2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习讲义 第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第14讲导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）

题型目录一览

①导数的定义

②导数的运算

③导数中的切线问题I-求在曲线上一点的切线方

程

④导数中的切线问题n-求过一点的切线方程

⑤导数中的切线问题ni-求参数的值（范围）

、知识点梳理

一'导数的概念和几何性质

L概念函数/（尤）在x=x0处瞬时变化率是lim”=lim以包士也二必，我们称它为函数y=/（"在％=无。处的

-0Ax-Ax

导数，记作了'（%）或“户根•

注：增量Ax可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.Arf0的意义：Ax与。之间距离要多近有

多近，即|Ax-01可以小于给定的任意小的正数；

2.几何意义函数y="X）在尤=%处的导数;（不）的几何意义即为函数y=f（x）在点P（x0,%）处的切线的斜率.

二'导数的运算

1.求导的基本公式

基本初等函数导函数

f(x)=c(c为常数)rw=o

/(x)=x"(aeQ)fr(x)=oxa~[

/(x)=ax(a>0,aw1)fr(x)=ax\na

f(x)=log%(a>0,aw1)fw=.

ax\na

f(x)=exr(x)=e*

/(x)=lnx

f'M=~

X

/(x)=sinxfXx)=cosx

f(x)=cosx/'(x)=-sinx

2.导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则："。）±8（尤）]'=-（；0±8'（了）；

（2）函数积的求导法则："（x）g（x）]=f'（x）g（x）+f（x）g'（x）；

（3）函数商的求导法则：g（x）wO,则[jM]=「（x）g（x）-"x）g'（x）.

g。）g2）

3.复合函数求导数

复合函数y=/[g（x）J的导数和函数＞=/'（"）,〃=g（x）的导数间关系为%=%%：

【常用结论】

L在点的切线方程

切线方程》—/'（%）=「（尤0）。-%）的计算：函数y=/（x）在点A（x°,〃%））处的切线方程为y-/（x0）=尸（无。）（尤-与），

抓住关键1°="不）.

[k=f（x0）

2.过点的切线方程

设切点为则斜率左=:（%）,过切点的切线方程为：＞-%=/'（%）（尤-%）,

又因为切线方程过点A（m,"）,所以（尤0）（加-/）然后解出.%的值.（％有几个值，就有几条切线）

、

二、题型分类精讲

题型一导数的定义

策略方法对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直

接写出.

1,则lim"“。+2加0-〃％)=).

【典例1】已知函数y=〃x）在X=A：。处的导数尸（无。）=-(

-Ax

A.-1B.1C.《D.-2

【答案】D

【分析】根据题意由导数的定义即可得答案.

【详解】根据题意，函数y=/（尤）在x=x。处的导数为尸（无。）=-1,

而］加〃%+2')-/(%+2祠-/(%)

2lim=2/'(%)=-2,

—AxAx->02Ax

故选：D.

【题型训练】

一、单选题

7(1)-〃1+2淘

1.（2023•山东潍坊・统考模拟预测）设为R上的可导函数，且lim=-2,则曲线y=〃x)在

Axf0Ax

点处的切线斜率为（）

A.2B.-1C.1D.

2

【答案】C

【分析】根据导数的定义，计算得到答案.

/⑴-〃1+2-)1］加川)一〃1+23_1.

【详解】广⑴既

-2Ax2—Ax

故曲线y=在点⑴）处的切线斜率为1.

故选：C

2.（2023春・河北衡水•高三衡水市第二中学期末）已知函数”力的导函数是（（%）,若/'（%。）=2,则

/(龙o+1心)-/(/)()

lim----------------------------二

-Ax

A，—2B.1C.2D.4

【答案】B

【分析】根据导数定义，将增量化成g%即可得到.

【详解】因为/（%）=2

/(x+^Ax)-/(x)1

00/(X0+1AX)-/(X0)［

2

所以lim-----------------------------=-lim----------------=-八无。)=1

AxfOAx2AxfO

-Ax

2

故选：B

二、填空题

3.（2023・上海•高三专题练习）已知函数〃x）=-2V+/⑴尤2一/⑴尤，则］血/（一+1）-〃1）=

【答案】5

【分析】求出导函数，建立，⑴与广（1）的方程，求出尸（1）,利用极限的运算及导数的定义求解即可.

【详解】当x=i时，/（i）=-2+r（i）-/（i）,所以/（i）=；r（i）一1,

又/''(无)=-6x?+2尸⑴x-/⑴=—6%2+2/,(l)x+l——/f(l),

则,(1)=-6+2/⑴+1-；尸(1),解得广⑴=10,

由定义可知，Hm⑴〜⑴』，⑴=5.

