长沙市2024年数学八年级下册期末统考试题含解析

长沙市2024年数学八年级下册期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝2．计算的值为()A．2 B．3 C．4 D．13．若一组数据的方差是3，则的方差是（）A．3 B．6 C．9 D．124．如图，在中，于点若则等于()A． B． C． D．5．对于数据：80，88，85，85，83，83，1．下列说法中错误的有()①这组数据的平均数是1；②这组数据的众数是85；③这组数据的中位数是1；④这组数据的方差是2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．7．下列各点中，在双曲线y＝－上的点是（）．A．（，－9） B．（3，1） C．（－1，－3） D．（6，）8．计算的结果是（）A．4 B．± C．2 D．9．如图，在中，，垂足为，，，则的长为（）A． B． C． D．10．函数中自变量x的取值范围是（）A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x≠1 D．x≠011．如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则的度数是（）A．35° B．30° C．25° D．20°12．一组数据3、-2、0、1、4的中位数是（）A．0 B．1 C．-2 D．4二、填空题（每题4分，共24分）13．在平面直角坐标系中，将直线y=2x－1向上平移动4个单位长度后，所得直线的解析式为____________．14．一次函数的图像在轴上的截距是__________.15．如图，F是△ABC内一点，BF平分∠ABC且AF⊥BF，E是AC中点，AB=6，BC=8，则EF的长等于____．16．甲、乙二人从学校出发去科技馆,甲步行一段时间后,乙骑自行车沿相同路线行进,两人均匀速前行,他们的路程差s(米)与甲出发时间t(分)之间的函数关系如图所示。下列说法：①乙先到达青少年宫;②乙的速度是甲速度的2.5倍;③b=480;④a=24.其中正确的是___(填序号).17．当m=____时，关于x的分式方程无解．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝3，点D是BC边上一点，∠DAC＝30°，点E是AD边上一点，CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接DF，DF的最小值是___．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，AB=8，求四边形ABCD的周长．20．（8分）某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化，已知A种树木每棵100元，B种树木每棵80元，因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．21．（8分）小龙在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的家庭收入情况、他从中随机调查了40户居民家庭收入情况（收入取整数，单位：元），并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图.分组频数百分比600≤x＜80025%800≤x＜1000615%1000≤x＜120045%922.5%1600≤x＜18002合计40100%根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布表；

（2）补全频数分布直方图；

（3）请你估计该居民小区家庭属于中等收入（大于1000不足1600元）的大约有多少户？22．（10分）甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款3000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元．请你根据上述信息，就这两个公司的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的题，并写出解题过程．23．（10分）如图，，、分别是、的中点，图①是沿将折叠，点落在上，图②是绕点将顺时针旋转.（1）在图①中，判断和形状.（填空）_______________________________________（2）在图②中，判断四边形的形状，并说明理由.24．（10分）某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆．租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车每辆每月只需维护费100元．（1）当每辆车的月租金为4600元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？25．（12分）已知：等腰三角形的一个角，求其余两角与的度数.26．计算（1）5+﹣+（2）+﹣（）0（3）﹣+

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】

求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．【详解】解：-3x2+5x-1=0，

b2-4ac=52-4×（-3）×（-1）=13，

x=

故选C．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键．2、D【解析】

根据平方差公式计算即可．【详解】原式=x-（x-1）=1．故选D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，难度不大，注意平方差公式的灵活运用．3、D【解析】

先根据的方差是3，求出数据的方差，进而得出答案．【详解】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是3，∴数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是4×3＝12；∴数据的方差是12；故选：D．【点睛】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数时，平均数也加这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数时，平均数也乘以这个数，方差变为这个数的平方倍．4、B【解析】

根据平行四边形的性质和三角形的内角和定理求解.【详解】在中，于点∴∵∴在中，故选：B【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形内角和定理，解题的关键在于把已知角转化到中求解.5、B【解析】由平均数公式可得这组数据的平均数为1；在这组数据中83出现了2次，85出现了2次，其他数据均出现了1次，所以众数是83和85；将这组数据从小到大排列为：80、83、83、1、85、85、88，可得其中位数是1；其方差为，故选B．6、B【解析】

