2023年北京中考数学一模试题分类汇编-几何综合 含详解

2023年北京中考数学一模分类汇编一一几何综合

1.(2023•海淀区一模)如图，正方形ABC。中，点E,F分别在BC,C。上，BE=CF,

AE,BF交于点、G.

(1)求N4GF的度数；

(2)在线段4G上截取MG=BG,连接NAG尸的角平分线交。M于点M

①依题意补全图形；

②用等式表示线段MN与N£＞的数量关系，并证明.

备用图

2.(2023•西城区一模)如图，直线AB,CC交于点O,点E是280c平分线的一点，点

M,N分别是射线04,OC上的点，且ME=NE.

(1)求证：NMEN=NAOC；

(2)点F在线段NO上，点G在线段NO延长线上，连接EF,EG,若EF=EG,依题

意补全图形，用等式表示线段NF,OG,之间的数量关系，并证明.

A\M

D

C

'EB

3.(2023•东城区一模)如图，在△ABC中，AB=AC,NBAC=a,点力在BC边上，以

点A为中心，将线段AZ)顺时针旋转a得到线段AE,连接BE.

(1)求证：BA平分/E8C；

(2)连接。E交AB于点尸，过点C作CG〃AB,交的延长线于点G.补全图形，用

等式表示线段EF与。G之间的数量关系，并证明.

4.(2023•朝阳区一模)如图，ZMON=a,点A在CW上，过点A作OM的平行线，与/

MON的平分线交于点8,点C在线段08上(不与点O,B重合)，连接AC,将线段

AC绕点A顺时针旋转180°-a,得到线段AO,连接BZ).

(1)直接写出线段A。与AB之间的数量关系，并证明NMOB=NQ8A；

(2)连接DC并延长，分别交AB,0M于点E,F.若a=60°,用等式表示线段EF

与AC之间的数量关系，并证明.

0AN

5.（2023•丰台区一模）在正方形ABC。中，点。为对角线AC的中点，点E在对角线4c

上，连接E8,点尸在直线AO上（点F与点。不重合），且EF=EB.

（1）如图1,当点E在线段AO上（不与端点重合）时，

①求证：NAFE=/ABE；

②用等式表示线段AB,AE,AF的数量关系并证明；

（2）如图2,当点E在线段OC上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段A3,

6.（2023•石景山区一模）在△ABC中，NACB=90°,C4=CB,点。为射线C4上一点，

过点D作DE//CB且DE=（点E在点。的右侧），射线即交射线BA于点F,点

〃是AF的中点，连接HC,HE.

（1）如图1,当点。在线段CA上时，判断线段“E与HC的数量关系及位置关系；

（2）当点。在线段CA的延长线上时，依题意补全图2.用等式表示线段CB,CD,CH

之间的数量关系，并证明.

图1图2

7.(2023•通州区一模)直线M。是线段AB的垂直平分线，垂足为点。，点C是直线

上一点，连接AC.以AC为斜边作等腰直角△AC。，连接OD

(1)如图1,若CO=AB,求NAO。的度数；

(2)如图2所示，点E是射线MO上一点，且CE=AB,连接。E,延长£>0至点凡

使得OF=OQ，连接AR根据题意补全图2,写出线段QE,AF之间的关系，并证明.

8.(2023•平谷区一模)在△ABC中，BDLAC,E为AB边中点，连接CE,与CE相

交于点F,过E作交BD于点、M,连接CM.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：ZEMF^ZACFi

(3)判断BM、CM、AC的数量关系，并证明.

BC

9.(2023•门头沟区一模)已知正方形4BCD和一动点E,连接CE,将线段CE绕点C顺

时针旋转90°得到线段CF,连接BE,DF.

(1)如图1,当点E在正方形4BC。内部时：

①依题意补全图1;

②求证：BE=DF；

(2)如图2,当点E在正方形A8CQ外部时，连接AF,取AF中点M,连接AE,DM,

10.(2023•房山区一模)如图，正方形ABC。中，点E是边8C上的一点，连接AE,将射

线4E绕点A逆时针旋转90°交CD的延长线于点凡连接EF,取E/中点G,连接。G.

(1)依题意补全图形；用等式表示N4DG与NCDG的数量关系，并证明；

(2)若DG=®DF,用等式表示线段3C与3E的数量关系，并证明.

