数字控制器设计

关于数字控制器设计2.1离散系统信号的变换

2.1.1模拟控制系统和计算机控制系统模拟控制系统是建立微分方程，通过求解（直接解微分方程或通过拉氏变换）微分方程的解得到输入输出的关系；计算机控制系统首先将模拟量转化（采样）为数字信号，经过计算机处理后，再输出相应的控制信号。第2页,共127页，2024年2月25日，星期天2.1.2计算机控制系统中的信号模拟信号—采样—量化—编码—数字信号—解码—保持—模拟信号第3页,共127页，2024年2月25日，星期天D/A中的零阶保持第4页,共127页，2024年2月25日，星期天

2.2

模拟化设计模拟化设计方法是按被控对象的传递函数和系统的性能指标，先设计一个模拟控制器D(s)，使系统的动态特性达到预定的要求；

将模拟控制器的数学模型离散化，构成由计算机实现的数字控制器D(z)；

使该数字控制器的脉冲响应、频率响应和模拟校正装置等效。第5页,共127页，2024年2月25日，星期天

模拟化设计的步骤如下：（1）在已知被控制对象的传递函数情况下，用连续系统的设计方法（根轨迹法、伯德图法等方法）设计模拟控制器D(s)，使性能指标达到要求，如图所示。（2）加入保持器（一般采用零阶保持器），选择适当的离散化方法将转换为数字控制器。

R(S)E(S)U(S)Y(S)

D(S)G(S)第6页,共127页，2024年2月25日，星期天R(S)E(KT)U(KT) Y(KT)D(Z)H0(S)G(S)Y(S)（3）分析图所示离散控制系统的动态和静态特性，看其是否满足要求，若满足要求，则设计过程结束，否则转（2）再重新设计。（4）在计算机上用数字算法实现D(z)。

第7页,共127页，2024年2月25日，星期天

一、D(s)与D(z)的转换方法

模拟化设计在设计出D(s)后需将它转换为D（z）。模拟控制器离散化的方法很多，不同的离散化方法其效果也不同，下面介绍几种转换的方法。

1、数值积分法

这种方法的思路是将D(S)转换成微分方程，再用差分方程近似地表示微分方程，有以下几种变换：（1）后向差分变换令

，，

第8页,共127页，2024年2月25日，星期天微分环节的传递函数：微分的表达式：由于对上式作Z变换可得到：比较两式可知： 即：R(S)E(KT)U(KT) Y(KT)D(Z)H0(S)G(S)第9页,共127页，2024年2月25日，星期天根据后向差分法变换，当s=jω时可推导出得到或

可见S平面上的jw轴，映射到Z平面是一个图心在（1/2，0），半径为1/2的小圆；S域的左半平面，映射为小圆的内部。因此，当D(s)稳定时，D(z)必稳定。第10页,共127页，2024年2月25日，星期天(2)前向差分变换令同后向差分变换法一样，可推导出或所以对前向差分变换，当s=jw时，z=1+jwT，可知S平面的虚轴jw映射到Z平面上，是一条过点（1，0）平行于虚轴的直线，因此S左半平面映射到Z平面上，只有一小部分在单位圆内，因此当D(s)稳定时，D(z)不一定稳定。第11页,共127页，2024年2月25日，星期天2、双线性变换法双线性变换又称梯形积分法。由展成台劳级数：

同样： 得到： 或

即

第12页,共127页，2024年2月25日，星期天双线性变换有以下特点：(1)S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，当稳定时D(z)也稳定；(2)变换关系简单，用计算机计算时，只需输入D(S)或D(z)的各项系数，运行双线性变换程序，便可得到对应的D(z)或D(S)的各项系数；(3)当采样频率fS足够高时，双线性变换可获得较高的变换精度；(4)D(S)的频率和D(z)的频率之间存在着非线性，因此不能保持原有的频率响应特性。第13页,共127页，2024年2月25日，星期天例1：用双线性变换法求D(z)，已知 设采样周期T=1S。解：将 代入第14页,共127页，2024年2月25日，星期天3、零极点匹配法

时间域的采样操作，其效应是根据将S域的零点和极点映射到Z域中。在映射时，先将连续函数进行因式分解，设分解后的D(s)为则其等效的D(z)是第15页,共127页，2024年2月25日，星期天通常式中极点的个数多于零点的个数，即n﹥m，此时可看成在S域的无穷远处存在着n-m个零点，这些零点映射到Z域就在Z=－1处，因此上式的分子增加了项。