…/a2A+xx233+1)-12')

故答案为：5

题型二导数的运算

威策略方法对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基

本函数求导问题.

【典例1】求下列函数的导数.

⑴y=ln(2x+l)；

sinx

⑵y二

cosx

⑶y=xln(l+f)

(4)y=(%+1)(%+2)(%+3)；

(5)y=e"cosx+«-产(/为常数);

(6)y=ln(2x+5)3-\----.

x

【答案】⑴v=鼻2

(2)y=~\—

cosa

(3)y=ln(l+/)+冷

(4)y=3x2+12x+ll

711

⑸V=6甘sin--X

,61-lnx

⑹安中十丁

【分析】根据导数的运算法则即可求得导数.

【详解】⑴由已知日碇川），所以力击⑵+人或

（2）由已知y=七，所以y=(sinx)cosx-sinx(cosx)_cos2a+sin2a_1

COS%/cos2xcos2acos2a

(3)由已知>=xln(l+x2),所以y=in(l+f)+A1r.x=ln(l+V)+法

(4)由已知y=(x+l)(x+2)(x+3)=x3+6x2+llx+6

所以旷=3/+12%+11

(5)由已知y=e"cos%+五-所以y=e尤(cosxf+(e"jcosx+(6)

fxx711

y=e(cosx-sinx)d----尸=yj2esin~~x

2y/x2^/x

(6)由已知y=ln(2x+5)3+皿，令〃=2x+5,t=u3,故y=lnr+处

XX

所以y'=X“3)'.(a)'+(W)=/w3(2x+5)2.(2x+5)'+千

6(2x+5)21-lnx61-lnx

所以y'=()32------------H-------------

2x+5+x(2x+5)x1

【题型训练】

一、解答题

1.(2023•全国•高三专题练习)下列函数的导函数

(1)y=x4-3x2-5x+6；

(2)y=2x+sin—cos—；

22

(3)y=x-\og2x；

__a,「/、t/-»ri/-»1/_、fi1/*、t'sinx+cosx

【答案】(z1)xy=4%—6x—5；(2)y=2In2+—cosx•(3)y=1--------；(4)y=5--------.

2xln2x

【分析】直接根据求导公式及导数的运算法则即可求出(1)(3)(4)的导数；利用二倍角公式化简(2)中的函数

解析式，再利用求导公式及导数的运算法则进行求导.

【详解】(1)因为y=%4一3%2一5%+6,所以y=4/一6%-5；

xX|I

(2)因为y=2"+sin5cos5=2"+gsinx,所以y'=2"ln2+]cosx；

(3)因为y=x-log2x,所以y'=l--^―；

xln2

E、rcosx,(-sinx)x-cosxlx-sinx+cosx

(4)因为y=------,所以y=-------------j-----------=------------j--------.

XXX

2.(2023•全国•高三专题练习)求下列函数的导数.

(l)/(x)=(-2x+l)2；

⑵〃x)=ln(4x-l)；

(3)〃X)=23A2

(4)F(X)=J5X+4；

【答案】(l)8x—4

⑶3x23，+2in2

5

(4)/-----

2j5x+4

【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果.

【详解】(1)因为〃X)=(-2X+1)2=4X2_4X+1,所以广(司=8彳-4.

(2)因为〃x)=ln(4x—1),所以广(x)=A^.

(3)因为〃x)=23*+2,所以尸(司=3*23工+2山2

⑷因为〃x)=后百’所以广⑺毛高二月端工

3.(2023・高三课时练习)求下列函数的导数：

⑴好产以；

(2)y=2sin(l-3x)；

(3)y=^cos(2x+x)；

(4)y=\n+sinx；

(5)y=lgsin^|+x2^|；

2〃+尤n

(6)y=cos——.

【答案】(1)(一2依+6)e*+麻

(2)-6cos(l-3x)

]_2

(3)--cos3(2Y+x)•sin(2、+x)•(2*ln2+l)

cosx

(4)T77———

2(1+sinX)

⑹『向啖

【分析】根据复合函数求导公式及运算法则，结合基本函数求导公式求解即得.

