2024《有效实施高中数学互助学习小组教学的研究》结题报告

2024《有效实施高中数学互助学习小组教学的研究》结题报告一、研究背景随着社会的不断发展，教育制度的不断完善，新课程改革强调教育要面向所有学生，努力的让每个学生的特长和潜能得到发挥和发展，使每一个学生都能展现自我，能够得到最好发展的机会。然而，事实上，每一个学生都是相对独立的个体，在他们身上会表现出相对比较大的个性差异，如在气质、性格、能力、知识和智力的发展水平上都有可能存在着较为明显的差异。尤其是在当前以班级为单位的授课制下，一个班几十个学生，分别具有不同的心理发展水平、不同的学习知识基础、不同的个性特点，又由于教学时间、教学内容、教学进度等诸多因素的影响，教师往往采用比较传统、简单的授课方式。从而，忽视了学生的个体差异，使思维认知水平层次高的学生的发展受到了限制，得不到充分的发展，而层次低的学生又跟不上教师的教学进度和内容。从而，疲于奔命，完不成学习任务。最终导致班级里的学生在学习水平和能力上形成两极分化，影响了整个班级的共同发展。那么，如何才能在班级授课制下最大程度顾及学生差异，从实际出发，有的放矢地对学生进行教育，使不同层次的学生在原有的基础上都能得到进步与提高，个性得到最优发展呢？本人试着以“互助合作小组教学”授课方式去进行课题研究，旨在探索一种能实现全班师生的智力资源共享，让学生养成与人合作的习惯和最大限度地调动了学生们学习的积极性，激发了他们的学习兴趣。从而改善学生的数学思维品质，提高他们的语言表达能力，培养他们合作交流的能力和意识；拓宽他们的知识面，加深他们对知识的理解，提高学生的学习成绩。二、理论依据1、教学互动合作理论所谓“互动合作”，就是教育者和被教育者之间，以及本群体间相互合作交流来共同完成任务的一种方式。“互动”是合作学习教学的主要思想和教学形式。它大致有三种方式，即师师互动合作、师生互动合作和生生互动合作。互助合作理论认为“课堂是一种复合型的教学活动，有单向型、双向型、多向型和成员型（是一种视教学为师生平等的互动关系的教学活动），这是合作学习对“教学是一种双边活动”这种教学观的拓展”。首先，在互助合作学习过程中，小组合作交流学习为学生学习提供了宽松学习环境，使学生惧怕说错的心理压力大大减轻，发言机会大大增加。其次，学生在教师的组织和引导下一起讨论和交流，学习者可以取长补短，学习群体的思维与智慧可为整个群体所共享；再次，在合作学习时，学生要展示自己的观点，试图说服别人，在这种心理驱使下，对知识的钻研就更加深刻。在表述自己观点的过程中，会使新旧知识更加融合，从而扩大了知识的应用层面。最后，通过对互动合作学习的心理学研究表明，在互动合作学习过程中，学习群体具有明显的相互依存关系，个人与集体息息相关，从而，可以培养学生的合作意识和团队意识。2、主体性教育理论在我国主体教育理论是从20世纪90年代以来发展起来的教育学理论。它认为：“人的主体性是人的自然性和社会性的最本质的特征。”因此，培养和发展人的主体性，就是要通过启发、引导学生的学习需求，在和谐、宽松、民主的教育环境下，有目的、有计划地组织和规范各种教育活动，使学生能自觉、主动、创造性地进行认识和实践活动。3、建构主义学习理论建构主义学习理论把学生作为认知的主体，学生是知识意义的主动建构者，他们认为学习并不是一个被动吸收、强化训练而记忆的过程。首先，学习是在已有的知识和经验基础上，通过个体与环境的相互作用而实现的意义建构过程；其次，新知识必须经过学生自己的思考、理解和应用，然后才能纳入他现有的知识结构中，从而，生成新的知识结构；三、研究目标学生目标实现三个转变：即从教科研为先导，积极有效落实第三次全教会精神，实现教师单纯的知识传授转为以课堂为主阵地向课外辐射的网络状情感交流体系，实现教师向“综合素质+特色”转变。1、激发学生学习数学的意愿，引导学生的学习需求。教师依据学生的学习需求，提供有效的指导和组织策略，充分发挥教师的引导作用和学生的主体性。努力改变那种以教师为主导地位的传统式教学方式，而采取以小组互助合作交流的学习策略，赋予学生主导个人学习的权力，充分发挥学生个人学习的积极性和主动性，激发他们的学习热情。2、充分发挥每个学生在合作学习小组中的优势和潜能，使之取长补短，有效地补偿学生之间的差异，从而改善学生的数学思维品质。使班级中的每一位学生都能有所获。3、养成与人合作交流的习惯，从而，培养他们合作交流的能力和意识；学生通过合作交流学习可以提高他们的语言表达能力，拓宽他们的知识面，加深他们对知识的理解，从而提高学习成绩。例如，当学生在学习时遭遇困难时，可以通过互助合作学习小组进行积极求助，跟同学或老师请教，明显促进学生积极求助的行为和意识。教师目标通过研究，探索高中数学有效的合作互助学习课堂教学模式。在研究过程中学习现代教育教学理论和学科专业知识，吸取现代先进的教育教学思想，使自己的教学体现新课程标准要求，努力培养学生的创新意识、合作学习精神和能力，从而实现教师由经验型、传统型向科研型、学者型转变，从而提高课堂教学效益，提高教学质量。四、课题研究的主要方法：1、文献综述法在本人研究过程中，查阅了大量的与本研究相关的文献，收集国内外有关研究方法、研究成果等，为课题研究提供理论支撑。2、调查问卷法：为了了解当前我校学生小组互助合作学习的意识与能力情况,设计问卷进行调查分析，并通过问卷了解学生对小组合作学习的态度、需求，研究学生在合作学习过程中真实所想、所需。