2023-2024学年江苏省淮安市清江浦区淮阴中学等四校高三（上）期初联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省淮安市清江浦区淮阴中学等四校高三（上）

期初联考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设集合4={m,-l,2},其中m为实数.令B={a3|aea},C=AUB.若。的所有元素和为9,

则C的所有元素之积为（）

A.0B.2C.4D.0或4

2.已知复数z满足|z|=1,且答=：+山，则|a|=（）

A.|B,正C.ID.%

3355

3.设整数nN4,P（Q,b）是平面直角坐标系%Oy中的点,其中a,be{1,2,3,…,n},a>b,

记4九为满足Q—bN3的点P的个数，则/n=（）

A.n-3B.n（n-1）C.n-2D.――93）

4.若△ABC的内角4,B,C满足sin/l=cosB=tanC,贝储与B的关系为（）

A.A-B=B.A+B=C.B-A=^D.A+B=

5.1986年4月26日，乌克兰普里皮亚季邻近的切尔诺贝利核电站发生爆炸，核泄漏导致事故

所在地被严重污染，主要的核污染物为锢-90,它每年的衰减率约为2.5%.专家估计，当锢-90

含量减少至初始含量的约1.6x10-9倍时，可认为该次核泄漏对自然环境的影响已经消除，这

一过程约持续

（参考数据：lg2»0.301,0975”2989）（）

A.400年B.600年C.800年D.1000年

6.已知线段AB是抛物线y2=船的一条弦，且4B中点M在x=1上，则点4横坐标（）

A.有最大值，无最小值B.无最大值，有最小值

C.无最大值，无最小值D.有最大值，有最小值

7.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，

最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（）

A.101-298B.101-297C.100-298D.100•297

8.设9（刀）=缪，/（0）=0,对于x,y羊0,有g（xy）=g（x）+g（y）,则x=0是/。）的（）

A.极大值点B.极小值点C.非极大极小值点D.4BC选项均可能

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

贝4()

A.函•方为定值B.|以i+南|的最大值为3

C.OC■丽的最小值为9+40D.OA■而的最小值为5K

11.有方程x+y+z=2023,试讨论有序数对(x,y,z)解的个数.下列分析正确的是()

A.若x,y,z均为正整数，则(x,y,z)解的个数为废022

B.若，y,z均为非负整数，则®y,z)解的个数为废025

C.若x,y,z均为正整数，且x,y,z两两不等，贝U(x,y,z)解的个数为341044

D.若x,y,z均为正整数且满足xWyWz,则(x,y,z)解的个数为341044

12.设函数八乃=/1(乃=1K，且川GN*都有7n+i(x)=fgx)),则下列判断正确的是

()

A.Vne/VSy=④(x)的图象关于原点对称

B.VneN*,直线y=m(m>0)和y=/；(x)的图象至多只有一个交点

C.BneN*,命题'勺a,beR,满足(a-b)“(a)-土(b)]<0”成立

D.3neNr,使得VyW(0,+8),都有人⑶)+6(y)+…+⑥⑶)>20成立

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.请写出一个同时满足以下三个条件的函数/(x)=.

①/(x)的定义域是R；

②/(x)是偶函数；

③/(x)的值域为[0,1).

14.现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目

都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为.(用数字作

答)

15.将边长为1的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

二(梯形的周长

1则S的最小值是

一梯形的面积

16.设椭圆T：，+，=1缶＞2占)的右焦点为「，过点P(l,l)的直线I与椭圆交于点4,B,

M为48的中点，使得|FM|是|凡4|、|FB|的等比中项，则a的最小整数值为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

如图，在△ABC内任取一点P,直线4P、BP、CP分别与边BC、CA,力B相交于点。、E、F.

(1)试证明：器ABsin乙BAD

ACsinz.DAC

(2)若P为重心，AD=5,BE=4,CF=3,求△ABC的面积.

18.(本小题12.0分)

已知｛an｝是等差数列,a2+a5=16,a5—a3=4.

