2023-2024学年河北省石家庄市高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河北省石家庄市高二上册期末数学模拟试题

第I卷（选择题，共60分）

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求.

I.己知直线/的方程X+同-1=°,则直线/的倾斜角为（）

ππ5π2π

A.-B.-C.—D.—

6363

【正确答案】C

【分析】求出直线/的斜率，结合直线倾斜角的取值范围可求得直线/的倾斜角.

【详解】设直线/的倾斜角为则tana=-J==一也，

√33

5兀

又因为0≤a<π,因此，a=∙~~■.

6

故选：C.

2.用火柴棒按下图的方法搭三角形，前4个图形分别如下，按图示的规律搭下去，第10个

图形需要用多少根火柴O

A.20B.21C.22D.23

【正确答案】B

【分析】根据图形可知：第一个图形需要3根火柴棒，后面每多一个图形，则多用2根火柴

棒，根据此规律即可计算求解.

【详解】结合图形，发现：搭第〃个图形，需要3+2（〃-1）=2〃+1,

则搭第10个图形需要21根火柴棒，

故选.B

3.已知圆的圆心为（-2,1）,其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是

A.++4x—2y—5=0B.+—4x+2y-5=0

C.x~+y~+4x—2y—0D.x~+—4x+∑ry—0

【正确答案】C

【详解】设直径的两个端点分别A(a,0)、B(0,b),圆心C为点(-2,1),由中点坐标

公式得WO=-2,°券=1解得a=-4,b=2.半径r=J(—2+4/+(l-0)2=逐二圆的

方程是：(x+2)2+(y-l)2=5,BPx2+y2+4x-2y=0.

故选C.

4.已知空间四边形/8Co中，G为8的中点，则赤+g(而+元)等于()

_____,1_.

A.AGB.CGC.BCD.-BC

【正确答案】A

【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则即可得出.

【详解】解：如图：

AB+-(BD+BC)=14B+'BG=7G.

故选：A.

5.已知圆C:x2+y2—4x=o与直线/切于点尸(1,道)，则直线/的方程为()

A.X—>∕3y+2-0B.X—y∕3y+4=0

C.X+y∕3y-4=OD.X+∙∖fiy—2—0

【正确答案】A

【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程.

【详解】圆C：χ2+y2-4χ=O可化为(X-2)2+/=4,

所以点P与圆心连线所在直线的斜率为"叵=-√3，

2-1

则所求直线的斜率为且，

3

由点斜式方程，可得y—G=半(x—1),

整理得X-岛+2=0.

故选：A.

6.设片,凡是双曲线。：——己=1的两个焦点，。为坐标原点，点P在C上且|。尸|=2,

3

则△尸耳心的面积为()

,75

A.—B.3C.-D.2

22

【正确答案】B

【分析】由△耳KP是以P为直角直角三角形得至UlPGl2+1PEl2=16,再利用双曲线的

定义得到IlwHPBII=2,联立即可得到IPF1IlI,代入S旷内p=；IPGlI尸入冲

计算即可.

【详解】由已知，不妨设耳(—2,0),居(2,0),

则α=l,c=2,因为∣OP∣=2=3片用，

所以点P在以FiF2为直径的圆上，

即AlgP是以尸为直角顶点的直角三角形，

故IWl2+∣PgF=WE「，

即附|2+陷∣2=16,又IIpGI-IPFl=2α=2,

所以4=||「用—IPK『=|。用2+1尸鸟『—2I尸用IpF=I6—2IP用I尸Bl,

解得IPGPKl=6,所以SAFQ=；I尸片IlPKl=3

故选：B

【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的

数学运算能力，是一道中档题.

7.如图，在棱长为〃的正方体力—〃中，P为4。的中点，0为4月上任意

一点，E,E为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点0到平面PEE的距离()

B.和E尸的长度有关

C.等于也α

D.和点。的位置有关

3

【正确答案】A

【分析】取4G的中点G,连接PG,CG,OP,利用线面平行判断出选项B,D错误；建立

空间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出

结论.

【详解】取用£的中点G,连接PG,CG,DP,则PG//CQ，所以点0到平面PE厂的距

离即点。到平面尸Ga)的距离，与Eb的长度无关，B错.又A∣B平面PGCD,所以点

4到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点

0的位置无关，D错.

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，则C(OM,0),0(0,0,0),4(a,0,α),∕51],0,α)

ʌDC=(0,47,0).西=(a,0,α),βP=pθ,aL

aC

一n∙DP=0,-x+az=0,

设〃=α,κz)是平面尸Ge。的法向量，则由L一得V

h∙DC-0,

少=0,

令z=l,则x=-2,y=0,所以3=(-2,0,1)是平面PGCQ的一个法向量.

设点Q到平面PEF的距离为d,则d=J=I2芯[=ɔʃ.,A对，C错.

故选：A.

本题主要考查点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.

r22

8.己知耳，凡为椭圆C:「+=v=l（q>々>0）与双曲线

a；b.

C2⅛-yr=l（«2>0,62>0）的公共焦点，M是它们的一个公共点，且/片儿/=q，e1,

。2023

马分别为曲线G，。2的离心率，则弓内的最小值为（）

A.—B.√3C.1D.V

22

【正确答案】A

MF=a∣+%

【分析】由题可得〈”二x2,在△孙居中，由余弦定理得

MF2=ax-a2

FE=MF；+MF^-2MFi-MF2-cos^,结合基本不等式得4/+3t√N2√5q4，

即可解决.

r22

7v

【详解】由题知，∕l,乙为椭圆G：丁+金=1（《>4>0）与双曲线

a∖

22

G：-—2=1（。2>0，&>0）的公共焦点，也是它们的一个公共点，且NKMQ=工，

a2b23

eɪ,C2分别为曲线G,C2的离心率，

假设μ>班,

MFλ+MF2=Ia,MFx=a]+a2

所以由椭圆，双曲线定义得，解得

MFx-MF2=Ia2MF2=al-a2

所以在中，g=2c,由余弦定理得

F}F^=MF^MF^-2MFx-cosy,即

222兀

4c=(q+α2)+(a1-a2)-2(al+α2)∙(α1-a2)cos-,

3

化简得4/=a，+3〃，，

22

因为4c2=tz1+3Λ2≥2y∕3axa2，

所以上≥空=立

,即ele2≥ɪ,

a｝a242

当且仅当4=&2时，取等号，

故选：A

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的

选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错

的得0分.

9.己知等差数列｛%｝的前〃项和为SN<S,，且S,>S8,则（）

A,在数列｛4,,｝中，al最大

B.在数列｛%｝中，ai或应最大

C-S3=SlO

D.当〃≥8时，α,,<0

【正确答案】AD

【分析】根据$6<$7,且S7>S8,可推出%>°，as<0,a1>ax,故d<0,可判断AD

正确，B错误，结合等差数列的性质可判断S1°-S?=7%>0,判断C.

【详解】｛可｝为等差数列，VS6<S7,且S?>Sg,

S1-S6=a1>0,Ss-S1=as<0,a1>α8,

即d<0,

.∙•｛服｝是递减等差数列，q最大，当〃<7时，/>0,当“≥8时，an<0,

故AD正确，B错误，

S10-S3=α∣o+。9+。8+。7+。6+。5+。4=加7>θ，

则SK）WS3,故C错误，

故选：AD.

10.已知直线/:(ɑ2+α+l)x-y+l=0,其中α∈R,下列说法正确的是()

A.当“=-1时，直线/与直线x+y=O垂直

B.若直线/与直线x—夕=0平行，则α=0

C.直线/过定点(0,1)

D.当α=0时，直线/在两坐标轴上的截距相等

【正确答案】AC

【分析】对于A,代入“=-1,利用斜率之积为T得知直线/与直线x+y=O垂直；

AB.C

对于B,由两平行线的一般式有多1=6LNGL1求得从而可判断正误；

4B2G

对于C,求定点只需令参数的系数为0即可，故直线/过定点(0,1)；

对于D,代入α=0,分别求得直线/在两坐标轴上的截距即可判断正误.

【详解】对于A,当。=-1时，直线/的方程为X—v+l=0,故/的斜率为1,直线χ+N=0

的斜率为_1,因为lχ(-l)=-l,所以两直线垂直，所以A正确；

1-10

对于B,若直线/与直线X-V=O平行，则F------=—≠-,解得Q=O或。=-1,所

a+α+l-11

以B错误；

对于C,当X=O时，则V=I,所以直线过定点(0,1),所以C正确；

对于D,当α=0时，直线/的方程为x-y+l=0,易得在X轴、y轴上的截距分别是-1,1,

所以D错误.

故选：AC.

11.已知直线/:岳-y-√J=O过抛物线C:/=2pχ的焦点F,且与抛物线C交于“，B

两点，过4,8两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M,N,则下列说法正确的是O

Q

A.抛物线的方程为∕=4χB.线段的中点到y轴的距离为§

1Z

C.线段48的长度为一D.NMFN=90。

3

【正确答案】ACD

【分析】根据给定条件，求出焦点尸的坐标判断A；联立直线/与抛物线C的方程，利用韦

达定理，结合抛物线定义、向量垂直的坐标表示判断BCD作答.

【详解】显然抛物线C：/=2pχ的焦点尸在X轴上，直线/:GX-y-√J=O与X轴交于点

(1,0)，

即尸（1,0）,则§=1,解得P=2,抛物线C的方程为V=4χ,准线方程为X=-1,A正

确；

由,产一4一3一0消去y并整理得:3炉-IOX+3=0,设N（XI,必）,6（%,必），

y=4x

则有玉+々=弓，$马=1，线段的中点横坐标为g，因此线段43的中点到y轴的距

离为一，B错误；

3

∖ABHJF1+∣5F∣=xl+l+x2+l=y+2=y,因此线段48的长度为g,C正确；

显然点”（T,M）,N（—1,%）,丽=（-2,χ）,丽=（一2,%），

则施.丽=4+必％=4+3（Xι-l）（Xι-l）=7+3x∣X2-3（x∣+X2）=7+3x]-3x^=0,

即丽，丽，因此NMTw=90°,D正确.

故选：ACD

12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符

号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，

曲线C：/+/=IXl+Rl就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结

论正确的有O

A.曲线C围成的图形的面积是2+兀

B.曲线C围成的图形的周长是2√Σ兀

C.曲线C上的任意两点间的距离不超过2

D.若尸（加,〃）是曲线C上任意一点，则13加+4〃-121的最小值是17—50

2

【正确答案】ABD

【分析】根据方程分析曲线C的性质以及图象，根据曲线C的性质和图象结合直线与圆的

相关知识逐项分析判断.

【详解】对于曲线c：f+y=∣χ∣+∣川上任一点p（%〃），则/+∕=∣m+∣“∣,

点尸（加,〃）关于y轴对称的点为Pi（—加,〃），则

（一加『+〃2=〃12+“2=|m“H_mI+I〃I,

即点6(一加,〃)在曲线C上，故曲线C关于〉轴对称:

点P(加,〃)关于X轴对称的点为鸟(加,一〃)，则

m2+(一“)~=m2+772=|∕7zI+1Z71=|mI+1-«I>

即点6(一九〃)在曲线C上，故曲线C关于X轴对称；

点P(加,“)关于原点对称的点为6(一加,一〃)，则

(-m)^+(一〃)-=∕n2+n2=|/WI+1π∣=∣-m|+1|.

即点片(一叽-〃)在曲线C上，故曲线C关于原点对称；

综上所述：曲线C关于坐标轴和原点对称.

对于方程X2+y2=|%I+1>,I=X+ʃ，

令N=0,则∕=∣χ∣,解得χ=o或χ=±ι,即曲线C与X轴的交点坐标为

Z(Lo),o(o,o),C(T,0),

同理可得：曲线C与N轴的交点坐标为8(0,1),0(0,0),D(0,T),

当x≥0,y≥0时，则—+/=∣χ∣+∣yI=χ+y,整理得口―；)+[-；)且

ZAOB=90°,

故曲线C在第一象限内为以°为圆心，半径r=乎的半圆，

由对称性可得曲线C为四个半圆外加坐标原点，

对A：曲线C围成的图形的面积S=4—×1×1+-π×-^―=2+兀，A正确；

22{2)

对B：曲线C围成的图形的周长是L=4χ1χ2兀X

,B正确;

2

7,\2/1、2I

+x=0[x=1

对C：联立方程5)\~2)^21解得<八或41,

y=0[y=1

[y=χ

即曲线C与直线V=X在第一象限内的交点坐标为Λ∕(l,l),由对称可知曲线C与直线V=X

在第三象限内的交点坐标为N(-l,-1),

贝1J∣Λ∕Nl=J(l+I)?+(1+1)2=2√2>2-C错误；

对D：由图结合对称性可知：当P（MM在第一象限时，点尸（九〃）到直线/：3x+4y-12=0

,∣3w+4w-12∣|3w+4«-12|

的距离d=J~/,I=J--------------L相对较小，

√32+425

到直线∕∙∙3x+4y-12=0的距离/l3xj+4xI^12117.

【22）4=5=记

则点P（私〃）到直线/：3x+4y—12=0的距离d≥4-r=lZ-YZ,

1102

；•∣3m+4w-12∣=5√>尤

故|3m+4〃-12|的最小值是17一5近,D正确.

2

（1）通过方程研究曲线的对称性时，往往通过点的对称证明曲线的对称性；

（2）研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位

置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较.

第∏卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.抛物线V=4χ的焦点到双曲线——9=1的渐近线的距离是.

【正确答案】—

2

2

【详解】双曲线/—2L=I的渐近线为、万χ-y=ov=4χ的焦点（1,0）到渐近线距离为

√3

T-

14.设ɪ,ʃ∈R)向量α=(3,2,l),9=(l,x,l),c=(y,4,2),且a_l.B,a〃c,则

∣⅛+c∣=.

【正确答案】√62

【分析】根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出XJ,再由向量的坐标运算及模的坐标

表示求解.

【详解】因为£_LB，所以3+2X+1=0,解得X=—2,贝M=(I

因为£〃"，所以上=&=2,解得歹=6,则)=(6,4,2).

321

.∙.⅛+c=(7,2,3),∣6+c∣=√62.

故答案为：、颂.

15.己知各项不为0的等差数列｛4｝满足4-G+K=0，数列也｝是等比数歹U，且4=%，

则她狐=-

【正确答案】8

【分析】首先根据题意得到%=&=2,在利用等比数列的性质求解即可.

【详解】因为以-d+4⅞=°，所以(%-d)-嫉+(%+d)=0，

即-a；+2%=0，因为α,,wθ,所以%=2,则&=2.

b

4仇狐="⅛0q3=公=8.

q

故8

16.已知/8为圆U(X-I)2+/=1的直径，点P为直线x-y+2=0上的任意一点，则

PA-PB的最小值为.

7

【正确答案】一

2

【分析】分析可得万•方=IPcf-1,可知当PC与直线χ-y+2=0垂直时，IPq取最

小值，利用点到直线的距离公式可求得莎•丽的最小值.

【详解】圆心C(1,O),半径为1,且点C为线段/8的中点，

Λ4∙P5=(PC+C4).(PC+CB)=(PC+G4)∙(PC-C4)=PC2-C42=∣PC∣2-1,

圆心。到直线*一^+2=0的距离为1=/==逑，

√22

当尸C与直线x-y+2=0垂直时，∣PC∣取最小值，即苏・丽=IPCl2—1取最小值，

且的.方L=(PCZL=八i4

故答案为.」7

2

四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤.

17.设等差数列｛对｝的前〃项和为S“，a2+S2=-5,S5=-15.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

,

(2)若〃=(-1)'an,求数列｛〃｝的前20项和T20.

【正确答案】(1)an=-n(2)-10

【分析】

(1)根据等差数列通项公式及前〃项和公式，可得q,d的方程组，解方程组即可确定数列

｛4｝的通项公式；

(2)根据数列｛4｝的通项公式，代入数列｛⅛,,｝,利用分组求和法即可求得数列⅛,｝的前20

项和盘.

【详解】(1)设等差数列｛4｝的公差为"，由%+S2=3q+2d=-5,

S5—5q+1Od——15,即q+2d——3,

3cι,+2d=-5a.=—1

所以＜一c，解得《，，，

q+2d=-3d=-1

所以α,,=-l-(κ-l)=-π.

(2)因为“=(—1)"4,

所以丁20=h+力2+63+64+…+》19+^20

=(-4]+。2)+(一。3+4)+-,+(-419+Q20)

=d+d+…+d

=Iod=Io(T)=-IO.

本题考查了等差数列通项公式及前〃项和公式的简单应用，分组求和法的应用，属于基础题.

18.在平面直角坐标系中，曲线N=X2—6χ+l与坐标轴的交点都在圆C上.

(1)求圆C的方程；

(2)若圆。与圆。：(》—4)2+(夕—3)2=4相交于4B两点,求ZB弦长.

【正确答案】(1)(x—3)2+(歹―1)2=9

(2)4

【分析】(1)写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于

圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；

(2)根据圆与圆相交得相交直线所在方程，利用直线与圆求相交弦长即可.

【小问1详解】

曲线N=X2-6x+l与V轴的交点为(0,1),与X轴的交点为(3+2√Σ,0),(3-2√2,0).

可知圆心在直线X=3上，故可设该圆的圆心C为(3√),

则有32+«-1)?=(28A+*,解得f=l,

22

故圆C的半径为F=√3+(/-I)=3，所以圆C的方程为(x—3)2+O一[)2=9；

【小问2详解】

C的方程为(x—3)2+(y—1)2=9.BPx2+y2-6x-2y+l=0

圆。：(X—4)2+(歹—3)2=4,即F+j?一8x—6y+21=0

两圆方程相减，得相交弦ZB所在直线方程为X+2^-10=0

圆C的圆心(3,1)到直线x+2y—10=0距离为d=宏燮4=J?,

√5

所以AB=2√r2-J2=2√9≡5=4-

19.如图，四棱锥尸-4SCZ)的底面为菱形且/84)=60°,/>/_1_底面/8。。，AB=2,

PA=2√3,E为PC的中点.

(1)求直线。E与平面以C所成角的大小；

(2)求二面角E-ZO-C平面角的正切值.

【正确答案】(1)30°

(2)2

【分析】(1)建系，利用空间向量求线面夹角；

(2)利用空间向量求二面角.

【小问1详解】

连结对角线/C、8。相交于点O,连结。E、OE,

∙.∙O,E分别为ZC,尸C的中点，则EO〃PZ,Eo=LPA=B

2

且PZ，平面/BCD,则Eo，平面/88,

：底面是菱形/8CA,NBAD=60°,AB=2,PAɪ2√3，则8C=2,AC=20

以。为原点，OA、OB、OE所在直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，

则有0(0,0,0),/("θ,θ),c(-√3,θ,θ),£)(0,-1,0),用0,0,√J),

可得方=(0,1,0)，Σ5=(-√3,-l,θ).

UUll

：平面PAC的法向量为。。=(0,-1,0),

ODDE

cos(OD,DE)^=

设直线DE与平面PAC所成的角θ∈[0°,90°],则sin。,

故直线DE与平面PAC所成的角为30。.

【小问2详解】

设二面角E-4D-C的平面角为αe(0°,90°),

平面ADC的法向量为OE=(0,0,√3),

AD.n=-∖∣3x-y-O

设平面EZQ的法向量为万=(Xj,z),则<

DE•元=y+VJZ=O

令X=1,则V=-JJ,z=l,得到万=（1,一JJ,1）,

IUiu-r

UUUr∖OE∙n

r网

/.COSgOE>=Y[UtirN

∖n∖∖θE√3×√5^5

即cosa-->则Sina=V1-cos2a->二tan0=2,

55

故二面角£一/。—C的平面角的正切值是2.

20.已知。为坐标原点，点G(-2,0)和点H(2,0),动点P满足IPGl-I尸〃I=2.

(1)求动点尸的轨迹曲线力的方程并说明此是何种曲线；

(2)若抛物线Z:_/=2px(p>0)的焦点尸恰为曲线少的顶点，过点尸的直线/与抛

物线Z交于历，N两点，IMNl=8,求直线/的方程.

【正确答案】(1)曲线力的方程为一一(=1(乂,』)，它是焦点为(2,0),(—2,0)的双曲线

的右支.

(2)x-y-1=0或x+y—1=0.

【分析】(1)由动点尸满足：I尸G|—|尸"I=2可得到轨迹曲线为双曲线的右支；

(2)由(1)可得尸的坐标，然后再求出抛物线的方程，设出直线的方程为X=叩+1,后

根据弦长公式得到关于〃?的方程，解出即可.

【小问1详解】

解：•••动点/满足IPGITp"±2<GH∣,

点尸的轨迹曲线少为双曲线的一支，由双曲线的定义有α=l,c=2,

b=∙∖∕3，

二曲线邛的方程为f一=l(χD；

【小问2详解】

解：由(1)可知曲线％的顶点F(LO),

.∙,p=↑,

2

∙'∙p=2,

所以抛物线Z的方程为/=4X.

由题意，直线/的倾斜角不能为0,

设直线/的方程为X=WJ+1,设M(XI,乂)，N(X2，%),

代入到/=4χ消去X得：y2-Amy-4=0,

J=16w2+16>0.

.∙.yl+y2=4m,yly2=-4,

22

IMNI=J(Xl-X2『+(%)2='Jm+∖∙y∣(yi+y2)-4yly2

=y∣m2+1∙√I6∕w2+16=4"/+4=8»

.,,m=1或加=T,

・•.直线/的方程为X一歹一1=0或X+V—1=0.

21.已知数列｛%｝满足」5=；4+[〃€N*),%=1.

c`

(1)证明：数列<J"为等差数列，并求数列｛4｝的通项公式；

(2)若记”为满足不等式(g)<α*i(g)ReN*)的正整数左的个数，数列.%｝的

前〃项和为S,,求关于〃的不等式S,<2023的最大正整数解.

2

【正确答案】(1)证明见解析，氏=——

71+1

(2)7

【分析】(1)在等式一A=gα,,+∣两边取倒数，结合等差数列的定义可证得数列为

4+22∖a∖

等差数列，确定该数列的公差，可求得数列｛%｝的通项公式;

(2)解不等式<-r(〃∈N*)可得到满足条件的正整数左的个数,可得出

{%}的通项公式，利用错位相减法可求得s.，再利用数列的单调性可求得满足题意的最大

正整数”的值.

【小问1详解】

alt1alt+2

解:由-ɪr=τα向取倒数得--

%+22all

]111W-IH+12

所以V-b为公差为;的等差数列，则一=一+==二一，所以，%=——

2

an\an%22