AB

11.（2023•延庆区一模）如图，在△ABC中，NB4C=90°,AB=AC,AD是8c边上的

高，点E是边AB上的一动点（不与点A,8重合），连接CE交AD于点F.将线段CF

绕点C顺时针旋转90°得到线段CG,连接AG.

（1）如图1,当CE是/4CB的角平分线时，

①求证：AE=AF；

②直接写出/C4G=°.

图1图2

12.（2023•大兴区一模）在△ABC中，AC^BC,/C=90°,点。为射线CB上一动点（不

与B,C重合），连接AO,点E为AB延长线上一点，且£>E=AD,作点E关于射线CB

的对称点F，连接BF,DF.

（1）如图1,当点。在线段CB上时，

①依题意补全图形，求证：NDAB=/DFB；

②用等式表示线段B。，BF,BC之间的数量关系，并证明；

（2）如图2,当点£>在线段C8的延长线上时，请直接用等式表示线段8£>,BF,BC之

间的数量关系.

图1图2E

13.（2023•顺义区一模）已知：如图，ZVIBC中，AC=BC,NACB=90°,点。在AB

边上，点A关于直线C。的对称点为E,射线BE交直线CD于点凡连接AF.

（1）设NAC£>=a,用含a的代数式表示/CBF的大小，并求/CFB的度数；

（2）用等式表示线段4凡CF,8尸之间的数量关系，并证明.

14.（2023•燕山一模）如图，△A8C中，ZACB=90Q,AC=BC,。为边8c上一点（不

与点B,C重合），连接AD,过点C作CE1AD于点E,过点B作BF1CE,交直线

CE于点F.

（1）依题意补全图形；用等式表示线段CE与BF的数量关系，并证明；

（2）点G为AB中点，连接FG,用等式表示线段AE,BF,FG之间的数量关系，并证

明.

C

/

AB

2023年北京中考数学一模分类汇编一一几何综合

参考答案与试卷解析

1.(2023•海淀区一模)如图，正方形A8CD中，点E,F分别在8C,CDk,BE=CF,

AE,BF交于点G.

(1)求NAGF的度数；

(2)在线段AG上截取MG=BG,连接QM,NAGF的角平分线交于点N.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段MN与ND的数量关系，并证明.

备用图

【分析】(1)由“SAS”可证△ABEgZ\BCF,可得由余角的性质可得

结论；

(2)①由题意补全图形；

②由“SAS”可证aABG丝△AOH,可得。H=BG,ZAHD^ZAGB=90°,由“A4S”

可证△MNG四△DV”，可得结论.

【解答】解：(1)；四边形ABCD是正方形，

：.AB=BC,NA8C=NC=90°,

又,：BE=CF,

.".^ABE^/XBCF(SAS),

ZBAE=NCBF,

:NBAE+NAEB=90°,

：.ZCBF+ZAEB^90Q,

：.ZBGE=90°=ZAGF；

(2)①如图所示：

②MN=DN,理由如下：过点A作交硒的延长线于点H,

H

\'AH.LAE9

：.ZEAH=90°=NBAD,

：.NBAE=/DAH,

〈GN平分NAGF,

AZAGN=ZNGF=45°,

・・・NAGN=N4”G=45°,

：.AH=AGf

又・・・A5=A。，

A/\ABG^/\ADH(SAS),

:.DH=BG,ZAHD=ZAGB=90°,

：・NAHN=NDHN=45°,

又,：BG=MG,

:.MG=HD,

又•：/DHN=/AGN=45°,/MNG=/DNH,

：・AMNGW/\DNH(A4S),

；・MN=DN.

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰

直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

2.(2023•西城区一模)如图，直线A8,CO交于点。，点E是NBOC平分线的一点，点

M,N分别是射线04,0C上的点，且ME=NE.

(1)求证：NMEN=NA0C；

(2)点尸在线段N。上，点G在线段N。延长线上，连接EF,EG,若EF=EG,依题

意补全图形，用等式表示线段NF,0G,0M之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)作EPJLOC于点P,EQJL08于点。，则EQ=EP,可证明Rt/\EQM^Rl

△EPN,得NEMQ=NENP,设EM交ON于点I,则NM/N=NEMQ+NA0C=/ENP+

/MEN,所以/MEN=/A0C；

(2)在0尸上取一点R,使RP=OP,可证明R尸=0G,再证明OP=OQ,则RP=OQ,

即可由QM=PN,推导出NF+OG=PN-RP=QM-OQ=OM.