(I)求｛%｝的通项公式和£鲁就T的

(H)已知｛%｝为等比数列，对于任意k6N*,若2八】则尻＜即＜与+「

①当k＞2时，求证：2上一1(匕＜2上+1；

(ii)求｛%｝的通项公式及其前n项和.

19.(本小题12.0分)

如图，平面4DEF1平面4BCD,四边形ZDEF为矩形，且M为线段EF上的动点，AB//CD,

Z.ABC=90°,AD=2DE,AB=2CD=2BC=2.

(1)当M为线段EF的中点时，

(i)求证：4M_L平面BCM；

(ii)求直线AM与平面MBC所成角的正弦值；

(2)记直线AM与平面MBC所成角为a,平面M4O与平面MBC的夹角为£,是否存在点M使得

a=0?若存在，求出FM；若不存在，说明理由.

E

M

20.(本小题12.0分)

已知双曲线C：x2-y2=1.

(1)求C的右支与直线x=100围成的区域内部(不含边界)整点(横纵坐标均为整数的点)的个

数.

(2)记C的左、右顶点分别为a，A2,过点(—2,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二

象限，直线与N4交于点P，证明：点P在定直线上.

21.(本小题12.0分)

某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老

师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数),

假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息

都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.

(/)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；

(〃)求使P(X=m)取得最大值的整数

22.(本小题12.0分)

设/(x)=ln(x+1)+Vx+1+ax+b(a,b6R,a,b为常数)，曲线y=/(x)与直线y=|x在

(0,0)点相切.

(/)求a,b的值；

(〃)证明：当0<x<2时,/(%)(笺.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：根据集合中元素的互异性，m*一1且加*2.由题意，B={a31a6A}={m3,-l,8).

情况一：若时，即m=0或m=l,

当m=0时，A={0,-1,2},B={0,-1,8},C=AUB={0,-1,2,8},

C的所有元素和为9,符合题意，此时C的所有元素之积为0;

当m=l时，A={1,-1,2},B={1,-1,8},C=2UB=口,-1,2,8},

C的所有元素和为10,不符题意；

情况二：若m3=2时，此时m=虑，

4={短，一1,2},8={2,-1,8},

但C=AUB此时含有唯一的无理数好，不可能元素之和为9,舍去；

情况三：若771于±1,m2,m4遮且znKO时，则4,B中只有唯一重复元素一1,

则C=AIJB=[m,-l,2,m3,8},由题意m-l+2+7n3+8=9,

即nr3+m=0=m(m2+1),此时m=0,矛盾.

综上所述，巾=0时符合题意，此时C的所有元素之积为0.

故选：A.

根据集合中元素的互异性讨论参数的取值，然后得到并集的结果，根据并集中的元素之和求出参

数，然后求元素之积.

本题考查集合元素的互异性与无序性的应用，考查分类讨论思想，属于中档题.

2.【答案】B

【解析】解：令z=cos6+isinBK-1,则z=cos9—isind,—1,

cos6+l+isin0(cosG+l+isinO)22cos2O+2cos0+2sin6(cos0+l')i1..

所以/=-..n=----nn

cos0+l-isinO(cosO+1)2-+--s-in-，26=-------------2~+a2cos®-------------=cos。+isinO=-3+at

则C0Sd=3,故|a|=Vl-cos20=学

sin©=aJ

故选：B.

由题设令2=°”。+15讥。，利用复数除法化简然，再由复数相等求|a|.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由题意Q>b4-3且bG{1,23…川，故QG{4,5,6,…,n},整数九>4,

当b=l,对应a有九一3个；当b=2,对应a有九一4个；・・・・・・；当力=?1-3,对应a有1个；

所以满足a-b>3的点P的个数也当匕到.

故选：D.

由题意a2b+3且be{1,2,3,…,n},则a6{4,5,6,…,n},分析b的不同取值对应a的个数，再应用

等差数列前71项和公式求点P的个数.

本题主要考查简单的合情推理，属中档题.

4.【答案】A

【解析】解：因为s讥4=cosB,且4,B,C为△ABC的内角，

所以sMA=cosB>0,

所以0<B<*

所以A=B+5或4+B=*

若A+B=*则C=*此时tcmC不存在，故舍去，

所以4=1+B,即2-8=今

故选：A.