3、行动研究法在具体的教学情境中认真对教学过程进行研究，并根据研究中遇到的具体情况，边探索，边完善自己的教育教学理论和经验，使理论与实践有效地结合起来。4、经验总结法对典型的或有特色的经验，进行回顾和总结，对已总结的经验进行筛归纳总结、去伪存真，使之系统化、理论化。五、研究内容及过程本课题开题后，本人在本学科老师的帮助下有条不紊地开展研究工作，利用了上述研究方法和现代化的研究工具进行研究，拓宽了本人的学术视野，提炼了课题思想，确定了研究内容，对课题进行了有价值的探索。现将本人做的主要工作总结下：（一）了解和掌握所研究学生学习的基本情况由于每一个学生都是相对独立的个体，在他们身上会表现出相对比较大的个性差异，如在气质、性格、能力、知识和智力的发展水平上都有可能存在着较为明显的差异。同时，学生自身的学习态度、学习习惯与方法、心理健康、家庭环境、等因素也影响着学生学习目标的实现。因此，本人通过问卷测验的形式来了解和掌握所研究学生学习的基本情况，以便实施下一步的研究工作。高二年级12个班共450名学生全部参加了学习适应性测试（AAT），对每一个同种类型的八个普通班（38人）和同种类型四个实验班（32）共计450人进行问卷调查。然后进行统计、归类、评判。最后，总结出调查报告。对于总的内容量表来说，其最低分为36分，最高分为88分，平均分为66.85分，属于中等水平，也就是说，对于学习条件的适应性为中等，分数为40分以下的有18人，占总人数的4.01%；分数为40—60的学生占参加测试学生总人数的10.00%，共45人；分数为60—70的学生有380人，占总数的84.44%。分数为70以上的学生有7人，占总数的1.56%。从各个分量表来看，得出的结果如下：学习态度分量表，包括学习热情、课前预习和课后复习计划及听课方法等。最低分为18，最高分为68，平均分为46.35，属中下水平。其中学生的学习热情较差；学生普遍缺少学习的计划性，课前不预习，课后又不能及时复习；不能采用适当的听课方法，听课效果较差。学习环境分量表，分为家庭环境、学校环境和朋友关系。最低分为50，最高分为71，平均分为68﹒42，属中等水平。学生普遍认为学校学习环境较好。对于家庭环境，则认为条件一般，许多学生认为家庭的学习环境不利于他们学习。大部分学生认为交好的朋友有利于自己学习的提高，交友要慎重。身心健康分量表，包括独立性、毅力和身心健康三方面。最低分为36，最高分为80，平均分为72﹒4，属中等水平。此分量表的数据表明，许多学生的独立性差和缺乏毅力。此表中独立性方面低于40分的有45人，占10.0%，最高分为80分，仅10人，占2.2%，中等偏下水平的同学有88﹒7%，共96人。毅力量表上属于需辅导的学生有18人，占4.0%，庆幸的是，身心健康量表上属优等水平的有72人，占16.2%，中等水平的同学较多，占89.1%。从这次测验看，高二学生由于对校园环境比较熟悉、对教师比较满意，学习热情较高。但可能由于青春期躁动，贪玩，学习态度不端正、学习动力不足，有部分同学对学习不感兴趣，上课不专心听讲，课后不复习，对自己要求不严格，得过且过，又或者基础较差，跟不上同学丧失了信心。（二）探索了高中数学合作互助小组学习的有效课堂教学模式对于小组合作互助学习课堂教学模式的有效性，我们分别就新授课、复习课和活动课进行了有益的探索和研究。步骤如下：1、科学合理的选择教学内容高中数学课堂教学是不是所有的教学点都可以采用“小组互助合作”形式学习呢？我觉得不是这样的。一般来说，教师可根据教材的重难点，选择合适的教学内容设计“小组互助合作学习”；也可以对于新知识先让学生自学，质疑，对学生不能独立完成的内容，改为“小组合作”学习。2、科学合理的设计学习任务互助合作小组学习法在学科教学中具有很多优势，但是，小组合作学习是否能取得成功，那就要看学习任务的设计是否科学合理。因此，我们在组织实施小组合作学习前，首先必须充分重视任务的设计。科学合理的设计学习任务，体现在如下几个方面：（1）明确教学目标，使任务具有典型性。所谓任务的典型性是指符合学生的认知实际，又是本节课的重难点，学生值得进行讨论交流的任务。（2）符合学生的实际，注重学生的兴趣，同时使任务具有科学性。所谓任务的科学性是指任务的设计不仅要考虑学科内容的知识结构，同时也要充分考虑到学生的认知结构和学习特点，循序渐进、合理安排。（3）注重分工的需要，使任务具有合作性。由于是采用小组合作学习的方式，因此任务的设计应充分考虑小组各成员的分工需要，要让任务的完成必须依赖于小组内全部成员的努力，并能把总任务分解成小组内不同能力类型的学生都能独立完成的分任务。这样可充分调动小组内每个成员的积极性，让他们体验到合作带来的效率，并促进小组成员间情感的交流，从而促进合作意识的增强和合作能力的提高。3、合理分组，提高效率数学合作学习中的分组环节是非常重要的，它往往能影响学生在这堂课中的学习效果。因此，作为教师，应该对学生进行合理的分组。教师首先对学生的情况进行调查，了解学生的学习兴趣、学习态度、学习水平、性格特征等等。通过认真分析整理后，把学生分成几个不同的层次，根据学生的实际情况进行搭配分组。在课堂上，我一般是采用异质分组。也就是这样分配的：每个小组的人数在2-6人之间，一般4人小组是最佳的组合，4人中，包括一名成绩好的学生、一名成绩差的学生和两名成绩一般的学生。中差学生结合一组，让差生先发言，好学生总结，避免差生成了听客、旁观者。