在D(z)中，增益Kz可用D(s)和D(z)在某个特征频率下的增益相等来确定，例如设ω=0来确定。则 （低通）或 （高通）可求得增益Kz。当D(s)稳定时，则D(z)必稳定；当D(s)的零极点已知时，采用此方法非常方便。第16页,共127页，2024年2月25日，星期天

零极点匹配法的操作步骤： （1）匹配规则：根据变换有

（2）若式中n﹥m，在D(z)中用来匹配S域中n-m个无限远的零点，这样保持D(z)的分子与D(s)分子是同阶的。（3）增益Kz可用D(s)和D(z)在某个特征频率下的增益相等来确定。第17页,共127页，2024年2月25日，星期天例2、已知 用零极点匹配法求数字控制器D(z)设采样频率f=10HZ解：（1）采样周期T=1/f=0.1s

（e=2.718）

S域有2个极点：s=-5

s=-10 1个零点:

s=-1（2）D(s)中，n=2，m=1，所以设在S平面上有一个无穷远处的零点，在D(z)分子中增加（z+1）匹配。 写出:第18页,共127页，2024年2月25日，星期天（3）求增益Kz，按低通道匹配有：求出：Kz=0.524代入D(Z)得到结果。例3:已知 ，用零极点匹配法求数字控制器D(z)，设采样周期T=1s。解：S域有2个极点： 第19页,共127页，2024年2月25日，星期天求得分母：（2）分母2阶，分子0阶，在Z=-1处补2个零点（3）求增益Kz，按低通道匹配有：求出Kz=0.209第20页,共127页，2024年2月25日，星期天练习2：已知 ，分别用（1）后向差分法,设T=1s；（2）双线性变换法,设T=1s；（3）零极点匹配法,设T=0.5s；求数字控制器D（Z）。第21页,共127页，2024年2月25日，星期天4、冲激不变法

冲激不变法是要求设计的D(z)的单位脉冲响应h(KT)与其对应的单位脉冲响应h(t)的采样值hs(KT)相等，即：

连续环节的传递函数展成部分分式为：它的单位脉冲响应：

第22页,共127页，2024年2月25日，星期天

对h(t)采样，有

按等效要求，与D(s)对应的D(z)为：

式中Ai，ai为连续环节的参数。

第23页,共127页，2024年2月25日，星期天······例4：已知连续环节 用冲激不变法设计数字控制器。

解：

数字控制器

第24页,共127页，2024年2月25日，星期天冲激不变法的特点如下：

（1）D(z)与D(s)两者的脉冲响应在采样点取值相等。采样周期T不影响的正确性，但当T不同时，求得D(z)也不同，当T足够短，可以不失真地恢复；（2）D(s)与D(z)的极点是相互对应的，因此当D(s)稳定时，D(z)也稳定。（3）D(s)与D(z)的频谱不同。第25页,共127页，2024年2月25日，星期天5、几种离散方法的比较

对于同一个模拟调节器采用不同的离散化方法得到的数字调节器的性能是不同的。如何选用正确的离散化方法，经过许多研究和实验，得出下面结论：（1）采样频率足够高时，除冲激不变法外，其它的离散化方法得到的控制的系统性能与所控制的系统性能是很接近的；当采样频率降低时，按调节品质优劣排序为：

双线性变换法，零极点匹配法，后向差分，冲激不变法。第26页,共127页，2024年2月25日，星期天（2）从原理上讲，除前向差分外，其它几种离散方法只要系统是稳定的，离散后的系统也是稳定。（3）双线性变换法能得到较好的离散化结果，尤其是在采样频率较低时，仍可就得较好的性能指标。（4）若考虑系统的增益为主要指标，则采用零极点匹配法较好。第27页,共127页，2024年2月25日，星期天6、改进方法

按模拟系统设计法得到的数字控制器，当其组成的系统的动态品质不能得到满意的结果时，可采用以下几种方法进行改进。（1）适当提高连续系统设计的稳定裕度要求，这样在离散化得到数字控制器后系统的稳定性可以得到保证。（2）选取较高的采样频率，可提高系统的性能。（3）选用性能较好的离散化方法第28页,共127页，2024年2月25日，星期天变换方法向前差分法 向后差分法 双线性变换法变换公式映射关系S左半平面映射到Z平面上，只有一小部分在单位圆内D(S)稳定时，D(Z)不一定稳定S域的左半平面映射到Z平面是一个图心在（1/2，0），半径为1/2的小圆的内部当D(S)稳定时，D(Z)稳定S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内D(S)稳定时D(z)也稳定稳定性稳态增益 不变 不变 不变频率特性无混叠,有畸变同左 同左第29页,共127页，2024年2月25日，星期天2.3数字控制器的离散化设计