解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选B．7、A【解析】

将各点代入曲线的解析式进行计算即可．【详解】A.（，－9），在双曲线解析式上；B.（3，1），不在双曲线解析式上；C.（－1，－3），不在双曲线解析式上；D.（6，），不在双曲线解析式上；故答案为：A．【点睛】本题考查了双曲线的点的问题，掌握代入法是解题的关键．8、C【解析】

根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式==2，故选：C．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．9、A【解析】

根据题意，可以证得△ACD∽△CBD，进而得到，由已知数据代入即可．【详解】由题意知，，∴∠ADC=∠BDC=90°，∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴，即，∵，，∴CD=4，故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．10、A【解析】

根据有分式的意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围．【详解】解：根据题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1．故选：A．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11、C【解析】

根据直角三角形的斜边中线性质可得，根据菱形性质可得，从而得到度数，再依据即可．【详解】解：∵四边形是菱形，，∵O为BD中点，．，∴在中，，．．故选：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．12、B【解析】

将这组数据从小到大重新排列后为-2、0、1、3、4；最中间的那个数1即中位数．【详解】解：将这组数据从小到大重新排列后为-2、0、1、3、4；最中间的那个数1即中位数．故选：B【点睛】本题考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．二、填空题（每题4分，共24分）13、y=2x+1【解析】

根据直线平移k值不变，只有b发生改变进行解答即可．【详解】由题意得：平移后的解析式为：y=2x-1+4，y=2x+1，故填：y=2x+1．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，在解题时，紧紧抓住直线平移后k值不变这一性质即可．14、1【解析】

求得一次函数与y轴的交点的纵坐标即为一次函数y=x+1的图象在y轴上的截距．【详解】解：令x=0，得y=1；

故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．15、1.【解析】

根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=4且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=4，由EF=DE-DF可得答案．【详解】∵AF⊥BF，∴∠AFB=90°，∵AB=6，D为AB中点，∴DF=AB=AD=BD=3，∴∠ABF=∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠CBF=∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即解得：DE=4，∴EF=DE-DF=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．16、①②③.【解析】

根据甲步行720米，需要9分钟，进而得出甲的运动速度，利用图形得出乙的运动时间以及运动距离，进而分别判断得出答案．【详解】由图象得出甲步行720米，需要9分钟，所以甲的运动速度为：720÷9=80(m/分)，当第15分钟时,乙运动15−9=6(分钟)，运动距离为：15×80=1200(m)，∴乙的运动速度为：1200÷6=200(m/分)，∴200÷80=2.5,(故②正确)；当第19分钟以后两人之间距离越来越近,说明乙已经到达终点,则乙先到达青少年宫,(故①正确)；此时乙运动19−9=10(分钟)，运动总距离为：10×200=2000(m)，∴甲运动时间为：2000÷80=25(分钟)，故a的值为25,(故④错误)；∵甲19分钟运动距离为：19×80=1520(m)，∴b=2000−1520=480,(故③正确).故正确的有：①②③.故答案为：①②③.【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于结合函数图象进行解答.17、-6【解析】把原方程去分母得，2x+m=-(x-3)①，把x=3代入方程①得，m=-6，故答案为-6.18、.【解析】

先依据条件判定△ACE≌△BCF，可得∠CBF＝∠CAE＝30°，即可得到点F在射线BF上，由此可得当DF⊥BF时，DF最小，依据∠DBF＝30°，即可得到DF＝BD＝【详解】由旋转可得，FC＝EC，∠ECF＝90°，又∵∠ACB＝90°，BC＝AC＝3，∴∠CAE＝∠CBF，∴△ACE≌△BCF，∴∠CBF＝∠CAE＝30°，∴点F在射线BF上，如图，当DF⊥BF时，DF最小，又∵Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝3＝BC，∴CD＝，∴BD＝3﹣，又∵∠DBF＝30°，∴DF＝BD＝，故答案为．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，得到点F的运动轨迹是本题的难点.三、解答题（共78分）19、(1)详见解析;(2)32【解析】