【解答】(1)证明：作EP_LOC于点尸，EQJ_OB于点Q,则NEQW=NEPN=NOQE

=/OPE=90°,

；0E平分NBOC,

：.EQ=EP,

在Rt/\EQM和RtZ\EPN中，

[ME=NE,

1EQ=EP，

.".RtA£(2M^RtA£P7V(HL),

NEMQ=NENP,

设EM交ON于点/,则NMIN=ZEMQ+ZAOC^NENP+NMEN,

：.ZMEN=ZAOC.

(2)解：在线段NO和线段NO的延长线上分别取点F、点G,连接EF、EG,使EF=

EG,

NF+OG=OM,

证明：在。尸上取一点R,使RP=OP,

"：EF=EG,EPLFG,

：.PF=PG,

：.PF-RP=PG-OP,

：.RF=OG,

在RtZ\OEP和RtZ\OEQ中，

rop=op；

IEP=EQ'

.".RtA0£P^RtA0£(2(HL),

：.OP=OQ,

：.RP=OQ,

Rt/\EQM^Rt^EPN,

:.QM=PN,

：.NF+OG=NF+RF=PN-RP=QM-OQ=OM.

【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的“三

线合一”、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需

要的辅助线是解题的关键.

3.(2023•东城区一模)如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,点。在BC边上，以

点A为中心，将线段AD顺时针旋转a得到线段AE,连接BE.

(1)求证：BA平分/E8C；

(2)连接。6交48于点凡过点C作CG〃A8,交ED的延长线于点G.补全图形，用

【分析】(1)由旋转得ND4E=N8AC可得NBAE=/CA£>,然后“SAS”可证△A8E丝

t\ACD,可得结论：

(2)在AC上截取A，=AF,连接£>“,在CG延长线时取点/,使CI=CH,连接。/,

由“SAS”可证△AEF丝△AQH,△HCDQ/\ICD(SAS),可得EF=Z)H,DI=DH,Z

CID=ZCHD,由平行线的性质及等量代换得NC7O=/OG/,D1=DG,即可得结论.

【解答】(1)证明：ZDAE=ZBAC=a,

:"DAE-ZBAD=ZBAC-/BAD,

即/8AE=NC4。，

在AABE和△AC。中，

'AB=AC

-ZBAE=ZCAD«

AE=AD

.♦.△ABEg△AC。(SAS),

ZABE=ZACD,

\'AB=AC,

：.NA8C=ZACD,

：.NA8C=/ABE,

：.BA平分NEBC；

(2)解：EF=DG,

证明：如图，在AC上截取A4=AF,连接在CG延长线时取点/,使C/=C4,连

在△AEF和中，

，AE=AD

<ZBAE=ZCAD>

AF=AH

：./\AEF^/\ADH(SAS),

：.EF=DH,ZAFE=ZAHD,

，/AFD=/CHD,

•:CG//AB,

：.ZAFD=ZDGL

:.ZDGI=ZCHD9

9

：AB=ACf

：.ZABC=NACO,

■:CG//AB,

：.ZABC=/ICD,

：./ACD=/ICD,

在和△/CO中，

'CH=CI

,ZHCD=ZICD，

CD=CD

：./\HCD^/\ICD(SAS),

：.ZCID=ZCHD,DI=DH,

ZDGI=ZCHD,

:・/CID=/DGl,

:.D1=DG,

:・DG=DH,

•:EF=DH,

:.EF=DG.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平

分线的判定等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

4.(2023•朝阳区一模)如图，NMON=a，点A在。N上，过点A作。M的平行线，与/

MCW的平分线交于点8,点C在线段。8上(不与点O,8重合)，连接AC,将线段

AC绕点A顺时针旋转180°-a,得到线段AD,连接8D.

