数图象的平移（1）平移的解题步骤：①将抛物线解析式转化为顶点式y＝a（x－h）2＋k，确定其顶

点坐标；②保持抛物线的开口大小及方向均不变（

），

平移顶点坐标（h，k）即可.a不变

注意点抛物线平移的本质为抛物线的平移→抛物线上点的平移→抛

物线上顶点的平移→抛物线顶点式.（2）平移的规律：平移前的解析式移动方向平移后的解析式规律y＝a（x－h）2＋k向左平移m个

单位y＝a（x－h＋

m）2＋k

⁠向右平移m个

单位y＝a（x－h－

m）2＋k右减左加

平移前的解析式移动方向平移后的解析式规律y＝a（x－h）2＋k向上平移m个

单位y＝a（x－h）2＋

k＋m上加向下平移m个

单位y＝a（x－h）2＋

k－m

⁠下减

①将抛物线解析式转化为顶点式y＝a（x－h）2＋k，确定其顶

点坐标；②保持抛物线的开口大小不变（

），再将

顶点坐标（h，k）沿坐标轴翻折即可.③翻折的规律：｜a｜不变

3.二次函数图象的翻折与旋转（1）抛物线沿着坐标轴翻折的解题步骤：平移前的解析式沿哪条直线翻折平移后的

解析式规律y＝a（x－h）2＋kx轴y＝－a（x－h）2－ka

，h

⁠

，k变为

⁠y轴y＝a（x＋h）2＋ka

，h变为

⁠

，k

⁠变为相反数

不

变

相反数

不变

相反

数

不变

注意点①抛物线翻折的本质为抛物线的翻折→抛物线上点的翻折→关

注抛物线的开口，并对顶点进行翻折→抛物线顶点式；②将抛物线y＝a（x－h）2＋k沿着直线x＝m（或y＝k）翻折，

其解题策略与沿着坐标轴翻折一致，同学们不妨一试.①将抛物线解析式转化为顶点式y＝a（x－h）2＋k，确定其顶点

坐标；②保持抛物线的开口大小不变，方向相反（a变为

⁠），顶点坐标（h，k）

⁠.相反数

不变

（2）抛物线绕顶点旋转180°的解题步骤：注意点①抛物线y＝a（x－h）2＋k绕顶点旋转180°，即是抛物线沿着

直线y＝k翻折而得到；②抛物线y＝a（x－h）2＋k绕点（h，n）旋转180°，即是抛物

线沿着直线y＝n翻折而得到，同学们不妨一试.

类型一

二次函数的概念、图象和性质

A.y1＜y2＜y3B.y1＜y3＜y2C.y3＜y2＜y1D.y2＜y3＜y1D2.函数y＝ax－a和y＝ax2＋2（a为常数，且a≠0），在同一平面

直角坐标系中的大致图象可能是（C）

A.

B.

C.

D.C3.对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，

且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2

＞4ac；③4a＋2b＋c＞0；④a＋b≤m（am＋b）（m为任意实

数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数

为（B）A.2B.3C.4D.5第3题图B4.（2023·温州模拟）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x－1）2－2上，点A在点B左侧，下列选项

正确的是（D）A.若c＜0，则a＜c＜bB.若c＜0，则a＜b＜cC.若c＞0，则a＜c＜bD.若c＞0，则a＜b＜cD5.（2023·杭州）设二次函数y＝a（x－m）（x－m－k）（a＞0，

m，k是实数），则（A）A.当k＝2时，函数y的最小值为－aB.当k＝2时，函数y的最小值为－2aC.当k＝4时，函数y的最小值为－aD.当k＝4时，函数y的最小值为－2aA6.（2023·福建质检）二次函数y＝ax2－2ax＋c（a＞0）的图象过

A（－3，y1），B（－1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个

点，下列说法一定正确的是（C）A.若y1y2＞0，则y3y4＞0B.若y1y4＞0，则y2y3＞0C.若y2y4＜0，则y1y3＜0D.若y3y4＜0，则y1y2＜0C7.已知二次函数y＝（x＋m－3）（x－m）＋3，点A（x1，y1），

