2022-2023学年湖南省长沙市宁乡第一高级中学高二（下）期中数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年湖南省长沙市宁乡第一高级中学高二(下)期中

数学试卷

一、单选题(本大题共18小题，共54.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.复数二的虚部为()

A.1B.-1C.iD.1+i

2.设全集U=R,集合4={x|%N3},^={%|0<%<5},则集合(QA)nB=()

A.{x|0<%<3}B.[x|0<x<3}C.{%|0<%<3}D,{x|0<%<3]

3.下列四组函数中，表示同一函数的一组是()

A./(%)=Vx2,g(x)—xB./(%)=x,g(x)=~~

2x

C./(%)=lnxfg。)=2lnxD./(%)=log22tg[x}=Vx^

4.计算s讥43°cosl3°—cos43°s讥13°的结果等于()

A.IB.丑C.CD.小

2322

5.函数/'(x)=Inx+x—6的零点所在区间为()

A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)

6.设则“二>8”是“|x|>2"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.函数y=莪的图象是()

8.已知向量苍=加=(2,x).若方•3=1，则x=()

A.-1B.C.|D.1

9.已知某圆柱底面的半径为1,高为2,则该圆柱的表面积为（）

A.2兀B,4兀C.6兀D.87r

10.某高校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直

方图，其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,

[25,27.5）,[27.5,30].则根据直方图这400名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（

A.60B.90C.130D.250

11.若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=%则P（EClF）的值等于（）

A.0B.^C.AD.|

12.将函数〃乃=5也（2》+今的图像向右平移，个单位，所得图像对应的函数（）

A.在区间尊号上单调递增B.在区间尊网上单调递减

C.在区间洋移]上单调递增D.在区间修,2网上单调递减

13.如图，在直三棱柱中，。为必名的中点，AB=BC=4尸_______7G

SB】=2,AC=2，飞，则异面直线BD与AC所成的角为（）

A.30°B,45°C.60°D,90°

14.已知不等式（x+y）（；+）N9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

15.函数y=/+2（a-5）%—6在（一8,—5]上是减函数，则a的范围是（）

A.a>0B.a<0C.a>10D,a<10

16.已知函数满足/(x+2)=2/(%),当％W[0,2)时,/(%)=%,那么/(21)=()

A.21°B.211C.220D.221

17.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以

下四个命题：①8Ml平面力DNE；②CN〃平面4BFE；(3)

平面80M〃平面AFN；④平面BOE_L平面NC用其中正确命

题的序号是()

A.②③

B.①②③

C.②③④

D.①②③④

18.已知函数/(x)=3cos(3X-詈)(3>0),且f(x)在［0,初有且仅有3个零点，则3的取值

范围是()

A.[|.|)B.由的C.D.卓，韵

二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)

19.化简：83+log3g+log36=

20・已知京鼻=4则.。=一

21.长方体的12条棱的总长度为56m,表面积为112m2,那么长方体的对角线长为m.

22.设落石是两个不共线的向量，若荏=24+kE，CB=a+3b>CD=2a-b>且4、B、

D三点共线，则k=

三、解答题(本大题共3小题，共30.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

23.(本小题10.0分)

已知函数/'(x)=2cosxsin(x—^)+

⑴求/(0)；

(2)求曲线y=/(x)的相邻两条对称轴的距离；

(3)若函数“X)在［0,a］上单调递增，求a的最大值.

24.(本小题10.0分)

如图，在正三棱柱力BC—ABiG中，AB=2,44=4.

(1)求正三棱柱4BC-4殳6的体积；

(2)若点M是侧棱力4的中点，求异面直线BM与BiG所成角的余弦值.

25.(本小题10.0分)

己知函数/(%)=%-2,g(%)=x2-mx+4(meR).

(I)当机=4时,求不等式g(%)>/(%)的解集；

(II)若对任意％ER,不等式g(x)>f(%)恒成立，求小的取值范围；

(HI)若对任意%1W[1,2],存在％26[4,5],使得9(%i)=/(%2)，求m的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：为=嵩痣=1+1,其虚部为L

1-1(1—1)(11+I)

故选：A.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题的考点是集合的补集和交集运算，比较基础.