(1)直接写出线段A。与AB之间的数量关系，并证明NMOB=N£>Z?A；

(2)连接DC并延长，分别交AB,OM于点E,F.若a=60°,用等式表示线段EF

与AC之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)结论：A0=A8.证明/NOB=/ABO,可得结论，再证明△AOC四

(SAS),即可解决问题；

(2)结论：EF=-/3AC.在0M上截取OH=BE,连接CH.证明△0”C会△8EO

(SAS),推出CH=£)E,ZOHC=ZBED,

【解答】解：(1)结论：AO=AB.

理由：YOB平分NMON,

:.NMOB=NNOB,

'JOM//AB,

:.NMOB=NABO,

：.ZNOB=ZABO,

：.AO=AB,

由题意，AC=AD,ZOAB=ZCAD,

：.ZCAO^ZDAB,

在△AOC和△ABO中，

ZAO=AB

-Z0AC=ZBAD-

AC=AD

A(SAS),

：.ZCOA^ZDBA,

：.ZMOB=ZDBA；

(2)结论：EF=MAC.

理由：在OM上截取OH=BE,连接C”.

:△OAC四△BAO,

：.OC=BD,ZAOC=AABD,

OB平分/MON,

：.ZOCH=ZAOC=/ABD,

OH=BE,

:•△OHg/\BED(SA5),

:.CH=DE,ZOHC=ZBEDf

*：OM//AB,

:"MFC=4BED,

：.ZMFC=ZOHC,

:・CF=CH,

:・CF=DE,

:.CD=EF,

・.,a=60°,

・・・NC4O=180°-a=120°,

过点A作AK_LQF于点K.

\'AC=AD,

：.ZACK=30°,CK=DK=LCD,

_2

；.CK=^-AC1

AN

【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅

助线，构造全等三角形解决问题.

5.（2023•丰台区一模）在正方形ABC。中，点。为对角线AC的中点，点E在对角线4c

上，连接EB,点尸在直线AO上（点F与点。不重合），且EF=EB.

（1）如图1,当点E在线段4。上（不与端点重合）时，

①求证：NAFE=NABE；

②用等式表示线段AB,AE,AF的数量关系并证明；

（2）如图2,当点E在线段OC上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段AB,

AE,4尸的数量关系.

图1图2

【分析】（1）①由aHL"可证可得由平行线的

性质可得结论；

②由线段的和差关系可求解；

（2）由“HL”可证可得EM=FN,由线段的和差关系可求解.

【解答】（1）①证明：如图1,过点E作A/NLA。于N,交BC于M,

图1

•.•四边形ABCZ）是正方形,

.,.N4BC=/BAO=90°,AB=BC=A£),ZDAC=45°,

'：MN1AD,

二四边形ABMN是矩形，△ANE是等腰直角三角形,

：.AB=MN,AN=BM,AN=NE,AE=MAN,

:.NE=BM,

又・：EF=BE,

：.Rt/\EFN^Rt^BEM(HL),

：・EM=FN,/AFE=NBEM,

•:AB"MN,

：.ZABE=/BEM,

：.NAFE=NABE；

②解：AB=y/2AE+AFf理由如下：

■:AB=MN=NE+EM,

：.AB=NE+AF+NE=2NE+AF=&AE+AF；

(2)解：AB=42AE-AF,理由如下：

如图2,过点上作。于N,交于M,

图2

・・•四边形ABC。是正方形，

AZABC=ZBAD=90°,AB=BC=AD,Z£>AC=45°,

9：MNLAD,

・・.四边形A8MN是矩形，△ANE是等腰直角三角形，

:.AB=MN,AN=BM,AN=NE,AE=®NE,

；・NE=BM,

又〈EF=BE,

：.Rl/\EFN^Rt/\BEMQHL),

:.EM=FN,

•:AB=MN=NE+EM,

：.AB=NE+AN-AF=2NE-AF=&AE-AF.

【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等

腰直角三角形的性质，三角形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质

和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.

6.（2023•石景山区一模）在△ABC中，NACB=90°,C4=CB,点。为射线CA上一点，

过点D作DE//CB且DE=CB（点E在点O的右侧），射线ED交射线于点F,点

”是AF的中点，连接HC,HE.

（1）如图1,当点。在线段C4上时，判断线段HE与"C的数量关系及位置关系；

（2）当点力在线段CA的延长线上时，依题意补全图2.用等式表示线段C8,CD,CH

之间的数量关系，并证明.