但是长期的异质分组，也会导致学习方式流于形式。因此为了改变呆板的组合形式，有时我会引导学生自由组合小组学习。这种组合一般是学生水平相当。因为学生一般在自己的心目中会有想要竞争的对象，所以会选择自己的竞争对手组合。这种自由小组合作方式，使得学生在宽松和谐的氛围中学习，相互比较，学习效率可明显提高，但必须注意的是自由组合也并不是让学生自愿组合，对于有些学困生来说，我要求一些学优生与其组合，帮助学困生。这类组合比较适用于综合性的课型。除此之外，有时我在课堂上采取的分组方式是邻近组合。这组分组方式比较节省时间，比较适用于简单的内容。但是这种分组往往最后会流于形式，学生在合作中不能得到收获。4、综合评价活动（1）成果评价。除针对个人成绩进行评价外，也针对小组表现加以评价；（2）合作成果表扬。当一个问题在同学们的合作交流下顺利完成后，教师要对表现优秀小组进行表扬，以激发学习合作学习的成效；（3）教师课后反思。完成教学任务后，教师针对本次教学设计是否合适、工作分配是否恰当、教学目标是否完成，加以反省和检讨，以做为未来实施的改进与调整。（三）建立了数学小组合作学习的评价体系我认为要充分发挥小组合作学习的有效性，评价必不可少。可以激励学生互助合作。从评价方式看，有个人评价与小组评价、自我评价与同伴评价、学生评价与教师评价，这几组评价以前者为主，但又可多重结合。从评价内容看，有过程评价与结果评价，其中以过程评价为主，主要评价学生在小组合作中行为表现、积极性、参与度以及学生在活动中情感、态度、能力的生成变化。从评价的功能看，主要有：鉴赏功能——通过评价鉴别、评定学生的参与行为、效果，给予价值肯定，以促进相互学习导向功能——通过评价引导学生的学习探究行为在科学、正确的轨道上进行，引导学生在合作中不断“碰撞、对接、融合”；激励功能——通过评价使被评价者得到鼓励与精神支持，使其充分发挥更大创造潜能和合作积极性。能否用好评价机制，是小组合作成交高低的关键。小组合作学习有利于培养学生的合作精神和集体意识，但小组合作组织不当，更会导致好的学生始终唱主角，差的学生总等待帮助、答案，会出现更严重的两极分化。制定小组合作学习评价的机制和评价的方法：（1）自评和互评相结合。（2）组织命题测试。由小组同学合作解决，以观察其合作意识和解题能力。测试题可以是教学的内容，也可以是生活中的问题，关键是要体现集体合作的优势。（3）学校、教师和家长联合评估的方法。六、研究取得的成果（一）课题思想的形成经过充分的探讨和论证，最终把教育课题的思想确定为：“让每个学生都能在数学课堂上找到自我并愉快的学习，感受到成长的快乐”。这一思想是高中数学学科学习的需要，如果没有学习数学的兴趣，感觉不到快乐，那么，学习高中数学将是一件比较痛苦的事情；同时数学教学目标要求在数学学习活动中获得成功的体验，感受学习的快乐。这一思想更是互助合作学习课题所要达到的目的。通过小组互助合作学习为学生提供相互合作交流、相互学习的条件，激发学生他们学习兴趣，使学生自觉参与探究知识的过程，成为教学活动的主体，让每个学生都能在数学课堂上找到自我并愉快的学习，感受到成长的快乐。（二）研究成果通过一年来对小组互助合作学习方法的研究，对提高小组合作探究学习的有效方法归纳总结如下：（1）课前明确小组互助合作学习的主要任务。小组互助合作学习主要任务的选择非常重要，并不是所有问题都需要合作探究。因此，教师必须在课前选择好合作任务，选择一些些具有挑战性、开放性、探索性的问题，并且在学生知识范围内能解决的问题作为合作学习的主要任务。（2）合理分组、优化组合、搞好分工协作在学期初，根据学生的学习成绩、男女比例、性格的互补性等方面，同时在尊重学生自愿的前提下，尽量使各组同学在性别、性格、个性特征、学习成绩等诸方面保持合理的差异，突出它的异质性。每小组4人，2个小组组成一个大组。每个小组中都有优等生、中等生和学困生组成，这样方便他们主动参与、互教互学、合作探讨。学习小组经过合理、优化地重新组合，由学习小组民主推荐一名组织能力强、学习基础好的学生担任小组长。另外，各组内还设有不同的角色，如记录员、资料员、审核员、汇报员等。不定期地互换角色，保证每个学生的参与积极性。组际间搭配力求做到均衡，无明显差异，便于公平竞争。（3）在课堂教学过程中教师要作好小组合作学习指导并适时点拨、参与。教师要深入到每个小组认真观察和了解每个小组的活动情况，发现不能认真参与交流的学生，教师要及时地加以引导指正，并提出明确的要求。同时，在合作交流的过程中，时常会出现学生因思维受阻而不能深入的情况，教师要及时地点拨，使学生排除思维障碍；教师还要不断提醒学生注意倾听别人的发言，记录下自己没想到的见解，以确保合作学习顺利开展，不流于形式。（4）给学生充分的自主学习时间与合作交流时间。在实施小组互助合作学习时，我们先要让学生自主学习，给学生提供充分的自主学习时间，让学生对要合作交流的问题有所思考和认识，然后，再开展合作探究。在学生进行合作交流时，教师要给学生充分的合作交流时间，让他们把各自的意见和观点充分表达出来，并达到相互认同，共同完成任务。（5）做出合理的评价。从评价方式看，有个人评价与小组评价、自我评价与同伴评价、学生评价与教师评价，这几组评价以前者为主，但又可多重结合。从评价内容看，有过程评价与结果评价，其中以过程评价为主，主要评价学生在小组合作中行为表现、积极性、参与度以及学生在活动中情感、态度、能力的生成变化。