安徽省淮南市西部地区2023-2024学年九年级上册数学期末统考试题含解析

安徽省淮南市西部地区2023-2024学年九上数学期末统考试题

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，已知，M,N分别为锐角N408的边。4,上的点，ON=6,把△OMN沿MN折叠，点。落在点C处，

MC与OB交于点,P,若MN=MP=5,贝!JPN=（）

士

°A/A

810

A.2B.3C.-D.—

33

2.在0,1,2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为（）

1113

A.—B.—C.——D.一

4624

3.10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（）

1111

A.—B.-C.-D.-

2345

4.下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）

B-A

DO

5.在△A5C中，ZC=90°,AB=12,sinA=-,则BC等于()

3

11

A.-B.4C.36D.—

436

6,若反比例函数的图象经过点(：J,1),则它的图象也一定经过的点是()

X

A.(-3,1)B.(3,-1)C.(1,-3)D.(-1,-3)

7.如图，矩形ABC。中，AC,BD交于息O,M，N分别为BC,OC的中点.若MN=3,AB=6,则/4CB

8.已知二次函数y=—2（x-a『—b的图象如图所示，则反比例函数y=幺与一次函数y=公+人的图象可能是

9.如图,学校的保管室有一架5m长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角为45。如果梯子底端O固定不变，顶端

靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60。,则此保管室的宽度AB为（）

A.|-(V2+1)mB.|-(V2+3)mC.(3+72)mD.■|(G+l)m

10.如图，在AABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且DE〃AB,若SACDE:SABDE=1S3,则SACDE:SAABE=

()

BD

A.1：9B.1：12

C.1：16D.1：20

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.如图，直线y=J叫-1交y轴于点B,交X轴于点C,以BC为边的正方形ABCD的顶点A(-1,a)在双曲线

2k

y=-、(xV0)上，D点在双曲线y=：(x>0)上，则后的值为.

13.如果抛物线y=-x?+(m-1)x+3经过点(2,1),那么m的值为.

k

14.如图，在平面直角坐标系中，点A是函数)=-(x<0)图象上的点，AB±x轴，垂足为B,若△ABO的面积为

15.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：直线”和直线外一点P.

图1

求作：直线。的垂线，使它经过P.

作法：如图2.

（1）在直线。上取一点A,连接Q4;

（2）分别以点A和点P为圆心，大于=的长为半径作弧，两弧相交于3,C两点，连接8C交Q4于点。；

（3）以点。为圆心，DP为半径作圆，交直线。于点E（异于点A）,作直线PE.所以直线PE就是所求作的垂线.

请你写出上述作垂线的依据：.

16.一元二次方程x2=3x的解是：.

17.如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=5,P为CD边上的动点，当AADP与ABCP相似时，DP=_.

18.如图，△ABC和△A，B，C是两个完全重合的直角三角板，NB=30。，斜边长为10cm.三角板A，B，C绕直角顶点C

顺时针旋转，当点A，落在AB边上时，CA，旋转所构成的扇形的弧长为<

三、解答题（共66分）

19.（10分）一元二次方程/+以一3=0的一个根为1,求机的值及方程另一根.

20.（6分）如图,在小山的东侧A处有一一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为30。的方向飞行，半小

时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点8,5分钟后，在。处测得着火点B的俯角是

15°,求热气球升空点A与着火点3的距离.（结果保留根号，参考数据：

sin\5°=------,cosl5°=』+——50=2-6,cot15°=2+G）

44

(1)如图1,在边BC上有一个动点P,在边AC上有一个动点D,满足NAPD=60。，求证：AABP〜APCD

(2)如图2,若点P在射线BC上运动，点D在直线AC上，满足NAPD=120。，当PC=1时，求AD的长

(3)在(2)的条件下，将点D绕点C逆时针旋转120。到点D，，如图3,求AD，AP的面积.

22.(8分)如图，在Rt_ABC中，/ACB=90，_DCE是_ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C,

E在同一直线上.