离散化设计是从被控对象的实际出发，根据采样理论和离散化方法以及系统要求性能指标，直接设计数字控制器。离散化设计方法是以Z变换为理论和工具进行数字控制器的设计，所以也称Z域设计法。

利用计算机的丰富资源，强大的数据处理能力，软件设计的灵活性，离散化设计方法可设计出高精确性的各类控制器，所以离散化设计法又称精确设计法。

离散化设计有根轨迹法、频率响应法和解析法三种。

第30页,共127页，2024年2月25日，星期天1、根轨迹法

采用系统的闭环传递函数极点在Z平面的位置，决定了相应系统的动态特性，引入适当的校正装置或算法可改变根轨迹，使系统的性能改变。2、频率响应法

将设计问题转换到频域中，经变换，Z平面的稳定域单位圆变换到W平面的左半平面后，可采用伯德图进行设计。（1）可根据幅值和相角的裕度对动态特性进行判断；（2）引入补偿器可对幅频和相频曲线进行校正；（3）系统的放大系数可从幅频曲线的渐近线获得。

第31页,共127页，2024年2月25日，星期天○×r(t)R(Z)E(Z) T Y(Z) D(Z)H0(S)G(S)y(t)

T

T

THG(Z)3、解析法

根据采样理论和离散化方法以及系统要求性能指标，直接设计数字控制器。闭环控制系统如图：

D(z)为数字控制器,HG(z)为带有零阶保持器的Z传递函数。求闭环Z传递函数GC(z)的步骤如下：（1）求带有零阶保持器连续对象的Z传递函数HG(z)（2）写出前向通道上Y(z)与E(z)的关系式

Y(z)=D(z)HG(z)E(z)第32页,共127页，2024年2月25日，星期天（3）写出闭环回路中E(z)和R(z)的关系式E(z)=R(z)-Y(z)=R(z)-D(z)HG(z)E(z)误差的传递函数Ge(z)=E(z)/R(z)=（4）闭环传递函数Gc(z)

得到：第33页,共127页，2024年2月25日，星期天求得闭环传递函数Gc(z)闭环传递函数Gc(Z)与误差的传递函数Ge(z)的关系：得到：第34页,共127页，2024年2月25日，星期天一、解析法设计的方法和步骤

一个计算机控制的闭环系统如图所示，其闭环Z传递函数为：

系统的误差Z传递函数为Ge(z)，由于得到第35页,共127页，2024年2月25日，星期天由上面可推出数字控制器的Z传递函数3种形式：

（混合式） （Ge(z)式)或 （Gc(z)式）

可见只需求出HG(z)和Gc(z)或Ge(z)，即可得到D(z)第36页,共127页，2024年2月25日，星期天

计算机控制系统的离散化设计步骤如下：

(1)求广义的被控对象的Z传递函数(2)根据控制系统性能要求构造闭环Z传递函数Gc(z)和误差Z传递函数Ge(z)。(3)由HG(z)、Gc(z)或Ge(z)求得数字控制器D(z)。(4)根据D(z)写出相应的差分方程表达式，求出相应的系数值，编写相应的控制程序。(5)检验系统的特性，若没有达到设计要求，需要重新设计D(z)，直到系统的输出达到要求的指标。

第37页,共127页，2024年2月25日，星期天根据控制系统的性能指标和条件确定闭环系统的闭环传递函数Gc(Z)是设计的关键。

实际上Gc(Z)的选取存在着许多因难:闭环系统的某些特性如超调量和抗干扰能力等指标很难用传递函数表示在选取时要考虑数字控制器的可实现性和稳定性在设计时需要进行仿真和实验，以使系统的输出达到要求的指标在离散设计中，采样周期T始终是一个需要认真选取的重要参数第38页,共127页，2024年2月25日，星期天