从评价的功能看，主要有：鉴赏功能——通过评价鉴别、评定学生的参与行为、效果，给予价值肯定，以促进相互学习导向功能——通过评价引导学生的学习探究行为在科学、正确的轨道上进行，引导学生在合作中不断“碰撞、对接、融合”；激励功能——通过评价使被评价者得到鼓励与精神支持，使其充分发挥更大创造潜能和合作积极性。能否用好评价机制，是小组合作成交高低的关键。<<高中数学课程标准>>指出：评价的目的是为了全面的了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学。特别指出，在评价的过程中，我们不仅仅评价学生的学习结果，更关注学生的学习过程；不仅仅评价学生的答案是否正确，更关注学生在表达自己的观点或倾听同学的发言时所表现出来的态度；不仅仅评价学生的学习水平，更关注学生在合作中所表现的合作精神、投入程度、情感与态度，通过老师合理性评价，帮助学生认识了自我，树立了信心。七、课题研究的成效经过一年多的研究和试验，深刻体会到小组互助合作学习是新课程所倡导的一种有效的学习方式。首先，它提升了学生的素质；培养了学生的合作精神和竞争意识，活跃了课堂学习气氛，培养了学习能力，提高了学习效率。在课堂上，每个学生都是时刻准备着在课堂上尽情的展示自我，小组合作也非常积极，合作学习已经成为学生重要的学习方式，学生真正成为了学习的主人。其次，大面积提高了学生的学业成绩。小组合作学习的优势十分显著：它改变了课堂教学组织结构，营造了不同层次学生的发展环境，促使了优秀学生在更高的基础上快速发展。这样，通过培养能力提高了学生的考试成绩，促进了全班学生综合能力的发展。小组合作学习构建了适合学生发展的课堂教学模式，学生在“自主、合作、探究”的学习过程中，养成愿学、乐学、好学的习惯，达到了“课堂因展示而精彩，学生因合作而愉快”的目标。再次，促进了学生良好的个性心理发展。小组合作学习运用于课堂中，不仅促进了课堂教学的效率的提高，从而提高了教学质量，而且这种训练所培养起来的合作精神以及集体的竞争意识，有利于促进学生良好的个性心理的养成，能在集体中培养起一种新型的人际关系，尊重别人，学会共处。随着新课程实验的不断推进，小组互助合作学习已经越来越得到广大教师的肯定，也越来越被广大的学生接受和喜欢。教师业务素质得到了提高。课题在科研期间，我阅读了大量的书籍，改革意识、科研意识已经深深地扎根在我的心中，新的课程理念已经深入到我的课堂教学中。课题在科研期间，举行了多层次的教学公开课、观摩课、研究课，深受学校领导与同行的好评。八、研究中存在的问题及困难通过一年多小组合作学习的实践和运用，学生学习的积极性高了，学习兴趣浓了。但小组互助合作学习还存在着一些问题。从目前情况看。主要表现有以下几方面。1、教师缺乏指导“有效的小组合作学习”的知识和技能。在“小组合作学习”中，教师是总设计师，又是主要组织者。教师必须对合作学习进行精心设计，让学生去搜集资料，提前思考，使学生对问题有独立见解，在实际操作中，教师还必须给予及时、适度的组织和调控，以保证“小组合作学习”顺利进行。然而，现实中有相当部分教师在实践操作中显得很茫然，缺乏小组合作教学的知识和技能。例如有的教师为了让学生能广泛参与，只要有问题，不管合适与否，就让学生合作讨论；还有的教师只追求形式，没有给学生充足的思考时间和讨论时间，学生还没有进入合作学习的状态，教师就要求结束等等。2、教师提出问题难易程度不当在教学中，教师不能根据学生实际和教学内容恰当地提出问题，而是根据自己的主观想象，不加思考，随意提出问题。这样问题太容易，没有讨论价值；相反，讨论的问题太难，又使学生不着边际，结论胡诌八扯，耽误了学生的学习时间，降低了学生的讨论兴趣。3、要把握好合作学习的度，合作学习作为一种新的课堂组织形式，越来越受到人们的重视，但要注意合作学习的度，合作学习不能走过场、凑热闹。小组合作要留给学生充足的思考和活动的时间，让他们尝到互相学习、共同进步的甜头。而在学生进行小组活动时教师应该是学生合作的参与者，学生有问题应及时对学生进行点拨引导。4、学生知识层次的差距和参与合作的态度、程度都会影响合作的效果搞好合作学习有几个重要因素，即成员间的相互信任、有效沟通和相互间对讨论同一问题的共同责任等。也就是说，好的合作小组，应该有共同的知识基础，共同的合作学习积极性，特别是能够互相信任、积极配合去完成共同的任务。但实际却不是这样的，知识基础好、表达能力强的同学，就成了小组的主帅，自觉不自觉地包办了一切，代替了一切。而那些学困生也就自觉不自觉地成了陪衬、附庸，甚至一言不发，即使发言，不是语无伦次就是不关边际，这样的合作学习效果肯定是最差的。5、学生缺乏合作学习的技能技巧。在开展“小组合作学习”时，由于教师在进行小组合作之前，没有对学生进行适当的培训，因此有的学生不知道怎样才能与其它人进行有效的合作，结果导致“小组合作学习”低效。课题研究暂时告一段落了，对问题的思考还没到尽头。关于上面提到的问题，今后本人将继续进行深入的研究。总之，经过本课题的深入研究实践，学生的学习积极性与主动性大大提高，顷听表达能力有了极大的进步，合作意识和交往能力也大大增强，从而进一步验证了有效的合作学习的实效性。今后只要我们用心去探索研究，就能让我们的小组合作学习更有成效！让每个学生都能在数学课堂上找到自我并愉快的学习，感受到成长的快乐！2024“中学数学建模教学初探”结题报告