（1）利用全等三角形的性质证明AB=CD即可解决问题．（2）证明四边形ABCD是菱形，即可求四边形ABCD的周长．【详解】解：（1）证明：∵AB//CD，∴∠ABO=∠CDO，∵OB=OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△CODASA∴AB=CD．又∵AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD的周长=4×AB=32.【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20、购买A种树木75棵，购买B种树木25棵，实际所花费用最省，最省的费用为8550元．【解析】

设购买A种树木x棵，则购买B种树木(100﹣x)棵，根据“购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍”，列出关于x的一元一次不等式，求得x的取值范围，根据“A种树木每棵100元，B种树木每棵80元，实际付款总金额按市场价九折优惠，”把实际付款的总金额W用x表示出来，根据x的取值范围，求出W的最小值，即可得到答案．【详解】设购买A种树木x棵，则购买B种树木(100﹣x)棵，根据题意得：x≥3(100﹣x)，解得：x≥75，设实际付款的总金额为W元，根据题意得：W＝0.9[100x+80(100﹣x)]＝18x+7200，W是关于x的一次函数，且随着x的增大而增大，即当x取到最小值75时，W取到最小值，W最小＝18×75+7200＝8550，100﹣75＝25，即购买A种树木75棵，购买B种树木25棵，答：购买A种树木75棵，购买B种树木25棵，实际所花费用最省，最省的费用为8550元．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确找出不等关系，列出一元一次不等式，并正确利用一次函数的增减性是解决本题的关键．21、（1）1200≤x＜1400，1400≤x＜1600；18人；5%；7.5%．（2）详见解析；（3）大约有338户．【解析】

（1）、（2）比较简单，读图表以及频数分布直方图易得出答案．

（3）根据（1）、（2）的答案可以分析求解．求出各个分布段的数据即可．【详解】（1）根据题意可得出分布是：1200≤x＜1400，1400≤x＜1600；

1000≤x＜1200中百分比占45%，所以40×0.45=18人；

1600≤x＜1800中人数有2人，故占240=0.05，故百分比为5%．

故剩下1400≤x＜1600中人数有3，占7.5%．

（2

（3）大于1000而不足1600的占75%，故450×0.75=337.5≈338户．

答：居民小区家庭属于中等收入的大约有338户．【点睛】本题的难度一般，主要考查的是频率直方图以及考生探究图表的能力．22、问：甲、乙两公司各有多少名员工？；见解析；甲公司有30名员工，乙公司有25名员工【解析】

问：甲、乙两公司各有多少名员工？设乙公司有x名员工，则甲公司有1.2x名员工，根据人均捐款钱数=捐款总钱数÷人数结合乙公司比甲公司人均多捐20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：问：甲、乙两公司各有多少名员工？设乙公司有x名员工，则甲公司有1.2x名员工，依题意，得：-=20，解得：x=25，经检验，x=25是原分式方程的解，且符合题意，∴1.2x=30答：甲公司有30名员工，乙公司有25名员工．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23、（1）和均为等腰三角形；（2）四边形为平行四边形，证明详见解析.【解析】

根据平行线的性质和折叠的性质解答即可；（2）由三角形中位线的性质可证，，由旋转的性质可知，从而，然后根据平行四边形的判定方法可证四边形是平行四边形.【详解】解：（1）和均为等腰三角形.∵DE∥BC,∴∠A′DE=∠BA′D,∠B=∠ADE,∵∠ADE=∠A′DE,∴∠B=∠BA′D,∴BD=A′D，∴为等腰三角形；同理可证CE=A′E，即为等腰三角形.（2）四边形为平行四边形.理由：、分别是、的中点，，.由旋转的性质可知，，四边形是平行四边形.【点睛