依题意由sinA=cosB可得4=B+］或A+=|,再分类讨论，即可判断.

本题考查了三角函数的性质在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：设初始量为a,n年后为初始含量的1.6x10-9倍，

71

ax(1-2.5%)=1.6xIO—xa,

“器尸=L6xlO-9,

两边同时取常用对数得，n(lg975-3)=lgl6-10,

n=799.63636«800,

故选：C.

利用题中的条件，建立等式关系，即可解出.

本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：由题意,设A(%i，yi)，B^x2,y2')>

由抛物线范围可知，x>0,

如图1,当点4在原点时横坐标有最小值，为0,

由4B中点M在x=1±,可知号2=1,即

=2-x2f

久i工2,

即如图2,当点B在原点时，点4横坐标有最大值，为2.

故选：D.

由题意，可知当点4在原点时横坐标有最小值0,由于AB中点M在x=1上，从而最大值为2.

本题考查了抛物线的标准方程及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础

题.

7.【答案】A

【解析】解：根据下列数表的规律可以发现，第一行的公差是2。，第二行公差是21,

然后下面每一行的公差依次是22,23…第99行的公差是298,

设第酒亍的第一个数是an,

则Choo=。99+(«99+298)=2a99+298=2(2。98+297)+298=22a98+2-298==299al+

99198=101-298,

即第100行第1个数是101-298.

故选：A.

先发现每一行的公差的规律，然后利用数表的性质进行求解.

本题主要考查了归纳推理，考查了等差数列的性质，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：因为对于工，yHO,有g(xy)=g(x)+g(y)，

可设g(x)=ln|x|,

此时fQ)=优吧》*0,

易知函数/■(%)在定义域内连续且为偶函数，

当xC(-1,0)11(0,1)时，ln|x|<0,

所以/(x)<0=/(0),

则x=0为“乃的极大值点；

可设g(x)=-ln|x|,

此时=(犬吗I"。，

(0,%=0

易知函数f(x)在定义域内连续且为偶函数，

当口6(-1,0)11(0,1)时，ln|x|<0,

所以f(x)>0=/(0),

则x=0为f(x)的极小值点；

当f(X)=0,g(x)=0(%丰0),其满足g(xy)=g[x}+g(y),

所以x=0为/(x)的非极大极小值点.

故选：D.

由题意，根据极值点的定义，结合对数函数的性质，可得答案.

本题考查对数函数的性质以及极值点的定义，考查了逻辑推理和运算能力.

9.【答案】BC

【解析】解:不妨a=1,函数的解析式为：/(x)=|x+l|(x-2),此时函数的图象

当a=-l时，函数的解析式为：/(%)=|x-l|(x+2),此时函数的图象为:

故选：BC.

通过a的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.

本题考查函数的图象的判断，是中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解:由。为锐角，故sin。,coseG(0,1),

对于选项A,OA-OB=-^xsind+工xcos9=2为定值，

即选项4正确；

对于选项B,\OA+OB\=I(4-+sin0)2+(-^-r+cos0)2=1(.}J2+5=I—J—+5.

11\'sin。7Kcos0Jy]'smOcosTy]sin，6

所以|初+而|>3.

当且仅当sin。=cos0=时等号成立，

故|初+方|的最小值为3,

即选项8错误；

对于选项C,元.瓦=言+备=品+共万而sin?。，1-/2。€(0,1),

2

所以(3+-J-^)(sin^+l-sin6)=8(/吸++9221吃一吸=

sinG1—sinzysin/。1—sinz0\sin/。1—sir/。+g

9+4A/-2,

当且仅当sin8=J8--时等号成立,

故瓦•丽的最小值为9+4«，

即选项C正确;

对于选项D,OA,OD=.H---且sin。，cos。G(0,1),

smOcos。'」

则设f(6)=刍+工，ee(0,^),

八'sinOcosO?