一、课题的提出：数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面。20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。当今知识经济时代，数学正在从幕后走向台前，数学和计算机技术的结合使得数学能够在许多方面直接为社会创造价值，同时，也为数学发展开拓了广阔的前景。我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视，因此，高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强。近几年来，我国大学、中学数学建模的实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野。数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。数学应用题的数量和分值在会考和高考中将逐步增加，中、低档题目将逐渐齐全，并将在命题中转变传统的学科体系观念，结合生活实际和社会实践，突出理论与知识结合，理论与实践结合，引导学生关心社会、关心未来，实现高考命题改革与中学教育、教学观念改革的结合，成为推动素质教育发展的重要内容。

重视和加强“中学数学建模教学初探”课题的研究和实践，是数学教学为实现上述设想的突破口和出发点。二、课题研究的目标：著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究”。所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型。举个简单的例子，二次函数就是一个数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为二次函数来解决。而通过对问题数学化，模型构建，求解检验使问题获得解决的方法称之为数学模型方法。我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思想方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。具体的讲数学模型方法的操作程序大致上为：实际问题→分析抽象→建立模型→数学问题↑↓检验←实际解←释译←数学解由此，我们可以看到，培养学生运用数学建模解决实际问题的能力关键是把实际问题抽象为数学问题，必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理，这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力。学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模意识贯穿在教学的始终，也就是要不断的引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。具体地说，通过建模教学：1.培养学生简化、概括实际问题的能力。2.对于实际问题抽象得到的数学模型学生应灵活运用所学到的知识以及有关数学思想和方法进一步寻求一般地或最优的方法，有利于更好地培养学生的运算、推理以及灵活运用现代计算工具的能力。3.培养学生对解出的结果是否符合实际、是否需要调整或修改原来的模型的评价意识。4.建模活动倡导团对合作精神，而良好的协作精神可以使学生取长补短，充分发挥每个人的特长，所以培养学生的交流合作能力以及动手实践能力也是建模教学追求的目标。三、课题研究内容：

我们认为，在学完有关数学知识单元后，应安排该单元知识的应用专题，重点是渗透数学建模思想，提高学生创新意识和化归等能力。根据大纲要求和现行教材内容，主要有：集合交、并、补的应用，不等式的应用，函数的应用，指数函数和对数函数的应用，三角函数的应用，向量的应用，复数的应用，线性规划的应用，圆锥曲线的应用，等差数列和等比数列的应用，较复杂的计数问题举例，立体几何的应用等。此外，结合时代发展的特点，涉及现代生活的经济统计图表（识别、分析、绘制），数据拟合（最小二乘法），动态规划（货郎担问题，生产计划问题等），网络规划（绘制、计算、优化），矩阵对策，股票、彩票发行模型，风险决策，市场预测，存贮原理，供求模型，蛛网模型，法律与犯罪问题，就业与失业，广告与税款等等，亦可以专题讲座等形式向学生作介绍，还可介绍有关跨学科的生态平衡、环境保护、人口生命等方面的问题，以适应时代要求。

在此基础上，应对上述内容，对其建模的主要类型进行化归，以适应中学水平，减轻学生负担。3.1、建立或化归为函数模型

如现实生活中普遍存在着数据的利用、分析与预测，线性回归、曲线拟合、最优化问题----最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。3.2、建立或化归为方程或不等式模型

