专题19以三角形为载体的几何综合探究问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘含答案

挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题19以三角形为载体的几何综合探究问题

【例1】(2021·北京·中考真题)在中，，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作，过点B作，取AB中点O，连接ON．(1)①依题意在图1中补全图形；②求证：CM=BN；(2)猜想线段AM，BN，ON的数量关系，并证明；(3)当∠BCP=22.5°时，若ON=1，则GN的值为___________．

【例2】(2021·山东济南·中考真题)在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接．(1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；(2)当时，①如图2，(1)中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．【例3】(2021·辽宁鞍山·中考真题)如图，在中，，，过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转得到AN，过点C作交直线AN于点F，在AM上取点E，使．(1)当AM与线段BC相交时，①如图1，当时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为．②如图2，当时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．(2)当，时，若是直角三角形，直接写出AF的长．【例4】(2021·辽宁朝阳·中考真题)如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上(点O不与点A，B重合)，且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．(1)如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系(用含k的式子表示)，并证明；(3)点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM(k≠1)，且＜，请直接写出的值(用含k的式子表示)．一、解答题1．(2021·湖北枣阳·一模)问题探究：(1)如图1，、均为等边三角形，连接、，则线段与的数量关系是．(2)如图2，在和中，，，连接、，试确定与的数量关系，并说明理由．(3)如图3，在四边形中，，且，，若将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则线段的长度是．2．(2021·山东单县·二模)如图1，在中，，，，点D、E分别是边、的中点，连接．将绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为．(1)问题发现①当时，________；②当时，______．(2)拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．(3)问题解决绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长________．3．(2021·广东花都·三模)△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D为△ABC所在平面内一点．(1)若∠BAC＝120°，①如图1，当点D在BC边上，BD＝AD，求证：DC＝2BD；②如图2，当点D在△ABC外，∠ADB＝120°，AD＝2，BD＝4，连接CD，求CD的长；(2)如图3，当点D在△ABC外，且∠ADB＝90°，以AD为腰作等腰三角形△ADE，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，直线DE交BC于点F，求证：点F是BC中点．4．(2021·广东·深圳市南山区太子湾学校二模)问题背景：如图(1)，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试运用：如图(2)，在△ABC中，点D是BC边上一动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，AB＝4，AC＝3，AC与DE相交于点F，在点D运动的过程中，当tan∠EDC＝时，求DE的长度；拓展创新：如图(3)，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD，tan∠BAD＝，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2．求AD的长．5．(2021·广东深圳·三模)(1)问题背景：如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求证：△ABE∽△ACD；(2)尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF．求的值；(3)拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG．当DF＝1，S四边形AEDF＝5时，则BG的长为．6．(2022·上海市罗星中学模拟预测)如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，，且DC∥AE．(1)求证：；(2)如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；(3)如图2，延长AD、BC交于点F，设，求y关于的函数解析式，并写出定义域．7．(2021·山东·青岛大学附属中学二模)如图，等腰三角形的腰长，，动点从出发沿向运动，速度为，动点从出发沿向运动，速度为，当一个点到达终点时两个点同时停止运动．点是点关于直线的对称点，连接和，和相交于点．设运动时间为秒．(1)若当的值是多少时，恰好经过点?(2)设的面积为，求与之间的函数关系式．(3)是否存在某一时刻，使平分?若存在，求出相应的值，若不存在，请说明理由．(4)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上?若存在，求出相应的值，若不存在，请说明理由．8．(2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测)如图，在中，，是边的延长线上一点，是边上一点，且．(1)求证：；(2)作于点，并连结．若，，求的面积．9．(2021·安徽·合肥一六八中学模拟预测)如图1，和都是等腰直角三角形，，，且点是上的点(点不与点，重合)，过点作交的延长线于点，的延长线交于点．过点作交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的长；(3)如图2，若，求的值．10．(2021·重庆实验外国语学校三模)如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点，(1)如图1，若，，，求；图1(2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：；图2(3)如图3，在(1)的条件下，为边的中点，为边上一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，以为斜边向右作等腰直角三角形，连接，求的最小值．图311．(2021·浙江·翠苑中学二模)(1)如图1，在中，，，，请在图1中作一条直线，使得被分成两个等腰三角形，并在图中标注出相应的角度．(2)如图2，在两个不相似的和中，，，，直线和直线将和分别分为两个三角形，并使的两部分能分别与的两部分相似．请在图中作出直线和直线，并标注出相应的角度．12．(2021·安徽·安庆市第四中学二模)如图(1)，∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，点B是AM上一点，AB＝4，BG⊥AP于C点，交AN于点G，CD⊥AN，交AN于点D，连接BD交AP于点O，AF⊥BD于E，连接CE．(1)求证：∠BEC＝∠BAC；(2)请判断CF与DF的数量关系，并给予证明；(3)若∠MAN≠90°，如图(2)试证明CF＝DF．13．(2022·湖北洪山·模拟预测)如图1，在四边形ABCD中，ABCD，BD相交于点P，．