河北省石家庄市2022-2023学年高一年级上册期末数学试题（含解析）

石家庄市2022-2023学年度第一学期期末教学质量检测

“自.必rJ、，.

高一数学

注意事项：

本试卷分为第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答第I卷前，考生务必将自己的姓名

准考证号、考试科目写在答题卡上.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1,已知全集"HL，'4,5},M={I,3},N={3,5},则如图所示的阴影部分表示的集合是（）

A.{3,4,5}B,{1,3,5}C,{1,2,5}D.{2,4}

【答案】D

【解析】

【分析】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为电（MlN）,再利用集合的交并补运算即可得解.

【详解】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为电（MN）,

因为M={1,3},N={3,5},所以={1,3,5},

因为U={1,2,3,4,5},所以G（MDN）={2,4}.

故选：D.

2.命题“三元>1,/一元>0”否定是（）

A.3X<1,X2-X>0B.Vx>l,x2-x<0

C.3x>l,x2-x<0D.Vx<1,x2-x>0

【答案】B

【解析】

【分析】本题从存在量词的否定为全称量词出发即可得出答案.

【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，即先将量词“土改成量词“V”，再将结论否定，，该命

题的否定是“Vx>l,x2—%,0”.

故选：B.

3.函数y=log2（2x+l）+，3—4x的定义域为（)

j_31彳，。

A.12B.C.—00—D.（。,+8）

2542542

【答案】B

【解析】

2x+l>0

【分析】令《…C，解不等式可得答案.

3-4x20

2%+1>013>故定义域为（一;7,二

【详解】令〈，解得—

3—4x2024（24

故选：B.

4.已知角a的终边经过点。（一2,1）,则sina的值为（)

A.1n一旦2逐

D.-2---旧------C.D.

555"I"

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角函数的定义即可得解.

【详解】因为角a的终边经过点尸（-2,1）,

一旦

所以sina=

-5•

故选：A.

5.设。=log37,〃=2"，c=0.831，则()

A.b<a<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】利用对数函数、指数函数的单调性确定。,4c的范围，进而比较大小可得答案.

【详解】因为y=log3%在（0,+8）上单调递增,

ffrVXlog33<log,7<log39,即1<。<2；

因为y=2'.在R上单调递增,

所以8=2">2'=2，

因为y=0.8'.在R上单调递减,

所以。=0.8支|<0.8°=1，

所以c<a<h.

故选：D.

cosX

6.函数小）=丽可的图象大致是（）

【答案】C

【解析】

【分析】先判断函数奇偶性，排除A、D选项，再根据/（（））排除B选项，即可得结果.

£（\COSX,/\cos（-x）COS尤,/\

【详解】函数/（X）=定义域为R,且/（一力=（\=/（X）,

Inlx+21Inix+21Inlx+2）

所以，X）为偶函数，排除A、D选项；

因为/（°）=47°，所以排除B，

In2

故选：C.

7.数学中常用记号max{〃应}表示p,q两者中较大的一个，用min{p,q}表示夕，q两者中较小的一个,

若函数/（x）=min{W，|x+f|}的图象关于x=-g对称，贝h的值为（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】D

【解析】

【分析】先分析y=|x|与的图像性质，再在同一个坐标系中作出两个函数的图像，结合图像可分

析得了（X）的图像关于直线彳=-；对称，从而求得“直.

【详解】对于y=|x|,易得其图像关于y轴对称；

对于y=|x+f|,易得其图像关于x=T对称；

如图，在同一个坐标系中做出两个函数丁=|幻与，=|x+”的图象,

则函数/（x）=min｛W，|x+4｝的图象为两个图象中较低的一个,

结合图像可知/（x）的图象关于直线x=-；对称，

所以要使函数/（力=而11｛国,卜+巾的图象关于直线彳=一3对称,

故选：D.