现实世界中广泛存在着数量之间的相等或不等关系，如投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、交通运输、水土流失等问题中涉及的有关数量问题，常归结为方程或不等式求解。3.3、建立或化归为数列模型

现实生活中的许多经济问题，如增长率、利息（单利、复利）、分期付款、现值、终值的计算及应用，投资收益，折旧，库存等与时间相关的实际问题；生物工程中的细胞繁殖与分裂等问题；人口增长、生态平衡、环境保护，物理学上的衰变、裂变等问题，常通过建立相应的数列模型求解。3.４、建立或化归为几何应用模型现实世界中涉及一定图形属性的应用问题，如航行、建筑、测量、工厂选址、展开、折叠、视图、容器设计、空间量的计算、人造卫星运行轨道等，常需建立相应的几何模型，应用几何知识，转化为用方程或不等式，或三角知识求解。3.5、建立或化归为概率统计模型：现实世界中涉及彩票与摸奖，市场统计，评估预测，风险决策等常需建立或化归为概率统计模型求解。3.6、建立或化归为边缘学科模型：现实世界中来自理、化、生、地、医等方面的问题。四、实验步骤：本课题研究与实践的实施方案

第一阶段（高一实施）：结合教材，以应用题为突破口，培养学生运用数学建模方法的意识，以简单建模为主要目标。

这一阶段，主要是提高学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，体会到数学的价值，享受到数学学习的乐趣，增强学好数学建模的信心。由于刚开始接触这一新的思想方法，所以选取的例子要贴近教材内容，贴近学生认知水平，贴近学生生活实际，涉及的专业知识不能太多，且要易于理解。此阶段的重点是站在提高学生素质的高度，把渗透数学建模的意识作为首要任务，并注重培养学生的阅读理解能力和数学语言的转换能力。同时，此阶段师生共同讨论，分析寻找等量关系或函数关系，将实际问题数学化，本阶段主要是落实简单建模的教学目标。

第二阶段（高二实施）：安排与教材内容有关的典型案例，落实典型案例教学目标，让学生初步掌握建模的常用方法。

到了高二，学生所学知识逐渐增多，教师应结合教材内容精心挑选典型案例，有计划地让学生参与建模过程，初步掌握理论分析法、类比联想分析法、数据分析法、模拟方法和人工假设法等中学阶段适宜介绍的数学建模方法，激发学生进一步学好数学的热情，拓宽学生视野，接触更多的社会知识和科学知识。

此阶段主要落实典型案例教学目标。为此，应在教师指导下，改变传统教学方式，学生自己独立完成，然后由学生汇报并写报告，使他们能对经过提炼加工、忽略了次要因素保留下来的诸因素之间的数量关系比较清楚的实际问题，构建其数学模型。

第三阶段（高三实施）：落实综合建模教学目标，以建模为核心，小组为单位开展建模活动，通过建模训练，培养学生科学的思维方法，提高创新能力。

建模能力是解题者对各种能力的综合应用，它涉及文字理解能力，对实际的熟悉程度，对相关知识的掌握程度，良好的心理素质，创新精神和创造能力，以及观察、分析、综合、比较、概括等各种科学思维方法的综合应用。为此，在高三阶段，师生应组成“共同体”，在老师的点拨指导下，以小组为单位开展建模活动，同时提高学生独立工作和相互合作的能力，小组成员最好是优、良、中、差均衡搭配，并轮流做组长负责召集、记录和写报告，然后师生共同讨论评定并总结，教师重点在科学的思维方法上给予点拨和总结。此时，有关课题可由教师提供，亦可由学生提供，并可让学生去实践，增强应用意识和经济观念，增长生活、生产知识，提高学生的应用能力和创新能力。

同时，考虑到高考的趋势，在复习时应对教学大纲、考纲所涉及的、与中学水平相适应的现实生产和生活中的应用问题进行详尽的分类，通过剖析典型例题，讲述数学建模的科学的思维方法，对现实问题进行良好的迁移，使学生形成良好的数学认知结构，切实掌握常见应用问题的解答思路、技巧和方法，进而有效地提高数学建模和应用技能，特别是高考和各类考试中的应变能力。

应注意的是，在第三阶段有的课题花时较多，教学控制有一定难度，应予以注意，如果有条件的地方，应鼓励使用计算机。五、课题研究的成果：5.1、课题研究和实践的初步成果①做到了将培养应用数学的意识贯彻在“从实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，构建数学模型，解决数学问题，从而解决实际问题”的全过程之中。

②在教学中通过引入贴近现实生活、生产和其他学科为实际背景的开放性或探索性例题，使学生明确了数学是怎样应用于解决这些实际问题上去的，并能利用有关方法进行数学建模，从而解决这些实际问题的，从而体现数学的实际应用价值和数学的社会功能。③以数学建模为手段，激发了学生学习数学的积极性，学会了团结协作，建立良好人际关系、相互合作的工作能力。

④以数学建模为核心，培养了学生的动手能力和创新精神．通过建模过程中的思维方向的多向性以及一题多模的探讨，丰富了学生的思维，激发学生的创新，从而为学生将来成为具有创造性思维的人才奠定了基础。