B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点（B）A.若x1＋x2＞3，则y1＞y2B.若x1＋x2＜3，则y1＞y2C.若x1＋x2＞－3，则y1＞y2D.若x1＋x2＜－3，则y1＜y2B8.已知点A（m，y1），B（m＋4，y2），C（x0，y0）在二次函数

y＝ax2＋2ax＋c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点.若

y0≤y1＜y2，则m的取值范围是（B）A.m＜－3B.m＞－3C.m≤－3D.m≥－3B类型二

二次函数解析式的确定及图象的平移9.把函数y＝－3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单

位，得到的图象解析式为（A）A.y＝－3（x－2）2－1B.y＝－3（x＋2）2－1C.y＝－3（x－1）2＋2D.y＝－3（x－1）2－210.写出一个二次函数

⁠，使该

二次函数最小值为0，且经过点（1，0）.Ay＝（x－1）2（答案不唯一）

（1）（－1，3），（2，6），（1，3）；

解：（1）∵函数过（－1，3），（2，6），（1，3）设y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

11.根据二次函数图象上三个点的坐标，求函数的解析式.解：（2）∵函数过（－1，0），（3，0），∴设函数y＝a（x＋1）（x－3），又∵函数过（0，3）∴－3a＝3，解之得a＝－1，∴y＝－（x＋1）（x－3）即y＝－x2＋2x＋3（2）（－1，0），（3，0），（0，3）.

（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）.若S△OBP＝3，

设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上

升趋势，求k的取值范围.

13.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（0，2），且抛物线上任意

不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0

时，（x1－x2）（y1－y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1－x2）

（y1－y2）＜0.以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另

两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°.

求抛物线的解析式.解：∵抛物线过点A（0，2），∴c＝2，当x1＜x2＜0时，x1－x2＜0，由（x1－x2）（y1－y2）＞0，得到y1－y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，同理当x＞0时，y随x的增

大而减小，∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，即b＝0，∵以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，如图所示，

1.下列y与x的数量关系中，y是x的二次函数的是（

C

）A.y＝ax2＋bx＋cB.y＝（x－2）2－x（x－1）C.y－x2＝0D.y2＝x22.二次函数y＝（x＋3）（x－1）图象的对称轴为（

B

）

A.x＝1B.x＝－1C.x＝－2D.x＝2CB课后练习3.对于函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），不存在x的值，使得y≤0成

立.则下列结论，正确的是（

B

）A.a＞0，b2－4ac＞0B.a＞0，b2－4ac＜0C.a＜0，b2－4ac＜0D.a＜0，b2－4ac＞0B4.（2023·湖北）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象与x

轴的一个交点坐标为（－1，0），对称轴为直线x＝1，下结列

论中：①a－b＋c＝0；②若点（－3，y1），（2，y2），（4，

y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实

数，则am2＋bm＋c≤－4a；④方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两实数

根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜－1，x2＞3.正确结论的序号

为（

B

）A.①②③B.①③④C.②③④D.①④B5.若二次函数y＝2（x－1）2－1的图象如图所示，则坐标原点可

能是（

A

）A.点AB.点BC.点CD.点D第5题图A6.（2022·杭州）已知二次函数y＝x2＋ax＋b（a，b为常数）.命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图

象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y

轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（

A

）A.命题①B.命题②C.命题③D.命题④A7.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2－2ax上的

点，下列命题正确的是（

C

）A.若｜x1－1｜＞｜x2－1｜，则y1＞y2B.若｜x1－1｜＞｜x2－1｜，则y1＜y2C.若｜x1－1｜＝｜x2－1｜，则y1＝y2D.若y1＝y2，则x1＝x2C8.二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为a－b＋c，且M（－4，

c），N（－3，m），P（1，m），Q（2，n），R（3，n＋1）

中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正

确的是（

C

）A.这两点一定是M和NB.这两点一定是Q和RC.这两点可以是M和QD.这两点可以是P和QC9.（2022·福建）已知抛物线y＝x2＋2x－n与x轴交于A，B两点，

抛物线y＝x2－2x－n与x轴交于C，D两点，其中n＞0.若AD＝

2BC，则n的值为

⁠.8

10.求下列抛物线的顶点坐标与对称轴.（2）用公式法：y＝2x2＋3x－5.

11.在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物

线y＝ax2＋bx（a＞0）上.（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；

（2）若点（－1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上.

若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由.解：（2）∵y＝ax2＋bx（a＞0），∴抛