(1)求证：∠BAC＝∠CBD；(2)如图2，E，F分别为边AD、BC上的点，PEDC，，①求证：∠PFC＝∠CPD；②若BP＝2，PD＝1，锐角∠BCD的正弦值为，直接写出BF的长．14．(2021·山东宁阳·二模)在四边形中，，，垂足为．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，过点作，分别与，交于点，，点在边上，连接并延长，交于点，过作于，，且．①证明；②若，探究与的数量关系．15．(2021·辽宁沈阳·模拟预测)如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合)，直线是经过点的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．(1)基础图形：如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，求的长度；(2)模型变式：如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，则的长度为______；(3)动态探究：如图3，点在边上运动过程中，点到直线的距离为．①如果直线始终垂直于，那么的值是否变化？若变化，求出的变化范围；若不变化，求出的值；②当时，请直接写出在直线的变化过程中，的最大值．16．(2021·安徽·合肥市第四十五中学三模)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点D，CG⊥AD于点G，连接EG．(1)求证：CD2＝DG•DA；(2)如图1，若CF＝2EF，求证：点D是BC中点；(3)如图2，若GC＝2，GE＝2，求GD．17．(2021·陕西·交大附中分校模拟预测)问题提出：(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝2，则∠A的大小为；问题探究：(2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于O．若AC＝8，BD＝6，∠AOD＝60°，求四边形ABCD的面积；问题解决：(3)在西安市“三河一山”生态绿道长廊建设中．规划将某条绿道一侧的四边形区域修建成主题公园．设计要求：如图③，四边形ABCD中，AD＝160m，BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝120°．求这个主题公园的最大面积．18．(2021·江苏·沭阳县怀文中学二模)已知：和均为等腰直角三角形，，连接，，点为中点，连接．(1)如图1所示，点、分别在边、上，求证：且；(2)将绕点旋转到图2所示位置时，线段与又有怎样的关系，证明你的结论．(3)如图3所示，当，时，求长的取值范围．19．(2021·江苏·景山中学一模)【背景】如图1，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线MN∥BC，点D是直线MN上的一动点，将射线DB绕着点D逆时针旋转，交线段AC于点P，使∠BDP＝∠BAC，试说明：DB＝DP．小丽提出了自己的想法：如图2在线段AB上取一点F，使DA＝DF，通过证明△BDF≌△PDA可以解决问题．【尝试】①请你帮助小丽完成说理过程．②若AC＝6，BC＝4，AD＝3，求AP的长．【拓展】如图3，过点A的直线MN∥BC，AB＝3cm，AC＝4cm，点D是直线MN上一点，点P是线段AC上的一点，连接DP，使得∠BDP＝∠BAC，求的值．20．(2021·内蒙古东胜·二模)【问题发现】(1)若四边形是菱形，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由；【类比探究】(2)若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，如图2.当点P在对角线上，点E恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由；【拓展延伸】(3)在(2)的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积．21．(2018·河南·模拟预测)(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．22．(2021·福建·厦门一中三模)如图①，线段，交于点，若与，与中有一组内错角成两倍关系，则称与为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．(1)如图②，在四边形中，对角线，交于点，，为等边三角形．求证：与为倍优三角形．(2)如图③，正方形边长为，点为边上一动点(不与点，重合)连接和，对角线和交于点，当与为倍优三角形时，求的正切值．挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题19以三角形为载体的几何综合探究问题

【例1】(2021·北京·中考真题)在中，，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作，过点B作，取AB中点O，连接ON．(1)①依题意在图1中补全图形；②求证：CM=BN；(2)猜想线段AM，BN，ON的数量关系，并证明；(3)当∠BCP=22.5°时，若ON=1，则GN的值为___________．

【答案】(1)①图见解析；②见解析；(2)AM＋BN＝ON，证明见解析；(3)．【解析】【分析】(1)①由题意补全图形，②证明△ACM≌△CBN(AAS)，由全等三角形的性质可得出CM＝BN．(2)连接OC，证明△OCM≌△OBN(SAS)，由全等三角形的性质可得出OM＝ON，COM＝∠COM＝∠BON，由等腰直角三角形的性质得出MN＝ON，则可得出结论；(3)先求出∠AGM=67.5°，再得到∠MOG=67.5°，故可得到MO=MG，再根据勾股定理求出MN，故可求解．【详解】解：(1)①补全图形如图，②证明：∵AM⊥CP，BN⊥CP，∴∠AMC＝∠BNC＝90°，∴∠ACM＋∠CAM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACM＋∠BCN＝90°，∴∠CAM＝∠BCN，∵AC＝BC，∴△ACM≌△CBN(AAS)，∴CM＝BN．(2)依题意补全图形如图，结论：AM＋BN＝OM．证明：连接OC，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，∴OC＝OB，∠ACO＝∠CBO＝45°，∵△ACM≌△CBN，∴AM＝CN，∠OCM＋∠ACO＝∠CBO＋∠OBN，∴∠OCM＝∠OBN，∵CM＝BN，∴△OCM≌△OBN(SAS)，∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，∵∠COM＋∠MOB＝90°，∴∠BON＋∠MOB＝90°，∴∠MON＝90°，△OMN是等腰直角三角形∴MN＝ON，∴AM＝CN＝CM＋MN＝BN＋ON；(3)∵∠BCP=22.5°，△ACM≌△CBN∴∠CAM=∠BCP=22.5°∴∠GAM=∠CAB-∠CAM=22.5°∵AM⊥CP∴∠AGM=90°-∠GAM=67.5°∵△OMN是等腰直角三角形∴∠OMN=45°∴∠MOG=180°-∠AGM-∠OMN=67.5°∴∠MOG=∠AGM

∴MO=ON=MG=1∴MN=∴GN=MN-MG=．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．【例2】(2021·山东济南·中考真题)在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接．(1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；(2)当时，①如图2，(1)中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．【答案】(1)；(2)①成立，理由见解析；②平行四边形，理由见解析；【解析】【分析】(1)如图1，证明，由平行线分线段成比例可得，由的余弦值可得；(2)①根据两边成比例，夹角相等，证明，即可得；②如图3，过作，连接,交于点，根据已知条件证明，根据平行线分线段成比例可得，根据锐角三角函数以及①的结论可得,根据三角形内角和以及可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形．