*1

a,x一

2

8.已知函数/（x）=<在R上单调递增，则。的取值范围是（)

(2<z-l)x,x>g

‘2-61

【答案】B

【解析】

【分析】先利用指数函数与一次函数的单调性，分段讨论“X）的单调性，从而得到。>1,再由/（X）在R

上的单调性得x=g处有g（2a—1）2。；，从而得到。2笥回,由此得解.

【详解】因为/（X）在R上单调递增,

当时，〃力=优在1-8,；上单调递增，所以。>1；

当x>g时，/（x）=（2a—1）尤在（；,+"上单调递增，所以2。一1>0,即a>g；

I1111

同时，在x=e处，（2。一1卜2优，即；（2〃-1）2a2,即。一；2。2,

因为a>l,所以。2——>a,即4a2—8a+120,

4

解得a22±2后或q〈三避（舍去），

22

故选：B.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9.已知函数/（力=/图象经过点（2,3）,则下列命题正确的有（）

A.函数”X）为奇函数

B.函数/（x）在定义域内为减函数

C.若0<占<%，则/（百）>/（工2）

D.若x<o,则y（x）>o

【答案】AC

【解析】

【分析】将点代入函数得到/（1）=！，利用函数奇偶性的定义可判断A,举反例可判断BD,利用作差法

X

可判断D.

【详解】因为/'（x）=x"图象经过点（2,；）,

所以2"=,，即a=T,则/1（x）=,，

2x

对于A,易得/(x)的定义域为(y,O)U(O,+x>),关于原点对称，

又/(-%)=-1=-/(司，所以为奇函数，故A正确；

对于B,/(-1)=—1</(1)=1,函数不是减函数，故B错误；

对于C,因为0<±<工2，

所以/(芯)_/(々)='_'=七土>0,即/(百)>/(%2)，故C正确.

元1X?X1

对于D,/(-1)=一1<0,故D错误；

故选：AC.

10./一2》一340成立的充分不必要条件可以是()

A.0<x<4B.0<x<3

C.-l<x<2D.-l<x<3

【答案】BC

【解析】

[分析]先求得X2-2X-3<0的等价条件，再利用充分不必要条件的性质得到集合的包含关系，从而得解.

【详解】令4=k«€〃｝,3=｛凡/—2x—3Wo｝,

由％2一2%-3«0得一l<x<3,故3=｛乂-1<%<3｝,

若/，是/一2%一340成立的充分不必要条件，则A是8的真子集，

对于A,A=｛x|0Kx<4｝不是3=｛x[-l<x<3｝的真子集，故A错误；

对于B,4=卜|0。43｝是8=k|—l«x<3｝的真子集，故B正确；

对于C,A=｛x|-l〈x<2｝是3=｛x|—l〈xW3｝的真子集，故C正确；

对于D,A=｛x[—l<x<3｝不是8=｛x|-l〈xW3｝的真子集，故D错误；

故选：BC.

11.下列函数中以2兀为周期的是()

X.X

A.y=tan—B.y=sin—

*22

C.y=sin|x|D,y=cos|x|

【答案】AD

【解析】

【分析】对于ABD,利用三角函数的性质以及周期公式逐一判断即可；对于C,举例子证明/（X）不是周

期函数即可判断.

v-7='=2兀

【详解】对于A,y=tan-f则一1一,故A正确；

.22

2兀“

..XrIT==4兀

对于B,y=sin—,则1,

22

X

所以yusin^不以2兀为周期，故B错误；

对于C,因为y=/（x）=sin|乂，

Tt.Tt,

所以/卜，卜sinsin—=1,

22

所以至少存在x=3,使得”X+271）H/（X）,

所以/（X）不是以2兀为周期的周期函数，故C错误;

2兀

对于D,y=cos|x|=cosx,则7=丁=2兀，故D正确.

故选：AD.

12.已知正数x、》满足x+y=2,则下列说法正确的是（）

A.xy的最大值为1B.6+J7的最大值为2

21厂X2V2

C.一+一的最小值为2起D.-；+2二的最小值为1

xyx+1y+1

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于AB,利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD,利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可

判断.