(1)求旋转角的大小；

⑵若AB=10,AC=8,求BE的长.

23.(8分)某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售.

(1)为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；

(2)经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价

为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？

24.(8分)已知：如图，在四边形A5C。中，AD//BC,NC=90。，AB=AD,连接8D,AELBD,垂足为E.

(1)求证：AABEsADBC；

(2)若4。=25,BC=32,求线段AE的长.

25.(10分)如图，在aABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC,DE±BC,DE与AB相交于点E,EC与AD

相交于点F.

(1)求证：AABC^AFCD；

⑵若SAABC=20,BC=10,求DE的长.

26.(10分)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，

锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表达是：如图，CO为。。的直径，弦垂足为E,CE=1寸,

45=1尺，其中1尺=10寸，求出直径CD的长.

解题过程如下:

连接。4,设。4=/■寸，则OE=r-CE=(r-l)寸.

•.•48,8,48=1尺，，4£=』/18=5寸.

2

在中，OA2^AE2+OE2,即/=5?+(—1)二解得r=13,

CD=2r=26寸.

任务：

(1)上述解题过程运用了定理和定理.

(2)若原题改为已知OE=25寸，AB=1尺，请根据上述解题思路，求直径CD的长.

(3)若继续往下锯，当锯到AE=OE时，弦A3所对圆周角的度数为.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、D

【分析】根据等边对等角，得出NMNP=NMPN,由外角的性质和折叠的性质，进一步证明△CPNS^CNM,通过三

角形相似对应边成比例计算出CP,再次利用相似比即可计算出结果.

【详解】解：,:MN=MP,

：.NMNP=NMPN,

：.ZCPN=ZONM,

由折叠可得，NONM=NCNM,CN=ON=6,

：.NCPN=NCNM,

又,：NC=NC,

:ACPNSMNM,

CPCN

——，即CN2=CPxCM,

~CNCM

，62=CPX(CP+5),

解得：CP=4,

又「,,PN=CP

'NMCN

•PN_4

••一9

56

：.PN=—,

3

故选：D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

2、A

【分析】列举出所有情况，看两位数中是奇数的情况占总情况的多少即可.

【详解】解：在0,1,2三个数中任取两个，组成两位数有：12,10,21,20四个，是奇数只有21,所以组成的两位

数中是奇数的概率为

4

故选A.

【点睛】

数目较少，可用列举法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

3、D

21

【分析】由于10件产品中有2件次品，所以从10件产品中任意抽取1件，抽中次品的概率是一=一.

105

71

【详解】解：P（次品）=历=《.

故选：D.

【点睛】

本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率，根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关

键.

4、A

【解析】分别画出各几何体的主视图和左视图，然后进行判断.

【详解】A、主视图和左视图都为矩形的，所以A选项正确；

B、主视图和左视图都为等腰三角形，所以B选项错误；

C、主视图为矩形，左视图为圆，所以C选项错误；

D、主视图是矩形，左视图为三角形，所以D选项错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等.记

住常见的几何体的三视图.

5、B

【分析】根据正弦的定义列式计算即可.

Be

【详解】解：在△A8C中，NC=90°,sinA=——，

AB

•••B-C-—-19

123

解得BC=4,

故选B.

【点睛】

本题主要考查了三角函数正弦的定义，熟练掌握定义是解题的关键.

6、D

【分析】由反比例函数y='的图象经过点（3,1）,可求反比例函数解析式，把点代入解析式即可求解.

X

【详解】•.•反比例函数y=&的图象经过点（3,1）,

X

：.y=~.

x

把点一一代入，发现只有（-1,-3）符合.

故选。.

【点睛】

本题运用了待定系数法求反比例函数解析式的知识点，然后判断点是否在反比例函数的图象上.

7、A

【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，即可得到答案.

【详解】TM,N分别为8C,0C的中点，

AMN是AOBC的中位线，

/.OB=2MN=2x3=6,

•.•四边形ABC。是矩形，

/.OB=OD=OA=OC=6,即：AC=12,

•；AB=6,

.*.AC=2AB,

VZABC=90",

二ZACS=30°.