⑤以数学建模的教学目标为导向，促进了数学建模理论的系统训练，有效地改变了过去只进行应用题的解题训练，避免陷入应用题的“题海”，减轻了学生的负担，切实推进了数学素质教育的发展。

⑥通过数学建模手段，培养学生的自我评价能力。许多数学模型的建立往往只有较好，没有最好，甚至同一个问题可能有多个相互独立的数学模型，这就给评价带来了很大的困难，但同时也是挑战。在这样一种条件下可以更好地培养学生的自我评价能力，学生正是在这种不断修改不断完善的过程中，来反省自己，充实自己，从而形成独立思考的习惯和良好的自我评价能力。5．2构建数学建模意识的基本途径①为了培养学生的建模意识，中学数学教师应首先需要提高自己的建模意识。这不仅意味着我们在教学内容和要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新。中学数学教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活。北京大学附中张思明老师对此提供了非常典型的事例：他在大街上看到一则广告：“本店承接A1型号影印。”什么是A1型号？在弄清了各种型号的比例关系后，他便把这一材料引入到初中“相似形”部分的教学中。这是一般人所忽略的事，却是数学教师运用数学建模进行教学的良好机会。②数学建模教学还应与现行教材结合起来研究。教师应研究在各个教学章节中可引入哪些模型问题，如讲立体几何时可引入正方体模型或长方体模型把相关问题放入到这些模型中来解决；又如在解几中讲了两点间的距离公式后，可引入两点间的距离模型解决一些具体问题,而储蓄问题、信用贷款问题则可结合在数列教学中。要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。③注意与其它相关学科的关系。由于数学是学生学习其它自然科学以至社会科学的工具而且其它学科与数学的联系是相当密切的。因此我们在教学中应注意与其它学科的呼应，这不但可以帮助学生加深对其它学科的理解，也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。例如教了正弦型函数后，可引导学生用模型函数y=Asin（wx+Φ）写出物理中振动图象或交流图象的数学表达式。又如当学生在化学中学到CH4CL4，金刚石等物理性质时，可用立几模型来验证它们的键角为arccos（-1/3）=109°28′……可见，这样的模型意识不仅仅是抽象的数学知识，而且将对他们学习其它学科的知识以及将来用数学建模知识探讨各种边缘学科产生深远的影响。④在教学中还要结合专题讨论与建模法研究。我们可以选择适当的建模专题，如“代数法建模”、“图解法建模”、“直（曲）线拟合法建模”，通过讨论、分析和研究，熟悉并理解数学建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法。甚至可以引导学生通过对日常生活的观察，自己选择实际问题进行建模练习，从而让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决的“苦”借亦拓宽视野、增长知识、积累经验。这亦符合玻利亚的“主动学习原则”，也正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。5．3、把构建数学建模意识与培养学生创造性思维过程统一起来在诸多的思维活动中，创新思维是最高层次的思维活动，是开拓性、创造性人才所必须具备的能力。麻省理工大学创新中心提出的培养创造性思维能力，主要应培养学生灵活运用基本理论解决实际问题的能力。由此，我认为培养学生创造性思维的过程有三点基本要求。第一，对周围的事物要有积极的态度；第二，要敢于提出问题；第三，善于联想，善于理论联系实际。因此在数学教学中构建学生的建模意识实质上是培养学生的创造性思维能力，因为建模活动本身就是一项创造性的思维活动。它既具有一定的理论性又具有较大的实践性；既要求思维的数量，还要求思维的深刻性和灵活性，而且在建模活动过程中，能培养学生独立，自觉地运用所给问题的条件，寻求解决问题的最佳方法和途径，可以培养学生的想象能力，直觉思维、猜测、转换、构造等能力。而这些数学能力正是创造性思维所具有的最基本的特征。①发挥学生的想象能力，培养学生的直觉思维众所周知，数学史上不少的数学发现来源于直觉思维，如笛卡尔坐标系、费尔马大定理、歌德巴赫猜想、欧拉定理等，应该说它们不是任何逻辑思维的产物，而是数学家通过观察、比较、领悟、突发灵感发现的。通过数学建模教学，使学生有独到的见解和与众不同的思考方法，如善于发现问题，沟通各类知识之间的内在联系等是培养学生创新思维的核心。例:证明分析：此题若作为“三角”问题来处理，当然也可以证出来，但从题中的数量特征来看，发现这些角都依次相差72°，联想到正五边形的内角关系，由此构造一个正五边形（如图）由于.从而它们的各个向量在Y轴上的分量之和亦为0，故知原式成立。这里，正五边形作为建模的对象恰到好处地体现了题中角度的数量特征。反映了学生敏锐的观察能力与想象能力。如果没有一定的建模训练，是很难“创造”出如此简洁、优美的证明的。正如E·L泰勒指出的“具有丰富知识和经验的人，比只有一种知识和经验的人更容易产生新的联想和独创的见解。②构建建模意识，培养学生的转换能力恩格斯曾说过：“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走很远。”由于数学建模就是把实际问题转换成数学问题，因此如果我们在数学教学中注重转化，用好这根有力的杠杆，对培养学生思维品质的灵活性、创造性及开发智力、培养能力、提高解题速度是十分有益的。如在教学中，我曾给学生介绍过“洗衣问题”：给你一桶水，洗一件衣服，如果我们直接将衣服放入水中就洗；或是将水分成相同的两份，先在其中一份中洗涤，然后在另一份中清一下，哪种洗法效果好？答案不言而喻，但如何从数学角度去解释这个问题呢？我们借助于溶液的浓度的概念，把衣服上残留的脏物看成溶质，设那桶水的体积为x，衣服的体积为y，而衣服上脏物的体积为z，当然z应非常小与x、y比可忽略不计。第一种洗法中，衣服上残留的脏物为；按第二种洗法：第一次洗后衣服上残留的脏物为；第二次洗后衣服上残留的脏物为；显然有这就证明了第二种洗法效果好一些。事实上，这个问题可以更引申一步，如果把洗衣过程分为k步（k给定）则怎样分才能使洗涤效果最佳？学生对这个问题的进一步研究，无疑会激发其学习数学的主动性，且能开拓学生创造性思维能力，养成善于发现问题，独立思考的习惯。③以“构造”为载体，培养学生的创新能力。“一个好的数学家与一个蹩脚的数学家之间的差别，就在于前者有许多具体的例子，而后者则只有抽象的理论。”我们前面讲到，“建模”就是构造模型，但模型的构造并不是一件容易的事，又需要有足够强的构造能力，而学生构造能力的提高则是学生创造性思维和创造能力的基础：创造性地使用已知条件，创造性地应用数学知识。如：在一条笔直的大街上，有n座房子，每座房子里有一个或更多的小孩，问：他们应在什么地方会面，走的路程之和才能尽可能地少？分析：如何表示房子的位置？构造数轴，用数轴表示笔直的大街，几座房子分别位于x1、x2、…、xn，不妨设x1<x2<…<xn,又设各座房子中分别有a1、a2、…、an个小孩，则问题就成为求实数x，使f(x)=ai|x-xi|最小。又如：求函数的最小值。分析：学生首先想到的用不等式求得最小值为2，但忽略了等号成立的条件。若把函数变换为，则可构造数学模型“求过定点A（0,-4）及动点B（2sinθ，sin2θ）的直线AB斜率的最小值”而动点B（2sinθ，sin2θ）的轨迹是抛物线段：结合图象知f(θ)的最小值为再如，用实际例子说明所表示的意义给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，我们从物理和经济两个角度出发构造出实例：（1）X表示时间（单位：s），y表示速度（单位：m/s），开始计时后质点以10/s的初速度作匀加速运动，加速度为2m/s2，5秒钟后质点以20/s的速度作匀速运动，10秒钟后质点以-2m/s2的加速度作匀减速运动，直到质点运动到20秒末停下。（2）季节性服饰在当季即将到来之时，价格呈上升趋势，设某服饰开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后当季即将过去，平均每周削价2元，直到20周末该服饰不再销售。函数概念的形成，一般是从具体的实例开始的，但在学习函数时，往往较少考虑实际意义，本题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释，体会到数学概念的一般性和背景的多样性。这是对问题理解上的开放从上面两个例子可以看出，只要我们在教学中教师仔细地观察，精心的设计，可以把一些较为抽象的问题，通过现象除去非本质的因素，从中构造出最基本的数学模型，使问题回到已知的数学知识领域，并且能培养学生的创新能力。5.4、数学建模例题的设计应注意的问题