二、最少拍控制系统的设计

最少拍控制是一种时间最优控制方式，其设计目标是：设计一个数字控制器，使系统在典型输入信号（如阶跃、速度、加速度信号）作用下，经过最少的采样周期，消除输出和输入之间的偏差，达到平衡。通常把一个采样周期称为一拍。（一）设计准则在自动控制系统中，典型的输入信号的Z变换为：（1）单位阶跃输入 （2）单位速度输入（3）单位加速度输入 第39页,共127页，2024年2月25日，星期天由上面可看到：典型输入信号的Z变换具有如下形式： （m为1，2，3，…）控制系统的调节时间就是误差e(KT)达到恒定值或趋于零的时间，根据误差的Z变换定义：

因此设计准则就是求出最小的正整数N。使系统在典型信号输入下，当K≥N时，e(KT)等于零或为恒定值时，系统调整结束。第40页,共127页，2024年2月25日，星期天由于E(z)=Ge(z)R(z)，误差与误差传递函数和输入信号有关，因此最少拍控制的设计是根据不同的R(z)选择Ge(z)，使R(z)Ge(z)为尽可能少的有限项。因为

如果选Ge(z)能够消去E(z)分母的因子 项，则E(z)为的有限多项式，因此Ge(z)可选为：

式中F(z)为的有限多项式，当选n=m时，且F(z)=1时；可使F(z)的项数最少，因而调节时间ts最短，得到的数字控制器阶数较低，结构也简单。 第41页,共127页，2024年2月25日，星期天（二）典型输入时最少拍数字调节器

根据上述最少拍控制设计准则可知，对于不同的输入信号，应当选择不同的误差传递函数Ge(Z)，求得最少拍数字控制器D(z)。1、单位阶跃输入可选择，系统的闭环Z传递函数 因此 系统的输出可以得到输出序列

第42页,共127页，2024年2月25日，星期天

单位阶跃输入时，最少拍控制系统的调节时间为一个采样周期，即经过一拍可清除输入和输出间的偏差。

2、单位速度输入选择

则

输出序列:

系统的调节时间为tS=2T。

… … 第43页,共127页，2024年2月25日，星期天3、单位加速度输入选择

求得系统的输出序列

单位加速度时输出响应经过3个采样周期后，系统输出跟踪输入。

…

…第44页,共127页，2024年2月25日，星期天第45页,共127页，2024年2月25日，星期天例1:已知被控对象的传递函数 ，若采样周期T=0.5s,试设计在单位速度输入时的数字控制器。解：(1)采用零阶保持器，系统的广义对象的脉冲传递函数HG(z)为

(2)系统的输入r(t)=t，误差传递函数选第46页,共127页，2024年2月25日，星期天(3)

(4)系统的输出序列 上述式中各项系数即为在各个采样时刻的数值，即Y(0)=0Y(T)=0Y(2T)=2Y(3T)=3Y(4T)=4…第47页,共127页，2024年2月25日，星期天(5)

输出响应曲线如图，从图可看到，经过两拍后，系统的输出量等于输入量的采样法。但在采样点外仍有误差，存在着一定的波纹。

第48页,共127页，2024年2月25日，星期天例2：在上例中的基础上，若输入信号改为单位阶跃和单位加速度时，求系统的输出序列并画出响应曲线。解：（1）单位阶跃输入采样时刻输出序列：系统的输出响应曲线如后图所示。第49页,共127页，2024年2月25日，星期天(2)单位加速度输入

各个采样时刻的输出序列

而输入序列

第50页,共127页，2024年2月25日，星期天系统的输入和输出响应曲线如图所示。从此例可看到，按某一典型输入设计的最少拍控制系统，当输入改变时，系统的性能变坏，输出响应不理想。第51页,共127页，2024年2月25日，星期天练习三：设被控对象的传递函数采样周期T=1s，求：（1）单位阶跃输入时的最少拍控制器D(z)；（2）系统的输出序列Y(z)；（3）画出输出响应曲线图。第52页,共127页，2024年2月25日，星期天（1）（2）单位阶跃输入可选择

（3）可见一拍后系统已无误差。×第53页,共127页，2024年2月25日，星期天例3：设被控对象的传递函数采样周期T=1s，求：单位阶跃输入时的最少拍控制器。解：对单位阶跃输入,选取第54页,共127页，2024年2月25日，星期天输出：控制量U(z)：由于Y(z)=U(z)HG(z)，U(z)=Y(z)/HG(z)第55页,共127页，2024年2月25日，星期天可见虽然在采样点上一拍即达到稳定，但由于U(z)的作用，采样点间的值是发散的，会导致系统不稳定。不可实现：若则:

为超前环节，即输入信号前r个周期系统有输出，D(z)不可实现。 第56页,共127页，2024年2月25日，星期天（三）Gc(z)和Ge(z)的选择

按上述最少拍设计选择Gc(z)和Ge(z)时，没有考虑HG(z)对D(z)的影响，也没有考虑D(z)的可实现性和稳定性等因素。下面根据系统必须满足的约束条件，考虑Gc(z)和Ge(z)的选择原则。

被控对象的HG(z)一般可写为则D(z)表示为

式中：Zi为HG(z)的零点，Pi为HG(z)的极点，

为D(Z)的超前环节。第57页,共127页，2024年2月25日，星期天1、由上式导出Gc(z)和Ge(z)的选择原则：（1）保证D(z)的可实现性

由于：

Gc(z)中必须含有因子以抵消此不可实现项。（2）保证D(z)的稳定性

由于HG(z)的零点变为D(z)的极点，当Zi≥1时，则D(z)将是发散的。解决的方法是在Gc(z)中增加 项，抵消掉发散项,使D(z)稳定,但这样会使系统的调节时间加长。第58页,共127页，2024年2月25日，星期天（3）由于R(z)分母中含有

,为了使调节时间最短，仍应选择Ge(z)中含有因子。（4）由Gc(z)=1－Ge(z)，应保持Gc(z)和Ge(z)同阶。2、由上所述可得到Ge(z)和Gc(z)的确定原则：(1)取或(2)取抵消不可实现项和不稳定项保持最少拍保持Gc(z)和Ge(z)同阶第59页,共127页，2024年2月25日，星期天例4:设设计单位阶跃下的最少拍控制器D(z)。解:(1)HG(z)有超前环节和不稳定零点，用Gc(z)抵消(2)Ge(z)的选择

输入单位阶跃，取由Ge(z)=1-Gc(z)，可求出a和b可求得:a=1-b;1.4a=b

求出：a=0.417;b=0.583

第60页,共127页，2024年2月25日，星期天(4)(5)系统误差Y(0)=0Y(T)=0.417Y(2T)=Y(3T)=…=1系统2拍稳定第61页,共127页，2024年2月25日，星期天例5设最少拍控制系统如图所示试设计单位速度输入时的最少拍控制器D(z)，采样周期T=1s。解:(1)求广义对象Z传递函数

(2)选择Gc(z)，因为HG(z)分子有的因子，又有单位圆上零点z=-1，故取

第62页,共127页，2024年2月25日，星期天(3)选择Ge(z)，按单位速度输入，Ge(z)中应含有 因子。(4)Gc(z)和Ge(z)阶次相同，设比较同幂项系统，可得到求出： （5）数字控制器D(z)为

第63页,共127页，2024年2月25日，星期天

系统误差 可见系统当K≥2后，稳态误差e(KT)=0。经验：Gc(z)和Ge(z)的设定1、当阶跃输入时 Gc(z)要保持与Ge(z)同阶，待定系数2个2、按单位速度输入 Gc(z)要保持与Ge(z)同阶：3阶。待定系数3个。第64页,共127页，2024年2月25日，星期天（四）最少拍控制系统的优缺点

●优点

可以得到解析式，系统结构简单，容易在计算机上实现。●缺点（1）系统的适应性差；（2）当有多重极点时对参数变化特别敏感，当系统的结构和参数改变时会产生偏差；（3）由于控制量不能无限加大，不可能将调整时间无限制的缩短；（4）输出有波纹。第65页,共127页，2024年2月25日，星期天例6:设被控对象的广义传递函数为选择单位速度输入，设计最少拍控制器D(z)，采样周期T=1s。解：无超前环节和不稳定零点，选2拍后稳定第66页,共127页，2024年2月25日，星期天若因为环境变化使HG(z)改变为HG1(z)，D(z)保持不变第67页,共127页，2024年2月25日，星期天三、最少拍无波纹控制系统的设计

最少拍控制系统的优点是系统结构简单，设计后容易在计算机上实现，但其对系统的适应性差，只能保证在采样点上输出跟踪输入，在采样点之间呈现波纹，会引起系统的振荡。

产生波纹的原因是U(z)不能在有限个采样周期内变为零，即u(KT)≠0，使系统的输出y(t)产生波动。

要实现最少拍无波纹控制，需要系统在典型信号作用下，经有限个采样周期后，系统的稳态误差e(KT)保持恒值或为零，系统的控制器D(z)的输出u(KT)也必须保持恒值或零。第68页,共127页，2024年2月25日，星期天