【详解】(1)因为函数尸6*+加可以看做函数y=e"和〃=_加+法的复合函数，

根据复合函数求导公式可得，

u

y'x=y'u-'x

=(e")-^-ax2+bx^

=eux(-2ox+£>)

=(-2ox+6)e*+%

(2)因为函数y=2sin(l-3x)可以看做函数y=2sin〃和M=l-3x的复合函数，

根据复合函数求导公式可得，

=(2sin/z)-(1—3x)

=2cos〃x(-3)

=-6cos(l—3x)；

(3)因为函数y=：cos(2，+x)可以看做函数)，=网和〃=cos(2,+x)的复合函数,

根据复合函数求导公式可得，y'x=y'u-u'x,

又因为函数"=85(2，+“可以看做函数〃=85/和,=2，+了的复合函数，

根据复合函数求导公式可得，

所以义

=(^H).(cos.).(2"+%)

<i二、

=]x(-sin/)x(2"ln2+l)

1--

=—cos§(2"+兀)[一sin(2"+x)]x(2"In2+1)

i_2

=-§cos3(2x+x).sin(2"+x).(21n2+l)；

(4)函数y=lnJl+sinx可化为y=gln(l+sinx)

因为函数y=fn(l+sin尤)可以看做函数)，=gln〃和〃=l+sinx的复合函数，

根据复合函数求导公式可得，y'x=y'u-<

所以义=乂”

­(1+sinx)

xcosx

cosx

2(1+sinx)*

(5)因为函数y=lgsin'+炉)可以看做函数y=lg〃和z，=sing+尤1的复合函数,

根据复合函数求导公式可得，y'x=y'u-Wx,

又因为函数〃=sin[5+尤]可以看做函数〃=sinf和仁^+炉的复合函数，

根据复合函数求导公式可得，

=〃:W

所以乂=%";•《

cosr)x

X+

1+cos2

(6)函数y=cos：

可以看做函数y=出产和，/=马兰的复合函数,

因为函数

根据复合函数求导公式可得，y'x=y'u-u'x

所以乂=乂・4

1+COSJLI

e(e1

题型三导数中的切线问题I-求在曲线上一点的切线方程

多策略方法已知切点A(xo,/(xo))求切线方程，可先求该点处的导数值尸(xo),再根据y—/(xo)=

广(无0)(1一xo)求解.

【典例1］设曲线五+2*在点(1,/⑴)处的切线与直线Xln2-y+3=0平行，则实数。二()

A.ln2-2B.-In2

C.—21n2D.-31n2

【答案】C

【分析】根据导数求解/⑴=ga+21n2,由两直线平行斜率相等即可求解.

11

【详解】由〃力=。«+2,得/(工)=-a-7=+21n2,故广⑴=ga+21n2,

2yjx

由于点(L〃l))处的切线与直线攻12-y+3=0平行，且直线加12-y+3=0的斜率为足2,所以

/⑴=ga+21n2=ln2na=-21n2,

故选：C

【题型训练】

一、单选题

1.(2023・陕西榆林・统考模拟预测)已知函数〃x)=x”+2x+l,则的图象在x=0处的切线方程为()

A.4x-y+l=0B.2x-y+1=0

C.4ex-y+2=0D.2ex-y+l=0

【答案】B

【分析】对函数进行求导，求出在尤=0处的切线的斜率，代入/(x)=x%x+2x+l,求出/(0),利用点斜式方程求

出切线方程.

【详解】因为〃x)=xV+2x+l,所以尸(X)=(X2+2X”+2,则/'(O)=2J(O)=l,

所以〃尤)的图象在x=0处的切线方程为y-1=2(尸0),

即2x-y+l=0.

故选：B.

2.（2023・陕西榆林・统考模拟预测）己知函数〃力=/-e"（aeR）,若〃x）的图象在x=0处的切线与坐标轴围成

的三角形的面积为1,则a=（）

A.gB.2C.±2D.±-

22

【答案】D

【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点坐标，再根据面积列式可求出结果.

【详解】因为尸（x）=2x+ae，所以解（0）=a.

因为〃0）=T，所以“力的图象在x=0处的切线方程为〉=依-1.

因为切线与坐标轴能围成三角形，所以。彳0,

令x=0,得y=-i,令y=o,得x=L

a

所以;卜1卜［=1,所以"土;.

故选：D

3.（2023・全国•模拟预测）已知。为实数，函数〃了）=9必+4分+2+a是偶函数，则曲线y=〃x）在点（I"⑴）处

的切线方程为（）

A.18x-y-7=0B.9x+y-6=0C.51一11丁+2=0D,6x+5y-ll=0

【答案】A

【分析】由偶函数的定义确定参数。的值，再根据导数的几何意义结合导数运算求解即可得切线方程.