【详解】对于A,因为x>0,y>0,x+y=2,

所以2=x+y22y[xy,则孙W1,

当且仅当x=y且x+y=2,即x=y=l时，等号成立,

所以孙的最大值为1,故A正确：

对于B,因为2（a~+/?）—（〃+b）~=ci~+”—2ab—（Q—Z?）~N0,

所以3+6）2<2（/+从），当且仅当。=〃时，等号成立，

所以（«+6）2«2［（五y+（@2］=2（x+y）=4,则4+4«2,

当且仅当&=且x+y=2,即x=y=l时，等号成立，

所以6+J］的最大值为2,故B正确；

八211,（2lfQ2yK\12yx13仄

对于C,—I—=_（x4-y）—l—=-3H---1-2—3+2/—,一=—卜,

Xy2.（X”21X”21\xyj2

当且仅当包=土且x+y=2,即x=4-20,y=20—2时等号成立，

x）

所以冬+工的最小值为a+血，故c错误；

xy2

对于D,令s=x+l,t=y+\,则x=s-l,s+f=x+y+2=4,s>0,f>0,

22

所以工+工

x+1y+1

=l*z低/1+：1

当且仅当$=，且s+r=4,即s=r=2,即x=y=l时，等号成立,

JCV

所以——一的最小值为1,故D正确.

x+1y+1

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为

正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得“，若忽略了某个条件，就会出现错误.

第n卷（非选择题共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知tana=6，（兀'技｝则.

471

【答案】—

3

【解析】

【分析】利用诱导公式转化为锐角的三角函数求解.

【详解】；ae（兀,奇），a—兀e（0,万），

tan（cz-兀）=tana=如,

无7147t

ct-n=—,a-7r+—=——.

333

4兀

故答案为：—.

3

14.斐波那契螺旋线被称为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1,1,2,3,5,8……

为边长的正方形按如图的方式拼成长方形，并以每个正方形的某一顶点为圆心画一个圆心角为90。的圆弧,

这些圆弧连成的弧线被称为斐波那契螺旋线，图中的弧线就是斐波那契螺旋线的前一部分，则阴影部分的

面积与矩形ABCD的面积之比为.

【答案】一##—Tt

44

【解析】

【分析】由圆的面积公式和矩形的面积公式，分别求得其面积，即可得解.

【详解】由题意知I,矩形A8C0的面积为S=（3+5）x（5+8）=104,

而阴影部分的面积为S,=；兀（「+12+22+32+52+82）=26K,

267rJr

所以阴影部分的面积与矩形ABCD的面积之比为——

1044

故答案为：一.

4

15.已知函数/（x）=sinx+2x+m在区间（0弓）上有零点，则实数机取值范围是

【答案】（一1一兀,0）

【解析】

【分析】先利用基本初等函数的单调性判断得了(X)在(0,上都单调递增，再利用零点存在定理得到

/(0)<0

<1七「C。，解之即可得解.

【详解】因为y=sinX与y=2x+〃?在(0段)上都单调递增，

所以/(x)=sinx+2x+m在上单调递增,

因为/(力=$m%+2%+m在区间(0,])上有零点,

/(0)<0[sin0+2x0+m<0八

;\rm<0

所以</兀)，即〈.兀兀，即〈八,

IUJI22l

解得一1一兀v用<0,

所以实数〃?的取值范围为(一1一兀,()).

故答案为：(—1—71,0).

16.已知/(x)=log3(4*+l)—辰是偶函数，则％=,/(x)的最小值为.

【答案】①.1叫2log.2

【解析】

【分析】先利用函数奇偶性的定义可求得实数上的值，从而得到/(x)=log3(2'+*],再利用基本不等

式即可推得了(x)21og32,由此得解.