图1图2

【分析】（1）连接根据，/ACB=90°,CA=CB,OE〃C8且OE=C8,”是4尸

的中点，证明△ACWg/iDE”，得出再根据DHLAF,得出CHLEH,从而

得出结论：

（2）连接OH,CE,用和（1）相同的方法证明CAH丝△£：£«,再根据在RtZ\C7/E中，

CH2+EH2=CE1,得出2c42=Cf2,在RtZ\COE中，Ca+DE^=C区,得出CJ+CB2：

CE2,从而得出结论.

【解答】解：（1）数量关系：HE=HC；位置关系：HELHC.

理由：如图，连接

；NACB=90°,CA^CB,

，/BAC=/ABC=45°,

:DE〃CB且DE=CB,

ZADE=ZACB=90°,CA=DE,

:点”是AF的中点，

:.DH=AH=FH,

:.NADH=NHDF=45°,

ZBAC=ZHDF,

:.△ACH迫ADEH(SAS),

：.HE=HC,NAHC=NDHE,

又：。

：.NAHD=NCHE=90°,

：.CH±EH,

：.HE=HC,KHELHC；

(2)依题意补全图形，如图：

数量关系：CB2+CD1^2CH2.

理由：连接OH,CE,

"：CA=CB,NACB=90°,

：.ZBAC=ZABC=45°,

\'DE//CB,且DE=CB,

C.CA^DE,ZADF=ZACB=90>>,

是A尸的中点，

：.DH=AH,

：.ZBAC^ZDAH=ZADH=45Q,

：.NCAH=NHDE=45°,

:.△CAgXEDH(SAS),

：.CH=EH,NCHB=NEHD,

:.NCHD=NAHD,

'：ZDAH^ZADH=45°,

AZAHD=90°,

：.ZCHE=90°,

在RdCHE中，Cffi+EH?=CE2,

：.2CH2=C田,

在Rt/XCCE中，CD2+DE2=CE2,

:.CN+CB2=C呼,

:.ca+cbFcii1.

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等，关键是利用等

三角形的判定证明△CA”彩△EDH.

7.(2023•通州区一模)直线M。是线段AB的垂直平分线，垂足为点。，点C是直线

上一点，连接AC以AC为斜边作等腰直角△AC£>,连接OD

(1)如图1,若CO=A8,求的度数；

(2)如图2所示，点E是射线MO上一点，且CE=AB,连接DE,延长DO至点F,

使得。尸=。。，连接AR根据题意补全图2,写出线段OE,AF之间的关系，并证明.

【分析】(1)通过证明点4,点。，点。，点C四点共圆，可得NC4£)=/COD=45°,

即可求解；

(2)由“SAS”可证△AOF四△B。。，可得AF=BD,由“SAS”可证△ABO丝△<?£»,

可得BD=DE,即可求解.

【解答】解：(1)是AB的垂直平分线，

NAOC=NBOC=90°,AO=BO,

•••△AC。是等腰直角三角形，

AZADC=90Q=/AOC,ZCAD=45°,

.•.点4,点0,点。，点C四点共圆，

：.ZCAD=ZCOD=45°,

AZA00=135°；

(2)DE=AF,理由如下：如图2,连接

在△AOF和△BOO中，

fAO=BO

<ZA0F=ZB0D>

OF=OD

.♦.△A。修△BOO(SAS),

J.AF^BD,

：△AC。是等腰直角三角形，

：.ZACD+ZCAD=90°,

AZACO+ZDCO+ZCAD=90°,

又•.,/ACO+NC4O+ND4O=90°,

ZDCO=Z.DAO,

在△A8O和△(?££)中，

'AD=CD

<NDA0=NDC0，

AB=CE

:.△ABDWACED(SAS),

：.BD=DE,

：.AF=DE.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知

识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

8.(2023•平谷区一模)在△ABC中，BDA.AC,E为AB边中点，连接CE,8力与CE相

交于点尸，过E作EMLEF,交于点M,连接CM.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：NEMF=NACF；

(3)判断BM、CM,AC的数量关系，并证明.