先根据补集的定义求出集合4的补集Q4然后和集合B进行交集运算，可求(C〃l)nB.

【解答】

解：因为4={x\x>3},

所以Q4={x|x<3},

所以(CM)nB={x[0Sx<3}.

故选：B.

3.【答案】D

【解析】解：4函数/(x)=|x|,两个函数的对应法则不一致，不是同一函数.

8.函数g(x)=x,XKO,两个函数的定义域不相同，不是同一函数.

C.函数y=2)x的定义域为{x|x>0},y="M的定义域为{%比*0},两个函数的定义域不相同，

不表示同一函数.

。.函数/(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,两个函数的定义域相同，对应法则相同，表示同一

函数.

故选：D.

分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数.

本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则

是否一致，否则不是同一函数.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

观察所求的式子发现满足两角差的正弦函数公式s讥acos。-cosasinp—sin(a-/?),故利用此公

式及特殊角的三角函数值化简即可求出原式的值.

此题考查了两角差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，

属于容易题.

【解答】

解：sin43°cosl3°—cos430sinl30

=sin(43°-13°)

=sin30°

1

=2'

故选：A.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查函数零点存在定理，是基础题.

判断f(2),/(3),/(4),/(5),f(6)的符号,即可求得结论.

【解答】

解：•••/(2)=2+m2—6=，n2—4<0,

/(3)=3+m3—6=—3<0,

/(4)=4+)4-6="4-2<0,

/⑸=5+—6="5-1>0,

/(6)=6+Zn6-6=ln6>0,

二函数/(x)=lnx+x-6的零点所在区间为(4,5).

故选C.

6.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题.

由>8得到|x|>2,由I尤I>2不一定得到二>8,然后结合充分条件、必要条件的判定方法得

答案.

【解答】

解：由炉>8,得x>2,则|x|>2,

反之，由|x|>2,得x<-2或x>2,

则好<—8或工3>8,

即“炉>8”是«|x|>2"的充分不必要条件.

故选：A.

7.【答案】B

2

-

一X3

【解析】解：函数y一为偶函数，图象关于y轴对称，故。错误,

当x=0时、y=0,故C错误，

0<|<1,由基函数的性质可知，y=4的图象增长速度变慢，故A错误，B正确.

故选：B.

根据已知条件，结合偶函数和基函数的性质，即可求解.

本题主要考查基函数的图象，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：因为向量五=(1,-1),b=(2,x)-a-b=1

所以2—x=l,解得x=1

故选。

由题意，3=(1,-1),b=(2,x).a.b=1，由数量积公式可得到方程2-％=1,解此方程即可

得出正确选项

本题考查数量积的坐标表达式，熟练记忆公式是解本题的关键，本题是基础题，记忆型

9.【答案】C

【解析】解：根据圆柱表面积的计算公式可得7TX2X1X2+7TXMX2=6兀.

故选：C.

圆柱的表面积=侧面积+两个底面积=底面周长X高+2兀72.

本题考查圆柱的表面积的求法，找到所求的量的等量关系是解决问题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：400名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是

400x(0.02x2.5+0.07x2.5)=90,

故选：B.

由频率分布直方图及公式频数=样本容量x频率求解即可.

本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题.

II.【答案】B

【解析】解:P(EnF)

=P(E)•P(F)

11

=4X4

1

=16'

故选B.

本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，由相互独立事件的概率计算公式，我们易得

P(EnF)=P(E)-P(F),将P(E)=P(尸)=；代入即可得到答案.

相互独立事件的概率计算公式：

P(EDF)=P(E)•P(F),

P(EUF)=P(E)+P(F).

12.【答案】A

【解析】解:将函数f（X）=Sin（2x+：）的图像向右平移方个单位,所得图像对应的函数为y=sin2x,

在区间尊系上,2xG[f,^],y=sin2x单调递增,故A正确；

在区间笆，兀]上,2xe[y,27T],y=s讥2%单调递增,故B错误;

在区间尊阳上，2xG[y,37r],y=sin2x单调递减，故C错误；

在区间[券2兀]上，2xG[3/r,4TT],y=sin2x没有单调性，故。错误，

故选:A.