【详解】因为函数“X）为偶函数，则/（r）=/（x）,

即logs（4-*+1）+Ax=log3（4*+1）-Ax,

4、+14V（4V+1）

v

所以2丘=log3（4'+1）-log3（4一、+1）=log3=log34“L+］）=log34=xlog,4,

由x的任意性可得2k=log34=2log?2,故A=log32,

4、+1f1

所以/（X）=log3（4'+l）-xlog32=log3=10g312'+—

因为2、〉0,所以2'+1-22,2、=2,

T\r

当且仅当2'='-,即x=（）时，等号成立，BP2A+—>2,

T2r

所以/（x）=log3卜'>log32,g|J/（x）的最小值为log32.

故答案为：1（€2；log,2.

四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知sin（53°—a）=；,且-270°<a<-90°,求tan2（127°+a）-sin（37°+a）的值.

［答案］5+48>

120

【解析】

【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系得sin（37°+a）=-半，再结合同角三角函数的商的关系求

出tan（127°+a）的值，代入计算即可.

【详解】设尸=53°—a,y=37°+a,那么尸+7=90°,从而7=90°-£.

于是sin/=sin（90°-/7）=cos£.因为一2700<a<-90°,

所以143°〈尸<323°.由sin夕=：>0,得143°〈夕<180°.

所以cos夕=—y/l-sin2/7=一J1一02=-¥

所以sin（37。+a）=siny=一2£

，sin/?、一

tan?（127。+a）=tan?[180-（53-a）]=tan?（53-a）=tan2/7=

、cos夕

H_±

2娓24

5

则tan2(127+a)-sin(37。+a)=，+^^=5+486

v7v7245120

~、

18.已知全集为R,集合4=,x二出>0>,B=-2tzx+(«+3)(a-3)<0|.

x3

(1)若a=-3,求集合Ac(43)；

(2)请在①“xeB”是“xeA”的充分条件，②3c(4A)=0,③4uB=A这三个条件中任选一个，补充

在下面问题的横线上，并完成问题解答.

若,求实数a的取值范围.

【答案】(1){Nx>3或x<-6}

(2)。26或aW-4.

【解析】

【分析】(1)直接根据集合的补集以及交集的定义计算即可：

(2)若选①，则可知BqA,列出相应不等式，解得答案；若选②，求出=一l〈xW3},再根据

集合的交集运算，列出相应的不等式，解得答案；若选③，根据集合的并集运算，列出相应的不等式，解

得答案；

【小问1详解】

集合A={x|x>3或集合3={x|a-3<x<a+3},

若a=-3,8={x|-6<x<0},

所以条3={x|xNO或x«-6}

所以Ac48={RX>3或X«-6}.

【小问2详解】

若选①“xeB”是“xeA”充分条件，则BqA,

即{x|a-3cxea+3}q{Rx>3或x<-l},

所以a-323或a+3W-l,

，。之6或aWT；

若选②々A={x|-1WXW3},8c他A)=0

所以"323或a+3W-l

:.a>6^a<-4

若选③，QA\JB=Af:.B(^A

则。+3<—1或〃一323,.\a>6^a<-4.

19.设/(x)=log“x(a>0,且。关1)其图象经过点(昭(1，又g(x)的图象与〃x)的图象关于直线

y=x对称.

(1)若/(X)在区间［6,c［上的值域为网且〃—加=3求C的值;

(2)若g(2〃?)=4,g(”)=25,求2加+〃的值.

【答案】(l)c=e?

(2)In1()()

【解析】

【分析】⑴将点(血，力代入解析式，即可求出/(x)=lnx,根据其单调性得〃=2,则〃c)=2,解出

即可;

⑵根据指数函数与对数函数的关系得g(x)=e*,则有e2"""=100,则2m+〃=lnl00.

【小问1详解】

因为/(x)=log“x(a>Q,且a。1)的图象经过点［五］］，

11

所以一=log.Ve,2-2-

a=e所以a=e,所以/(x)=lnx,

因为/(x)在区间［五,c］上单调递增，则/〃=/(6)=万，

3313

因为〃一根=—,所以〃=加+二=—+二=2,所以f(c)=〃=2,

2222v7

即lnc=2,解得c=e2.