【分析】(1)根据要求作出图形即可；

(2)根据等角的余角相等证明即可；

(3)结论：AC2+BM2=MC2.证明CG=CM,在RtZ\AGC中，AC2+AG2^GC2,由此可

得结论.

【解答】(1)解：补全图形如图所示：

：.ZDCF+ZDFC=90a,

；EMLEF,

；.NEMF+NEFM=90°,

■:NEFM=/DFC,

:.NEMF=NDCF；

(3)解：结论：AC2+BM2=MC1.

理由：延长ME到G使EG=EM,连接AG、CG.

在AAGE和中，

，EA=EB

,ZAEG=ZBEM-

EG=EM

.♦.△AGE畛△BME(SAS),

：.BM=AG,BM//AG,

\"BDLAC,：.ZGAC^ZBDA=90Q,

"：CELEM,EM=EG,

垂直平分MG,

：.CG=CM,

在Rtz^AGC中，AC2+AG2=GC2,

:.AC2+BM2=MC1.

【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

9.(2023•门头沟区一模)已知正方形A8C。和一动点E,连接CE,将线段CE绕点C顺

时针旋转90°得到线段CF,连接BE,DF.

(1)如图1,当点E在正方形ABC。内部时：

①依题意补全图1:

②求证：BE=DF；

(2)如图2,当点E在正方形4BCZ)外部时，连接AF,取Af1中点连接AE,DM,

用等式表示线段AE与QM的数量关系，并证明.

【分析】(1)①按题中要求补全图形即可；

②由旋转得CE=CF,NECF=90°,由正方形的性质得CB=CD,NBCD=90°,则

NBCE=NDCF=90°-ZDCE,即可根据全等三角形的判定定理“S45”证明ABCE

名△QCF,贝ijBE=OF；

(2)先证明△BCE也△£>(7F，得BE=DF,/CBE=NCDF,再延长0M到点G,使GM

=OM,连接AG,可证明得AG^DF,NG=NMDF,所以BE=

AG,AG//DF,可推导出ND4G=180°-ZADF=\S00-(360°-90°-NCDF)=

ZCDF-90°,而NABE=/CBE-90°,所以NA8E=NOAG,即可证明

DAG,则AE=£>G=2ZW.

【解答】解：(1)①如图1,将线段CE绕点C顺时针旋转90。得到线段C凡连接BE,

DF.

②证明：由旋转得CE=CF,NECF=90：

:四边形ABCD是正方形，

：.CB=CD,ZBCD=90°,

NBCE=ZDCF=900-NDCE,

在△8CE和△£>(7/中，

'CE=CF

<ZBCE=ZDCF>

CB=CD

:ABCE会ADCF(SAS),

；.BE=DF.

(2)AE^2DM,

证明：如图2,将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段C凡连接BE,DF,取AF

中点M,连接AE,DM,

由旋转得CE=CF,NECF=90°,

,四边形A8CD是正方形，

：.CB=CD=AB=DA,ZBCD=ZABC=ZADC=90°,

：.ZBCE=ZDCF=900-ZDCE,

在△8CE和△£>(7〃中，

'CE=CF

<ZBCE=ZDCF)

CB=CD

:ABCE学ADCF(SAS),

：.BE=DF,NCBE=/CDF,

：.ZCBE-900=NCDF-90°,

延长。例到点G,使GM=DM,连接4G,

是A尸的中点,

：.AM=FM,

在△4GM和△FDW中，

'AM=FM

"ZAHG=ZFMD>

GM=DM

A(SAS),

：.AG=DF,NG=NMDF,

：.BE=AG,AG//DF,

AZDAG=180°-ZADF=180°-(360°-90°-NCDF)=NCDF-90°,

VZABE^ZCBE-90°,

NA8E=ZDAG,

在△A8E和△D4G中，

'AB=DA

,ZABE=ZDAG>

BE=AG

AAABE^ADAG(SAS),

：.AE=DG=2DM.

图1

【点评】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线

的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线并且适当选择全等三角形的判定定理

证明三角形全等是解题的关键.

10.(2023•房山区一模)如图，正方形A8CQ中，点E是边8C上的一点，连接AE,将射

线4E绕点A逆时针旋转90°交CC的延长线于点F,连接EF,取EF中点G,连接。G.

