七年级数学上册人教版3-1 从算式到方程单元教学设计

3.1从算式到方程（单元教学设计）

一、【单元目标】

通过给出两个情境引入，引出方程和等式的概念，让学生理解如何列方程，并掌握方程的概念，同时

利用跷跷板的原理使学生理解等式的基本性质；

（1）通过行程问题和跷跷板问题，提出不同的问题，让学生可以由浅入深的理解方程与等式的概念，

更加形象生动，丰富学生的思维，增加学生对概念的具体把握，同时形成记忆；

（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素养,

进一步发展了学生的类比推理素养；

（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；

（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，

同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养；

（5）通过观察图片，提高学生的观察事物的能力，同时激发学生的学习兴趣，提升学生的人文素养；

二、【单元知识结构框架】

1.方程的定义

2.一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程.

3.列方程解决实际问题的步骤：

①设未知数（用字母）

②找等量关系（表示出相关的量）

③列出方程

4.等式的性质1：等式的两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式.

即如果a=b,那么a±c=b±c.

5.等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍是等式.

ah

即如果a=b,那么ac=bc；如果a=b（cWO）,那么一=一.

cc

6.利用等式的基本性质解一元一次方程

三、【学情分析】

1.认知基础

本节内容是方程这一版本知识点的基础，也是我们学好方程相关知识的关键；等式的性质1、2是这一

章内容用来解方程的关键，掌握等式的性质有助于帮助我们解方程；本节内容并不难，关键在于基础知识

的掌握，同时有相关的知识框架；

2.认知障碍

方程的概念主要会考查一种含参的题型，这时候注意要按照题目的要求，列出相关的式子并计算即可;

等式的性质1、2主要考查学生的理解，有些学生在运用时会出现遗忘，或者无从下手的情况；

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约2课时

教学重点：方程的概念，一元一次方程的辨别；方程的解，等式的概念；

教学难点：初步学会找实际问题中的等量关系，设出未知数，列出方程；会用等式的性质解简单的一

元一次方程；

五、【教学问题诊断分析】

【情景引入11

问题：一辆客车和一辆卡车同时从/地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70km/h,卡

车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早lh经过8地，A,5两地间的路程是多少？

1.若用算术方法解决应怎样列算式？

2.如果设46两地相距；rkm,那么客车从/地到8地的行驶时间为,货车从/地到占地的行

驶时间为.

3.客车与货车行驶时间的关系是.

4.根据上述关系，可列方程为.

5.对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？

【情景引入21

同学们，你们玩过跷跷板吗?它有什么特征？

翘翘板的两边增加的量之间到底满足什么关系时，翘翘板才能保持平衡？

3.1.1一元一次方程

问题1：(方程的概念)判断下列各式是不是方程；若不是，请说明理由.

(1)4X5=3X7-1；(2)2x+5y=3；

v—Q1

(3)9—4x>0；(4)——=一；(5)2x+3.

23

【破解方法】本题考查的是方程的概念，方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的

两个要点①等式；②含有未知数.

【解析】(1)不是，因为不含有未知数；

(2)是方程；

(3)不是，因为不是等式；

(4)是方程;

(5)不是，因为不是等式.

问题2：(一元一次方程的辨别)下列方程中是一元一次方程的有()

A.x+3=y+2

B.l-3(l-2x)=-2(5-3%)

C.x—1

■

D.--2=2y-7

3

【破解方法】判断一元一次方程需满足三个条件：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1；(3)

是整式方程.

【解析】A.含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；B.化简后含有未知数项可以消去，不是方程,

错误；C.分母中含有字母，不是一元一次方程，错误；D.符合一元一次方程的定义，正确.故选D.

问题3：(利用一元一次方程的概念求字母次数的值)方程E+1)/1+1=0是关于X的一元一次方程,

则()

A.m-+1B.m=l

C.—1D.0W—1

【破解方法】解决此类问题要明确：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知

数的次数都是1且系数不为0,则这个方程是一元一次方程.据此可求方程中相关字母的值.

【解析】由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0,所以

]0I=1

a+iwo'

解得m=\.故选B.

问题4：(方程的解)下列方程中，解为x=2的方程是()

A.3x—2=3B.—x+6=2x

C.4—2(x—1)=1D.1才+1=0

2

【破解方法】检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右两边相等.

【解析】：A.当x=2时，左边=3X2—2=4W右边，错误；B.当x=2时，左边=-2+6=4,右边=

2X2=4,左边=右边，即x=2是该方程的解，正确；C.当x=2时，左边=4-2X(2-1)=2W右边，错

误；D.当x=2时，左边=，X2+1=2W右边，错误.故选B.

2

问题5：(列方程)某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元.该店在“6・1”儿

童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支,

卖得金额87元.若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为()

A.1.2X0.8x+2X0.9(60+x)=87

B.1.2X0.8x+2X0.9(60—x)=87

C.2X0.9x+1.2X0.8(60+x)=87

D.2X0.9x+l.2X0.8(60—x)=87

【破解方法】解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到题目当中的等量关系，列方程.

【解析】设铅笔卖出x支，根据“铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共

卖出60支，卖得金额87元”，得出等量关系：x支铅笔的售价+(60—x)支圆珠笔的售价=87,据此列出

方程为1.2X0.8x+2X0.9(60—x)=87.故选B.

3.1.2等式的性质

问题6：(应用等式的性质对等式进行变形)用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式.

(1)如果2x+7=10,那么2x=10-；

(2)如果-3x=8,那么x=；

22

(3)如果X—=y-一，那么x=；

33------

a

(4)如果一=2,那么a=

4

【破解方法】运用等式的性质，可以将等式进行变形，变形时等式两边必须同时进行完全相同的四则运算,

否则就会破坏原来的相等关系。

【解析】（1）根据等式的基本性质（1），在等式两边同时减去7可得2x=10-7；

Q

（2）根据等式的基本性质（2）,在等式两边同时除以-3可得x=—-；

3

2

（3）根据等式的基本性质（1）,在等式两边同时加上§可得x=y；

（4）根据等式的基本性质（2）,在等式两边同时乘以4可得a=8.

故答案为：7,-83,y,8.

问题7：（利用等式的性质解方程）用等式的性质解下列方程：

（1）4x+7=3；

（2）—X--x=4.

23

【破解方法】解方程时，一般先将方程变形为2*出的形式，然后再变形为X=C的形式。

【解析】（1）在等式的两边都加或都减7,再在等式的两边都除以4,可得答案；

（2）在等式的两边都乘以6,在合并同类项，可得答案.

解：（1）方程两边都减7,得4x=-4.

方程两边都除以4,得x=-l.

（2）方程两边都乘以6,得3x-2x=24,

x=24.

六、【教学成果自我检测】

1.课前预习

设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.

1.（2023秋•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的

是（）

A.x2-4x=3B.2x=0C.x+2y=lD.x-1=—

X

【答案】B

【分析】只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1,等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方

程.根据一元一次方程的定义逐项判断，即可得到答案.

【详解】解：A、该方程中未知数的最高次数数2,不是一元一次方程，不符合题意；

B、该方程符合一元一次方程的定义，符合题意；

C、该方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；

D、该方程中分母含有未知数.不属于整式方程，不符合题意；

故选:B.

【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键.

2.（2023秋•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列方程中，方程的解是x=3

的是（）

A.2x+l=5B.-2x-6=0C.3尤-2=7D.3x=l

【答案】C

【分析】将x=3代入各方程即可进行判断.

【详解】解：A、2x3+lw5,不符合题意；

B、-2x3-6/0,不符合题意；

C、3x3-2=7,符合题意；

D、3x3/1,不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查方程的解.将解代入方程，等式两边成立则为方程的解.

3.（2023秋•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）若关于x的方程22一旭+6=0

是一元一次方程，则加的值是（）

A.0B.3C.-3D.1

【答案】B

【分析】一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式.

【详解】解：由题意得：机-2=1

m-3

故选：B

【点睛】本题考查了一元一次方程的定义.熟记相关结论即可.

4.（2023秋•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）关于x的方程（4-2）X/-3+5》=6

是一元一次方程，则有理数a的值为.

【答案】2或-2/-2或2

【分析11元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式.

【详解】解：由题意得：a2-3=l

解得：。=2或-2

经检验，当。=2或-2时，原方程均为一元一次方程

故答案为；2或-2

【点睛】本题考查一元一次方程的定义.熟记相关结论即可.

5.（2023春•湖南郴州•七年级校考期末）已知方程x-2y+1=0,用含x的代数式表示y的形式为.

【答案】J=j+1

【分析】运用等式的性质，将含字母y的项放左边，其它项移到右边，将y的系数化为L

［详解］解：-2y=-x-l

.X1

..V=-+-

22

故答案为：y=|Y+11

【点睛】本题考查等式变形，掌握等式的性质是解题的关键.

6.（2023秋•全国•七年级课堂例题）在横线上填上适当的数或式子，并在括号内填上变形的依据.

（1）若3无+5=2,则3x=2—（）；

（2）若—4x――,贝!］x=（）.

【答案】5等式的性质1-等式的性质2

12

【分析】根据等式的性质即可解答.

【详解】解：（1）若3x+5=2,则3x=2-5（等式的性质1）；

故答案为：5,等式的性质1；

（2）若-4x=1,则x=（等式的性质2）.

312

故答案为：-《，等式的性质2.

【点睛】此题主要考查了等式的性质：。）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式，所得结果仍是

等式；（2）等式的两边同时乘（或除以）同一个数（除数不能为0）,所得结果仍是等式；熟练掌握等式

的性质是关键.

7.（2023秋•全国•七年级课堂例题）利用等式的性质解下列方程：

（1）8+%=-5；

（2）-%=6；

(3)—3x+7=1；

【答案】（l）x=-13

⑵了=-30

⑶x=2

7

⑷X=g

【分析】结合各方程的特点，根据等式的性质逐一进行变形计算即可.

【详解】（1）解：方程两边同时减去8,得8+》-8=-5-8,

所以x=-13；

（2）解：方程两边同时乘以-5,得-5）=6x（-5）,

所以了=一30；

（3）解：方程两边同时减去7,得-3x+7-7=1-7,

化简，得—3x=-6,

方程两边同时乘以-3,得x=2；

（4）解：方程两边同时加（，得［x-5+5=；+g,

3123343

化简，得5x=：+g,

方程两边都乘12,得5x=3+4,整理得5x=7,

7

方程两边都除以5,得x=1.

【点睛】本题运用了等式的基本性质.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.等式两边

乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.

8.（2023秋■七年级课时练习）若x=l是关于x的方程-2加x+〃=1的解，求2023+"-2加的值.

【答案】2024

【分析】将x=1代入方程-2mx+〃=1得至IJ-2加+〃=1代入代求式子即可；

【详解】解：=l是关于尤的方程-2必+〃=1的解，

—2m+n=l,

：.2023+M-2m=2023+1=2024.

【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，代数式求值，掌握方程的解的概念是解题的关键.

9.(2023春•七年级课时练习)关于x的方程(x+3)(x+a)=0有一个解是x=-l,求1-a的值.

【答案】0

【分析】把x=T代入方程(x+3)(x+a)=0,得到关于。的方程，解方程即可.

【详解】解：•.・x=T是方程(x+3)(x+a)=0的一个根，

.•.(-l+3)(-l+a)=0,

解得4=1,

.,.l-a=l-l=0.

【点睛】本题考查了方程的解的概念，解题时注意：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解.

2.课堂检测

设计意图：例题变式练.

1.(2023秋•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习)下列方程中是一元一次方程的是

()

%%

A.y—3=4+—B.2x+3x-1C.x2—3x+3=0D.x+2y=3

【答案】A

【分析】根据一元一次方程的定义逐一判断即可.

【详解】A.；-3=4+：是一元一次方程，故本选项符合题意；

B.2x+3x-l不是一元一次方程，故本选项不符合题意；

C./-3x+3=0不是一元一次方程，故本选项不符合题意；

D.x+2y=3不是一元一次方程，故本选项不符合题意.

故选：A.

【点睛】考查了一元一次方程的定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式.一

元指方程仅含有一个未知数,一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0.

2.(2023秋•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习)若关于x的一元一次方程

上"-3)+2=0的解为x=4,则上的值是()

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】D

【分析】将x=4代入一元一次方程即可.

【详解】解：•.“（X-3）+2=0的解为x=4,

.\^（4-1）+2=0,

解得：k=-2,

故答案选：D.

【点睛】本题考查了一元一次方程的根，将根代入一元一次方程是解题的关键.

3.（2023秋•山东东营•六年级校考期末）设x/，c是有理数，则下列结论正确的是（）

A.若式=/，则x+c=y_cB.若关=3\贝|xc=yc

C.^x=y,则土=上D.若F=贝U2x=3y

【答案】B

【分析】根据等式的性质一一判断即可.

【详解】解：=

：.x+c^y+c^x-c=y-c,故A不符合题意；

：x=y,

xc=yc,故B符合题意；

'：x=y,CHO,

/.-=Z,故C不符合题意；

CC

・・三=上

2c3c'

3x=2y,故D不符合题意；

故选B

【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结

果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式.

4.（2023秋•河南驻马店•八年级校考开学考试）请写出一个解为尤=；的一元一次方程:.

【答案】3x-l=0（答案不唯一）

【分析】方程的解就是能使方程成立的未知数的值，据此即可求解.

【详解】解：解为的一元一次方程为：3x-l=0（答案不唯一）.

故答案为：3x-l=0（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键.

5.（2023春•四川遂宁•七年级某中学校考阶段练习）若关于x的方程（4-2）/7+54+1=0

是一元一次方

程，则方程的解为.

【答案】|

［分析］根据一元一次方程的定义以及解一元一次方程的法则进行作答即可.

【详解】解：因为方程（左-2."454+1=0是一元一次方程，

所以上一2x0,卜一1|=1

贝！J左=0,

贝!|（左一2）%-"+5左+1=—2%+1=0,

解得X=:.

2

故答案为：y.

【点睛】本题考查了一元一次方程的定义以及解一元一次方程的法则，正确掌握一元一次方程的定义是解

题的关键.

6.（2023秋•七年级课时练习）将方程4x-5=7的两边同时,得4x=；再将方程4x=12

的两边同时,得》=.

【答案】加512除以43

【分析】根据等式的性质即可求解.

【详解】解：将方程4x-5=7的两边同时加5,得4x=12,再将方程4x=12的两边同时除以4,得x=3,

故答案为：加5；12；除以4；3.

【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键.

7.（2023・全国•七年级假期作业）利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程：

13

W--x=--x+2；

（2）2x+l=7.

【答分案析】（l（）1x）=根2；据（2等）x式=的3.两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案；

（2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除

以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案.

【详解】解：⑴两边同加;x得：户2.

检验：当x=2时，

左边=-1,右边=-1,

左=右，

...X=2是方程的解;

⑵两边都减去1,得2x=6,

两边都除以2,得尤=3.

检验：当x=3时，左边=7=右边，

x=3是方程的解.

【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的基本性质是解题的关键.

8.（2023秋•六年级课时练习）已知/片3+6=机是关于x的一元一次方程，试求代数式伽-3）加°的值.

【答案】1

【分析】先根据一元一次方程的定义求出m的值，再把m的值代入所求代数式即可求解.

【详解】解：Q/片3+6=机是关于x的一元一次方程，

2nl-3=1,解得m=2.

201020,0

.（m_3）=（2-3）=l.

【点睛】本题考查一元一次方程的定义，列出关于m的方程是解题的关键.

9.（2023秋•七年级课时练习）已知等式。-2%=6-2°-3成立，试利用等式的基本性质比较。，b的大小.

【答案】a<b

【分析】利用等式的性质即可求解.

【详解】解：根据等式性质1：

“-26=6-2。一3的两边者B力口上2。+26,得。一26+2。+26=6—2。-3+2。+26,即3。=36—3,

根据等式性质2：34=36-3的两边都除以3,得。=6-1,

所以a<b.

【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键.

3.课后作业

设计意图：巩固提升.

1.（2023秋•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列运用等式变形错误的是

()

A.由Q=6,得a+6=b+6B.由Q=b,得,=

,ab,口，

C.由一二一，得a=bD.由—2Q=~~2b，a=—b

cc

【答案】D

【分析】直接利用等式的基本性质分别分析得出答案.

【详解】解：A、若Q=b,则a+6=b+6,正确，不合题意；

B、若。=人得2正确，不合题意；

C、若3=2,则。=6,正确，不合题意；

CC

D、若-2a=-26,则a=6,故此选项错误，符合题意.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键.

2.（2023秋•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，第一个天平的两侧分别放2个球

体和5个圆柱体，第二个天平的两侧分别放2个正方体和3个圆柱体，两个天平都平衡，则6个球体的质

量等于（）个正方体的质量

A.4B.6C.8D.10

【答案】D

【分析】设一个球体的质量为x,一个圆柱体的质量为多一个正方体的质量为机，根据天平的意义，列出

等式，利用等式的性质，计算6x即可.

【详解】设一个球体的质量为X,一个圆柱体的质量为多一个正方体的质量为如根据天平的意义，得，

2尤=5y,2m=3y,

6x=15y=5x3y=5x2»7=10机,

•••6个球体的质量等于10个正方体的质量，

故选D.

【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键.

3.（2023春・河南驻马店•七年级统考期末）已知方程3x-2y=5,把它变形为用含x的代数式表示修正确

的是（）

3x-53x+5—3x+5-3x-5

A.y=---------B.y=---------cD.y=------------

22-广一2

【答案】B

【分析】根据等式的性质变形即可.

【详解】解：3X-2J=5

2y=3%+5

3x+5

y------------

2

故选：B.

【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键.

4.（2023秋•广东惠州•九年级校考阶段练习）若“是方程--2*-1=0的解，则代数式-/+24+2020的值

为.

【答案】2019

【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到/-2a=1,再把-1+2。+2020变形为-（/-2a）+2020,然后

利用整体代入的方法计算.

【详解】解：是方程--2x-l=0的解，

a~-2a—1=0,

a2—2a=1!

—ci~+2a+2020

=-(a2-2a)+2020

=-1+2020

=2019.

故答案为：2019.

【点睛】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是

一元二次方程的解，整体思想的运用是解题的关键.

5.（2023秋•湖南长沙•八年级统考开学考试）已知x=l是关于x的方程3尤-/M=X+2〃的解，则式子

—m+n+2022的值为.

2---------

【答案】2023

【分析】将x=l代入3x-加=x+2〃得出次+2〃=2,代入代数式，即可求解.

【详解】解：将x=l代入3x—冽=x+2〃得3—加=1+2〃

即加+2〃=2

.,.1m+n+2022=；（%+2〃）+2022=卜2+2022=2023,

故答案为：2023.

【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，得出加+2〃=2是解题的关键.

6.（2023秋•全国•七年级课堂例题）已知式子：①3-4=-1；②2x-5y；③1+2尤=0；④6x+4y=2；

⑤3/一2x+l=0.其中的等式是,其中含有未知数的等式是,所以其

中的方程是.（填序号）

【答案】①③④⑤③④⑤③④⑤

【分析】根据等式的特点：用等号连接的式子，方程的特点：①含有未知数，②是等式进行判断即可.

【详解】解：由题意可得，含有未知数的等式是方程，

①3-4=-1是等式；

②2x-5丁是多项式，既不是等式也不是方程；

③1+2尤=0既是等式也是方程；

④6x+4y=2既是等式也是方程；

@3X2-2X+1=0既是等式也是方程，

故答案为：①③④⑤；③④⑤；③④⑤.

【点睛】本题考查等式和方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键.

7.（2023秋•全国•七年级课堂例题）完成下列解方程3-1元=4的过程.