重庆市开州区2023-2024学年九年级上册数学期末达标检测试题含解析

重庆市开州区2023-2024学年九上数学期末达标检测试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，在直线/上有相距7cm的两点A和。（点A在点。的右侧），以。为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直

线AB丄/.将。以2cm/s的速度向右移动（点。始终在直线/上），则。与直线在______秒时相切.

B

A

A.3B.3.5C.3或4D.3或3.5

2.駆是方程+/2%+加=0的一个根，且团。0,则〃2+九的值为（)

__1_

A.-1B.1C.D.

~22

3.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

4.如图，AB为。的直径，。为。。上一点,弦AD平分NA4C,交BC于点E,AB=6,AD=5,则OE的长

为()

B.2.5C.2D.1.8

5.如图，在厶4?。中，点。，瓦厂分别在边AB,AC,上，RDEI/BCEF/IAB,则下列结论不一定成立的是

ADAEBDCE八ADBDABAD

A______.一____O

A.--------------1——---------DC.-D.-

EFEC、~BF~~CFAECEBCBF

6.如图,已知DE/7BC,CD和BE相交于点0,SADOE:SACOB=4：9,贝！JAE：EC为()

7.若一个圆锥的底面积为4万劭2,圆锥的高为4后cm，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（）

A.40°B.80°C.120°D.150°

（

8.如果2x=3y,那么土的值为)

y

2235

A.-B.-C.—D.一

3523

9.如图，矩形纸片ABC。中，48=4,AD=3,折叠纸片使A。边落在对角线8。上，点4落在点4处，折痕为OG,

求AG的长为（）

3

10.如图，在等腰ABC中，=丄AC于点。,cosA=g,贝iJs比NC8D的值（）

11.如图是抛物线.1=以2+瓜+c（a*o）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（l,3）,与x轴的一个交点为8（4,0）,

点A和点8均在直线%=如+〃（根彳°）上•①2a+/?=0；©abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点时（-4,0）；④

方程or?+历c+c=-3有两个不相等的实数根；⑤a—）+（?<4加+”；⑥不等式〃ix+〃>ax?+bx+c的解集为

1<%<4.

上述六个结论中，其中正确的结论是.（填写序号即可）

12.如图，在aABC中，P是AB边上的点，请补充一个条件，使△ACPs^ABC,这个条件可以是：一（写出一个

即可），

13.如图，48为。。的直径，点尸为A8延长线上的一点，过点P作。。的切线PE,切点为过A、B两点分别

作PE的垂线AC、BD,垂足分别为C、D,连接4M,则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

①AM平分NC45；

@AM2=AC»AB；

■jr

③若A5=4,NAPE=30°,则的长为§；

④若AC=3,BD=1,则有CM=OM=百.

4

14.双曲线必、力在第一象限的图像如图，x=一，过X上的任意一点A，作X轴的平行线交力于8,交y轴于C,

X

若=1,则%的解析式是.

3

15.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=1,则

DE=

16.一只不透明的袋子中装有红球和白球共3()个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀

后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是20%,则袋中有.

17.如图，在二。中，弦A5=4,点C在AB上移动，连结OC,过点。作CD丄OC交一。于点O,则。。的最

大值为

18.如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则tanNA6C=.

三、解答题(共66分)

19.(10分)(1)x2+2x-3=0

(2)(x-1)(x-1)

20.(6分)如图，已知二次函数》=必-4*+3图象与x轴分别交于点8、D,与y轴交于点C,顶点为A,分别连接

AB,BC,CD,DA.

(1)求四边形A5C。的面积;

21.(6分)如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(-2,-1),且尸(-1,-2)为双曲线上的一

点，。为坐标平面上一动点，丛垂直于x轴，垂直于y轴，垂足分别是A、B.

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；

(2)当点。在直线上运动时，直线M0上是否存在这样的点Q,使得A08。与AOA尸面积相等？如果存在，请

求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

(3)如图2,当点。在第一象限中的双曲线上运动时，作以0P、0。为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ

周长的最小值.