数字控制器的输出

上式中，若D(z)Ge(z)R(z)是的有限多项式，则经过有限个采样周期后，u(KT)可达到某恒定值，使系统的输出没有波纹。

式中：Pi和Zi为HG(z)的极点和零点。HG(z)的零点成为U(z)的极点。第69页,共127页，2024年2月25日，星期天

若选择闭环传递函数Gc(z)的零点包含HG(z)的零点（尤其是左半平面的零点），则D(z)Ge(z)可能成为

的有限多项式。此外在设计最少拍无波纹控制系统中，最少拍控制系统中Gc(z)和Ge(z)的其它选择原则仍应满足。最少拍无波纹系统设计中，Ge(z)和Gc(z)的设计原则是：（1）Ge(z)的确定

选择这样便可满足快速性，又可抵消不稳定极点Pi的影响。第70页,共127页，2024年2月25日，星期天（2）Gc(z)的确定

这样可确保D(z)的可实现性和稳定且无波纹的要求。（3）根据Gc(z)=1－Ge(z)确定Fe(z)和Fc(z)。例7:设广义被控对象Z传递函数为:试设计单位阶跃输入时的最少拍无波纹控制器。

第71页,共127页，2024年2月25日，星期天解：（1）选择误差传递函数Ge(z)和闭环传递函数Gc(z)Ge(z)：输入为阶跃信号，HG(z)无不稳定的极点，取 Ge(z)=(1－z-1)(1+bz-1) Gc(z) ：HG(z)有z-1的因子和零点z=－0.718，取 Gc(z)=az-1(1+0.718z-1) 由 Gc(z)=1－Ge(z) az-1(1+0.718z-1)=1－(1－z-1)(1+bz-1)a=1-b0.718a=b解出：a=0.582,b=0.418求出Ge(z)和Gc(z)第72页,共127页，2024年2月25日，星期天

(2)求控制器D(z)(3)系统分析误差：

控制量：

输出量：第73页,共127页，2024年2月25日，星期天误差、控制和输出量的波形图如所示。当K≥0时，Y(KT)=1，说明由第二拍开始，系统输出完全跟踪输入。

最少拍无波纹控制系统可达到调节时间短和输出无振荡产生。它的缺点是只适宜于某种典型信号，当输入信号变化时，系统的输出会产生超调或稳定误差，使性能变坏。第74页,共127页，2024年2月25日，星期天例8:设广义被控对象的Z传递函数为（T=1s）

设计单位速度输入时的最少拍无波纹数字控制器。解：（1）选Ge(z)和Gc(z)Gc(z)：应含有HG(z)中的z-1和（1+0.718z-1）Ge(z)：应含有（1－z-1)2的因子Ge(z)和Gc(z)阶次相同，构造：Gc(z)=a1z-1(1+0.718z-1)(1+a2z-1)Ge(z)=(1－z-1)2(1+bz-1)解出：a1=1.407a2=－0.586b=0.593第75页,共127页，2024年2月25日，星期天(2)求得单位速度输入时的最少拍无波纹数字控制器误差：E(z)=

Ge(z)R(z)= =z-1+0.395z-2

控制量：U(z)=D(z)Ge(z)R(z)

由Z变换定义：u(0)=0u(T)=0.382u(2T)=0.018u(3T)=u(4T)=…=0.1第76页,共127页，2024年2月25日，星期天

四、最少拍控制系统的改进设计

最少拍控制系统的缺点是系统的适应性差，当有多重极点时对参数变化特别敏感，当系统的结构和参数改变时会产生偏差。

为了提高控制品质，在设计中可进行改进，方法有惯性因子法、延长节拍法和换接程序法等。1、惯性因子法基本思路：适当延长调整时间，允许系统有稳态误差，可提高系统对不同输入信号的适应能力。基本方法：在误差传递函数Ge(z)中引入一个（或几个）极点Z=α,取α＜1，可保持系统的稳定。

第77页,共127页，2024年2月25日，星期天修改后Gc(z)和Ge(z)不再是z-1的有限多项式，存在稳态误差，但系统增加了惯性，提高了系统对不同输入的适应能力。第78页,共127页，2024年2月25日，星期天例：被控对象为