通过实践和探讨，我们认为数学建模问题的编拟，应使其具有以下几个主要特征：

①导向性：选编的数学建模问题，应在思想内容上富于时代信息，并注重真实性、科学性、趣味性，既有助于中学素质教育，又能考查分析问题解决问题的能力。

②隐蔽性：建模条件应具有适度的隐蔽性，这是考查和培养学生建模能力的一个重要方面。

③原始性：所给材料应保持其原始性。来自广播电视、报刊杂志的信息，政府机关、企事业单位的报告、计划、统计资料等等，都是数学建模问题原始资料的重要来源，也可以引导学生亲自到一线调查研究，注意积累找课题。

④模拟性：由于中学生水平和年龄特征的限制，应对社会生活中实际问题进行简化处理，使之成为适合于中学数学教育可用的形式。

⑤综合性：由于应用题带有很强的现实生活色彩，数量关系、信息储存方式、实际情境设置、语言表述形式等都不同于常规训练中的简单例题，因此，建模课题应具有两个层次的综合性：（1）社会交流层次上的综合性，包括生活知识、语言知识、相关学科知识的综合；（2）数学素质层次上的综合，包括基本知识、基本技能、基本数学思想方法和能力的“多位一体”的综合。

⑥创新性：“创新是民族兴旺的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力”（江泽民语），编制建模例题时，必须考虑培养学生的创新精神和创造能力，为此，应注重一题多模或多题一模、统计图表等例题的编拟，密切关注现代科学技术的发展，使数学创新和高技术密切结合，溶入当代科学发展的主流。六、存在的问题：课题研究与实践的继续深化还应注意的问题

①应授予适合中学生水平的数学建模理论与方法，并通过系统训练、加以强化，形成一个良好的认知结构，在中学阶段应介绍哪些数学建模理论和方法，须作进一步研究。

②教学时间和活动时间的合理安排的探讨。

③用传统的教学方式是很难达到数学建模教学目的的，本文第一部分所介绍的实施方案，从根本上改变了传统的教师讲、学生听，使学生真正成为学习活动的主体，但实施中教学控制有一定难度，还须进一步实践。

④教师自身