人教A版（2019）必修第二册 第八章 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（教学课件）

第八章

§8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学习目标XUEXIMUBIAO1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用

计算公式求几何体的表面积与体积.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积

图形表面积多面体

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是

的面积展开图思考将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？答案将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱＝ShS为棱柱的

，h为棱柱的___棱锥S为棱锥的

，h为棱锥的___棱台S′，S分别为棱台的______

，h为棱台的___底面积高底面积高上、下底面面积高思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(

)2.棱锥的体积等于底面面积与高之积.(

)3.棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.(

)4.几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.(

)××√√2题型探究PARTTWO例1

已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高为

cm，求此正三棱台的表面积.一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积解如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，反思感悟(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积求法①多面体的表面积是各个面的面积之和.②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.(2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.跟踪训练1

已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.解∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，∴各侧面都是全等的正三角形.设E为AB的中点，连接SE(图略)，则SE⊥AB，二、棱柱、棱锥、棱台的体积例2

(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为√解析设三棱锥B1－ABC的高为h，(2)正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面面积为780cm2.求其体积.解正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10cm，AB＝20cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.∴EE1＝13cm.在直角梯形EOO1E1中，反思感悟求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.跟踪训练2

如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为____.三、简单组合体的表面积与体积例3

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？解由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m.因为A1B1＝AB＝6m，所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)，故仓库的容积是312m3.反思感悟求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.跟踪训练3

如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积和体积.核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG几何体体积的求法典例1

等积变换法如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.解由

＝

，又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，典例2

分割法如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.素养提升(1)转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法.(2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法.(3)通过识别几何体的结构特征，提升直观想象的数学核心素养.3随堂演练PARTTHREE1.若长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm，则长方体的体积为A.27cm3

B.60cm3C.64cm3

D.125cm312345√解析V长方体＝3×4×5＝60(cm3).2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的√解析令正方体棱长为a，则V正方体＝a3，12345123453.已知正四棱锥，其底面边长为8，棱长为

，则正四棱锥的侧面积为A.48 B.64C.80 D.120√4.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为________.123455.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为_____.解析

＝12345课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.(3)组合体的表面积与体积.2.方法归纳：等积法、割补法.3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.4课时对点练PARTFOUR基础巩固1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为A.48 B.64C.16 D.9612345678910111213141516√123456789101112131415162.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是√3.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为√解析设棱柱的高为h，底面积为S，123456789101112131415164.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是√123456789101112131415165.(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上下两部分的高之比为1∶2，则关于上下两几何体的说法正确的是A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26√√解析依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.123456789101112131415166.棱长都是3的三棱锥的表面积S为______，体积为_____.解析因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，123456789101112131415167.正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为

，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为____.1123456789101112131415168.一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8cm和18cm，侧棱长为13cm，则其表面积为_______cm2.1234567891011121314151610129.现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.1234567891011121314151612345678910111213141516解如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.1234567891011121314151610.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；12345678910111213141516解由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.12345678910111213141516(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.解如图所示，∵小棱锥的底面边长为4cm，∴大棱锥的底面边长为8cm，又PA＝12cm，∴A1A＝6cm.12345678910111213141516综合运用11.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2，互相平行的两个侧面的距离为1m，则这个六棱柱的体积为√1234567891011121314151612.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是√解析如图，PA，PB，PC两两垂直且PA＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，AB＝a，1234567891011121314151613.已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的表面积为______，体积为_______.1234567891011121314151648解析如图，正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE，∵OE＝2，∠OPE＝30°，123456789101112131415161234567891011121314151614.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为_____.12345678910111213141516解析连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC(图略)，∵E，H分别为AD1，CD1的中点，∵F，G分别为