求速度输入时的D(Z)。解：正常情况下选,当输入为速度信号，超调量达100%。用惯性因子法，取α=0.5,

可见系统的超调量减少了一半，但过渡时间加长。α的值可通过试探法和优化法得到。第79页,共127页，2024年2月25日，星期天2、延长节拍法基本思路：将Gc(z)中z-1的次数提高，系统的响应会比最少拍延长，由于Gc(z)的维数提高，使待定系数的选择自由度增加，选取恰当的系数可以降低参数变化对系统的影响。例：被控对象为

，求速度输入时的D(z)。解：正常情况取按延长节拍法：取

,α可任选，α=0.5得到第80页,共127页，2024年2月25日，星期天系统对单位速度的响应：从第三拍系统的输出跟踪输入，比最少拍系统增加了一拍。当系统参数改变使时，可求出：可看出逐渐趋于稳定。第81页,共127页，2024年2月25日，星期天3、换接程序法基本思路：对一个被控对象设计不同的控制程序存入计算机。例如：设计一个按阶跃输入的D1(z)和一个按速度输入的D2(z），根据误差信号的大小，分别调用相应的程序。

系统刚启动时，误差大相当于阶跃输入，可调用D1(z)，系统稳定后再调用D2(z)。

可以设置误差的门限值E，由计算机对该值进行判断，根据E值切换程序。第82页,共127页，2024年2月25日，星期天

五、大林算法

在工业控制中经常遇到被控对象具有不同程度的滞后时间。由于滞后时间较长，用一般控制方法时会产生较大的超调量和较长的调整时间，结果造成系统的稳定性降低，动态质量下降。

用一般控制方式或PID算法处理这类系统的过程控制时，往往效果不佳。为解决此类问题，目前常用大林算法。

第83页,共127页，2024年2月25日，星期天

大林算法:对纯滞后系统，当超调量很小并允许有较长的调整时间时可采用1968年IBM公司大林（Dahlin）提出一种控制算法，称大林算法，该算法处理纯滞后有较好的效果。（1）大林算法的设计准则

具有纯滞后环节的被控对象可以用一阶或二阶惯性系统来近似。具有纯滞后的一阶惯性系统和具有纯滞后的二阶惯性系统

式中T1、T2为被控对象的时间常数，τ为纯滞后时间，一般取采样周期T的整数τ=NT。第84页,共127页，2024年2月25日，星期天大林算法的主要目标是：设计一个数字控制器D(Z)组成的计算机控制系统，使该系统的闭环传递函数为： TH为惯性时间常数，τ=NT

要求整个闭环系统的纯滞后时间等于被控对象的纯滞后时间，消除纯滞后环节e-τs对系统稳定性的影响。（2）大林算法的设计步骤●选取期望的闭环传递函数Gc(s)，如式所示。用零阶保持器法对Gc(s)离散，得到闭环Z传递函数

第85页,共127页，2024年2月25日，星期天●

计算广义被控对象的Z传递函数。①

具有纯滞后一阶惯性系统

得到

②

具有纯滞后二阶惯性系统第86页,共127页，2024年2月25日，星期天

得到

第87页,共127页，2024年2月25日，星期天例9:被控对象传递函数,采样周期T=0.5s，用大林算法设计数字控制器。(τ=NT)解：由题可知，系统为1阶，比较标准形式得到：K=1，τ=1，N=τ/T=2。当被控对象与零阶保持器相连接时，系统的广义对象的传递函数为

代入表达式求得：

第88页,共127页，2024年2月25日，星期天按大林设计方法，使整个闭环系统的脉冲传递函数为纯滞后的一阶惯性环节，根据经验，设TH=0.1s，可得:第89页,共127页，2024年2月25日，星期天例10:被控对象传递函数采样周期T=1s，用大林算法设计数字控制器。解：比较标准形式得到：K=1，τ=2，N=τ/T=2。根据大林算法，构造 ,取τ=2，TH=2进行Z变换：

第90页,共127页，2024年2月25日，星期天输入单位阶跃时：第91页,共127页，2024年2月25日，星期天上述结果动态性能差，重取τ=2，TH=0.5s动态性能得到改善。第92页,共127页，2024年2月25日，星期天（3）振铃现象及其消除