故选A.

【点睛】

本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等，是解题的关键.

8、B

【分析】观察二次函数图象，找出。＞0,b＞0,再结合反比例函数、一次函数图象与系数的关系，即可得出结论.

【详解】观察二次函数图象，发现：

抛物线），=—2（x—of-〃的顶点坐标（。,一。）在第四象限，即a＞（）,—/?＜（）,

♦b>0.

ah

•反比例函数y=——中。6>0,

x

，反比例函数图象在第一、三象限；

・••一次函数y=^+。，«>0,b>0,

...一次函数)，=办+人的图象过第一、二、三象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出a>(),

b>Q.解决该题型题目时，熟记各函数图象的性质是解题的关键.

9、A

【分析】根据锐角三角函数分别求出OB和OA,即可求出AB.

【详解】解：如下图所示，OD=OC=5m,ZDOB=60°,ZCOA=45°,

在RtAOBD中，OB=OD•cosZDOB=-m

2

5J?

在RtAOAC中，OA=OC•cosZCOA=^—m

2

5r-

.*.AB=OA+OB=y(V2+1)m

故选：A.

【点睛】

此题考查的是解直角三角形，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.

10、B

【分析】由SACDE:SABDE=1：3得CD：BD=1：3,进而得到CD：BC=1：4,然后根据DE〃AB可得ACDES/\CAB,

S1

利用相似三角形的性质得到w色也=—,然后根据面积和差可求得答案.

3m16

【详解】解：过点H作EH_LBC交BC于点H,

VSACDE:SABDE=1:3,

ACD：BD=1：3,

ACD：BC=1：4,

VDE/7AB,

AACDE^ACBA,

.‘J①.二(C2)2=J_

,,sCBACB16'

SAABC=SACDE+SABI)E+SAABF：＞

/•SACDE：SAZ\BE=1：12,

故选：B.

【点睛】

本题综合考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、6

【分析】先确定出点A的坐标，进而求出AB,再确定出点C的坐标，利用平移即可得出结论.

2

【详解】・・2(-1#)在反比例函数丫二・一上，

x

:.a=2,

・・・A(-1,2),

・・•点B在直线y=kxT上，

.*.AB=Vio,

•四边形ABCD是正方形，

.,.BC=AB=V10，

设B(m,O),

,,,J病+1=V10»

:.m=-3(舍)或m=3,

r.c(3,o),

・•・点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位，

，点D是点A向右平移3个单位，再向上平移1个单位，

.•.点D(2,3),将点D的坐标代入反比例函数y=勺中，

X

Ak=6

故答案为：6.

【点睛】

本题主要考察反比例函数与一次函数的交点问题，解题突破口是确定出点A的坐标.

12、-

3

x2x+y3+25

【解析】根据和比性质，得一-=--=-,

y3y33

故答案为g.

13、2

【分析】把点(2,1)代入y=-x?+(m-1)x+3,即可求出m的值.

【详解】•.•抛物线y=-x?+(m-Dx+3经过点(2,1),

二1=-4+2(m/)+3,解得m=2,故答案为2.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关系式.

14、-6

【解析】根据反比例函数k的几何性质，矩形的性质即可解题.

【详解】解：由反比例函数k的几何性质可知,k表示反比例图像上的点与坐标轴围成的矩形的面积，

•.•△ABO的面积为3,

由矩形的性质可知,点A与坐标轴围成的矩形的面积=6,

•.•图像过第二象限，

k=-6.

【点睛】

本题考查了反比例函数k的几何性质，属于简单题，熟悉性质内容是解题关键.

15、直径所对的圆周角是直角

【分析】由题意知点E在以PA为直径的圆上，根据“直径所对的圆周角是直角”可得NPEA=90°,即PE_L直线a.

