2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)22

课时作业13对应学生用书第233页

电基础巩固

一、单项选择题

1.某工厂第一年产量为4第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长

率为工，则（B）

a-\-ba~\-b

A.x~~2B.xW2

a+ba+b

C.x>^'2

解析：由题意A(1+〃)(1+/?)=A(1+X)2,・・・(l+〃)(l+b)=(l+%)2.

(11+Z?V

又,.,(l+a)(l+/?)q------2--------J，

2+q+Z?a+b

1+xW1

-2-=2

.^a+b

••x2,

2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2,形状为直角三角形的框架，在下列四种长度

的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（C）

A.6.5mB.6.8m

C.7mD.7.2m

解析：设两直角边分别为a,b直角三角形的框架的周长为C,^ab=2,：.ab=4,此时三

角形框架的周长为a+b+^/a2+i>2=a+b+yj（a+b）­—8,a+b^2-\[ab=4,

：.C=a+b+\la2+b2^4+2y[2~6.83.故用7m的铁丝最合适.

3.设计用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m,

则车厢的最大容积是（B）

A.（38-3V73）m3B.16m3

C.4^2m3D.14m3

解析：设长方体车厢的长为xm,高为/zm,则2x+2X2/z+2x/z=32,即X+2/z+x/z=16,

16=x-\~2h+xh2\]2xh+xh,即叵16W0,解得Ov、/百

・・・Ovx/zW8.，车厢的容积为V=2x/zW16（m3）.当且仅当％=2/z且x+2/z+x/z=16,即x=4,

/i=2时等号成立.二・车厢容积的最大值为16m3.故选B.

41

4.设0<x<l,贝归+7^的最小值为（B）

Ix

A.10B.9

C.8D.y

解析：VO<r<l,...l—xX）,7+7^—=[X+（1-X）]*[T+T^-|=4+^—^+T^+1^5+

•X1-x9J■人/Xi-X

2、怦舌1^=5+2X2=9.当且仅当幺宁=六，即x=|时，等号成立.••1+士

的最小值为9.

5.已知实数羽y满足4/+y2—孙=1,且不等式2x+y+c>0恒成立，则c的取值范围是（B）

A.c>2^3B.

C.c>3y/2D.c<2\f2

解析：•.,4x2+y2—孙=1,.,.（2x+y）2=l+5xyWl+w（2x+y）2,当且仅当2x=y时"="成立，

（2x+y）2^^,又\•不等式2x+y+c>0恒成立，c-^^>0,

c金小，c的取值范围是邛百故选B.

二、多项选择题

6.已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析

得出每辆车的营运总收入y（万元）与运营年数x的关系为y=一—+12%—25,则下列判断正

确的是（BC）

A.车辆运营年数越多，收入越高

B.车辆在第6年时，总收入最高

C.车辆在前5年的平均收入最高

D.车辆每年都有收入

解析：由题意可知，y=—xz+12x—25,是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴％=6,

故B正确；^=—x+12—^-=—（x+^j+12^—2^25+12=2,当且仅当x=5时，等号成

立，故C正确；当％=1时，>=一14,故D错误.

7.已知x>0,y>0,且2x+y=l,若、?Wx+2y对任意的x>0,y>0恒成立，则实数机的

可能取值为（ACD）

c17

B-16

C.3D.2

五力工「..八.nvcy)1_mx~\-2y1,2m12

角牛析：.=_+-,即-----

x>0,7^>0,..----------------7----------------------

m—1m—1孙yxm—\min丁工

（2x+y）=5+§+§25+21/号•三=9,当且仅当与=§,即x=y=《时，等号成立，即一匕

yY>4y。Hti

m9—87/2Q

W9,——--9^0<^>——]W0,解得机》[或机<1,选项中满足条件的有ACD.故选ACD.

m-1m—1o

三、填空题

8.为净化水质，向一个游泳池内加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：

20t

mg・L-i）随时间r（单位：h）的变化关系为C=解，则经过2h后池水中该药品的浓度达到最

大.

像用^_JP£__20_

斛析：C-产+-《

t+7

41~4

因为1>0,所以t+产2\丐=4

（当且仅当/=*即/=2时等号成立）.

20204

所以。=—^W1=5,当且仅当/=?,即/=2时，C取得最大值.

t+l

9.若x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y—m20恒成立的实数机的最大值是9.

41

解析：由4x+y=xy,可得一+-=1,又x>0,y>0,

yx

则x+y=（x+y）年+0=5+年+5）三5+2\^^|=9（当且仅当y=2x=6时等号成立），即x

+y的最小值为9,则由x+y—恒成立，可得根W9,则实数机的最大值是9.

10.已知。>0方>0,〃+2。=1,请写出使得铲恒成立的一个充分不必要条件：m<7（卷

案不唯一）.（用含m的式子作答）

解析：由题意可知〃>0,/?>0,

故？+）=弓+£）（。+2。）=4+—+T^4+2A/-*L=8，

ab\abj\）ab\Jab

当且仅当〃=2Z?=m时取等号，

故恒成立的一个充分不必要条件为根<7.

四、解答题

11.某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年.已知

每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为6万元，隔热层的厚度为x

厘米，两者满足关系式：力=三号（0/无W10,左为常数）.若隔热层的厚度为5厘米，则每

年的能源消耗费用为2万元，15年的总维修费用为20万元，记”为15年的总费用.(总费

用=隔热层的建筑成本费用+使用15年的能源消耗费用+15年的总维修费用)

⑴求常数k；

(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用以最小，并求出最小值.

解：(1)依题意，当x=5时，yi—2,

2=]()；5,^~30.

(2)由(1)知竺=X15+20=4x+f婆+20(0WxW10),

”=2(2x+5)1022、,2(2x+10=70,

乙入ID\/乙XiIJ

450

当且仅当2(2x+5)="不p即x=5时，>2取最小值，最小值为70万元.

12.(1)设b,c£R,且〃+Z?+c=0,〃/?c=l.证明：ab-]-bc-\-ca<0.

(2)已知4,b,。为正数，且满足岫?=1.证明：^+^+^tz2+/?2+c2.

22

证明：(1)因为(。+。+。)2=〃2+。2+，+2出?+2秘+240=0,所以ab+bc+ac=—2(^+^+

〃)，

因为abc=\,所以〃，。，c都不为0,贝|J«2+/?2+(?>0,所以〃b+bc+〃c=—3(/+/+。2)<。

(2)因为〃，b,c为正数,a2+b2^2ab,a2+c2^2ac,b2+cz^2bc,

所以tz2+/72+6z2+c2+/?2+c2^2tzZ?+2d;c+2Z?c,所以tz2+Z?2+c2^4z/?+(7c+/7c,

因为abc=1,所以

ab+ac+bc^]_}]_当且仅当°=b=c时取等号，即•1+；+!&2+/+°2.

abcabcabc

13.已知〃>0,b>0,则下列命题错误的是(D)

A.若abWl,贝(+/22

1Q

B.若〃+b=4,贝与+石的最小值为4

C.若次+〃=4,则"的最大值为2

D.若2°+6=1,则4的最大值为华

解析：•••0<加1,.•.黑1,.■1+力一'1191

益22,故A正确；若〃+/?=4,则£+1=4（。+

心+3=筮+羽+lg

10)=4,当且仅当a=l,b=3时等号成立'故B正确；若"+庐=4,则

〃2+匕2

abW一二~=2,当且仅当4=8=也时等号成立，故C正确；若2〃+/?=1,则1=2〃+622镜面,

即次当且仅当〃=时等号成立，故错误.故选

o41DD.

14.已知正数%,y满足2x+y=l,若不等式x2—以孙+丁20恒成立，则实数机的最大值是

4.

Y1V1

解析：Vx>0,y>0,由f一以孙+y20恒成立得根恒成立，即求勺最小值,

又印—+=+7=侏+£)(2x+y)T=工+'+222\/-•^+2=4,

yx2yx2yx