设计纯滞后惯性系统，允许存在适当的超调量，当系统参数设置不合适时，可能使数字控制器的输出以2T为周期大幅度上下摆动，此种现象称为振铃现象。常用振铃幅度R(A)来衡量系统的振铃现象的强弱。R(A)的定义是：数字控制器在单位阶跃输入下，第零拍输出与第一拍输出幅度之差，即R(A)=u(0)－u(T)。第93页,共127页，2024年2月25日，星期天数字控制器可写为如下基本形式：其中：

为直接影响输出幅值的因素，KZ-N是影响输出序列延时的因素。第94页,共127页，2024年2月25日，星期天在阶跃脉冲作用下，Q(z)的输出序列为

表2-1列出几种数字控制器引起的振铃现象，振铃现象产生的原因是在存在Z=－1附近的极点，当极点Z=－1时，R（A）最大，随着极点离开Z=－1越远，R（A）的幅度越小。大林算法就是要找出产生振铃现象的极点因子，令其中的Z=1，以消除该极点，并且不影响输出的稳定性。第95页,共127页，2024年2月25日，星期天表2-1振铃特性

调节器D(z)调节器U(kT)

R（A）1/(1+)10101

11/(1+0.5) 10.50.750.6250.645

0.51/(1+0.5)(1－0.2)10.70.890.8030.8480.3根据极点在Z平面单位圆中的分布，可分析出单位圆左半平面的极点和右半平面的零点会加剧振铃现象。消除振铃现象的方法是找出D(Z)中引起振铃现象的极点，令其中的Z=1，理论证明修改后的D(Z)在单位阶跃输入时与原调节器有相同的稳态输出。第96页,共127页，2024年2月25日，星期天例9：被控对象传递函数，采样周期T=0.5s，用大林算法设计数字控制器，并设法消除振铃现象。解：由题可知，系统为1阶，比较标准形式得到：K=1，τ=1，N=τ/T=2。当被控对象与零阶保持器相连接时，系统的广义对象的传递函数为

求得：

第97页,共127页，2024年2月25日，星期天按大林设计方法，使整个闭环系统的脉冲传递函数为纯滞后的一阶惯性环节，设TH=0.1s，可得可见含有Z1=1，Z2=-0.4967+j0.846,Z3=-0.4867－j0.846三个极点，显然Z=1处不会引起振铃现象，只有在引起振铃现象。第98页,共127页，2024年2月25日，星期天根据上面所述方法，令分母中中即可消除系统的输出振铃现象。这样得到无振铃现象的数字控制器D(z)为第99页,共127页，2024年2月25日，星期天例10、纯滞后补偿控制器设计设有一纯滞后对象，对其零状态下输入单位阶跃信号，测得输出响应c(t)如下图：其中，τ=4(s)，Tm=16(s),请解答下列各问。1、确定该被控对象可用一阶纯滞后环节来近似描述，写出该对象的传递函数G(s)。2、采样周期取1秒，试用大林算法设计一数字控制器D(z)，使闭环系统的时间常数减半，增益提高10倍。3、请问对于该被控对象，设计的数字控制器D(z)需要考虑振铃现象吗？第100页,共127页，2024年2月25日，星期天解：1、据输出响应特性，可用一阶纯滞后环节来近似描述。该对象的传递函数2、依题意：

第101页,共127页，2024年2月25日，星期天最后求得：3、只有一个大于零的极点，故不用考虑振铃现象。第102页,共127页，2024年2月25日，星期天2.4数字控制器的实现

实现数字控制器的方法:1、硬件电路来实现：加法器、乘法器、延时电路2、计算机软件来实现。在计算机控制系统常采用软件编程的方法实现数字调节器算法。从算式的复杂性和控制系统的灵活性考虑，采用计算机软件的方法更适宜。

本节介绍三种主要的设计方法并给出程序的算法和流程图。

第103页,共127页，2024年2月25日，星期天一、直接程序设计法数字控制器通常可表示为式中m≤n，E(Z)和U(Z)分别为数字控制器输入和输出序列的Z变换。上式可改写为如下形式

对上式进行Z反变换，在初始静止的条件下，可得差分方程第104页,共127页，2024年2月25日，星期天

计算一次u(kt),需要做(M+N)次加法,(M+N+1)次乘法,(M+N)次移位,需要(M+N+2)个存储单元。可用计算机软件来实现。可直接画出实现的3种原理框图，如图所示。 第105页,共127页，2024年2月25日，星期天第106页,共127页，2024年2月25日，星期天第107页,共127页，2024年2月25日，星期天第108页