2023-2024学年江苏省镇江市高一年级下册期中际联考数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省镇江市高一下册期中际联考数学试题

一、单选题

1.已知点A点3)1(4,T),则与他同向的单位向量为()

3_44_33443

A.，-B.，-c.D.

55555555,5

【正确答案】A

【分析】先求出A8,然后直接除以模长即可.

■।I~AB34

【详解】48=(3,-4),,耳=小2+(-4)-=5,故与与4B同向的单位向量为.网

55-5

故选：A

21

2.已知sincr-cos/7=-§,cosa+sin/=§,则sin(a-0的值为()

A-4c-iD-

【正确答案】D

【分析】分别对已知两个等式两边平方相加，化简后利用两角差的正弦公式可求得结果.

、21

【详解】因为sina-cos/?=--,coscr+sin^=-,

所以(sina-cos〃y=《,(cosa+siny?)2=g,

4j

所以sin2a-2sinacos£+cos2/?=—,cos2a+2cosasin+sin2f3=-,

所以sin2a-2sinacosp+cos2(3+cos2a+2cosasin/?+sin2尸=看,

所以2-2sinacos£+2cosasin=~

2-2(sinacosp-cosasin=

513

所以2_2sin(a_〃)=],解得sin(a_£)=/

故选：D

3.在一ABC中，。为4分别是内角A,3,C所对的边，若〃=逐的=巫,4=30,则边c=()

A.加B.25/5C.2石或厉D.石或2石

【正确答案】D

【分析】先根据正弦定理算出8,从而得到C,继续用正弦定理求c.

,>/5_715冋

【详解】依题意，由正弦定理：/一=亠得下=而后,解得4118=叱，故8=120或

sinAsinB2

8=60,经检验均符合题意.

C_y/5

当B=60时，则C=90,由正弦定理，-77=^^7得？=丁，解得c=2石;

smCsmA—

当8=120时，则C=30=A,此时“MC为等腰三角形满足c=a=君.

综上，c=6或2右.

故选：D

Esin20…上口/

4.已知tan。=3,川1+sin26+cos26的值疋)

3

A-BC.D

.3-I4-T

【正确答案】C

sin0cos0

【分析】由二倍角的正弦、余弦公式化简可得分子分母同时除以COS20,

sin^cos0+cos120'

代入即可得出答案.

sin262sin6cos6

【详解】

1+sin20+cos20l+2sin0cos^+2cos2^-1

2sin<9costan。3

2sin6cos6+2cos2。tan^+14

故选：C.

，()

5.已知w=iw=百,。+8=6,1,则〃+〃与的夹角是()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【正确答案】C

【分析】根据已知求得|“+b|=2,平方可得a/=0,继而求出"=2,根据向量的夹角

公式即可求得答案.

【详解】由4+。=(6,1)可得|4+勿=小(6)2+12=2,

贝力”+加2=4".了+2«山+『=4，即得1+2〃/+3=4,故〃为=0，

则la-bl、/一方心+沢=4,.]〃一加=2,

故8s〈“+上。-力=3+办（"-6）==三=-丄,

\a+b\\a-b\\a+b^a-b\2x22

由于0。4（a+6,a-力4180。，故〈a+b,a-6〉=120。，

故选：C.

6.在中，。厶c分别是内角A8,C所对的边，且满足%C=*,2bcosA=c,则

ac

一43c的形状是（）

A.等腰直角三角形B.等腰钝角三角形

C.等边三角形D.以上结论均不正确

【正确答案】C

【分析】利用余弦定理化简已知条件，由此确定正确答案.

【详解】由于力cosA=c>0,所以A为锐角，

,222

由余弦定理得2bX"+C-—=cb2=a2a=bt则B为锐角.

2bc

222222

r..a+b-cb+c-a

由4=笑一以及余弦定理得-lab—_—2bc—a2+b2-c2_b2+c2-a2,

ClC-，2-2

acac

〃—r~—〃2

=亠=-由于后一/=0,所以^-,2=0,即b=c,

a~c

所以。=%=c,所以三角形ABC是等边三角形.

故选：C

7.函数/（x）=cosx（sinx+>/5cosx）,x£[0,勻的最大值与最小值的和为（）

4

A1+6n34-2-73「3+35/3八7

222

【正确答案】B

【分析】化简/（X）,得/.（x）=sin（2x+g）+岑，再利用正弦函数的性质可求得最大值和最

小值，从而可解.