【详解】(1)如图1，，，，是以为斜边等腰直角三角形，,，，，，，，即；(2)①仍然成立，理由如下：如图2，，，，是以为斜边等腰直角三角形，,，，，即，，，，，，即；②四边形是平行四边形，理由如下：如图3，过作，连接,交于点，，，，，，，是以为斜边等腰直角三角形，，，，三点共线，，，，，，，，，，，，，由①可知，，是以为斜边等腰直角三角形，,，，，，，，，即，，，，四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．【例3】(2021·辽宁鞍山·中考真题)如图，在中，，，过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转得到AN，过点C作交直线AN于点F，在AM上取点E，使．(1)当AM与线段BC相交时，①如图1，当时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为．②如图2，当时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．(2)当，时，若是直角三角形，直接写出AF的长．【答案】(1)①；②，理由见解析；(2)或【解析】【分析】(1)①结论：．如图1中，作交AM于T．想办法证明，，可得结论．②结论：．过点C作于Q．想办法证明，，可得结论．(2)分两种情形：如图3－1中，当时，过点B作于J，过点F作于K．利用勾股定理以及面积法求出CD，再证明，可得结论．如图3－2中，当时，，解直角三角形求出AK，可得结论．【详解】解：(1)①结论：．理由：如图1中，作交AM于T．，，是等边三角形，，，，，四边形AFCT是平行四边形，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，．故答案为：．②如图2中，结论：．理由：过点C作于Q．，，，，，四边形AFCQ是矩形，，，，，，，，，，，，，．(2)如图3－1中，当时，过点B作于J，过点F作于K．在中，，，，，，，，，，，，，，，四边形CDKF是平行四边形，，四边形CDKF是矩形，，，，，．如图3－2中，当时，同理可得：，，，在中，，，，，，，，，，，，．综上所述，满足条件的AF的值为或．【点睛】此题是几何变换综合题．考查了等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，此题是一道几何综合题，掌握各知识点并掌握推理能力是解题的关键．【例4】(2021·辽宁朝阳·中考真题)如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上(点O不与点A，B重合)，且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．(1)如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系(用含k的式子表示)，并证明；(3)点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM(k≠1)，且＜，请直接写出的值(用含k的式子表示)．【答案】(1)OM＝ON，见解析；(2)ON＝k•OM，见解析；(3)【解析】【分析】(1)作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON；(2)作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM∽△EON；(3)设AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代数式分别表示再利用比例的性质可得答案．【详解】解：(1)OM＝ON，如图1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，在Rt△AOD中，，同理：OE＝OB，∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，在Rt△DOM和Rt△EON中，，∴△DOM≌△EON(ASA)，∴OM＝ON．(2)如图2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，由(1)知：OD＝OA，OE＝OB，∴，由(1)知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON，∴，∴ON＝k•OM．(3)如图3，设AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵OB＝k•OA，∴OB＝•a，OA＝•a，∴OE＝OB＝a，∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝＝OE＝•a，∵CE＝OD＝OA＝a，∴NC＝CE＋EN＝a＋•a，由(2)知：，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30°∵，∴，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°，∴PE＝OE＝a，∴PN＝PE＋EN＝a＋•a，设AD＝OD＝x，∴DM＝，由AD＋DM＝AC＋CM得，(＋1)x＝AC＋CM，∴x＝(AC＋CM)＜(AC＋AC)＝AC，∴k＞1∴，∴．【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作OD⊥AC，OE⊥BC；本题的难点是条件得出k＞1．一、解答题1．(2021·湖北枣阳·一模)问题探究：(1)如图1，、均为等边三角形，连接、，则线段与的数量关系是．(2)如图2，在和中，，，连接、，试确定与的数量关系，并说明理由．(3)如图3，在四边形中，，且，，若将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则线段的长度是．【答案】(1)相等(2)(3)【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质证明△EAC≌△DAB即可得到BD=CE；(2)证明，得到，证得，推出，由此得到结论；(3)连接，得到△为等腰直角三角形，证明ΔABC∽△，得到，推出，证得ΔCAD∽△．得到，求出．(1)解：(1)、均为等边三角形，，，，∴∠EAC=60°-∠CAD，，，在与中，，，；(2)证明：，理由：，，，，，，，，，，；(3)解：连接，如图③，，且，为等腰直角三角形．，将线段绕点按逆时针方形旋转得到△为等腰直角三角形．∴ΔABC∽△，又，，，，△．，即A'B4=2．故答案为：．．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．2．(2021·山东单县·二模)如图1，在中，，，，点D、E分别是边、的中点，连接．将绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为．(1)问题发现①当时，________；②当时，______．(2)拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．(3)问题解决绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长________．【答案】(1)，(2)当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，证明见解析(3)BD的长为或【解析】【分析】(1)①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据＝，求出的值是多少即可．(2)首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据＝＝，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．(3)分两种情形：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可．(1)解：①当α＝0°时，∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝＝＝2，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，∴＝．②如图1中，当α＝180°时，可得AB∥DE，∵＝，∴＝＝．故答案为：①，②．(2)解：如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝，即当0°≤α＜360°时，的大小没有变化．(3)解：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，∴BE＝＝＝1，∴AE＝AB+BE＝5，∵＝，∴BD＝＝．