22.(8分)如图①，在等腰AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,且NBAC=NDAE=120。.

(1)求证：AABD^AACE；

(2)把AADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接

MN、PN、PM,判断APMN的形状，并说明理由；

(3)在(2)中，把AADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=6,请分别求出APMN周长的最小值与最大值.

图①图②

23.(8分)已知实数。满足〃+。=0,求」一—炉+的值.

。+1ct~-1—2。+1

24.(8分)一次函数产处x+b和反比例函数y=厶的图象相交于点P(/n-1,n+1),点Q(0,a)在函数产加+白的

x

图象上，且小，〃是关于x的方程如2-(3a+l)X+2(a+1)=0的两个不相等的整数根(其中a为整数)，求一次函数

和反比例函数的解析式.

25.(10分)如图，在中，点E是边AO上一点，延长CE到点F，使NFBC=NDCE,且产8与40相交于点

G.

(1)求证：NO=NF；

(2)用直尺和圆规在边上作出一点P,使△BPCs/iCDP,并加以证明.(作图要求：保留痕迹，不写作法.)

26.(10分)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标

为(0,3).

(1)求出b,c的值，并写出此二次函数的解析式；

(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、C

【分析】根据。与直线AB的相对位置分类讨论：当。在直线AB左侧并与直线AB相切时，根据题意，先计算O

运动的路程，从而求出运动时间；当。在直线AB右侧并与直线AB相切时，原理同上.

【详解】解：当在直线AB左侧并与直线AB相切时，如图所示。

的半径为1cm,AO=7cm

/.。运动的路程。。1=AO—A。1=6cm

•••。以2cm/s的速度向右移动

,此时的运动时间为：。。1+2=3s；

当。在直线AB右侧并与直线AB相切时，如图所示。2

V02的半径为1cm,AO=7cm

二O运动的路程。。2=AO+AO2=8cm

V。以2cm/s的速度向右移动

二此时的运动时间为：OQ+2=4S；

综上所述：。与直线A3在3或4秒时相切

故选：C.

【点睛】

此题考査的是直线与圆的位置关系：相切和动圆问题，掌握相切的定义和行程问题公式：时间=路程+速度是解决此题

的关键.

2、A

【解析】将m代入关于x的一元二次方程x2+nx+m=0,通过解该方程即可求得m+n的值.

【详解】解：•••m是关于x的一元二次方程x2+nx+m=O的根，

/.m2+nm+m=O,

m(m+n+1)=0；

又,.,mWO,

m+n+l=O,

解得m+n=-l；

故选：A.

【点睛】

本题考査了一元二次方程的解的定义.一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的解一定满足该一元二次方程的关系式.

3、C

【分析】根据三角形的中位线定理，得新四边形各边都等于原四边形的对角线的一半，进而可得连接对角线相等的四

边形各边中点得到的四边形是菱形.

【详解】解：如图，矩形A8CD中，

/.AC=BD,

E,E,G,〃分别为四边的中点，

EF//BD,EF=-BD,GH//BD,GH=-BD,FG=-AC,

222

：.EF//GH,EF=GH,

四边形ABC。是平行四边形，

AC=BD,EF=-BD,FG=-AC,

22

EF=FG,

四边形EFG”是菱形.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定，以及三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线定理及菱形的判定.

4、A

【分析】连接BD、CD,由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABDs^BED,得出”=%，可解得DE的长.

DBAD

【详解】连接BD、CD,如图所示:

：AB为（DO的直径，

/.ZADB=90",

：•BD=AB1-AD1=依-52=Vil，

•.•弦AD平分NBAC,

.*.CD=BD=VTT，

/.ZCBD=ZDAB,

在4ABD和ABED中，

ZBAD=ZEBD,NADB=NBDE,

/.△ABD^ABED,

2

.DE_DBdb.（vn）H

,•r>R~An'卩DE=-----=-———=—'

DBADAD55

解得DE=1.1.