［详解］/(x)=cosx(sinx+6cosx)=cos%sin+6cos2x

=sin(2x+71D+E

=-sin2x+—cos2x+

22232

因为xe畤，所以2若呜泳

>

所以丄4sin(2x+M«l,Bpl+^<sinf2x+-|+—<1+—,

213丿22I3丿22

所以当2x+1=费，即x=：时，+

当2x+5=5，即x*时,/(x)1ra'=1+等’

所以“初―=3+等+［1+斎=三

故选：B

8.如图，梯形A8C。顶点8,C在以AD为直径的半圆上，4)=2米，若电热丝由三条线段

A8,BC,C。这三部分组成，在4B,CD上每米可辐射1单位热量，在8C上每米可辐射2单位

热量，当电热丝辐射的总热量最大时，8c的长度为()

6436

【正确答案】B

［分析］根据圆的对称性和余弦定理以及倍角公式化简即可求解.

取AO中点0,

连接。8,连接0C,

根据圆的对称性知ZAOB=ZCOD,

设，ZAOB=ZCOD=0,

则有，ZBOC^n-20,

由余弦定理得AB2=『+F-2xlxlcos(9=2-2cosa

[H)aCD2=l2+l2-2xlxlcos6»=2-2cos6>,

fiC2=l2+l2-2xlx1cos(7t-2。)=2+2cos2，,

所以AB=《2一2cos夕=J2(l—cos0)=,2l-(l-2sin2^)=2sin|,

同理CZ)=j2-2cos6=j2(l-cos6)=卜l-(l-2sin2^)=2sin*

BC=y/2+2cos20=J2(l+cos26)=^2(2cos20)=2cos9,

nn

电热丝辐射的总热量为Ix2sin]+lx2sin2+2x2cose,

0n

令/(^)=1x2sin—+1x2sin—+2x2cos0,

所以/(e)=4sin/+4cose,

即于⑹=4(sin]+1-2sii?]),

^人•si・n—0=r,

则f(0)=4(-2,+r+l)是关于，的二次函数，

当电热丝辐射的总热量最大时，r=：,

4

即nnsi•n—=r,

2

此时BC=2cos0=2(l-2sin2

24

故选：B.

二、多选题

9.下列等式成立的有（）

1._V2

A.sin275-cos275-B.—sin15+-—cos15

2222

5兀

tan

「sin15-cosl5_6

D-2+6

,25兀

sin15+cos1531-tan——

24

【正确答案】AC

【分析】对于A,逆用倍角余弦公式即可判断；对于B,利用辅助角公式即可判断；对于C,

5兀

tan—]苗

利用辅助角公式即可判断；对于D,逆用倍角正切公式可得——2^=-tan-J,再用和

1-tan2—212

24

角正切公式即可判断.

【详解】对于A,sin275-cos275=-cos150°=cos30°=—,A正确；

2

对于B,—sin15+^^cosl5=cos60°sin15+sin60°cos15=sin75°w—B错误;

222

丄

sin15-cosl5_V2sin(15°-45°)_sin30°一击=一¥'c正确;

对于C,

sin15+cos15&sin(15°+45°)sin60°

571

tan—

1

对于D,24—tan

i2571

1-tan--2

24

兀兀1V3

itan—+tan—.1+——。戸

L46_I3_2+j3

—A----------------------------------------——X-------------=~—-----------------D错误.

21-tan71xtan712"立

463

故选：AC

10.设点M是.43C所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A.AM=—AB+—AC,则点M是边BC的中点

22

B.若AM=2AB-AC，则点"是边8c的三等分

C.若AM=-8M—CM,则点M是边一ABC的重心

D.AM=xAB+yAC,且x+y=g,贝％M3c的面积是ABC面积的g

【正确答案】AC

【分析】对A,根据中点的性质即可判断：对B,根据向量的运算得到AM=2MD，即可判

断；对C,根据重心的性质即可判断；对D,根据三点共线的性质即可求解.