由题意，利用函数y=加）（3*+0）的图象变换规律，正弦函数的单调性，得出结论.

本题主要考查函数y=加勿3刀+0）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题.

13.【答案】D

【解析】

解:取4B的中点M,连接和CM,则&CJ/4C,

NM&C]即为异面直线8。与4c所成的角.

AB=BC=BB1=2,AC-2V-5，

4M=722+12=C，

在△的中，由余弦定理知，3„=啮萨=立糅界=-|，

977777

在AMBC中，由余弦定理知，c—BC=%器泮=TI苦=4

解得，CM=<TT>

:.GM=y/MC2+CCl=v11+4=

在4MAQ中，「由余弦定理知，8s4AMe=纯船普=舞泻=O,

v4MAicie(0,90°],

4MAici=90°,

故选：D.

取4B的中点M,连接&M、GM和CM,则即为所求；在△ABC和AMBC中，利用余弦定

理可求出CM的长，再由勾股定理求出GM和的长，最后在中，由余弦定理求出

cosNM&Ci的值即可得解.

本题考查异面直线夹角的求法，利用平移的思想，找出异面直线所成的角是解题的关键，考查学

生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

14.【答案】B

【解析】解：已知不等式0+丫）（；+）29对任意正实数-y恒成立，

只要求Q+y）（；+9的最小值29

xy

yax,—

v1+a+—d--->a4-2Va+1

xy

：.a+2>J~d+1>9

•••y/~a>2或<一4（舍去），

所以正实数a的最小值为4,

故选项为B.

解析：

求（x+y）©+9的最小值；展开凑定值

求使不等式恒成立的参数范围，常转化成求函数最值

15.【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知中函数的解析式y=/+2（a-5）x-6,我们可以分析出函数图象的形状，及函数的性

质，结合函数y=产+29-5次一6在（一8,-5］上是减函数，根据二次函数的性质，我们可以构

造一个关于a的不等式，解不等式即可求出满足条件的a的范围.

本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据已知函数的解析式，分析出函数的图象的形状进

而分析函数的性质是解答本题的关键.

【解答】

解：函数y=/+2（。-5）工一6的图象是

开口方向朝上，以x=5-a为对称轴的抛物线

若函数y=x2+2（a-5）x-6在（-8,—5］上是减函数

则5-a>-5

解得a<10

故选。.

16.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查函数值的求法.

利用函数/(x)满足f(x+2)=2/(x),推导出/"(21)=2i°〃l),再由当xe[0,2)时，/(%)=X,能

求出f(21).

【解答】

解：•••函数/(x)满足/'(x+2)=2f(x),当x6[0,2)时，/(X)=X,

/(21)=2/(19)=22/(17)=23/(15)=24/(13)

=25/(11)=26/(9)=27/(7)=28/(5)

=29/(3)=21。/(1)=210.

故选：A.

17.【答案】A

【解析】解：把正方体的平面展开图还原成正方体4BC0-EFMN,如图1所示;

A部B

对于①，平面BCMF〃平面ADNE,BMu平面BCMF,

BM//nADNE,①错误；

对于②，平面DCMN〃平面4BFE,CNu平面DCMN,

CN//平面力BFE,②正确;

BD//FN,BCC平面AFN,FNu平面AFN,BD〃平面AFN；

同理BM〃平面力FN,且BDnBM=B,

••・平面BDM〃平面AFN,③正确;

对于④,如图3所示,

BD//FN,BE//CN,CNCFN=N,BDCBE=B,且80、BEu平面BDE,

.••平面BDE〃平面NCF,二④错误.

综上，正确的命题序号是②③.

故选：A.

把正方体的平面展开图还原成正方体4BCD-EFMN,得出BM〃平面40NE,判断①错误；

由平面0cMN〃平面4BFE,得出CN〃平面4BFE,判断②正确；

由BD〃FN,得出8。〃平面4FN,同理BM〃平面AFN,证明平面BDM〃平面AFN,判断③正确；

由BD〃/N,BE//CN,CNCFN=N.且BDCBE=B,证明平面BDE〃平面NCF,判断④错误.