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABDsaBED.

5、B

【分析】根据相似三角形平行线分线段成比例的性质，分别判定即可.

（详解】DE//BC,EFHAB

A£）AE

，NA=NCEF,ZADE=ZABC,NCFE=NABC,——=—

BDCE

：.ZADE=ZCFE,—=—,C选项正确;

AECE

/.△ADE^AEFC

AnAF

，笠=及，A选项正确;

EFEC

pADAEBF

•AB-AC-BC

ABAD3y-五

••—————>D选项正确

BCBF

..ADAEBF

'~BD~~CE~~CF

.BDCE

..——=——不成立

BFCF

故答案为B.

【点睛】

此题主要考查相似三角形平行线分线段成比例的运用，熟练掌握，即可解题.

6、A

【解析】试题解析：•••EZ)〃5C,

DOEs二COB,_AED^一ACB.

DOEs_COB,SIX)F:SBOC=4:9,

:.ED:BC—2:3.

；AAE*二ACB,

：.ED:BC=AE:AC.

ED:BC=2:3;'1EDBC=AEAC,

AE:AC=2:3,AE:EC=2:1.

故选A.

点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.

7、C

【分析】根据圆锥底面积求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得母线长，根据圆锥的母线长等于展开图扇形的

半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数.

【详解】解：•••圆锥的底面积为4;rcm2,

...圆锥的底面半径为2cm,

二底面周长为4”，

圆锥的高为4行cm,

:,由勾股定理得圆锥的母线长为6cm,

设侧面展开图的圆心角是n。，

根据题意得：豐=4北，

180

解得：n=l.

故选：C.

【点睛】

本题考査了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长

是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

8、C

【分析】由已知条件2x=3y,根据比例的性质，即可求得答案.

【详解】解：..2=3丫，

.13

・・一=—.

y2

故选c.

【点睛】

本题考查比例的性质，本题考查比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质.

9,A

【分析】由在矩形纸片中，AB=4,AD=3,可求得80的长，由折叠的性质，即可求得A超的长，然后设AG=x,

由勾股定理即可得：X2+22=（4-X）\解此方程即可求得答案.

【详解】解：•••四边形是矩形，

:.ZA=90°,

JBD=丿心+厶庁=5,

由折叠的性质，可得：AfD=AD=3A,G=AG,ZDA!G=90°,

AAfB=BD-A'。=5-3=2,

设AG=x,

贝！|A，G=x,BG=AB-AG=4-x,

在RtAA'BG中，由勾股定理得：AG?+A'B2=BG2,

22

.-.X+4=（4-X）,

3

解得：%=-,

2

:.AG=—.

2

故选：A.

【点睛】

考査折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

10、D

332

【分析】先由cosA=g,易得=由A5=AC可得=进而用勾股定理分别将BD、BC长用

AB表示出来，再根据sinNC3Q=jCD即可求解.

BC

3

【详解】解：・・・80丄AC,cavA=-,

3

・•・AD=-AB9

5

:.BD=JAB2_（|回=^AB,

又•••AB=AC,

2

/.CD=AB-AD=-AB,

在Rj£）5c中，BC=y/BD2+CD）==^-AB,

-ABR

：,sinZCBD=3-=—,

幣AB5

5

故选：D

【点睛】

本题主要考査了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义.此题难度适中，注意掌握辅助线

的作法，注意数形结合思想的应用.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11,

【分析】①由对称轴x=l判断；②根据图象确定a、b、c的符号；③根据对称轴以及B点坐标，通过对称性得出结果;

③根据以2+厶+°=一3的判别式的符号确定；④比较x=l时得出力的值与x=4时得出yz值的大小即可；⑤由图象得

出，抛物线总在直线的下面，即y2>yi时x的取值范围即可.