②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，BE＝＝＝1，AE＝AB-BE=4﹣1＝3，∵＝，∴BD＝，综上所述，满足条件的BD的长为或．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．3．(2021·广东花都·三模)△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D为△ABC所在平面内一点．(1)若∠BAC＝120°，①如图1，当点D在BC边上，BD＝AD，求证：DC＝2BD；②如图2，当点D在△ABC外，∠ADB＝120°，AD＝2，BD＝4，连接CD，求CD的长；(2)如图3，当点D在△ABC外，且∠ADB＝90°，以AD为腰作等腰三角形△ADE，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，直线DE交BC于点F，求证：点F是BC中点．【答案】(1)①证明见解析；②(2)证明见解析【解析】【分析】(1)①由等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ACB＝30°＝∠BAD，可得∠DAC＝90°，由含30°的直角三角形的性质可求解；②如图2，以AB，AC为边作等边△ABH，等边△ACH，以AD，BD为边作等边△ADE，等边△BDG，连接GH，过点E作EN⊥DG，交GD的延长线于N，由“SAS”可证△ADB≌△HGB，△DAC≌△EAH，可得AD＝GH＝2，∠ADB＝∠BGH＝120°，DC＝EH，由直角三角形的性质可得ND＝DE＝1，NE＝DN＝，在Rt△NEH中，由勾股定理可求EH，即可；(2)如图3通过证明△ADE∽△ABC，可得∠ADE＝∠ABC，可证A、D、B、F四点共圆，可求∠BFA＝90°，由等腰三角形的性质可证点F是BC中点．(1)解：①证明：∵∠BAC＝120°，AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB＝30°∵BD＝AD∴∠ABD＝∠BAD＝30°∴∠DAC＝90°∴CD＝2AD∴CD＝2BD②如图2，以AB，AC为边作等边△ABH，等边△ACH，以AD，BD为边作等边△ADE，等边△BDG，连接GH，过点E作EN⊥DG，交GD的延长线于N，∵△BDG和△ABH都是等边三角形∴BD＝BG＝DG＝4，AB＝BH，∠DBG＝∠ABH＝60°＝∠BGD∴∠ABD＝∠GBH在△ADB和△HGB中∵∴△ADB≌△HGB(SAS)∴AD＝GH＝2，∠ADB＝∠BGH＝120°∴∠DGB+∠BGH＝180°∴点G，H，D三点共线∴DH＝4+2＝6∵△ADE和△ACH都是等边三角形∴AC＝AH，∠AE＝AD＝DE＝2，∠DAE＝∠CAH＝∠EDA＝60°∴∠DAC＝∠EAH同理△DAC≌△EAH(SAS)∴DC＝EH∵∠BDG＝∠EDN＝60°，EN⊥DG∴∠DEN＝30°∴ND＝DE＝1，NE＝DN＝∴HN＝DH+DN＝7∴EH＝∴CD＝EH＝2．(2)连接AF，如图3所示：∵∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC∴∴△ADE∽△ABC∴∠ADE＝∠AB∴A、D、B、F四点共圆∴∠BFA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣90°＝90°∴AF⊥BC∵AB＝AC∴BF＝CF∴点F是BC中点．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形全等，勾股定理，三角形相似，四点共圆等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．4．(2021·广东·深圳市南山区太子湾学校二模)问题背景：如图(1)，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试运用：如图(2)，在△ABC中，点D是BC边上一动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，AB＝4，AC＝3，AC与DE相交于点F，在点D运动的过程中，当tan∠EDC＝时，求DE的长度；拓展创新：如图(3)，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD，tan∠BAD＝，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2．求AD的长．【答案】问题背景：见解析；尝试运用：；拓展创新：【解析】【分析】问题背景：根据△ABC∽△ADE，得出，∠BAC＝∠DAE，利用角的差得出∠BAD＝∠CAE，即可；尝试应用：连接CE，先证△ABC∽△ADE，，再证△BAD∽△CAE，得出∠B＝∠ACE，，可证∠DCE＝90°，根据tan∠EDC＝，列方程，求出x＝即可；拓展创新：过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，先证△BDC∽△MDA，得出，再证△BDM∽△CDA，得出，tan∠BAD＝，得出BD＝2CD，BM＝2AC＝4，DM＝2AD，根据勾股定理列方程AD2＋DM2＝AM2，AD2＋4AD2＝32，解方程即可．【详解】证明：问题背景：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE．尝试应用：如图(2)，连接CE，∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，∴BC＝＝5，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE=90°-∠DAC，∴△BAD∽△CAE，∴∠B＝∠ACE，，∴设BD＝4x，CE＝3x，∴CD＝5－4x，∵∠B＋∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠ACB＝90°，∴∠DCE＝90°，∵tan∠EDC＝，∴，∴x＝，经检验x＝是方程的解，符合题意，∴EC＝，CD＝3，∴DE＝．拓展创新：过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∴∠BAM＝∠ADM＝∠BDC＝90°，∵∠BAD＝∠DBC，∴∠DAM＝∠BCD，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC＋∠CDM＝∠ADM＋∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵tan∠BAD＝，∴BD＝2CD，∴BM＝2AC＝4，DM＝2AD，∴AM＝，∵AD2＋DM2＝AM2，∴AD2＋4AD2＝32，∴AD＝或舍去．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，解直角三角形，解分式方程，一元二次方程，勾股定理．正确的作出辅助线是解答本题的关键．5．(2021·广东深圳·三模)(1)问题背景：如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求证：△ABE∽△ACD；(2)尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF．求的值；(3)拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG．当DF＝1，S四边形AEDF＝5时，则BG的长为．【答案】(1)见解析；(2)；(3)【解析】【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得，，，根据两边对应成比例且夹角相等可得；(2)根据条件，证明即可；(3)由相似三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．【详解】(1)证明：如图，，，，，且，，，，；(2)解：如图2，连接，，，，在正方形中，，，，，；(3)解：如图3，连接，过点作于点，四边形是正方形，，，，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，设，则，，，，，解得：(舍去)，，．故答案为：．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握正方形以及相似三角形的的性质．6．(2022·上海市罗星中学模拟预测)如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，，且DC∥AE．