II1111

【详解】对于A,由AM=JAB+5AC,得5AM-5AB即8M=MC，

因此点M是边8c的中点，故A正确；

对于B,AM=2AB-ACAM-AB=AB-AC,:.BM=CB,

则点”在边CB的延长线上，所以B不正确;

A

对于C,设BC中点。，则AM=-BM-GW,AM=M8+MC=2M£>,

由重心性质可知C正确；

对于D,AM=xAB+yAC且x+y=；=>3AM=3xAB+3yAC,3x+3y=1'

设AE=3AM,所以AE=3xA8+3yAC,3x+3)，=l,可知B,C,E三点共线，

所以亠MBC的面积是_ABC面积的(，故D不正确.

11.下列说法正确的有()

A.3a,4，使sin(a+6)=sina+sin尸B.Vtz,夕，有

sin(a+尸)sin(c-/?)=sin2a-sin2£

C.3a,P,使cos(a+0=cosa+cos/7D.Va,夕，有

cos(a+〃)cos(a-〃)=cos2a-cos2/3

【正确答案】ABC

【分析】根据取特值法，易知A,C正确，D错误；根据两角和与差的正弦公式展开可知

B正确.

7T7T

【详解】取a=/7=。，易知A正确D错误；取a=q,尸=一事，C正确；

因为sin(a+P)sin(a一4)=(sinacos/}+cosasin尸)(sinacos0-cosasin/3)

=sin2acos2/7-cos2asin2〃=sin2a(l-sin?y?)-^l-sin2tzjsin20

=sin2a-sin2/7,故B正确,

故选：ABC.

本题主要考查两角和与差的正弦公式，余弦公式的理解和应用，属于基础题.

12.在.A8C中，AB=7,AC=5,8c=3,点。在线段AB上，下列结论正确的是()

A.若CO是高，则CO=RB.若。□是中线，则。。=巫

2

c.若8是角平分线，则CD#

D.若CO=3,则。是线段A8的三等分点

O

【正确答案】BC

【分析】分别求CD为高线，中线,角平分线及等分线时C£＞的长.

【详解】由题，cosC=^^C32+52-72r所以。吟

2x3x5

若C。是高，5A/tflC=^x7xCD=^x3x5xsin^,得CD=曲叵,故A错误;

19

若C£>是中线，CD=^CA+CB),所以C02=；x25+9+2x5x3x

T

所以cn=晅，故B正确;

若CD是角平分线，则Swo+$BCD=SABC

2112

若。为线段A5的三等分点，CD=-CA+-CB^CD=-CA^-CB,

CD2=-x25+-x9+-x5x3x(-l)=—,^CD2=-x25+-x9+-x5x3x(-l)=—,

9992999929

故选：BC.

根据。在AB的位置，可用C4，CB表示CD,用向量方法解决平面几何问题是常用思路.

三、填空题

13.已知”=(-3,4),6=(5,2),贝(1213力=.

【正确答案】(-21,2)

【分析】利用平面向量的坐标运算法则计算即可.

【详解】解：已知£=(-3,4),6=(5⑵，

则2a=(-6,8)，3b=(15,6)，

所以2,3方=(-21,2),

故答案为.（一21,2）

14.设AA8C中，。厶c分别是内角A,B,C所对的边，且厶=3,c=l,A=23,则。=.

【正确答案】

【分析】根据正弦定理，余弦定理和二倍角的正弦公式即可求解.

ab

【详解】由正弦定理得

sinAsinB

又A=26,

所以一一=—

sin28sinB

b

所以

2sinBcosBsinB

结合〃=3得。=6cosB,

由余弦定理以及人3,1得c°s八手六a2k9-

2a

Q~+1—9

所以〃=6

2a

整理得，«2=12,

所以a=2A/3.

故答案为.26

15.己知攵＞0,在直角三角形ABC中，AB=（2,3）,AC=（1,攵），则实数2的值是.

【正确答案】?或列Ml

32

uuu

【分析】先求出8C=（T,A-3）.然后分为A为直角，B为直角，C为直角，三种情况，分别

根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求出女的值，舍去不满足的女值，即可得出答案.

LllBlLILUULUU

【详解】由已知可得,BC=AC-AB=（l,k）-（2,3）=（-l,k-3）.