-BcosOsin6_(sinO-lcosO^sin26+2sin6cos0+4cos02)

少Q)=高沟+擀=诉蓊

则当0<tan0<2时,尸⑻<0,当tan。>2时,广⑹>0,

即tan。=2,即sin。=cos。=时，^+^^取最小值5，~^.

即选项。正确.

故选:ACD.

由向量数量积、模长的坐标表示写出各项关于。对应的表达式，应用三角恒等变换、基本不等式“1”

的代换判断各项正误.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了均值不等式，属中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：选项A：因x,y,z均为正整数，x+y+z=2023,

则(x,y,z)解的个数相当于把2023个1用两个档板分成3份，分别对应％,y,z,

所以®y,z)解的个数为废022,故4正确；

选项B：由x+y+z=2023得Q+1)+(y+1)+(z+1)=2026,

因x,y,z均为非负整数，所以。+1),(y+1),(z+1)均为正整数，

(x,y,z)与(%+l,y+l,z+1)-----对应，

(x+1)+(y+1)+(z+1)=2026相当于把2026个1用两个档板分成3份，分别对应x+1,y+1,

z+1,

所以(x,y,z)解的个数为废025,故B正确；

C选项：因x，y>z均为正整数，x+y+z=2023,

若x=y=z,则刀=^不满足x为正整数，

故x,y,z至多有两个相等，

若刀=丫42,则2x+z=2023,故x的取值为从1到1011的整数，共1011个，

所以x,y,z有两个相等时Q,y,z)的个数为第x1011=3033个，

故x,y,z两两不等时，(x,y,z)解的个数为现22-3033=2040198个，故C错误；

选项D：若x,y,z均为正整数且满足xSySz,

当刀=丫32时，因x+y+z=2023,

所以z=2023-2x>x,得工〈等，BPx<674,

所以x的取值为从1至U674的整数，共674个，

此时(x,y,z)的个数为674个.

当％<y=z时，因％+y+z=2023,

二匚I”2023-xzg72023日”.乙、人

所以y=-—>x.得xW”一，即xS674,

因y取正整数，所以x的取值为从1到674的奇数，共337个，

此时®y,z)的个数为337个，

当x<y<z时，

2023个1用两个隔板分成3份，将其从小到大，分别对应x,y,z,

有4022：3033=340033,

共有340033+674+337=341044,故。正确.

故选：ABD.

4B可转化为排列组合问题用档板法可得；C选项可先求x,y,z相等时(x,y,z)的解个数，再用排

除法可得；”选项分为由相等和不相等并且x<y<z的不同的类，利用分类加法可得.

本题主要考查了排列组合知识，属于中档题.

12.【答案】AB

X

Ix24-1xY

【解析】解：由题可得力(X)=/G(X))=|X、2=了而重，同理得%。)=/声彳，……，

JE+1

Y

1XGR

由此推得左(X)=J~nx2+1>

所以九(一均=—加。)，则y=《(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，故A对；

当x>0时，左(*)=亡耳，所以Vn6N*,/；(x)在R上单调递增，B对，C错；

VyG(0,+°o)/(y)〈方

故/i(y)+似y)+…+fn(y)</+盍+…+券

当A-1时，W=+<口+^i=2(C-Vfc-i)’

则言+力+…+强<2/'°错，

故选：AB.

Y

由递推关系得到/(久)=］蒜毒，即可得到函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可判断4B、

C,再利用放缩法证明，即可判断D.

本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题.

13.【答案】言(答案不唯一)

【解析】解：同时满足以下三个条件①/(x)的定义域是R；②f(x)是偶函数；③/(x)的值域为［0,1),

则函数f(x)=岛，

故答案为：岛(答案不唯一).

由题意，利用函数的奇偶性、定义域和值域，得出结论.

本题主要考查函数的奇偶性、定义域和值域，属于基础题.

14.【答案】15000

【解析】解：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：

(1)有一个项目有3人参加，共有5!-玛・5!=3600种方案；

(2)有两个项目各有2人参加，共有;(C>程)-5!-C，5!=11400种方案;

所以满足题设要求的方案数为3600+11400=15000.

