1.1.4等边三角形的判定教案-北师大版数学八年级下册

第4课时等边三角形的判定●置疑导入问题1：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？等边三角形的三条边相等，三个角相等，每个内角都等于60°.问题2：(1)具备什么条件的三角形是等边三角形？(2)具备什么条件的等腰三角形是等边三角形呢？【教学与建议】教学：开门见山，利用问题直接导入新课．建议：提出问题，让学生自由发言，教师适当补充．●复习导入复习等腰三角形，提出问题：(1)等腰三角形的定义是什么？(2)等腰三角形的性质中“三线合一”指哪三线？试着画出来．(3)等边三角形的“三线合一”中的线有几条，每条都能把三角形分成两个具有什么特征的三角形，分成的三角形的边有何关系？【教学与建议】教学：采用“复习旧知识，诱导新内容”导入课题．建议：学生口答后教师总结等腰三角形和等边三角形的性质．◎命题角度1等边三角形的判定三条边相等的三角形，三个角都是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形均是等边三角形，根据题意灵活运用．【例1】下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有__①②③④__．(填序号)【例2】如图，AC与BD相交于点O.若OA＝OB，∠A＝60°，且AB∥CD.求证：△OCD是等边三角形．证明：∵OA＝OB，∠A＝60°，∴∠B＝∠A＝60°.又∵AB∥CD，∴∠C＝∠A＝60°，∠D＝∠B＝60°，∴∠COD＝∠D＝∠C＝60°，∴△OCD是等边三角形．◎命题角度2含30°角的直角三角形的应用在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，主要用于解决直角三角形中的计算和证明问题．【例3】如图，∠B＝90°，AB＝6cm，∠BAC＝30°，D为BC延长线上一点，AC＝DC，则AD＝__12__cm.eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例3题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例4题图）))【例4】如图所示是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5m，自动扶梯的倾斜角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5m/s，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为__26__s.◎命题角度3等腰三角形性质与30°角定理的综合应用把等腰三角形的性质的等边对等角、“三线合一”，与30°角定理结合考查，检验学生对定理的熟练及灵活应用程度．【例5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3eq\r(3)，则BD的长度为__2eq\r(3)__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例5题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例6题图）))【例6】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝20，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝4，则OM的长度为(D)A．3B．4C．6D．8◎命题角度4等边三角形与30°角定理的综合运用当在等边三角形中出现垂直条件时，结合等边三角形的内角为60°转化成含30°角的直角三角形，再利用其边长间的关系进行计算即可．【例7】如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若AB＝8cm，则BD＝__4__cm，BE＝__2__cm.eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例7题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例8题图）))【例8】如图，等边三角形ABC中，AD＝BD，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E，若AF＝4，则线段BE的长为__10__．高效课堂教学设计1．理解等边三角形的判定定理及其证明，理解含有30°角的直角三角形的性质定理及其证明．2．能利用等边三角形的两个判定定理解决问题．▲重点等边三角形判定定理的发现与证明及含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．▲难点含30°角的直角三角形的性质定理的探索与证明．◆活动1创设情境导入新课(课件)欣赏几组图片(多媒体展示)：eq\o(\s\up7(),\s\do5(注意行人))eq\o(\s\up7(),\s\do5(注意儿童))eq\o(\s\up7(),\s\do5(注意信号灯))eq\o(\s\up7(),\s\do5(注意危险))同学们，这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志．(1)图中的三角形都是__等边__三角形．(2)等边三角形与等腰三角形的关系是__等边三角形是特殊的等腰三角形__．(3)等边三角形的特点是三条边相等、三个角相等、三线合一．一个三角形满足什么条件时是等边三角形？这节课让我们一起来学习等边三角形的判定定理及证明．◆活动2实践探究交流新知【探究1】等边三角形的判定方法问题1：一个三角形满足什么条件时就是等边三角形？问题2：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？问题3：你能证明你的结论吗？定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AC＝AB.∵∠A＝∠C，∴BC＝AB，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．方法一：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝eq\f(180°－60°,2)＝60°，∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形．方法二：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴∠C＝∠B＝60°.∴∠A＝180°－60°×2＝60°，∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形．【归纳】等边三角形的判定定理：定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．名称性质判定等边三角形三条边都相等三条边都相等的三角形是等边三角形三个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形【探究2】含30°角的直角三角形的性质问题：请同学们用两个含30°角的全等三角尺拼成一个三角形．你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？因此你能发现什么结论？说明理由．发现：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝eq\f(1,2)AB.证明：如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)，∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等)，∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)．∴BC＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)AB.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．◆活动3开放训练应用举例【例1】如图，在△ABC中，D为AC边上的一点，DE⊥AB于点E，DE的反向延长线交BC的延长线于点F，CD＝CF，且∠F＝30°.求证：△ABC是等边三角形．【方法指导】由CD＝CF，可得∠CDF＝∠F，从而得到∠ADE＝∠F，又由DE⊥AB，易得∠A＝∠B，∠B＝60°，即可证明△ABC是等边三角形．证明：∵CD＝CF，∴∠CDF＝∠F.又∵∠CDF＝∠ADE，∴∠ADE＝∠F.∵DE⊥AB，∴∠A＋∠ADE＝90°，∠B＋∠F＝90°，∴∠A＝∠B(等角的余角相等)，∴△ABC是等腰三角形(等角对等边).又∵∠F＝30°，∴∠B＝90°－∠F＝60°，∴△ABC是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).【例2】求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半．【方法指导】这是一道文字叙述题，首先把它用已知、求证的形式转化成图形语言和符号语言．观察图形可以发现在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠ACB，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝2×15°＝30°.根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD＝eq\f(1,2)AC.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高．求证：CD＝eq\f(1,2)AB.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角)，∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝eq\f(1,2)AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．∴CD＝eq\f(1,2)AB.◆活动4随堂练习1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(D)A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，若∠BOC＝60°，则△BOC的形状是(A)A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形3．等腰三角形的底角等于15°，腰长为10，则这个等腰三角形腰上的高是__5__．4．课本P12随堂练习◆活动5课堂小结与作业【学生活动】1．你这节课有