UUUULM12

若A为直角，则有AB-AC=（2,3）««）=2+3A=0,解得&=一§＜0,舍去；

uimuuuii

若B为直角，则有A8-3C=（2,3＞（T#-3）=-2+3%-9=0,解得左=§；

uuiuuuti24./TQ

若C为直角，则有AC.BC=(l,%).(_l,Z_3)=-l+%2—3%=0,解得％=(舍去负值),

所以《=先~叵.

2

综上所述，厶=日或"=三变.

故/=弓或叵.

四、双空题

16.已知a,/?e(0,7t),且1211夕/2”是方程戸-5犬+6=0的两根，则a+?的值是

；cos(a_/?)的值是.

【正确答案】学/亲述幺夜

441010

【分析】根据韦达定理，两角和的正切公式、两角差的余弦公式化简求解即可.

【详解】由题意,tan«+tan/7=5,tan«-tan/?=6,

/tana+tan>351

/.tan(cr+/?)=---------------=-----=-1,

1-tanatanp1-6

7TTT

又tana>0,tan/?>0,故0<a<一,()<〃<一,

22

37r

故0<a+?<兀，:.a+p=­

4t

由tanatan/?=6=sinasinB=6cosacosy?,

立

cos(a+P)=cos号-2，

金

两式联立可得，sinasin〃==g,cosacos/?

,

竝10

逑

一

+-

105

噜

玩

故

一4

五、解答题

53

17.已知a,夕都是锐角，cos(a+^)=—,sin(a-/?)=-.

⑴求cos2a的值；

(2)求cos4萨的值.

【正确答案】（1）-豊

65

⑷—I-

10

【分析】（1）先确定a-6，a+Z?的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得

cos（a-/?）和sin（a+6）的值，然后根据加=（a-0+（a+0,并结合两角和的余弦公式，得

解;

4

（2）由cos（a-£）=g,结合二倍角的余弦公式，即可得出答案.

【详解】（1）解：因为a与夕都是锐角,

所以卦a+,e(O,兀)，

53

又cos(a+/7)=—,sin(«-/?)=—,

所以a-夕a+,

所以cos(a-尸)=^l-sin2(a-y?)=[,sin(cr+/?)=y]\-sin2(a+J3)=,

4531216

所以cos2a=cos[(a-/)+(a+/?)]=—X----------X——=

51351365

（2）因为cos（"戸）=',a-p£（0,/}

所以8$（。-£）=2<^［三4-1=（,解得：cos三2=九叵（负值舍去）.

I2丿〉210

应从①8号②.3伝强这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在M3C

中，a,6,c分别是内角A,B,C所对的边且sin?A=sir)2B+sin2C+sinBsinC.

（1）求角A的大小；

⑵若荘而，且一，求sinC的值及A4BC的面积.

【正确答案】（1）市27r

（2）V6->/29-36

4,4

【分析】（1）由已知条件结合正弦定理可得储=厶2+02+秘，再利用余弦定理可求出角A；

⑵若选①，则可求出角，再利用正弦定理求出sinC的值，然后利用三角形的面积公式求出

结果；若选②，则先根据正弦定理求出sin8的值，然后利用三角形的面积公式求出结果.

【详解】(1)因为sin2A=sin2B4-sin2C4-sinBsinC,

由正弦定理得/=6+/2+姐

得cosA=——,

2

又0<A<7C,

2

所以A兀.

JT2

(2)选择①时：B=-,A=-TI,

/^_^2

故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=---------

根据正弦定理三=b

sinAsinB

故。=3,

坨c1厶.厂9-3\/3

故S=—absinC=----------•

24

若选②：

由〃=3>/5sinB及正弦定理-^7二,

SIILAsinn

3亚sinB_限

得一忑一—而

T

解得sinB=也~,

2

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=瓜.“

根据正弦定理号=纟，得。=3,

sinAsinn

Q1厶•厂9-35/J

故S=—absinC=---------•

24

UUD1uur

19.如图，在矩形A3CO中，点E在边A3上，且AE=eE3,M是线段CE上一动点.

⑴若“是线段CE的中点，AM=mAB+nAD^求帆十"的值;

uuLILIULUUUUU1LILU1

⑵若AD=2,CACE=\G，求(2M4+MB)•MC的最小值.

7

【正确答案】(i)!