故答案为：15000

由题设条件可知I,满足条件的方案有两种情形：(1)有一个项目有3人参加；(2)有两个项目各有2人

参加，由此可得结论.

本题考查排列、组合的实际应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

15.【答案】亨

【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x,则梯形的周长为3-x,

梯形的面积为空(1一/),

4'J

，—士—3)

八一捐(1-2)2，

令S'=0,0<x<1,x=

当0<x<g时，S'<0,当称<%<1时，S'>0,

.♦.x=W时，S取极小值，也为最小值，且为咚1

故答案为：竽.

先设剪成的小正三角形的边长为X,用x表示出梯形的周长和面积，从而得到S的解析式，对函数S

进行求导，令导函数等于0求出x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值.

本题考查函数中的建模应用，以及函数的最值求法，考查导数知识的运用，属于中档题.

16.【答案】7

【解析1解：士+/

aL202520

•・•点P(l,l)在该椭圆内，因此过点P(l,l)的直线，与椭圆必有两个交点，

设4(孙力),B(x2,y2),

vM为4B的中点，

|FM|2=1(FX+FB)2=1(FX2+FF2+2FX-FF)

事研网2+2网•网・吟费产

=^\FA\2+\FB\2)-1\AB\2,

即|FM『=^\FA\2+\FB\2)-^\AB\2,

♦.•伊阳是|尸川、尸8|的等比中项，二|?"|2=|兄4|・伊用，

于是有MB『=2(\FA\-\FB\)2,由己知得炉=20,c=Va2-202.

222

•••\FA\=y/(xx—c)+yl=JXj+c-2cxi+Z>(1—a)=a-5xj

同理：\FB\=a-x2,

2

由网2=2(\FA\-\FB\y=(Xi-x2y+(yi-y2)=2氤%2-4)2］，

即(月-丫2)2="(芯2—Xi)七则有a?—4023得a?240.

a的最小整数值为7.

故答案为：7.

根据中点的性质，结合点到直线距离公式、点与椭圆的位置关系、等比中项的性质进行求解即可.

本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查等比数列的性质，利用平面向量加法几何意义，结合

余弦定理得到中项表达式是解题的关键，是中档题.

17.【答案】解：中,则BD=

''s\nz.ADB=s:\nZ詈.BAD网s\nz喘.ADB2,

AC

AACP^=DC则OC='’si。:040

s\nz.ADCs\nz.DACf、sinz.ADC'

又乙4DB+Z.ADC=7T,贝iJsinZJlDB=sin^ADC,

所以筹=警然，得证；

DCACsinz.DAC

(2)由P是重心，则4D,BE,CF为中线，乂AD=5,BE=4,CF=3,

所以4P=与,PD=|,BP=QE=/CP=2,PF=1,

而定+两=2而，则正2+2正.而+而2=4而2,

所以4+等COSNBPC+第=4x鼻可得COS4BPC=0,且NBPC6(0,兀)，所以NBPC=J,

同理对+而=2而，PB+PC=2PD,PC+PA=2两，可得cos/APB=COS^LAPC=-|

所以sinz^4PB=|,sin^APC=

1818314

XX2+X103XX+XX2X-=8

A2~-3-5--103

FC325

【解析】(1)利用正弦定理及角的互补关系即可证2-结论；

(2)由题意40,BE,CF为中线，可得AP=¥，PD=|,BP=|,PE=g,CP=2,PF=1,再由定+

PB=2两两+而=2丙、而+近=2PD,PC+M=2而，求cos/BPC,cos乙4PB,cos乙4PC,

进而求对应正弦值，结合SMBC=SXBPC+S“APB+SAAPC及三角形面积公式求面积.

本题考查了解三角形问题，涉及到平面向量的运算，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)•.•｛0"｝是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4.