［详解］因为/（刈=9/+4分+2+。是偶函数，

所以f（-x）=9%2-4ar+2+a=9x2+4«x+2+a,

所以a=0,故/■（X）=9/+2,

又/'（x）=18x,所以"1）=11,广⑴=18,

故曲线y=在点处的切线方程为y7l=18（x-1）,即18x-y-7=0.

故选:A.

二、填空题

4.（2023・全国•高三专题练习）已知曲线y=Y在点（2,4）处的切线与曲线〃尤）=e-x在点&,〃1））处的切线互相

垂直，则/=

3

【答案】lnZ

【分析】先利用导数的几何意义求出曲线y=V在点（2,4）处的切线斜率，进而可对函数/（x）=e—x求导，然后根

据条件列方程求飞.

【详解】由曲线y=v得;/=2x,\"|皿=4,

曲线y=/在点（2,4）处的切线斜率为4,

曲线〃x）=e-得〃x）=ej

由已知可得/（尤==

3

解得％=ln1

3

故答案为：InJ.

4

5.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（到=炉+⑶门的图象在x=l处的切线在y轴上的截距为2,则实数。=

【答案】-3

【分析】根据给定条件，求出函数Ax）的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.

【详解】函数"x）=d+alnx,求导得：r（x）=2x+,/,（l）=2+a,而/⑴=1,

因此函数Ax）的图象在x=l处的切线方程为：y-l=（a+2）（x-l）,

令x=0,得y=-。-1,于是-。-1=2,解得。=-3,

所以a=—3.

故答案为：-3

6.（2023・广东广州・统考模拟预测）已知函数〃x）=5sinr+3cosx,则曲线y=在点（用处的切线方程为

【答案】6%+2y一3兀-10=0

【分析】根据题意，求导可得尸（X）,再由直线的点斜式即可得到结果.

【详解】由题意可得，r（x）=5cosx-3sinx,则左=/[3=0-3=-3,

由直线的点斜式可得、-5=_3卜_曰，化简可得6》+2〉-3兀-10=0.

故答案为：6.r+2y-37i-10=0

7.（2023・湖北•黄冈中学校联考模拟预测）已知函数/（元）=1In尤直线乙，4是『⑺的两条切线，4,4相交于点。，

若…,则。点横坐标的取值范围是.

【答案】（0,1）

【分析】记g(%)=-lnx(Ov%<l),/z(x)=lnx(x>l),不妨设4与g(x)相切于点4(%,-In玉)，。与久工)=1口工相切于

点3a2,In9)，则。<玉<1,々>1,利用导数求出玉％=1，再求出直线第4的方程，解方程求出。点的横坐标,

再利用基本不等式得解.

【详解】记g(x)=TnMO<%<l),/z(x)=lnx(x>l),

由函数/(%)图象可知，不妨设4与g(x)相切于点A(%,-In%)，4与%工)=1口%相切于点3(马,山马),贝!)0<玉<1,

%2>1.

11,1.1

・・.g'(x)=——,〃(%)=—，：・h=-----,%=—,

XX为12

V/1-L4，即玉％=1，所以In%+ln%2=0,

玉x2

,.F的方程为y+lnX]=-：(x-xJ,4的方程为yTn%=:(x-X2),

2

两方程相减得点Q的横坐标4=--------,

I•^2

V\x2=1,jq+>2"]无2=2,

即。点横坐标的取值范围是(o,i).

故答案为：(011)

三、解答题

JrJr

8.(2023•北京东城•高三专题练习)已知函数/(x)=sinx-(x-a)cosx,其中ae(-万,..若曲线y=/(x)在x=。处的切

线过点(。，乎)，求。的值；

【答案】y

【分析】根据导数的几何意义求得曲线y=/(元)在x=“处的切线>=$也0,从而得至!]Sina=无，求解即可.

2

【详解】/(x)=sinx-(x-«)cosx,

/.f(x)=cosx-cosx+{x-a)sinx=(x-a)sinx,

/(«)=0,即在x=a处的切线斜率为0,

又当x=a时，/(a)=sina,

.•.在x=a处的切线方程为y-sina=0.(x-a),

整理得：y=sina,

曲线>=〃尤)在％〃处的切线过点

71

，a=——

3

题型四_导数史的切线问题支-求过二点的切线方程

⑨^策略方法

设切点为尸(毛，%),则斜率左=((不)，过切点的切线方程为：y-y0=f\x0\x-x0),

又因为切线方程过点AO*切，所以=((％)(加-%)然后解出毛的值

【典例1】过原点且与函数/(x)=ln(-x)图像相切的直线方程是()

A.y=~^B.y=--xC.y=--xD.y=

ee

【答案】c

【分析】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.