【详解】由作图知，点E在以PA为直径的圆上，

所以NPEA=90°,

则PEL直线a,

所以该尺规作图的依据是：直径所对的圆周角是直角，

故答案为：直径所对的圆周角是直角.

【点睛】

本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及其性质和直径所对的圆周角是直角.

16、xi=O,X2=l

【分析】先移项，然后利用因式分解法求解.

【详解】X2=1X

x2-lx=0,

x(x-l)=O,

x=0或x-l=O,

X1=O,X2=l.

故答案为X1=O,X2=l

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0,再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方

程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解

17、1或4或2.1.

【分析】需要分类讨论：AAPDs/iPBC和APADS/^PBC,根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度.

40np

【详解】设DP=x,则CP=Lx,本题需要分两种情况情况进行讨论，①、当APADs/XPBC时，一=—

BCCP

2x

-----，解得：x=2.1；

25-x

Anr)p7Y

②、当AAPDsaPBC时，—=—,即，•=土，

CPBC5-x2

解得：x=l或x=4,

综上所述DP=1或4或2.1

【点晴】

本题主要考查的就是三角形相似的问题和动点问题，首先将各线段用含x的代数式进行表示，然后看是否有相同的角，

根据对应角的两边对应成比例将线段写成比例式的形式，然后分别进行计算得出答案.在解答这种问题的时候千万不

能出现漏解的现象，每种情况都要考虑到位.

5n

18、T

【分析】根据RtAABC中的30。角所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及旋转的

性质推知△AAC是等边三角形，所以根据等边三角形的性质利用弧长公式来求CA，旋转所构成的扇形的弧长.

【详解】解：•.,在RtAABC中，NB=30。，AB=10cm,AAC=-AB=5cm.

2

根据旋转的性质知，A(C=AC,,*.A,C=-AB=5cm.

2

.••点A，是斜边AB的中点，.-.AA,=-AB=5cm.

2

，AA，=A，C=AC,/.ZA,CA=60°.

60XXSS7T

.••CA，旋转所构成的扇形的弧长为：J。=q-(cm).

故答案为：丁.

三、解答题(共66分)

19、m=2,x2=—3

【分析】把x=l代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值；由根与系数的关系来求方程的另

一根.

【详解】解：由题意得：F+lxm-3=0,解得〃2=2,

当"2=2时，方程为丁+21_3=0，解得：玉=1,X2=-3,

方程的另一根”=一3.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系.一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两

边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.

20、98073+980.

【分析】过D作DHJLBA于H,在RtZkDAH中根据三角函数即可求得AH的长，然后在Rt^DBH中，求得BH的

长，进而求得BA的长.

【详解】解：由题意可知AD=(30+5)X28=980,

过D作DH_LBA于H.

n

在RtADAH中，DH=AD・sin60°=980X-=49073,

2

1

AH=ADXcos60°=980X-=490,

2

在RtADBH中，BH=--------=490GX(2+6)=1470+98073,

tan150

/.BA=BH-AH=(1470+980百)-490=980(1+73)(米).

答：热气球升空点A与着火点B的距离为980(1+73)(米).

【点睛】

本题主要考查了仰角和俯角的定义，一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的计算.

21、(1)见解析；(2)Z；(3)递

28

【分析】(1)先利用三角形的内角和得出NBAP+NAPB=120。，再用平角得出NAPB+NCPD=120。，进而得出NBAP

=ZCPD,即可得出结论；

(2)先构造出含30。角的直角三角形，求出PE,再用勾股定理求出PE,进而求出AP,再判断出△ACPs/APD,

得出比例式即可得出结论；

(3)先求出CD,进而得出CD',再构造出直角三角形求出DH,进而得出PG,再求出AM,最后用面积差即可得

出结论.

