2024年内蒙古高三数学（文科）4月第二次模拟考试卷及答案解析

年内蒙古高三数学（文科）4月第二次模拟考试卷2024.04注意事项：1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合A满足，则（

）A． B．C． D．2．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．3．设m，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．若非零向量满足，则向量与向量的夹角为（

）A． B． C． D．5．从分别写有的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的概率为（

）A． B． C． D．6．已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．－36或36 B．－36 C．36 D．188．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是（

）A．的一个周期为 B．的最大值为C．的图象关于点对称 D．在区间上有2个零点9．在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．10．在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A．0 B． C． D．11．设是定义域为的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．12．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B．C． D．二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线的准线方程为，则实数a的值为.14．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则边.15．若实数满足约束条件，则的最小值为.16．已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（万元）与科技升级直接收益（万元）的数据统计如下：序号123456723468101313223142505658根据表格中的数据，建立了与的两个回归模型：模型①：模型②：.(1)根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型；(2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.回归模型模型①模型②回归方程182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数越大，模型的拟合效果越好）18．如图，在多面体中，是等边三角形，.

(1)求证：；(2)求三棱锥的体积.19．已知函数.(1)若是函数的极值点，求a的值；(2)求函数的单调区间.20．已知椭圆过点，且焦距为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.证明：直线必过定点.21．已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：①；②对于，使得的正整数对有个.(1)写出所有4的1增数列；(2)当时，若存在的6增数列，求的最小值.（二）选考题：共10分.请者生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所写的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)已知点，若直线与曲线交于A，两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知．(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为，正实数，，满足，求证：．1．B【分析】根据全集和集合在全集中的补集易得集合，逐一判断选项即可.【详解】由，，可得或则，，，，故B项正确，A,C,D项均是错误的.故选：B.2．A【分析】由共轭复数以及虚部的概念即可得解.【详解】因为复数，所以的虚部为.故选：A.3．B【分析】通过举反例说明“”不是“”的充分条件，再由对数的运算性质由推得，即得结论.【详解】由不能推出，如满足，但无意义，故“”不是“”的充分条件；再由可得，即得，故“”是“”的必要条件.即“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．C【分析】利用向量加法的三角形法则作出图象，根据图象得答案.【详解】如图：若，则为等边三角形则向量与向量的夹角为.故选：C.5．A【分析】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．【详解】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种取法，其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有，，，，，，，，，共9种情况，则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率；故选：．6．B【分析】化复合函数为，，根据已知条件，确定的取值范围，再根据的取值范围确定的取值范围即可.【详解】因为，令，所以；令函数的值域为，因为，所以，所以必须能取到上的所有值，，解得.故选：B7．C【分析】根据等比数列的通项公式求得，继而求得的值，利用等差数列前项和公式进行计算即可.【详解】数列为等比数列，设公比为q，且，，则，则，则，则，故选：C.8．D【分析】对于A，考查函数与的周期即可；对于B，考查函数与的最大值，验证同时取最大值时的条件即可判断；对于C，利用中心对称的条件进行验证即可；对于D，令，解方程即可.【详解】对于A,因为的周期为，的周期为，所以的周期为，故A错误；对于B,因为函数的最大值为1,的最大值为，故两个函数同时取最大值时，的最大值为，此时需满足且，不能同时成立，故最大值不能同时取到，故的最大值不为，则B错误；对于C，，则，故的图象不关于点对称，C错误；对于D,因为时，，又，所以或者；或者，此时，又，所以，综上可知，在区间上有2个零点，故D正确，故选：D.9．C【分析】设出点，利用数量积的坐标表示得到点的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可.【详解】设，则，，则，即，化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，又，所以三点共线，显然当直线与此圆相切时，的值最大.又,则,则.故选：C.10．D【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量的夹角余弦公式求出答案.【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，则直线与所成角的余弦值为，故选：D11．A【分析】结合抽象函数的奇偶性，周期性求解即可.【详解】若，且是定义域为的奇函数，故，则，，变形得，可得周期为，则，故A正确.故选：A12．A【分析】由题意设，则，而，，由三角形面积公式可得，从而，在中，运用余弦定理可得，由此即可得解.【详解】设，则，而，所以，所以点到的距离为，又，所以，解得，即，从而，又因为，所以，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，双曲线C的渐近线方程为.故选：A.13．##【分析】根据抛物线方程及准线方程列出方程，解出即可.【详解】依题可知，则，故答案为：.14．【分析】由余弦定理化角为边，化简整理后，代值计算即得.【详解】因，由余弦定理，，化简得，因，，故.故答案为：.15．【分析】利用约束条件画出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合图形即可得解．【详解】画出约束条件的可行域如下图所示阴影，由，得，移动直线簇，当与重合时，取得最小值；联立，解得，则，此时点在直线上，故．故答案为：.16．【分析】由题意，先求出球的半径，再由球和圆柱的位置关系得到圆柱的底面半径、母线和球的半径的关系，然后利用基本不等式求出圆柱的侧面积的最大值.【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，母线为，由题意可知，解得，又圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，所以圆柱的两个底面的的圆心关于球心对称，且，圆柱的侧面积，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，.故答案为：.17．(1)模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高､更可靠.(2)198.6【分析】（1）利用相关指数的定义判断相关性即可.（2）将给定数值代入拟合模型中求预测值即可.【详解】（1）由表格中的数据，，所以，模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高､更可靠.（2）当万元时，科技升级直接收益的预测值为：（万元）18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）首先取中点，连接，根据题意易证，，从而得到平面，再根据线面垂直的性质即可得到.（2）首先连接，易证，，即可得到平面，再根据求解即可.【详解】（1）取中点，连接.

是等边三角形，为中点，，又，，平面，平面，又平面，.（2）连接，如图所示：

因为，为中点，则，由得，又，，又，平面，平面，所以.19．(1)1(2)单调减区间为，单调增区间为【分析】（1）由是函数的极值点，，求解验证即可；（2）利用导函数求解函数的单调区间即可.【详解】（1）函数定义域为，，因为是函数的极值点，所以，解得或，因为，所以.此时，令得，令得，∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.所以.（2）.因为，所以，令得；令得；∴函数的单调减区间为，单调增区间为.20．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出即可求出椭圆的方程.（2）直线不垂直于坐标轴时，设出直线方程并与椭圆方程联立求出中点坐标，求出直线即得，再验证之一垂直于轴的情况即可.【详解】（1）依题意，椭圆半焦距，而，则，所以椭圆的方程为.（2）当直线不垂直于坐标轴时，设直线的方程为，，由，得直线的方程为，由消去得：，则，故，于是，由代替，得，当，即时，直线：，过点，当，即时，直线的斜率为，直线：，令，因此直线恒过点，当直线之一垂直于轴，另一条必垂直于轴，直线为轴，过点，所以直线恒过点.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点.21．(1)所有4的1增数列有数列和数列1，3(2)7【分析】（1）利用给定的新定义，求出所有符合条件的数列即可.（2）运用给定的新定义，分类讨论求出结果即可.【详解】（1）由题意得，则或，故所有4的1增数列有数列和数列1，3.（2）当时，因为存在的6增数列，所以数列的各项中必有不同的项，所以且，若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，符合的6增数列.所以，当时，若存在的6增数列，的最小值为7.22．(1)C：，直线l：(2)【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式化极坐标方程为直角坐标方程；（2）化直线方程为点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解．【详解】（1）曲线C的参数方程为（为参数，），所以，所以即曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为．（2）直线l过点，直线l的参数方程为（t为参