【详解】因为/(无)=ln(-x),所以尸(x)=：,

设所求切线的切点为(%,/(%)),则/'小)=’,

由题知，-L=32=㈣Z&1,解得.%=_e,所以切线斜率为左=/'(-e)=-L

飞飞尤0e

故所求切线方程为丫=-』龙.

e

故选：C.

【题型训练】

一、单选题

1.(2023・四川成都・成都实外校考模拟预测)若直线、=质为曲线y=lnx的一条切线，则实数4的值是()

11

A.eB.e?C.—D."r-

ee

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义得出实数k的值.

【详解】设直线>=区与曲线y=lnx相切于点（Xo，lnx°）,函数y=ln尤的导函数为，=

则<加，解得左=一.

e

Inx0=kx0

故选：C

2.（2023・北京•高三专题练习）过坐标原点作曲线y=e"2+i的切线，则切线方程为（）

A.y=xB.y=2xc.y=\xD.y="

【答案】A

【分析】设切点坐标为I+1）,求得切线方程为y-（e”2+1）=n?。一）,把原点（0,0）代入方程,得到（-1汨-2=1,

解得r=2,即可求得切线方程.

【详解】由函数y=ei+l,可得y'=e・2,

设切点坐标为",e'-2+l）,可得切线方程为了-（广2+1）=/257）,

把原点（0,0代入方程,可得0_Q2+i）=e-z（0T）,即

解得上2,所以切线方程为y-（e°+l）=e°（x-2）,即尸E

故选：A.

3.（2023秋•河北•高三校联考阶段练习）若过点（加,〃）可以作曲线y=log?x的两条切线，则（）

A.m>log,nB.n>log2mC.ni<log9nD.n<log,m

【答案】B

【分析】作出函数y=iog2x的图象，由图象观察得出结论.

【详解】作出函数y=iog2x的图象，由图象可知点（〃?,〃）在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，

所以”>log?Ml,

4.（2023•全国•高三专题练习）过坐标原点作曲线y=（x-4）e，的切线，则切线有（）条

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】设切点为(%,%),利用导数的几何意义表示出切线方程，将(0,0)代入方程，即可求得答案.

【详解】由y=(x-4)e，可得y'=(x-3)e"

过坐标原点作曲线y=(尤-4)e*的切线，设切点为(无则切线斜率为左=(x0-3)e'。，

切线方程为=(xo-3)e-(x-xo),又为=(%-4)6f,

所以-4)e%=(%-3)e*(-尤。),即x；-4%+4=0,

所以x。=2,即切线有1条.

故选：B.

二、填空题

5.(2023・全国•模拟预测)过坐标原点作曲线y=(x+2)e*的切线，则切点的横坐标为.

【答案】一1+百或T-若

【分析】设切点为(％，%),利用导数的几何意义表示出切线方程，将(。,0)代入，即可求得本题答案.

【详解】由y=(x+2)e，可得y'=(x+3)e',设切点坐标为优,％),

所以切线斜率k=(x0+3)e'。，又因为%=(5+2)e%,

则切线方程为y-5+2)e%=(x0+3)e^(x-x0),

把(0,0)代入并整理可得其+2%-2=0,解得%=_1+后或%=一1_6.

故答案为：-1+6或-1-6

6.(2023秋・广东梅州•高三平远县平远中学校考期末)已知直线丫=左(工-1)与曲线y=ei相切，则心.

【答案】e

【分析】已知曲线的切线过某定点，根据导数的几何意义求直线的斜率.

【详解】设切点为(%,%),•.左=±=e'。、

X。1

e%T

•.,yo=e-T,:.------=e%-1,解得=2,：.k=ex°~'=e.

尤o-l

故答案为：e.

7.(2023春・山东滨州•高三校考阶段练习)过点(1,0)作曲线y=e®的两条切线，则这两条切线的斜率之和为.

【答案】e2-l

【分析】考虑x>0与x<0时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将。,0)代入，得到相应的斜率，相加得到答

案.

【详解】x>0时，y=e,,设切点(国,9)，

则y'=e,kx=e',

切线4：?一炉=。(彳一不)过(1,0),

e'=e』(l-%),

•.2——2,k、—e,

x<0时，y=ex,切点伍©他)，

x-%2

V'=-c~,k2=-e,

切线公y—ef=—ef(x-%)过(1,0),

...一也=—e-也(1—*2)，

X,=0,kr,=—1,

故左+&=_1.

故答案为：e2-l.

8.(2023・全国•高三专题练习)若曲线y=(2x-a)e”有两条过坐标原点的切线，则实。的取值范围为.

【答案】(-8,0)58,-)

【分析】先设切点为(为,%),利用导数与切线斜率的关系表示出切线方程，再根据切线经过坐标原点，将坐标原

点代入切线方程所得方程有2个不同的根，即可求解.

【详解】设切点坐标为：(x。,%),y=(2x+2-a)e,

所以切线斜率为左=(2%+2-a)e-,

即切线方程为y-(2%-a)e~=(2x0+2-。把*0-%),

又切线过坐标原点，所以。-(2%-a)e'。=(2%+2-a)e%(0-%0),

整理得2Xg—ax0+a=0,

又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，

所以A=“2-8a>0,解得。e(-oo,0)u(8,+co).

故答案为：(-co,0)。(8,+«)).

题型五导数中的切线问题m-求参数的值(范围)

畲策略方法1.利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组）,

进而求出参数的值或取值范围.

2.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点

⑴注意曲线上横坐标的取值范围.

⑵谨记切点既在切线上又在曲线上.

【典例11已知函数〃力=加-切11%在点处的切线为y=l,则a+b的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】求导函数，结合条件列出方程组，解之即得.

【详解】•.•函数”力二加-/7lnx,

A

f,（x\=2ax——,/⑴=a,

x

“X）在点（I"⑴）处的切线为y=1,

.⑴=2。-6=0

a-\'

解得〃=1,b=2,

:.a+b=3.

故选：C.

【题型训练】

一、单选题

4

1.（2023・全国•高三专题练习）已知曲线y=》+提G<0）在点P处的切线与直线x-3y+l=O垂直，则点P的横坐标

为（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【分析】设P点坐标，求出函数的导数，根据导数的几何意义列出方程，求得答案.

4

【详解】设x+?无<0）,点尸（%,%）,

4

则尸（x）=ig

由在点P处的切线与直线x-3y+1=。垂直可得了'（X。）=-3,即1-*=-3,

40

3^%0＜。，••X0二-1,

故选：B

2.（2023・全国•高三专题练习）已知函数=与g（x）=d+依（°eR）的图象在A（0,0）处有相同的切线，则”

（）

A.0B.-1C.1D.-1或1

【答案】C

【分析】求出两函数的导函数，利用r（o）=g'（o）求解即可.

【详解】点4（0,0）在两函数图象上，

/,(x)=(l+x)ex,g'(x)=2x+a,

根据题意可得F（o）=g'（o）,

即a=1.

故选：C

3.（2023春咛夏银川・高三银川一中校考阶段练习）若点P是函数/abd-lnx任意一点，则点P到直线x-y-2=0

的最小距离为（）

A.V2B.—

2

C.1D.3

【答案】A

【分析】当过点P的切线和x-y-2=0平行时，点P到x-y-2=0的距离最小，令函数的导数等于x-y-2=。的

斜率求出切点，再求切点至！］》一＞一2=0的距离即可.

【详解】解：当过点P的切线和X7-2=0平行时，点P到x-y-2=0的距离最小，

尤-广2=0的斜率为1,r（x）=2x--

令/（无）=2无一j=1,解得》=1或》=一:，

x2

因为x＞0,所以x=l,/⑴=1，

所以曲线上和直线x-y-2=0平行的切线的切点为（1,1）,

H-1-2I

P（u）至!j直线X—y—2=0的星巨离为最小距离d

故选:A.

【点睛】考查求曲线上一点到给定直线的距离的最小值求法，基础题.

3

4.(2023・全国•高三专题练习)动直线,分别与直线y=2x-l,曲线产:/一皿》相交于AB两点，则|皿|的最小值

为()

A.—B.且C.1D.6

105

【答案】A

【分析】当点B处的切线和直线y=2尤-1平行时，的值最小，结合导数和解析式求得点8,再由点到直线距离

公式即可求解.

【详解】设点A是直线＞=2%-1上任意一点，点8是曲线y=；/-lnx上任意一点，当点3处的切线和直线

＞=2元-1平行时，这两条平行线间的距离的值最小，

因为直线y=2x-l的斜率等于2,

31

曲线y=的导数y'=3x-±,令y'=2,

2x

可得尤=1或x=-；(舍去)，故此时点8的坐标为]32-1--

2一日