【详解】解：(1);.△ABC是等边三角形，

.,.ZB=ZC=60°,

在△ABP中，ZB+ZAPB+ZBAP=180°,

.•.ZBAP+ZAPB=120°,

VZAPB+ZCPD=180°-ZAPD=120°,

/.ZBAP=ZCPD,

/.△ABP^APCD；

(2)如图2,过点P作PE_LAC于E,

.".ZAEP=90°,

••.△ABC是等边三角形，

.*.AC=2,ZACB=60°,

・・・NPCE=60。，

在RtACPE中，CP=1,ZCPE=90°-ZPCE=30°,

11

ACE=-CP=-,

22

22

根据勾股定理得，PE=yJcP-CE=—9

2

15

在RtAAPE中，AE=AC+CE=2+-=-,

22

根据勾股定理得，AP2=AE2+PE2=7,

VZACB=60°,

/.ZACP=120°=ZAPD,

VZCAP=ZPAD,

AAACP^AAPD,

APAC

•••_一,

ADAP

_7

/.AD=————；

AC

7

(3)如图3,由(2)知，AD=一，

2

.A

图3D

VAC=2,

3

/.CD=AD-AC=-,

2

3

由旋转知，NDCD'=120。，CD'=CD=-,

2

VZDCP=60°,

...NACD'=NDCP=60°,

过点D'作D，H_LCP于H,

*413

在RtACHD，中，CH=-CD'=-,

24

根据勾股定理得，D，H=J5CH=£I,

4

过点D作D，Gd_AC于G,

VZACD'=ZPCD',

.,.D'G=D，H=上叵(角平分线定理)，

4

1113813A/39A/3

..SACPD^SAACD'+SAPCD^-AC«D'G+-CP»DH'=-x2x*+—xlx'=王，

2224248

过点A作AMJ_BC于M,

VAB=AC,

.*.BM=-BC=1,

2

在RtAABM中，根据勾股定理得，AM=J5BM=百，

SAACP=—CP»AM=—xlx5/3>

222

,q_9有百_5/

••bAD'AP—bHa®ACPD_SAACP------------------------------------♦

828

【点睛】

此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的特点及相似三角形的判定与性质、勾股定理

的应用.

22、(1)90°；(2)1.

【分析】(1)根据题意/ACE即为旋转角，只需求出NACE的度数即可.

(2)根据勾股定理可求出BC,由旋转的性质可知CE=CA=8,从而可求出BE的长度.

【详解】解：(1)是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E在同一直线上，

:.ZACE=90°,即旋转角为90°,

(2)在RtAABC中，

VAB=10,AC=8,

-AC2=6,

VAABC绕着点C旋转得到小DCE,

.♦.CE=CA=8,

.*.BE=BC+CE=6+8=1

23、(1)10%；(2)当定价为90元时，w最大为4500元.

【分析】(1)设该药品平均每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率)，则第一

次降价后的价格是100(1-x)，第二次后的价格是100(1-x)2,据此即可列方程求解：

(2)销售定价为每件机元，每月利润为y元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可.

【详解】解：(1)根据题意得：100(1-x)2=81,

解得:*1=0.1,必=1.9,

经检验*2=1.9不符合题意，

.*.x=0.1=10%,

答：每次降价百分率为10%；

(2)设销售定价为每件，〃元，每月利润为y元，则

y=Cm-60)[100+5X(100-/n)]=-5(m-90)2+4500,

•：a=-5<0,

，当机=90元时，w最大为4500元.

答:(1)下降率为10%；(2)当定价为90元时，w最大为4500元.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方

程.

24、(1)证明见解析；(2)1

【分析】(1)由等腰三角形的性质可知NABD=NADB,由AD〃BC可知，ZADB=ZDBC,由此可得NABD=NDBC,

又因为NAEB=NC=90。，所以可证△ABEs/\DBC；

(2)由等腰三角形的性质可知，BD=2BE,根据AABESADBC,利用相似比求BE,在RSABE中，利用勾股定理

求AE即可.

【详解】(1)证明：：AB=AD=25,

.".ZABD=ZADB,

VAD/7BC,

/.ZADB=ZDBC,

.,.ZABD=ZDBC,

VAE±BD,

.,.ZA