(1)求证：；(2)如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；(3)如图2，延长AD、BC交于点F，设，求y关于的函数解析式，并写出定义域．【答案】(1)见解析(2)(3)【解析】【分析】(1)先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB=∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE=∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；(2)如图，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形的性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD(SAS)，再求得，根据△ABE∽△AED且相似比为3:2，可求得，由可求答案；(3)由△ABE∽△AED，可求得：DE=，进而得出，再利用△ADE∽△ECD，进而求得：，再结合题意得出答案．(1)∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE∵∴∴△ABE∽△AED∵∠ABE=∠ADE∴∴，∠AED=∠CDE∴∠ADE=∠DCE，∴△ADE∽△ECD∴∴(2)如图，过点B作BG⊥AE∵BE=9=AB∴△ABE是等腰三角形∴G为AE的中点，由(1)可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵，AB=BE=9，AE=6∴AD=4，DE=6，CE=4，AG=3∴△ADE≌△ECD(SAS)在Rt△ABG中，BG=∴∵△ABE∽△AED且相似比为3:2∴∴=∴(3)由(1)知：△ABE∽△AED∴∵BE=x，AB=9,AE=6，∴∴由(1)知：,∴∵△ADE∽△ECDy关于x的函数解析式为【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．7．(2021·山东·青岛大学附属中学二模)如图，等腰三角形的腰长，，动点从出发沿向运动，速度为，动点从出发沿向运动，速度为，当一个点到达终点时两个点同时停止运动．点是点关于直线的对称点，连接和，和相交于点．设运动时间为秒．(1)若当的值是多少时，恰好经过点?(2)设的面积为，求与之间的函数关系式．(3)是否存在某一时刻，使平分?若存在，求出相应的值，若不存在，请说明理由．(4)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上?若存在，求出相应的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，2；(4)存在，【解析】【分析】(1)过点A作AD⊥BC于D，先利用勾股定理和三线合一定理求出AD，DP，CP，然后根据，进行求解即可；(2)先证明△ADC∽△PEC，得到，则，，，再根据三角形面积公式求解即可．(3)假设存在，证明△ADC∽△QHC，得到，则，由(2)得，即，解方程即可；(4)根据线段垂直平分线的定义可得，再由△ADC∽△QHC，得到，由此求解即可．【详解】解：(1)如图所示，过点A作AD⊥BC于D，由题意得：恰好经过点A时，∠PAC=90°，，∵AB=AC=5cm，BC=8cm，∴BD=CD=4cm，∴，∴，，∴，又∵，∴，解得，∴当时，恰好经过点A；(2)如图，过点A作AD⊥BC于D，由题意得：∠PEC==90°，cm，，∴∠ADC=∠PEC=90°，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△PEC，∴，∵，BD=CD=4cm，AD=3cm∴，∴，，∴∴；(3)存在，理由如下：假设存在某一时刻，使平分，如图所示，过点Q作QH⊥BC于H，∴∠QHC=∠QHB=∠QEP=∠ADC=90°∴当平分时，EQ=QH(角平分线的性质)，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△QHC，∴，∴即，∴，由(2)得，∴，解得，∴存在时，使平分；(4)存在，理由如下：假设存在，如图所示，当Q在PC的垂直平分线上时，∴，∵△ADC∽△QHC，∴，∴，解得．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．(2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测)如图，在中，，是边的延长线上一点，是边上一点，且．(1)求证：；(2)作于点，并连结．若，，求的面积．【答案】(1)见解析；(2)的面积是【解析】【分析】(1)由可知，结合，判定即可得证．(2)过点作于点，由等腰三角形三线合一知，，由条件，进一步得到，再由，得到，求得,得到，结合代入求解，即可得到答案．【详解】(1)证明：，，即，，，．(2)解：如图，过点作于点，，，，又∵，，即，，，，，，，则，由(1)得，，，的面积是．【点睛】本题考查三角形的相似性质和判定，锐角三角函数，两直线平行判定等相关知识点，牢记知识点是解题关键．9．(2021·安徽·合肥一六八中学模拟预测)如图1，和都是等腰直角三角形，，，且点是上的点(点不与点，重合)，过点作交的延长线于点，的延长线交于点．过点作交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的长；(3)如图2，若，求的值．【答案】(1)见解析；(2)；(3)．【解析】【分析】(1)先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论；(2)先利用等式的旋转判断出，再判断出，进而判断出，进而求出，即可得出结论；(3)先判断出，得出，进而得出和，进而判断出，得出，即可得出结论．【详解】证明：(1)，，，，，，；(2)，，，，，，，，，，，，，；(3)如图2，作于，，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，设，，，【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出是解本题的关键．10．(2021·重庆实验外国语学校三模)如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点，(1)如图1，若，，，求；图1(2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：；图2(3)如图3，在(1)的条件下，为边的中点，为边上一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，以为斜边向右作等腰直角三角形，连接，求的最小值．图3【答案】(1)；(2)见解析；(3)【解析】【分析】(1)运用锐角三角函数以及勾股定理分别求出和的值，运用三角形面积公式计算即可；(2)过点作交延长线于点，根据已知求证，然后证明，即可得出，结果可得；(3)连接，在上方作等腰直角三角形，连接，根据已知可得四边形为正方形，运用等腰直角三角形的性质可得，进一步证明，求出，当共线时，最小，求出即可．【详解】解：(1)在中，，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；(2)过点作交延长线于点，∵，∴，∵，即，∴，∵在和中，，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；(3)连接，在上方作等腰直角三角形，连接，∵,∴四边形为正方形，∴,∴,又∵,∴，∴,∴，∴,∴当共线时，最小，∴,∵,∴．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点的性质定理是解本题的关键．11．(2021·浙江·翠苑中学二模)(1)如图1，在中，，，，请在图1中作一条直线，使得被分成两个等腰三角形，并在图中标注出相应的角度．(2)如图2，在两个不相似的和中，，，，直线和直线将和分别分为两个三角形，并使的两部分能分别与的两部分相似．请在图中作出直线和直线，并标注出相应的角度．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的判定解决问题即可．(2)根据相似三角形的判定解决问题即可．【详解】解：(1)如图，直线AE即为所求作．(2)如图，直线a，直线b即为所求作．【点睛】本题考查作图-相似变换，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．12．(2021·安徽·安庆市第四中学二模)如图(1)，∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，点B是AM上一点，AB＝4，BG⊥AP于C点，交AN于点G，CD⊥AN，交AN于点D，连接BD交AP于点O，AF⊥BD于E，连接CE．(1)求证：∠BEC＝∠BAC；(2)请判断CF与DF的数量关系，并给予证明；(3)若∠MAN≠90°，如图(2)试证明CF＝DF．【答案】(1)证明见详解；(2)CF=DF；理由见详解；(3)证明见详解．【解析】【分析】(1)由BG⊥AP于C点，AF⊥BD于E，可得点A、B、C、E四点在以AB为直径的圆上，由∠BEC、∠BAC是所对圆周角，可得∠BEC=∠BAC；(2)CF=DF；理由如下，由∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，可得∠GAC=∠BAC=45°，由BG⊥AP于C点，可得∠GCA=∠BCA=90°，可证△ACG≌△ACB(ASA)，可得AB=AG=4，CG=CB，∠AGC=∠ABC=45°，可求GD=DC=AD=AG=2，在Rt△DAB中，由勾股定理，由面积桥可得AF=，在Rt△AED中勾股定理，可得BE=，可证△DFE∽△BAE，可求即可；(3)由CD⊥AN，DE⊥AF，可证△DEF∽△ADF，可得，由∠AEB=∠ACB=90°，可证A、B、C、E四点在以AB为直径的同一圆上，作辅助圆，作直径CH，连结EH，由AP平分∠MAN，BC⊥AP，可得点C为BG中点，再证CD为圆的切线，由∠CAF=∠CHE，可得∠DCE=∠FAC，可证△AFC∽△CFE，可得即可．【详解】(1)证明：∵BG⊥AP于C点，AF⊥BD于E，∴点A、B、C、E四点在以AB为直径的圆上，∵∠BEC、∠BAC是所对圆周角，∴∠BEC=∠BAC；(2)解：CF=DF；理由如下，∵∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，∴∠GAC=∠BAC=45°，∵BG⊥AP于C点，∴∠GCA=∠BCA=90°，在△ACG和△ACB中∴△ACG≌△ACB(ASA)，∴AB=AG=4，CG=CB，∠AGC=∠ABC=45°，∵CD⊥AN，∴∠GCD=90°-∠DGC=45°，∴DC平分∠GCA，∴GD=DC=AD=AG=2，在Rt△DAB中，由勾股定理∵AF⊥BD，，∴AF=，在Rt△AED中勾股定理，∴BE=BD-DE=，∵DF⊥AG，∠GAB=90°，∴DF∥AB，∴∠FDE=∠EBA，∠DFE=∠BAE，∴△DFE∽△BAE，∴即解得∴CF=CD-DF=2-1=1=DF；(3)证明：∵CD⊥AN，DE⊥AF，∴△DEF∽△ADF，∴即，∴∠AEB=∠ACB=90°，∴A、B、C、E四点在以AB为直径的同一圆上，作辅助圆，作直径CH，连结EH，∵AP平分∠MAN，BC⊥AP，∴点C为BG中点，∴∠GAC=∠BAC=∠ACH，∴CH∥AD，∵CD⊥AD，∴CH⊥CD，∴CD为圆的切线，又∵∠CAF=∠CHE，∴∠CHE+∠ECH=∠CAF+∠ECH=90°，∵∠DCE+∠ECH=90°，∴∠DCE=∠FAC，∴△AFC∽△CFE，∴即，∴CF2=DF2，∴CF=DF．【点睛】本题考查四点共圆，三角形全等性质与判定，勾股定理，圆周角性质，角平分线定义，面积桥，三角形相似判定与性质，圆的切线判定，掌握四点共圆，三角形全等性质与判定，勾股定理，圆周角性质，角平分线定义，面积桥，三角形相似判定与性质，圆的切线判定是解题关键．13．(2022·湖北洪山·模拟预测)如图1，在四边形ABCD中，ABCD，BD相交于点P，．(1)求证：∠BAC＝∠CBD；(2)如图2，E，F分别为边AD、BC上的点，PEDC，，①求证：∠PFC＝∠CPD；②若BP＝2，PD＝1，锐角∠BCD的正弦值为，直接写出BF的长．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②【解析】【分析】(1)判定，可得，依据，可得，即可得出；(2)①延长EP交BC于M，依据平行线分线段成比例定理，即可得出，即，再根据直角三角形斜边上中线的性质，可得中，，即可得到，再根据，可得，由，可得，即可得出；②过D作于N，由题意可得，，由，可得，，由，可得，，由，可得，即可得出．(1)解：∵，∴，又∵,∴,∴,又∵,∴,∴；(2)解：①如图，延长EP交BC于M，∵，∴，，又∵，∴，∴，即，∵，∴中，，∴，又∵，∴，∴，由(1)可得，∴，∴；②．理由：如图，过D作于N，∵，,∴，由，可得，，根据勾股定理，在中，有，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理以及平行线分线段成比例定理等的综合运用；熟悉掌握证明三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例，对应角相等是本题的解题关键．14．(2021·山东宁阳·二模)在四边形中，，，垂足为．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，过点作，分别与，交于点，，点在边上，连接并延长，交于点，过作于，，且．①证明；②若，探究与的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，理由见解析【解析】【分析】(1)证，即可得出结论；(2)①过点作交延长线于，先由平行线的性质得，，，再证，可得结论；②先证是等腰直角三角形，得，再证，得，则，然后证，得，，进而得出结论．(1)(1)证明：，，平分，，在和中，，，；(2)(2)①证明：过点作交延长线于，如图2所示：，，，，，，，是的外角，，，，；②解：，理由如下：由①知：，在中，，，，，，，，，且，，是等腰直角三角形，，在中，，，，，，，又，，，，，，又，，，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识点，综合性较强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．15．(2021·辽宁沈阳·模拟预测)如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合)，直线是经过点的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．(1)基础图形：如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，求的长度；(2)模型变式：如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，则的长度为______；(3)动态探究：如图3，点在边上运动过程中，点到直线的距离为．①如果直线始终垂直于，那么的值是否变化？若变化，求出的变化范围；若不变化，求出的值；②当时，请直接写出在直线的变化过程中，的最大值．【答案】(1)的长为4或0(2)(3)①；②的最大值为【解析】【分析】(1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题；(2)如图2中，设直线l交BC于点Q，连接BB′交PQ于D，证明△PQB是等边三角形，求出DB即可解决问题；(3)①如图3中，结论：m不变，证明BB′//AC,再证四边形B′BFF′为矩形即可；②如图4中，当PB′⊥AC时，m最大，设直线交于F′，求出B′F′即可解决问题.(1)解是等边三角形，，，，，，是等边三角形，．当直线经过时，点与重合，此时，综上所述，的长为4或0；(2)解如图2中，设直线交于点Q．连接交于D．，，，是等边三角形，，，关于对称，

，，，故答案为：；(3)解①结论：的值不变，理由如下：如图3，连接，过作于，过B′作B′F′⊥AC于F′，是等边三角形，，，，，关于直线对称，直线，

直线，，∴∠B′BF+∠BFF′=180°∵∠BFF′=90°∴∠B′BF=90°，∴∠B′BF=∠B′F′F=∠BFF′=90°∴四边形B′BFF′为矩形∴B′F′=BF=，∴；②如图4中，当时，的值最大，设直线交于F′，在中，，，，，即的最大值为．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，矩形判定与性质，勾股定理，解直角三角形，平行线的判定与性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.16．(2021·安徽·合肥市第四十五中学三模)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点D，CG⊥AD于点G，连接EG．(1)求证：CD2＝DG•DA；(2)如图1，若CF＝2EF，求证：点D是BC中点；(3)如图2，若GC＝2，GE＝2，求GD．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【解析】【分析】(1)先证明△ACD∽△CGD，根据相似三角形性质即可证得结论；(2)如图1，过E作EH∥AD交BC于点H，运用平行线分线段成比例定理即可证得结论；(3)根据∠AGC＝∠AEC＝90°，得出A、C、G、E四点共圆，过点E作EH⊥AD于点H，可得△EGH是等腰直角三角形，再证明△CFG≌△EFH(AAS)，利用勾股定理和三角函数定义求出AG，再证明△CAG∽△DCG，运用相似三角形性质即可求出答案．【详解】解：(1)∵CG⊥AD，∠ACB＝90°，∴∠CGD＝∠ACB＝90°，∵∠CDA＝∠CDG，∴△ACD∽△CGD，∴CD：DG＝DA：CD，∴CD2＝DG•DA；(2)如图1，过E作EH//AD交BC于点H，∵HE//AD，∴BH：HD＝BE：EA，CD：HD＝CF：EF，∵CB＝CA，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴E为AB的中点，∴BE：EA＝1，∴BH：HD＝BE：EA＝1，∵CF＝2EF，∴CD：HD＝CF：EF＝2，∴BH＝HD，CD＝2HD，∴BD＝BH+HD＝2HD，∴BD＝CD，∴D为BD的中点．(3)∵CB＝CA，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∵CE⊥AB，CG⊥AD，∴∠AGC＝∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴A、C、G、E四点共圆，∴∠AGE＝∠ACE＝45°，如图2，过点E作EH⊥AD于点H，∴△EGH是等腰直角三角形，EH＝GH＝GE•sin45°＝2×＝2，∵CG＝2，∴CG＝EH，∵∠CGF＝∠EHF＝90°，∠CFG＝∠EFH，∴△CFG≌△EFH(AAS)，∴FG＝FH＝1，CF＝EF，在Rt△CFG中，CF＝＝＝，∴CE＝2CF＝2，∴AC＝＝＝2，∴AG＝＝＝6，∵∠CGD＝∠AGC＝90°，∴∠CAG+∠ACG＝90°，∵∠ACG+∠DCG＝90°，∴∠CAG＝∠DCG，∴△CAG∽△DCG，∴＝，∴．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质与判定，全等三角形判定和性质，四点共圆、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．17．(2021·陕西·交大附中分校模拟预测)问题提出：(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝2，则∠A的大小为；问题探究：(2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于O．若AC＝8，BD＝6，∠AOD＝60°，求四边形ABCD的面积；问题解决：(3)在西安市“三河一山”生态绿道长廊建设中．规划将某条绿道一侧的四边形区域修建成主题公园．设计要求：如图③，四边形ABCD中，AD＝160m，BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝120°．求这个主题公园的最大面积．【答案】(1)30°；(2)12；(3)m2．【解析】【分析】(1)根据已知，求出tanA＝即可得到答案；(2)过A作AM⊥BD于M，过C作CN⊥BD于N，得到S四边形ABCD＝S△BCD+S△BAD，再利用三角函数求解即可得到答案；(3)连接BD，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于E，连接DE，设BE＝a，则CE＝，BC＝2a，BD＝2a，tan∠BED＝2，通过把平行四边形的面积转化成三角形的面积，由此求解即可．【详解】解(1)Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝2，∴tanA＝，∴∠A＝30°，故答案为：30°；(2)过A作AM⊥BD于M，过C作CN⊥BD于N，如图：在Rt△CON中，CN＝OC•sin∠CON＝OC•sin∠AOD＝OC，在Rt△AOM中，AM＝OA•sin∠AOD＝OA，∴S△BCD＝BD•CN＝×6×OC＝OC，S△BAD＝BD•AM＝×6×OA＝OA，∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△BAD＝OC+OA＝(OC+OA)＝AC＝12；(3)如图，连接BD，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于E，连接DE，∵BC＝CD，∠BCD＝120°，∴∠CBD＝30°，∵∠ABC＝120°，∴∠ABD＝90°，∵CE∥BD，∴∠CEB＝90°，∠CBE＝60°，设BE＝a，则CE＝，BC＝2a，∴BD＝2a，∴tan∠BED＝2，∵CE∥BD，∴S△BDE＝S△BDC，∴S四边形ABCD＝S△ADE，∵∠AED为定角，AD为定长，故画出△ADE的外接圆，如图，当EH⊥AD，且EH经过圆心O时，S△ADE最大，∵∠AOH＝∠AED，设OH＝am，则AH＝2am，由勾股定理得OA＝am，∵AD＝2AH，∴4a＝160，∴a＝，∴EH＝EO+OH＝，∴S△ADE＝∴主题公园的最大面积为：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．(2021·江苏·沭阳县怀文中学二模)已知：和均为等腰直角三角形，，连接，，点为中点，连接．(1)如图1所示，点、分别在边、上，求证：且；(2)将绕点旋转到图2所示位置时，线段与又有怎样的关系，证明你的结论．(3)如图3所示，当，时，求长的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)且，见解析；(3)【解析】【分析】(1)只要证明△AOD≌△BOC(SAS)，即可解决问题；(2)如图2中，结论：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，证明△BEH≌△CHO(SAS)，可得OE=2OH，∠EBC=∠BCO，证明△BEO≌△ODA(SAS)即可解决问题；(3)延长OH到M，使得HM=OH，连接BM．证明△BMH≌△COH(SAS)，得出BM=OC，利用三角形的三边关系即可解决问题．【详解】解：(1)证明：如图1中，与为等腰直角三角形，，，，在与中，，，，，，点为线段的中点，，，，又，，，，，．(2)结论：，，如图2中，延长到，使得，连接，点是中点，，，，，，，，，，，，，，，．(3)延长到，使得，连接．，，，，，，，，，在中，，，，．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．19．(2021·江苏·景山中学一模)【背景】如图1，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线MN∥BC，点D是直线MN上的一动点，将射线DB绕着点D逆时针旋转，交线段AC于点P，使∠BDP＝∠BAC，试说明：DB＝DP．小丽提出了自己的想法：如图2在线段AB上取一点F，使DA＝DF，通过证明△BDF≌△PDA可以解决问题．【尝试】①请你帮助小丽完成说理过程．②若AC＝6，BC＝4，AD＝3，求AP的长．【拓展】如图3，过点A的直线MN∥BC，AB＝3cm，AC＝4cm，点D是直线MN上一点，点P是线段AC上的一点，连接DP，使得∠BDP＝∠BAC，求的值．【答案】尝试：①见解析②4或8；拓展：【解析】【分析】尝试：①先后证明∠BDF=∠PDA和∠DBF=∠DPA即可利用“AAS”证明两个三角形全等；②过点A作AH⊥BC于H，过点B作BT⊥AD于T，过点D作DK⊥AB于K，先求出BT的长从而求出DK的长，即可得到AF和BF的长，即可得到答案；拓展：类似于尝试①中证全等的方法证明△BDF∽△PDA得到，再证明△ADF∽△BAC，．【详解】解：尝试：①∵MN∥BC，∴∠DAB=∠ABC，∵AB=AC，DA=DF，∴∠ABC=∠ACB，∠DAF=∠DFA，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠DAF+∠DFA+∠ADF=180°，∴∠ADF=∠BAC=∠BDP，∴∠BDF+∠FDP=∠PDA+∠FDP，∴∠BDF=∠PDA，∵∠DOB=∠AOP，∠BDO=∠PAO，∴∠DBF=∠DPA，∵DA=DF，∴△BDF≌△PDA(AAS)，∴BD=PD；②如图，过点A作AH⊥BC于H，过点B作BT⊥AD于T，过点D作DK⊥AB于K，∵AD∥BC，BT⊥AD，AH⊥BC∴∠BTA=∠AHB=∠TBH=90°，∴四边形BTAH是矩形，∴BT=AH，BH=AT，∵AB=AC，∴BH=CH=，∴，∵，∴，∵DA=DF，DK⊥AF，∴，∴，∴,∵△BDF≌△PDA，∴AP=BF=4；拓展：如图所示，在AB上取一点F，使得∠ADF=∠CAB，设DP于AB交于O，∵∠BDP＝∠BAC，∴∠BDP＝∠ADF，即∠BDF+∠FDP=∠PDA+∠FDP，∴∠BDF=∠PDA，∵∠DOB=∠AOP，∠BDO=∠PAO，∠DBF=∠DPA，∴△BDF∽△PDA∴，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ABC，∵∠ADF=∠BAC，∴△ADF∽△BAC，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形额性质，解题的关键在于能够正确的作出辅助线进行求解．