他+d+a1+4d=2al+5d=16,日」.o

-'-[a1+4d-a1-2d=2d=4，得d=2,%=3,

则｛即｝的通项公式Qn=3+2(n-1)=2n+l(nGN),

2鲁就i七中的首项为&=2x2nt+l=2n+l,项数为2rl-1-2nt+1=2n-2nt=2x

27i-i_2n_1=271-i，

则X/僦Tat=2n-\2n+1)+x2=2n-1(2n+1)+-1)=2n-\2n+

1+2n-1-1)=2n-1(2n+2"T)=2n-1x3x2n-1=3x4n-1.

(II)(i)2k-1<n<2k-1,•­•2k<2n<2k+1-2,1+2k<2n+1<2k+1-1,

kfc+1

即1+2<an<2-1,

当k>2时，,:bk<an<bk+1.

kfc+1

bk<l+2,且玩+1>2-1,

即瓦>2k-1,

综上2卜-1<瓦<1+2蚱

k

即2k~l<bn<2+1成立.

kk

(ii)v2-l<bk<2+1成立,

「｛%｝为等比数列，.•・设公比为q,

k+1k+1

当k>2时，2-1<bk+1<2+1,"三<,<Wp

<叫<2什1+1

2^-1

工啰+1)-1<bk±1<2(2。)+3,

2k+lbk2k-l

13

即2一西i<q<2+咫,

12

当kt4-oo,2-.J]—>2,24-泰--—2,

・•・q=2,

•・・/cN2时，2"-1<尻V2〃+l,

・・・2"-1<瓦21V2"+1,

即看〈瓦〈裟,

2kl12k1

即2-V瓦V2+^4，

当kt+8，2->2,22,

则瓦=2,

则b=2x2nt=2n,即砂工的通项公式为“=2n,

则｛与｝的其前n项和〃=纯孕=2n+1-2.

【解析】(I)建立方程组求出首项和公差即可求解.

(II)根据数列递推关系，利用极限思想分别求出公比和首项，即可得到结论.

本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式以及求和公式的应用，利用方程组法以及数列的递

推关系进行求解是解决本题的关键，是中档题.

19.【答案】解：(l)(i)由题意，四边形4BCD为直角梯形，且N4BC=90。，AB//CD,

所以/BCD=90。，所以BD=VBC2+CD2=V1+1=V-7>

取4B的中点N,连接DN,则CD〃BN且CD=BN,且4BC。=90。，

故四边形BCDN为矩形，

则DN//BC,且DN=BC,所以4。=7DN?+AN2='1+1=

又由48=2,所以BZ)2+4。2=4^2,所以BD14D,

又平面40ML平面4BC0,平面平面ABC。=AD,BDu平面4BCO,

所以8。1平面40M,

又AMu平面4DM,所以AM_LBD,

因为MD=MA=1,AD=O,^\AM2+DM2=AD2,所以AMJLDM,

^DMC\BD=D,DM、BDu平面BOM,所以4Ml平面BDM.

E

M

(ii)取AD的中点为P,BC的中点为Q,连接MP、PQ、QM,

过P在平面PQM内作PO垂直于MQ,垂足为0,

又平面4DEF_L平面ABCD,平面/WEFfl平面ABCD=AD,AF1AD,

所以力/_L平面ABC。，M为EF的中点，

所以MP〃AF,所以MPJ■平面ZBCD,BCu平面ABCD,所以BC_LPM,

又因为BCJ.PQ,PQCPM=P,PQ、PMu平面PMQ,

所以8cl平面PMQ,POu平面PMQ,

所以P01.BC,MQC\BC=0,MQ,BCu平面BCM,

得PO_L平面8cM,因为MP=C,PQNMPO=g

所以MQ=7MP2+PQ2=I1+j=竽，

延长力。与BC交于点G,则。为AG的中点，G为直线与平面MBC的交点,

设点4到平面MBC的距离为d,直线4M与平面MBC所成的角为0,

Mp。GP3诉I””4e4、，31222<22

则11丁=府=彳'所以d=§rPl°=§Xb=b'