6

⑵一6

【分析】（1）由已知，用AB,AD表示AM,然后利用向量的基本定理可求〃?，〃,即可;

(2)根据题意，由数量积的计算公式可得10=CACE=^AB2+AD\变形可得卜@=3,进

而计算可得|词的值，进而由向量数量积的计算公式可得(2MA+MB\MC=-3|ME|]MC\,

结合基本不等式的性质分析可得答案.

【详解】(1)若M是线段CE的中点，

贝I]有AM=gAC+gAE=；(48+A£>)+g{gA8)=|48+gA£),

2]7

故加+〃=—+—=—.

326

(2)CACE=[-(AB+AD)]|^-AD-^A^^AB2+^ABAD+AD',

又因为ABC£)是矩形，所以於紀=(),

2-2.2

所以C4-CE=—AB-+A。-,

3

又C4CE=10，,4=2,

22

所以§厶"+4=10,

解得A8?=9，

所以卜q=3,

进而得\CE\=V22+22=272,

因为AE=^EB,

所以ME-MA=^MB-ME),

21

故ME=-MA+-MB,

33

因止匕2AM+MB=3ME,

ME+MC\CE

则卜AM+MB>MC=3MEWC=一3J~L=-6.

22

当且仅当M为EC中点时取等号,

即(2MA+MB〉MC的最小值为-6.

2/Z

20.已知向量〃=(cosa,sina),Z?=(cos^,sin/7),.

(1)求cos(a—夕)的值；

(2)若0<a</,-1</?<0,且sin-=一《，求的值.

【正确答案】(1)；3

少、56\/3+33

(/丿TT

130

【分析】(1)先求出a-力=(cosa-cos夕,sin。一sin/),求出自一0=-2cos(cr-/7)+2,结

合已知即可得出答案；

(2)先求出0<。-〃<兀，然后根据正余弦关系求得cos/?=gsins(cr-^)=-,进而根

据两角的正余弦公式，求得sina以及cosa的值.最后根据两角差的正弦公式，展开代入计算,

即可得出答案.

【详解】(1)因为a—/?=(cosa—cosAsina—sin/7),

所以

|Frp2/\2

a-0=(cosa-cos/^)~+(sincr-sin/3丫

=cos2a+cos2p-2cosacosp+sin2a+sin2/7-2sinasin/?=—2cos(a—/7)+2.

因为卜/=［手)=i,所以一2cosm")+2=1,

所以cos(a_£)=j.

jrIT

(2)因为0<a<5，--<^<0,所以Ova-尸<兀.

因为$抽尸=_值，cos(a-')=m,

所以cosp=-Jl-sin2fi=Y|,sin(a-=^l-cos2(a->0)=g,

4123-533

所以sina=sin[(a-/7)+4]=sin(a-4)cos/?+cos(a-£)sinp—x-----F—x——=

51351365

3124-556

cosa=cos[(«-/7)+/7]=cos(a-y3)cos>0-sin(a-/7)sinJ3—x一—x——

51351365

2兀,2n27t.走*準=56畐33

所以sin-----asin—cosa-cos—sina

333265I2丿65130

21.在.ABC中，。也c分别是内角4,8,C所对的边，若(30—c)cosA—acosC=0.

⑴求cos4；

⑵若a=2石，且的面积S“BC=30，求8A的值；

2

(3)若方=3,且sin3sinC=],求ABC的周长.

【正确答案】(1):

(2)6立

⑶6+26

【分析】(1)由余弦定理统一为边，再由余弦定理求解即可；

(2)由面积公式及余弦定理化简，解得。=c=3,由数量积公式计算即可得解；

(3)根据三角恒等变换求出cos3cosC=；,再由两角差的余弦公式求出B=C,再由余弦

定理求。即可得解.

【详加毕】(1)(3£>-c)cosA-tzcosC=0

2

/.(3/?-c)x6+J"+”=。,

2bcZab

b2+c2-a2=-bc,

3

...8SA/»—=变」

2bc2bc3

(2)由cosA=!，可得sin4=«

33

S&ABC=gbcsinA=3^2,

:.hc=9,

.a2=b2+c2-IbccosA,

22

:.b+c=18,解得b=c=39

:.cosB=a'+C"~b=—,sinB

lac3I

BABC=acsinB=2>/3x3x—=60.

3

12

(3),cosA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcos