中考数学模拟检测卷附带有答案

第第页中考数学模拟检测卷（附带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（）A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣6 C．3×10﹣6 D．3×1072．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．正四棱柱3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．4．在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23° B．25° C．27° D．30°6．在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩（环）如表所示：则小明射击成绩的众数和方差分别为（）靶次第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次成绩（环）89910107891010A．10和0.1 B．9和0.1 C．10和1 D．9和17．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为（）A． B． C． D．8．若m﹣n＝2，则代数式•的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．49．若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（）A．14° B．16° C．24° D．26°二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为．12．如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是．13．不等式组的解集为．14．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与⊙O交于点C，以点A为圆心、以OC的长为半径作，分别交AB，AC于点E，F．若OC＝2，AB＝4，则图中阴影部分的面积为．15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为．16．如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是．三、解答题：本大题共8小题，共72分，解答时，要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。17．（6分）解不等式组：18．（8分）某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）b：七年级抽取成绩在70≤x＜80这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，7677，77，78，78，79，79，79，79．c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七年级76.5m八年级78.279请结合以上信息完成下列问题：（1）七年级抽取成绩在60≤x＜90的人数是，并补全频数分布直方图；（2）表中m的值为；（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．19．（8分）如图，AB为东西走向的滨海大边，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）20．（8分）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．21．（8分）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝．22．（10分）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．（1）求证：CA＝CD；（2）若AB＝12，求线段BF的长．23．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．24．（12分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．参考答案与解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（）A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣6 C．3×10﹣6 D．3×107【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：用科学记数法可以表示0.0000003得：3×10﹣7；故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．正四棱柱【分析】根据简单几何体的三视图的特征进行判断即可．【解答】解：该几何体的主视图、左视图都是长方形，而俯视图是圆形，因此这个几何体是圆柱故选：A．【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，表示在数轴上即可．【解答】解：不等式组由①得：x≥﹣1由②得：x＜1∴不等式组的解集为﹣1≤x＜1表示在数轴上，如图所示：．故选：B．【点评】此题考查了解一元一次方程组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．4．在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．【解答】解：在实数，x0（x≠0）＝1，cos30°＝，＝2中，有理数是，x0（x≠0）所以，有理数的个数是2故选：B．【点评】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．5．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23° B．25° C．27° D．30°【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD∴∠DFE＝∠BAE＝50°∵CF＝EF∴∠C＝∠E∵∠DFE＝∠C+∠E∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行线的性质是解题的关键．6．在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩（环）如表所示：则小明射击成绩的众数和方差分别为（）靶次第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次成绩（环）89910107891010A．10和0.1 B．9和0.1 C．10和1 D．9和1【分析】分别根据众数的定义以及方差的公式解答即可．【解答】解：由题意可知，10环出现的次数最多，为4次，故众数为10；这10次的成绩的平均数为：（7+2×8+3×9+4×10）＝9故方差为：[（7﹣9）2+2×（8﹣9）2+3×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝1．故选：C．【点评】本题考查了众数和方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．7．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为（）A． B． C． D．【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC，然后利用等边三角形的性质可求出OE．【解答】解；∵四边形ABCD为正方形，AB＝2∴AC＝2∵O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形∴AC＝AE＝2，AO＝∴OE＝×＝．故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了等边三角形的性质，有一定的综合性．8．若m﹣n＝2，则代数式•的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把m﹣n的值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝2（m﹣n）．当m﹣n＝2时．原式＝2×2＝4．故选：D．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．9．若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象上点的坐标特征；因式分解﹣运用公式法．【分析】利用非负数的性质，利用配方法解决问题即可．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3）∴3＝a+2∴a＝1∴y＝x2+2∵Q（m，n）在y＝x2+2上∴n＝m2+2∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1∵（m2﹣2）≥0∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为1．故选：A．【点评】本题考查二次函数图像上的点的坐标特征，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用配方法解决问题．10．已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（）A．14° B．16° C．24° D．26°【分析】过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，四边形AEPD为平行四边形，根据平行线的性质易得△CDP为等边三角形，△BEP为等边三角形，则CP＝DP＝AE，BP＝EP，因此△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形，求出△AEP的三个内角即可求解．【解答】解：如图，过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E则四边形AEPD为平行四边形∴DP＝AE∵△ABC为等边三角形∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°∵PD∥AB∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°∴△CDP为等边三角形∴CP＝DP＝CD∴CP＝DP＝AE∵PE∥AC∴∠BEP＝∠BAC＝60°，∠BPE＝∠C＝60°∴△BEP为等边三角形∴BP＝EP＝BE∴△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形∵∠APC＝104°∴∠APB＝180°﹣∠APC＝76°∴∠APE＝∠APB﹣∠BPE＝16°∠PAE＝∠APC﹣∠B＝44°∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角分别为16°、44°、120°∴最小内角的大小为16°．故选：B．【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、三角形外角性质，根据题意正确画出图形，推理论证得到△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形是解题关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≤．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：3﹣2x≥0解得：x≤故答案为：x≤．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．12．如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是（1，3）．【考点】坐标与图形变化﹣平移．【分析】根据点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），可得点A向右平移5个单位，向上平移1个单位至A1，进而可以解决问题．【解答】解：∵点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5）∴点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是（1，3）．故答案为：（1，3）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握平移的性质．13．不等式组的解集为3≤x＜5．【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．【解答】解：解不等式2x﹣4≥2，得x≥3解不等式3x﹣7＜8，得x＜5故不等式组的解集为3≤x＜5．故答案为：3≤x＜5．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与⊙O交于点C，以点A为圆心、以OC的长为半径作，分别交AB，AC于点E，F．若OC＝2，AB＝4，则图中阴影部分的面积为4﹣π．【分析】连接OB，根据切线的性质可得∠OBA＝90°，从而可得∠BOA+∠A＝90°，根据题意可得OB＝OC＝AE＝AF＝2，然后利用阴影部分的面积＝△AOB的面积﹣（扇形BOC的面积+扇形EAF的面积），进行计算即可解答．【解答】解：连接OB∵AB是⊙O的切线，B为切点∴∠OBA＝90°∴∠BOA+∠A＝90°由题意得：OB＝OC＝AE＝AF＝2∴阴影部分的面积＝△AOB的面积﹣（扇形BOC的面积+扇形EAF的面积）＝AB•OB﹣＝×4×2﹣π＝4﹣π故答案为：4﹣π．【点评】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及扇形面积的计算是解题的关键．15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为．【分析】过A作AN⊥BD于N，过B作BM⊥AC于M，根据矩形的性质得到OB＝BD，OA＝AC，AC＝BD，根据三角形的面积公式得到AN＝BM，根据全等三角形的性质得到ON＝OM，FM＝EN，设FM＝EN＝x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：过A作AN⊥BD于N，过B作BM⊥AC于M∴∠ANO＝∠ANB＝∠BMO＝∠BMA＝90°∵四边形ABCD是矩形∴OB＝BD，OA＝AC，AC＝BD∴OB＝OA∵S△AOB＝OB•AN＝OA•BM∴AN＝BM∴Rt△AON≌Rt△BOM（HL）∴ON＝OM∴BN＝AM∵AE＝BF∴Rt△ANE≌△Rt△BMF（HL）∴FM＝EN设FM＝EN＝x∵AF＝1，BE＝3∴BN＝3﹣x，AM＝1+x∴3﹣x＝1+x∴x＝1∴FM＝1∴AM＝2∵AB＝5∴∴BF＝＝＝故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．16．如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是（﹣2023，2022）．【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转．【分析】由题意观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），由2022＝505×4+2，推出D2022（﹣2023，2022）．【解答】解：∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1∴D1（1，2）∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2）∵2022＝4×505+2∴D2022（﹣2023，2022）；故答案为：（﹣2023，2022）．【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．三、解答题：本大题共8小题，共72分，解答时，要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。17．（6分）解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：解不等式①得：x≤3解不等式②得：x＞2∴不等式组的解集为：2＜x≤3．【点评】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，掌握分式的混合运算的方法以及一元一次不等式组的解法是正确解答的关键．18．（8分）某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）b：七年级抽取成绩在70≤x＜80这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，7677，77，78，78，79，79，79，79．c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七年级76.5m八年级78.279请结合以上信息完成下列问题：（1）七年级抽取成绩在60≤x＜90的人数是38，并补全频数分布直方图；（2）表中m的值为82；（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则甲（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．【分析】（1）根据各组人数求出60≤x＜90的人数，并补全频数分布直方图；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据该学生的成绩大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数，即可判断；（4）用样本估计总体的思想解决问题．【解答】解：（1）成绩在60≤x＜90的人数为12+16+10＝38故答案为：38；（2）第25，26名学生的成绩分别为77，77，所以m＝＝77故答案为：77；（3）∵78大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数．∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；故答案为：甲；（4）400×＝64（人）即估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数为64．【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．19．（8分）如图，AB为东西走向的滨海大边，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）【分析】过点C作CF⊥DE于F，根据∠ACB的正切值可得AB＝496m，则可得BE的长，再根据∠D的正弦可得答案．【解答】解：过点C作CF⊥DE于F由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°在Rt△ABC中，∠CBA＝90°∵tan∠ACB＝∴AB＝CB×tan68°＝200×2.48≈496（m）∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m）∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°∴四边形FEBC为矩形∴CF＝BE＝296m在Rt△CDF中，∠DFC＝90°∵sin∠D＝∴CD＝≈462.5（m）答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键．20．（8分）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）直线AC：y＝﹣x+与双曲线：y＝（x＞0）相交于A（1，2），B两点，联立方程组，求出点B的坐标为（3，），根据组合法（即基本图形面积的和差）即可以解决问题；（3）根据图象即可解决问题．【解答】解：（1）将A（1，2），C（4，0）代入y＝kx+b得解得：∴直线AC的解析式为y＝﹣x+将A（1，2）代入y＝（x＞0）得m＝2∴双曲线的解析式为y＝（x＞0）；（2）∵直线AC的解析式为y＝﹣x+与y轴交点D∴点D的坐标为（0，）∵直线AC：y＝﹣x+与双曲线：y＝（x＞0）相交于A（1，2），B两点∴∴，∴点B的坐标为（3，）∴△AOB的面积＝4×﹣4×﹣×1＝；（3）观察图象∵A（1，2），B（3，）∴当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集是1＜x＜3．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．21．（8分）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝3：4；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝．【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；（2）同（1）的方法即可求出答案；（3）同（1）的方法即可求出答案．【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4故答案为：3：4；（2）∵BE：AB＝1：2∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2∵S△ABC＝1∴S△BEC＝；∵CD：BC＝1：3∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；故答案为：，；（3）∵BE：AB＝1：m∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m∵S△ABC＝a∴S△BEC＝S△ABC＝；∵CD：BC＝1：n∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n∴S△CDE＝S△BEC＝•＝故答案为：．【点评】此题主要考查了三角形的面积公式，理解等高的两三角形的面积比等于底的比是解本题的关键．22．（10分）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．（1）求证：CA＝CD；（2）若AB＝12，求线段BF的长．【分析】（1）连接OC，利用切线的性质可得∠OCD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠COD＝60°，从而利用圆周角定理可得∠A＝30°，最后根据等角对等边，即可解答；（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用（1）的结论可得BC＝AB＝6，再利用角平分线的定义可得∠BCE＝45°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】（1）证明：连接OC∵CD与⊙O相切于点C∴∠OCD＝90°∵∠D＝30°∴∠COD＝90°﹣∠D＝60°∴∠A＝∠COD＝30°∴∠A＝∠D＝30°∴CA＝CD；（2）解：∵AB为⊙O的直径∴∠ACB＝90°∵∠A＝30°，AB＝12∴BC＝AB＝6∵CE平分∠ACB∴∠BCE＝∠ACB＝45°∵BF⊥CE∴∠BFC＝90°∴BF＝BC•sin45°＝6×＝3∴线段BF的长为3．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用顶点式求解，可得结论；（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J．设P（m，﹣m2+2m+3）．四边形DTBP的面积＝△PDT的面积+△PBT的面积＝×DT×PN+×TB×PM＝（PM+PN），推出四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结论；（3）四边形AFBG的面积不变．如图，设P（m，﹣m2+2m+3），求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求出FG的长，可得结论．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点D（1，4）∴可以假设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J．设P（m，﹣m2+2m+3）．点D（1，4）在直线l：y＝x+t上∴4＝+t∴t＝∴直线DT的解析式为y＝x+令y＝0，得到x＝﹣2∴T（﹣2，0）∴OT＝2∵B（3，0）∴OB＝3∴BT＝5∵DT＝＝5∴TD＝TB∵PM⊥BT，PN⊥DT∴四边形DTBP的面积＝△PDT的面积+△PBT的面积＝×DT×PN+×TB×PM＝（PM+PN）∴四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大∵D（1，4），B（3，0）∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6∴J（m，﹣2m+6）∴PJ＝﹣m2+4m﹣3∵四