(1)依题意补全图形；用等式表示N4DG与ZCZJG的数量关系，并证明；

(2)若DG=®DF,用等式表示线段BC与BE的数量关系，并证明.

【分析】(1)由旋转的性质可得NE4尸=90°=NBCD,由“SSS”可证

CDG,即可求解；

(2)通过证明△FG-S/\FEC,可得CE=2GH,FC=2FH,由等腰直角三角形的性质

可得。G=&HG=&Z)H,即可求解.

【解答】解：(1)ZADG^ZCDG,理由如下：连接AG,CG,

•・•将射线AE绕点A逆时针旋转90°,

：.ZEAF=90°=NBCD,

•・•点G是E尸的中点，

：.EF=2CG=2AG,

：.GA=GC,

在△AQG和△CQG中，

'AD=CD

<GD=GD，

AG=CG

:./\ADG进/\CDGCSSS)，

・・・ZADG=ZCDG；

(2)BC=3BE,理由如下：过点G作G”_LC。于H,

：.GH//BC,

:•丛FGHs/\FEC,

・GHJGUH

**CE=EF而，

：.CE=2GH,FC=2FH,

,:AADG^ACDG,

/.ZADG=ZCDG=45°,

V/7G1CD,

：.ZCDG=ZDGH=45Q,

:.DH=HG,

:.DG=®HG=®DH,

,:DG=®DF,

:.DF=HG=DH,

：.CH=FH=2DH,

：.CD=3DH=3GH=BC,

：.BE=BC-CE=GH,

：.BC=3BE,

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角

形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

11.(2023•延庆区一模)如图，在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC,AO是BC边上的

高，点E是边AB上的一动点(不与点A,B重合)，连接CE交于点F.将线段CF

绕点C顺时针旋转90°得到线段CG,连接AG.

(1)如图1,当CE是乙4cB的角平分线时，

①求证：AE=AF；

②直接写出/C4G=45°.

(2)依题意补全图2,用等式表示线段AF,AC,AG之间的数量关系，并证明.

图1图2

【分析】(1)①由等腰直角三角形的性质得/ACB=/B=45°,NBAD=NCAD=

45°,再由三角形的外角性质得即可得出结论；

②过点C作CMLAC于点C,交的延长线于点证△ACM是等腰直角三角形，得

NM=45°,CA^CM,再证△MCF也Z\ACG(SAS),即可得出结论；

(2)过点C作CM_L4c于点C,交AD的延长线于点证△ACM是等腰直角三角形，

得NM=45°,CA=CM,再证△MCFg/VICG(SAS),WMF=AG,即

可解决问题.

【解答】(1)①证明：在△ABC中，/BAC=90°,AB=AC,

.•.N4CB=NB=45°,

是BC边上的高，

；./R4O=/CAZ)=kBAC=45°,

2

：.ZB=ZCAD,

；CE是NAC3的角平分线，

NACE=NBCE,

'：NAFE=ZCAD+ZACE,ZAEF=NB+NBCE,

二ZAFE=ZAEF,

：.AE^AF.

②解：如图1,过点C作CM_LAC于点C,交A。的延长线于点M,

图1

则NACM=90°,

\'ZCAD=45°,

△ACM是等腰直角三角形,

：.CA=CM,NM=45°,

VZACM=90°,

AZACF+ZMCF=90°,

由旋转的性质得：ZFCG=90°,CF=CG,

：.ZACF+ZACG=90°.

NMCF=ZACG,

：./\MCF^/\ACG(SAS),

；./CAG=NM=45°,

故答案为：45；

(2)解：依题意补全图2,yj2AC=AF+AG,证明如下:

过点C作CMLAC于点C,交A。的延长线于点M,

则NACM=90°，

'：ZCAD=45°,

△ACM是等腰直角三角形，

；.NM=45°,CA^CM,AM=&AC,

；NACM=90°,

AZACF+ZMCF=90°,

由旋转的性质得：NFCG=90°,CF=CG,

：.ZACF+ZACG=90°.

：.NMCF=ZACG,

.".△MCF^AACG(SAS),

：.MF=AG,

"：AM=AF+MF,

：.AM=AF+AG,

：.42AC=AF+AG.

【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等

腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的外角性质以及直角三角形的

性质等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的判定与性质，正

确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.

12.(2023•大兴区一模)在△4BC中，AC=BC,/C=90°,点。为射线CB上一动点(不

与8,C重合)，连接AO,点E为AB延长线上一点，且。E=4O,作点E关于射线CB

的对称点F,连接BF,DF.

(1)如图1,当点。在线段CB上时，

①依题意补全图形，求证：NDAB=NDFB；

②用等式表示线段8。，BF,BC之间的数量关系，并证明；

(2)如图2,当点。在线段CB的延长线上时，请直接用等式表示线段BD,BF,BC之

间的数量关系.

【分析】(1)①如图1所示，根据等腰三角形的性质得到根据轴对称

的性质得到BF=BE,根据全等三角形的性质得到结论；

②连接EF与射线CB交于H,根据轴对称的性质得到ZDHE=90,FH=EH,

根据全等三角形的性质得到DF=DE,求得NA2C=45°,得到NEBH=NABC=

45°,根据全等三角形的性质得到CD=FH,根据等腰三角形的性质得到根据线段的和

差即可得到结论；

(2)连接EF与射线CB交于H,根据轴对称的性质得到/O”F=NZWE=90,FH=

EH,根据全等三角形的性质得到DF=DE,求得NABC=45°,得到NE8H=NABC=

45°,根据全等三角形的性质得到CD=FH,根据等腰三角形的性质得到根据线段的和

差即可得到结论；

【解答】(1)证明：①如图1所示，

"：DE=AD,

：.NDAB=/ABD,

,/点E与点尸关于射线CB对称,

：.DF=DE,BF=BE,

,:DB=DB,

：./\DFB学4DEB(SSS),

：.NDFB=NDEB,

:.NDAB=4DFB；

②解：BC=BD+理BF；

2

证明：连接后产与射线C8交于“，

•・,点E与点尸关于射线CB对称，

:・/DHF=/DHE=90,FH=EH,

•:ADFBW4DEB,

：.DF=DE9

，AD=DF,

VAC=BC,ZC=90°,

・・・NABC=45°,

:・/EBH=NABC=45°,

：.ZFBH=ZEBH=45°,

AZFDB+ZDFB=ZCAD+ZDAB=45°,

:・/FDH=/CAD,

：./\ACD^/\DHFCAAS),

:.CD=FH,

VZFBW=45°,ZFHB=90°,

・・・△877/是等腰直角三角形，

7

：.BF=y/2fH=y[2CD9

•；BC=BD+CD,

:・BC=BD+叵BF；

2_

(2)解：BC+BD=^SF,

2

理由：•・•点E与点/关于射线C3对称，

・・・NDHF=NDHE=90,FH=EH,

•:△DFB*ZXDEB,

:.DF=DE,

：.AD=DFf

VAC=BC,NC=90°,

，NA8C=45°,

：.ZEBH=ZABC=45°,

・・・NFBH=NEBH=45°,

：.ZFDH-ZDFB=ZCAD-ZDAB=45°.

:・/FDH=NCAD,

：.^ACD^/\DHF(A4S),

:・CD=FH,

VZFBH=45°,NFHB=90°,

・・・△5/7/是等腰直角三角形，

:.BF=®FH=®CD,

・.•BC+BD=CD=FH=亚

【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等

腰直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.

13.（2023•顺义区一模）已知：如图，ZVIBC中，AC=BC,NACB=90°,点。在A3

边上，点A关于直线CQ的对称点为£射线BE交直线8于点凡连接4F.

（1）设NACZ）=a,用含a的代数式表示NCB尸的大小，并求NCF3的度数；

（2）用等式表示线段A凡CF,B/之间的数量关系，并证明.

C

AD、B

E

F

【分析】(1)由轴对称的性质得NACr=NECF=a,AC=CE,再由直角三角形的性质

得NBCE=90°-2a,进而证BC=CE,则NCBF=NCEB=45°+a,即可解决问题；

(2)过点C作MC1CF交FA延长线于点M,证△CFM是等腰直角三角形，得NM=

ZAFC=45°,CM=CF,再证(A4S),得MA=BF,则MF=AF+M4

=AF+BF,然后由等腰直角三角形的性质得即可得出结论.

【解答】解