本题考查了直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定和性质的应用问题，也考查了几何体的折

叠与展开以及空间想象能力，是中档题.

18.【答案】D

【解析】解：因为X6[0,7T],所以cox—637r—^-]＞

又因为函数在[0,兀]上有且仅有3个零点，

所以甲W3"期＜*解得及＜3〈容

L5LOO

故选：D.

根据久的范围求出3X-茎的范围，再由已知以及余弦函数的图像性质建立不等式关系，由此即可

求解.

本题考查了余弦函数的图像性质，考查了学生的理解能力以及运算能力，属于基础题.

19.【答案】5

【解析】解：8§+/0932+，。936

=4+log33

=5.

故答案为：5.

利用指数、对数的运算法则直接求解.

本题考查指数、对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

20.【答案】2

・1_1

••4tana-26'

・•・4tana-2=6,

，tana=2,

故答案为：2.

对已知等式分子分母同时除以cosa,即可求出tana的值.

本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题.

21.［答案】27-21

【解析】解：设长方体的长、宽、高分别为：a,b,c,

长方体的12条棱的总长度为56m,表面积为112nl2,

可得4(a+b+c)=56,2(ah+be+ac)=112,

可得a+b+c=14,所以a?+b2+c2+2ab+2bc+2ac=196,

所以a2+b2+c2=84,

所以长方体的对角线长为：Va2+b2+c2=>^84=2<71.

故答案为：2，7L

设出长方体的三度，利用已知条件转化求解对角线的长度即可.

本题考查长方体的表面积以及对角线长度的求法，考查整体思想，是基础题.

22.【答案】-8

【解析】解：由题意可得而=尻+编=一（而）+或=（-2五+石）+五+3石=一五+4以

•••4、B、。三点共线，

:.AB=A­DB,

■­•2a+kb=A（—a+4b）=—Aa+4Ab-

故有—4=2,42.=k,解得4=—2,k=—8.

故答案为：—8.

利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义求出丽的坐标，把力、B、。三点共线转化为荏=

A-DB，即2五+kB=4（—五+43）=一入五+4^3，故有一4=2,4A=k,

解方程求得k的值.

本题主要考查证明三点共线的方法，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量共线

的性质，体现了转化的数学思想，把4、B、。三点共线转化为荏=2-DB.

23.【答案】解：(i)/(o)=2cos0s讥(*)+?=2xlx=

(2)/(x)=2cosx(^sinx一芋cosx)+三

=sinxcosx—V_3cos2x+?

--1st.n2x-Vf3„x-l+co--s2x+.—-J-3

=sin(2x-1),

所以函数/"(X)的最小正周期T=y=7T,

所以曲线y=f(x)的相邻两条对称轴的距离为。，即取

(3)由⑵可知/(%)=sin(2x-1),

当％€[0,a]时，2x—6[―^,2a-,

因为y=sinx在［一羽］上单调递增，且/Q)在［0,a］上单调递增，

所以［一92。一刍U［-另］,即｛；。_之<会

解得。<a<M兀,

故a的最大值为会.

【解析】(1)利用特殊角的三角函数值即可计算得解.

(2)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，求出其最小值正周期7,而曲线y=/(x)的相

邻两条对称轴的距离为百几

(3)依题意建立关于a的不等式组，解出该不等式组即可求得实数a的取值范围，进而得到a的最大

值.

本题是对三角函数的性质以及三角恒等变换的考查，这是高考考查的一类热点问题，一般难度不

大，但综合性较强，属于中档题.

24.【答案】解：(1)由已知V=S/i=±^x22x4=4V-3：

4

(2)因为所以NMBC或其补角是所求异面直线所成的角，

在小MBC中，MB=MC=22+22=BC=2,

gBCiC

coszMBC=2_=57==—.

所以异面直线8M与BiG所成角的余弦值是?.

【解析】(1)由棱柱体积公式计算；

(2)由异面直线所成角的定义得NMBC是所求异面直线所成的角或其补角，在三角形中计算可得.

本题主要考查柱体体积的计算，异面直线所成的角等知识，属于中等题.

25.【答案】解：(I)当m=4时，由/—4x+4>x-2得/—5x+6>0,

即(x-3)(x-2)>0,解