20．(2021·内蒙古东胜·二模)【问题发现】(1)若四边形是菱形，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由；【类比探究】(2)若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，如图2.当点P在对角线上，点E恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由；【拓展延伸】(3)在(2)的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积．【答案】(1)BP=CE，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)【解析】【分析】(1)先证明△ABC是等边三角形，得到AP=AE，∠PAE=60°，然后证明△ABP≌ACE即可得到答案；(2)连接AC，只需要证明△BAP∽△CAE即可得到，由此求解即可；(3)连接AC交BD于F，过点E作EG⊥BD于G，证明△AFP≌△PGE，PG=AF=2，EG=FP，然后利用勾股定理求出GE的长即可得到答案．【详解】解：(1)BP=CE，理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=60°，又∵△PAE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，∴∠BAP=∠EAC，∴△ABP≌ACE(SAS)∴BP=CE；(2)，理由如下：如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=∠ACE=∠BAC=45°，∴，∴，∵△APE为等腰直角三角形，∠APE=90°，∴∠PAE=45°，∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP∽△CAE，∴，∴；(3)连接AC交BD于F，过点E作EG⊥BD于G，∵四边形ABCD是正方形，，∴，∠ABD=∠BAC=45°，∠AFB=∠AFD=90°，∴∴∠FAP+∠AFP=90°，又∵△APE是等腰直角三角形，∴AP=EP，∠APE=90°，∴∠APF+∠EPG=90°，∴∠FAP=∠EPF，又∵∠AFP=∠EGP=90°，∴△AFP≌△PGE(AAS)，∴PG=AF=2，EG=FP，设FP=GE=x，则BG=BF+FP+PG=4+x，∵，∴，解得(负值舍去)，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．21．(2018·河南·模拟预测)(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．【答案】(1)①60°；②相等；(2)∠AEB=90°，AE=2CM+BE，证明见解析；(3)，【解析】【分析】(1)由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．(2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．(3)由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于(2)中的结论即可解决问题．【详解】解：(1)①如图1．∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案为：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案为：AD=BE．(2)∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如图2．∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．(3)点A到BP的距离为或．理由如下：∵PD=1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD=90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴点P是这两圆的交点．①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°，∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由(2)中的结论可得：BP=2AH+PD，∴=2AH+1，∴AH=．②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．同理可得：BP=2AH﹣PD，∴=2AH﹣1，∴AH=．综上所述：点A到BP的距离为或．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用(2)中的结论解决问题是解决第(3)的关键．22．(2021·福建·厦门一中三模)如图①，线段，交于点，若与，与中有一组内错角成两倍关系，则称与为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．(1)如图②，在四边形中，对角线，交于点，，为等边三角形．求证：与为倍优三角形．(2)如图③，正方形边长为，点为边上一动点(不与点，重合)连接和，对角线和交于点，当与为倍优三角形时，求的正切值．【答案】(1)见解析；(2)或【解析】【分析】(1)△COD是等边三角形，得到∠AOB=∠COD=60°，又AB⊥BD，故∠BAO=30°，即可求解；(2)①若∠BCO=2∠PAO，得到PD=PH，进而求解；②若∠APO=2∠CBO，得到∠DAP=∠API=∠BPI=∠CBP，则DP=CP=1，即可求解．【详解】解：(1)证明：∵△COD是等边三角形，∴∠COD=∠OCD=60°，∴∠AOB=∠COD=60°，又∵AB⊥BD，∴∠BAO=30°，∴∠OCD=2∠BAO，∴△AOB与△COD为倍优三角形．(2)由题意，∠BCO＞∠PAO，∠APO＞∠CBO．①若∠BCO=2∠PAO，则∠DAO=2∠PAO，∴AP平分∠DAC．过点P作PH⊥AC于H，得PD=PH，不妨设PD=PH=m，则PC=2-m．则PC＝PH，∴2−m＝m，∴m＝，∴tan∠DAP＝=；②若∠APO=2∠CBO，过点P作PI∥BC交AB于I，则∠BPI=∠CBO．又∵∠APO=2∠CBO，∴∠APO=2∠BPI，则∠DAP=∠API=∠BPI=∠CBP，故DP=CP=1，∴tan∠DAP＝=，综上，∠DAP的正切值为或．【点睛】本题为三角形的综合题，主要考查了解直角三角形、新定义等，综合性强，难度较大．挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题20以四边形为载体的几何综合探究问题

1．(2021·江苏南通·中考真题)如图，正方形中，点E在边上(不与端点A，D重合)，点A关于直线的对称点为点F，连接，设．(1)求的大小(用含的式子表示)；(2)过点C作，垂足为G，连接．判断与的位置关系，并说明理由；(3)将绕点B顺时针旋转得到，点E的对应点为点H，连接，．当为等腰三角形时，求的值．2．(2021·辽宁阜新·中考真题)在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点(E，F在直线AC的两侧)，且．(1)如图2，求证：；(2)若直线AC与EF相交于点G，如图3，求证：；(3)设正方形ABCD的中心为O，，用含的式子表示的度数(不必证明)．3．(2021·辽宁盘锦·中考真题)如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连结NA，以NA，NF为邻边作□ANFG．连结DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为(0°≤≤360°)．(1)如图1，当＝0°时