b

【详解】解：①因为抛物线的顶点坐标A（1,3）,所以对称轴为：x=l,则--=1,2a+b=0,故①正确；

2a

②：抛物线开口向下，，aV0,对称轴在y轴右侧，...b〉。，:•抛物线与y轴交于正半轴，，c>0,...abcVO,故

②不正确；

③抛物线对称轴为x=l,抛物线与x轴的交点B的坐标为（4,0）,.•.根据对称性可得，抛物线与x轴的另一个交点坐

标为（-2,0）,故③不正确；

④：抛物线与x轴有两个交点，."24«:>0,ar2+区+c=-3的判别式，J=b2-4a(c+3)=b2-4ac-12a,Xa<0,

.,.-12a>0,Ad=b2-4ac-12a>0,故④正确：

⑤当x=-l时，y尸a-b+c>0;当x=4时，y2=4m+n=0,.\a-b+c>4m+n,故⑤不正确；

⑥由图象得：〃优+〃>奴2+Z?x+c的解集为xVl或x>4；故⑥不正确；

则其中正确的有：①④.

故答案为：①④.

【点睛】

本题选项较多，比较容易出错，因此要认真理解题意，明确以下几点是关键：①通常2a+b的值都是利用抛物线的对称

轴来确定；②抛物线与x轴的交点个数确定其△的值，即b2-4ac的值：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4acV0时，抛物线与x轴没有交点；③知道对称轴和抛物线的一个

交点，利用对称性可以求与x轴的另一交点.

—APAC,

12、NACP=NB（或一=—）.

ACAB

【分析】由于4ACP与AABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有

两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件.

【详解】解：•.•NPAC=NCAB,

.•.当NACP=NB时，AACP^AABC；

APAC

当——=——时，AACP^AABC.

ACAB

ApAT

故答案为：ZACP=ZB（或匸==）.

ACAB

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三

角形相似.

13、CD®®

【解析】连接OM,由切线的性质可得OM丄PC,继而得OM〃AC,再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得

ZCAM=ZOAM,由此可判断①;通过证明△ACMsaAMB,根据相似三角形的对应边成比例可判断②;求出NMOP

=60°,利用弧长公式求得8M的长可判断③；由BD丄PC,AC丄PC,OM丄PC,可得BD〃AC〃OM,继而可得

PB=OB=AO,PD=DM=CM,进而有OM=2BD=2,在R3PBD中，PB=BO=OM=2,利用勾股定理求出PD的长，

可得CM=DM=DP=G，由此可判断④.

【详解】连接OM,

E

AOM±PC,

•••AC丄PC,

，OM〃AC,

AZCAM=ZAMO,

VOA=OM,

ZOAM=ZAMO,

AZCAM=ZOAM,即AM平分NCAB,故①正确;

〈AB为。。的直径，

AZAMB=90°,

VZCAM=ZMAB,ZACM=ZAMB,

AAACM^AAMB,

.ACAM

**AM-AB*

AAM12=3AC*AB,故②正确；

VZAPE=30°,

:.ZMOP=ZOMP-ZAPE=90°-30°=60°,

VAB=4,

AOB=2,

.••BM的长为黑詈=弓兀，故③错误；

1o()3

VBD±PC,AC±PC,OM±PC,

ABD#AC//OM,

/.APBD^APAC,

PBBD1

••.—__―,

PAAC3

1

APB="PA,

3

XVAO=BO,AO+BO=AB,AB+PB=PA,

/.PB=OB=AO,

XVBD/7AC//OM,

.,.PD=DM=CM,

；.OM=2BD=2,

在RtZ\PBD中，PB=BO=OM=2

APD=VPB2-BD2=V3,

，CM=DM=DP=g,故④正确,

故答案为①@④.

【点睛】

本题考査了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，综合性较强，正确添加

辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

6

14、%=一

x

4

【分析】根据y尸一，过屮上的任意一点A,得出ACAO的面积为2,进而得出ACBO面积为3,即可得出yz的解析

x

式.

4

【详解】解：・・・y尸—，过yi上的任意一点A,作X轴的平行线交y2于B,交y轴于C,

X

=

：・SAAOC-x4=2,

2

=

•SAAOB19

AACBO面积为3,

:.k=xy=6,

，y2的解析式是：丫2=纟.

X

故答案为yz=9.

X

15

、

15~4

3

【详解】•・•在RtAABC中，BC=6,sinA=-

AAB=10

AC—A/102—62=8•

：D是AB的中点，.\AD=-AB=1.

2

VZC=ZEDA=90",ZA=ZA

/.AADE^>AACB,

.DEAD

**BC-AC

nnDE5

68

解得：DE=?

4

16、1

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方

程求解.

【详解】设袋中有x个红球.

X

由题意可得：—X100%=20%,

30

解得：x=6,

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考査了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球的频率

得到相应的等量关系.

17、2

【分析】连接OD,根据勾股定理求出CD,利用垂线段最短得到当OC丄AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可;

【详解】如图，连接OD,

VCD1OC,

.,.ZDCO=90o,

：•CD=Jo£)2_002=弁_OC2,

当OC的值最小时，CD的值最大，OC丄AB时，OC最小，此时D、B两点重合，

.*.CD=CB=-AB=2,即CD的最大值为2；

2

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键.

1

18^—

2

【分析】连接AC,根据网格特点和正方形的性质得到NBAC=90°,根据勾股定理求出AC、AB,根据正切的定义

计算即可.

【详解】连接AC,

由网格特点和正方形的性质可知，ZBAC=90°,

根据勾股定理得，AC=后，AB=2行，

巾AC1

则tanZABC=——=一，

AB2

故答案为：—.

2

【点睛】

本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦

为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

三、解答题(共66分)

19^(1)x=-3或x=l;(2)x=l或x=4.

【分析】(1)用因式分解法求解即可；

(2)先移项，再用因式分解法求解即可.

【详解】解：(1)Vx2+2x-3=0,

A(x+3)(x-1)=0,

.*.x=-3或x=l；

(2)V(x-l)2=3(x-1),

A(x-l)[(x-1)-3]=0,

/.(x-l)(x-4)=0,

/.x=l或x=4；

【点睛】

本题考査了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的

方法是解答本题的关键.

20、(1)4；(2)x>3或xVl.

【分析】(1)四边形A5CD的面积=丄X8OX(XC-XA)=-X2X(3+1)=4；

22

(2)从图象可以看出，当y>0时，自变量x的取值范围是：x>3或xVl,即可求解.

【详解】(1)函数>=产-4》+3图象与x轴分别交于点5、D,与y轴交于点C,顶点为4,

则点B、D、C、A的坐标分别为：(3,0)、(1,0)、(0,3)、(2,-1)；

四边形A8CQ的面积=丄X5ZJX(xc-xt)=-X2X(3+1)=4；

22

(2)从图象可以看出，当y>0时，自变量x的取值范围是：x>3或xVl,

故答案为：x>3或x<l.

【点睛】

本题考查二次函数的图形和性质，解题时需注意将四边形的面积转化为三角形的面积进行计算，四边形ABC。的面积

=-XBDX(XC-XA).

2

[2

21、(1)y=—；(2)存在，0(2,1)和0(-2,-1)；(3)275+1

2x

【分析】(1)正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(-2,-1),待定系数法可求它们解析式；

(2)由点Q在上，设出Q点坐标，蓑示AOBQ,由反比例函数图象性质，可知AOAP面积为1,则根据面积

相等可构造方程，问题可解；

(3)因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ,OQ=PC,而点P(-1,-2)是定点，所以0P的长也是定长，所以要

求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求0Q的最小值.

【详解】解：(1)设正比例函数解析式为

将点M(-2,-1)坐标代入得A=g,所以正比例函数解析式为y=gx,

同样可得，反比例函数解析式为y=2；

X

(2)当点。在直线OM上运动时，

设点。的坐标为。(，〃，

于是S^OBQ—JOB*BQ=；xJ/nx?n=:m2,

而S^OAP—\—(-1)x(-2)|=1,

所以有，丄­=1,解得机=±2,

4

所以点。的坐标为0(2,1)和0(-2,-1)；

(3)因为四边形。PCQ是平行四边形，所以。P=C。，OQ=PC,

而点尸(-1,-2)是定点，所以。尸的长也是定长,

所以要求平行四边形OPC。周长的最小值就只需求的最小值，

2

因为点。在第一象限中双曲线上，所以可设点。的坐标为。(〃，一),

n

42

由勾股定理可得0。="2+==(〃--)2+1,

n~n

22

所以当(/I-----)2=0即"----=0时，0。有最小值1,

nn

又因为0。为正值，所以。。与0Q2同时取得最小值,

所以。。有最小值2,由勾股定理得0尸=后,

所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2(OP+OQ)=2(75+2)=2亚+1.

(或因为反比例函数是关于y=x对称，所以当。在反比例函数时候，。。最短的时候，就是反比例与y=x的交点时

候，联立方程组即可得到点。坐标)

【点睛】

此题考查一次函数反比例函数的图象和性质，解答关键是运用数形结合思想解决问题.

22、(1)证明见解析；(2)APMN是等边三角形.理由见解析；(3)APMN周长的最小值为3,最大值为1.

【解析】分析：(1)由NBAC=NDAE=120°,可得NBAD=NCAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即可判定

△ABD^AADE；(2)△PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得

PM=-CE,PM〃CE,PN=-BD,PN〃BD,同(1)的方法可得BD=CE,即可得PM=PN,所以APMN是等腰三

22

角形；再由PM〃CE,PN//BD,根据平行线的性质可得NDPM=NDCE,ZPNC=ZDBC,因为

ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,所以

ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC

=NACB+NABC,再由NBAC=120。，可得NACB+NABC=60。，即可得NMPN=60。，所以APMN是等边三角

形；(3)由(2)知，APMN是等边三角形，PM=PN=：BD,所以当PM最大时，APMN周长最大，当点D在AB

上时，BD最小，PM最小，求得此时BD的长，即可得APMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最大，

PM的值最大，此时求得厶PMN周长的最大值即可.

详解：

(1)因为NBAC=NDAE=120。，

所以NBAD=NCAE,又AB=AC,AD=AE,

所以AABD^AADE；

(2)△PMN是等边三角形.

理由：♦.,点P,M分别是CD,DE的中点，

.,.PM=-CE,PM/7CE,

2

••,点N,M分别是BC,DE的中点，

/.PN=-BD,PN〃BD,

2

同(1)的方法可得BD=CE,

，PM=PN,

/.△PMN是等腰三角形，

VPM/7CE,/.ZDPM=ZDCE,

VPN77BD,,,.ZPNC=ZDBC,

,:ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,

.•.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC

=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

VZBAC=120°,.,.ZACB+ZABC=60°,

二ZMPN=60°,

/.△PMN是等边三角形.

(3)由⑵知，APMN是等边三角形，PM=PN=^BD,

，PM最大时，APMN周长最大，

.•.点D在AB上时，BD最小，PM最小，

.,.BD=AB-AD=2,/kPiVIN周长的最小值为3；

点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，

，BD=AB+AD=10,/kPiyiN周长的最大值为1.

故答案为厶PMN周长的最小值为3,最大值为1

点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定，解决第(3)问，要明确

点D在AB上时，BD最小，PM最小，APMN周长的最小；点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，△PMN

周长的最大值为1.

2

23、TT,2.

(a+1)

【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后解一元二次方程〃+。=0求出a的值，把能使分式有意义

的值代入化简的结果计算即可.

【详解】解：原式=」一一(“了1

a+1(<2+l)(a-l)(Q+1)(Q+2)

1a—1

~a+\(«+l)*2

Q+1-〃+1

(。+1『

2

■:/+Q=0，

，a(a+l)=O,

:.4=0,a?~—1，

•.,Q+INO,a。—1,

，当。=0时，原式=2.

【点睛】

本题