【小问2详解】

g(x)的图象与/(x)的图象关于直线y=x对称，

g(x)=e",若8(2加)=4屈〃)=25,则e2m=4，e"=25，

所以e2"'-e"=e2"""=100，所以2加+〃=In1()0.

20.已知函数/(%)=24"5+1'0>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为5.

⑴求了(力的解析式和单调递增区间；

ITJT

⑵求函数/(X)在区间一不，5上值域.

【答案】(l)/(x)=2sin[2x+g),单调增区间为一去""+高，(左6Z).

⑵[-6,2]

【解析】

【分析】(1)根据正弦型函数的性质得出①的值，结合正弦函数的单调性确定函数f(x)的单调递增区间;

'兀、J37[7T

⑵根据正弦函数的性质得出sin2x+-G―一』,进而得出函数/(%)在区间上的值域.

I[2」L62」

【小问1详解】

因为相邻两条对称轴之间的距离为巴，所以/(x)的最小正周期T=兀，

2

所以7=,丁69>0,则0=2,.二/(犬)=2sin(2x+§),

JiJiTT

又因为当2&万一一<2x+-<2kn+-,%eZ时函数/5)单调递增，

232

57171

即ku---«x«kuH,Z£Z,

1212

5TL7L

所以函数，(x)的单调递增区间为E一五，E+石，(ZeZ)；

【小问2详解】

,、，兀兀，c无0,y,所以sin(2x+扑

⑵当xe时,2x4---G

623

所以函数f(x)在区间—的值域为[一百,2].

21.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含

量达到2079mg的驾驶员即为酒后驾车，8()mg及以上认定为醉酒驾车.假设人在喝一定量的酒后，如

果停止喝酒，血液中的酒精含量会以每小时的比率减少.现有驾驶员甲乙三人喝了一定量的酒后，测试

他们血液中的酒精含量均上升到了Img/mL.(运算过程保留4位小数，参考数据：1g2Ho.3010,

Ig7®0.8451.［仪0.7647

lg3«0.4771.®0.7946)

v5

(1)若驾驶员甲停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降比率为Pi=30%,则驾驶员甲至少要经过多少个小

时才能合法驾驶？(最后结果取整数)

(2)驾驶员乙在停止喝酒5小时后驾车，却被认定为酒后驾车，请你结合(1)的计算，从数学角度给驾驶员乙

简单分析其中的原因，并为乙能够合法驾驶提出合理建议；

(3)驾驶员乙听了你的分析后，在不改变饮酒量的条件下，在停止饮酒后6小时和7小时各测试一次并记录

结果，经过一段时间观察，乙发现自己至少要经过7个小时才能合法驾驶.请你帮乙估算一下：他停止饮

酒后，血液中酒精含量每小时减少比率的取值范围.(最后结果保留两位小数)

【答案】(1)驾驶员甲至少要经过5个小时才能合法驾驶

(2)答案见解析(3)(0.21,0.24]

【解析】

【分析】(1)根据题意得到1x(1-0.3)'<0.2,利用对数运算法则与换底公式运算即可得解；

(2)根据(1)中计算结果，给予驾驶员乙合理的建议即可；

(3)设驾驶员乙停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降比率为根据题意得到关于“2的不等式组，解

之即可.

【小问1详解】

根据题意，驾驶员甲停止喝酒后，经过“、时后，体内的酒精含量为1x(1-0.3)'mg/mL,

只需1x(1—0.3)'<0.2,即07<0.2,所以log0.707>logo.70.2,

lg0.2_lg2-lgl00.3010-1

»4.5126,

可得/>logo70.2=lgO.7-lg7-lglO~0.8451-1

取整数为，=5时，满足题意.

所以驾驶员甲至少要经过5个小时才能合法驾驶.

【小问2详解】

因为驾驶员乙在停止喝酒5小时后驾车，却被认定为酒后驾车，

说明驾驶员乙血液中的酒精含量每小时下降比率比驾驶员甲小，

所以驾驶员乙在停止喝酒5