由AM=1,所以，sind=

AM11

(2)假设存在点M,使得a=6，延长AD与8c交于点G,连接MG,

则平面AMDn平面MBC=MG,

设力R1平面MBC,垂足为R,连接MR,乙4MR是直线力M与平面MBC所成的角,

因为CD〃4B且CD=\AB,所以，点。为4G的中点，则力G=2AD=2c,

过点R作RT垂直于MG,垂足为T,

因为4/?_1_平面“8。，MGu平面MBC,所以AR1MG,

又因为RT_LMG,ARClRT=R,AR,R7u平面ART,所以MG1平面ART,因为ATu平面ART,

所以AT_LMG,

乙477?是二面角4-MG-8的平面角，

所以s讥a=器,sin”笫

由a=C，得AM=47,所以M、7重合，由47J.MG,得4MlMG,

设FM=x(0<x<y/-2)>则AM?=%2+1,GM2=-x)2+g,

由勾股定理可得AM?+GM2=AG2,

即/+|+(2。-x)2+j=8,整理可得2/一4<7X+1=0，

解得x=q-?或x=C+苧(舍)，

所以存在点M,当尸”=有a=0成立.

【解析】(1)①利用面面垂直的性质可推导出BD_L平面4DM,可得出利用勾股定理可

得出AM1DM,再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

(")取4。的中点为P,8c的中点为Q,连接MP、PQ、QM,计算出点4到平面M8C的距离以及线

段4M的长，即可得出直线AM与平面MBC所成角的正弦值；

(2)假设存在点M,使得a=0,延长40与8c交于点G,连接MG,根据已知条件得出4/1MR是直线

AM与平面MBC所成的角，乙477?是二面角A-MG-B的平面角，计算出AAMF三边边长，利用勾

股定理求出x的值，

本题考查线面相关计算知识，属于中档题.

20.【答案】解：(1)已知双曲线方程为C：x2-y2=1,

令％=n,2<n<99时,整点时y为(ri—I)2<y2<n2-1<n2,

整点个数为y=2(n-l)+l=2n-l,2<n<99,

则区域内部(不含边界)整点为98(3；197)=9800个；

(2)证明：由⑴知公(—1,0),42(1，0)，

不妨设NQ：2，yG，

易知直线的斜率不为0,

不妨设直线MN的方程为工=my-2,且一lCmVl,

联立｛：2消去工并整理得(—-l)y2-4my+3=0,

此时4=(-4m)2—4(m2—1)x3=4m2+12>0,

由韦达定理得yi+丫2=塞［，%、2=岛>

所以直线的方程为y=含(％+1),直线N&的方程为丫=含(x-D，

Z

y

联立•

\y=

口］徨X+1_丫2(勺+1)_为(-丫1一1)=肛/丫2-31+丫2)+丫1

・1-%(%2-1)一-3)一犯32-3yl

34m.-m,

=mg-R+yi=嬴仔+%=_1

mx否-3%患-3匕3，

解得X=T，

所以Xp=—

故点P在定直线％=上运动.

【解析】(1)由题意％=2开始求整点通项，再应用等差数列求和公式计算即可得；

(2)设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与N&的方程，联立直

线方程，消去y,结合韦达定理计算可得笔=-〈，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P在定

x—13

直线X=—：上.

本题考查双曲线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力.

21.【答案】解：（/）因为事件4“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师

所发信息”是相互独立事件，所以彳与互相互独立，由于p（4）=P（B）=第=£故「（彳）=p（万）=

n

1

n

因此学生甲收到活动信息的概率是1一（1一：）2=生?

（〃）当k=n时，m只能取n,此时有P（X=m）=P（X=n）=1

当k<n时，整数m满足k<m<t,其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、

随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（以产，当X=m时，同时收到两位老师所

发信息的学生人数为2k-巾，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为6-/c,由乘法原理

知：事件｛X=巾｝所包含的基本事件数为以4人机制士•/=C屣胪氏c

rkr2k—mrm—kr2k-mrm-k

《?匹kLk《k

P(x=m)=(^7n

当k<m<t时，P(X=M)<P(X=M+1)=(m—k+I)?工(n-m)(2k-m)<=>m<2/c-

(k+l『

n+2

2

假如k<2fc-竺D-<t成立，则当(k+1)2能被n+2整除时，

n+2