2023届河北省唐山市部分学校高三年级上册12月月考数学试题

2023届河北省唐山市部分学校高三上学期12月月考数学试题

一、单选题

1.已知集合4=卜机42},8={巾<2},则A8=()

A.1x|-2<x<2|B.{x|04x<2}

C.{x|x42}D.(x|-2<x<2)

【答案】B

【分析】计算A={x|04x44},8={x|-2<x<2},再计算交集得到答案.

【详解】A={x|Vx<2(={x|0<x<4|,B={x|x|<2)={x|-2<x<2},

所以ACB={H()4X<2}.

故选：B

2.已知z-(l+i)=4,贝I"的虚部为()

A.-2B.2C.-2iD.2i

【答案】A

【分析】根据复数的四则运算运算求解.

【详解】因为z-(l+i)=4,所以z=±=2-2i,所以z的虚部为一2.

故选:A.

3.已知a=ln3,/?=k)go2J5,c=2u,则()

A.b<a<cB.a<c<b

C.a<h<cD.b<c<a

【答案】D

【分析】利用“01分段法”确定正确答案.

J

【详解】因为a=ki3>lne=l,b=log02百<log021=0,c=2~'=^-€(0,1),

所以bvcva.

故选：D

4.在数列{%}中，“数列{4}是等比数列''是"婚=”仆"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用等比数列的性质及充分不必要条件的定义即可判断，

【详解】数列｛4｝是等比数列，得

若数列｛叫中雨=44，则数列｛叫不一定是等比数列，如数列1,2,4,6,8,10,12,14,,

所以反之不成立，则“数列｛4｝是等比数歹『’是"雨=6%"的充分不必要条件.

故选：A.

5.双曲线C:《•-:一Ka＞。,匕＞0)的一条渐近线方程为=则C的离心率为()

a~b

A.更B.迪C.2D.石

33

【答案】C

【分析】根据渐近线得到@=也，得到离心率.

b3

【详解】因为C的一条渐近线方程为x-by=0,所以@=走，

b3

所以C的离心率e=Jl+(，j=2.

故选：C

6.若直线3x+y—。=0是曲线y=gx2—41nx的一条切线，则实数。=()

A.JB.-C.-D.-

2222

【答案】D

【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得。.

44

【详解】因为丁二二一一即四，所以了二"--，令不一一二一3,即犬+3%一4=0,

2xx

得x=l或x=T(舍去)，所以切点是(1,；),代入3x+y-a=0,

,17

得3H-----。=0,Q——.

22

故选：D

7.直线/：如7-3。+1=0被圆C：(x+l)2+(y—2)2=25截得的弦长的最小值为()

A.4道B.4万C.372D.2瓜

【答案】B

【分析】确定直线过定点P(3」)，当PC，/时，直线/被圆C截得的弦长最短，计算即可.

【详解】直线/:奴一丫―3“+1=0,即a(x-3)-y+l=0,直线/过定点P(3,l),

圆C的圆心为C(-l,2),r=5,当PC，/时，直线/被圆C截得的弦长最短.

因为|PC|="(3+l)2+(l-2)2=如,所以弦长的最小值为2J25-17=4夜.

故选：B

8.如图，某几何体由两个相同的圆锥组成，且这两个圆锥有一个共同的底面，若该几何体的表面积

为12/r,体积为匕则F的最大值为()

A.竺叵乃2B.20辰°C.迎叵储D.24曷°

33

【答案】A

【分析】设其中一个圆锥的底面半径为r,高为力，由表面积为127可解得秒取值范围，再由体积公

式列出V?的表达式，通过换元法和求导即可求出V2的最大值.

【详解】设其中一个圆锥的底面半径为「，高为力，则2乃小户方=12］，则外解得

三£(0,6),

所以V=2义;兀,h,V2=《V(当一产)=*病(36,一八)，

令1=/«0,6),设丫2=〃。=92(36"日则r(r)=1/(36_3/).

若fe(0,2G),r(f)>0；若代(2后,6),/(r)<0.

故/('%,、=/0百)=竽乃2，即V2的最大值为竽病.

故选：A.

二、多选题

9.已知在某校运动会上，参加男子跳高比赛的8名运动员的成绩如图所示，设这8名运动员成绩的

平均数是。米，第40%分位数为b米，则()

A.b=1.75B.a=1.725C.6=1.7D.a=1.775

【答案】BC

【分析】直接计算平均数和40%分位数得到答案.

,1.65x2+1.7x3+1.75+1.8+1.85

［详解］a=-----------------------------=1.725.

O

由8x40%=3.2,得6=1.7.

故选：BC

10.某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场

现金购物卡，可用于以后在该商场消费.抽奖结果共分5个等级，等级工与购物卡的面值），（元）的

关系式为y=e3"+k,3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120元，且4等奖的面

值是5等奖的面值的3倍，则（）

A.a=-ln5B.k-15

C.1等奖的面值为3130元D.3等奖的面值为130元

【答案】ACD

【分析】根据题意得到4等奖比5等奖的面值多20元，结合3等奖比4等奖的面值多100元，列出

方程，求出a=—ln5,A正确；

再代入-e"）=100中，求出e3""=125,根据4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，求出％=5,

3等奖的面值，B错误，D正确；

根据e3"=125及a=-ln5,求出1等奖的面值，C正确.

【详解】由题意可知，4等奖比5等奖的面值多20元，

因为100・20=5,

所以〉+心吟卜=5,

则〃=-ln5,A正确；

3a+ha3a+6

由+无）=e（l-e）=100,可知e=125.

因为4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，所以e4"+"+Z=3（e5“+Z）,解得A=5,B错误；

则3等奖的面值为/+&+%=125+5=130元，D正确;

由e"+"+k=e3""-e口+々=125x25+5=3130,故1等奖的面值为3130元，C正确.

故选：ACD

11.已知抛物线C:f=4y的焦点为尸，过点尸的直线与抛物线C相交于A8两点，下列结论正确

的是（）

A.若4（4,4）,则|伸=5

B.若“（2,3）,则|A目+|AF|的最小值为5

C.以线段A3为直径的圆与直线y=-i相切

D.若AF=3F3，则直线A8的斜率为土百

【答案】AC

【分析】根据抛物线的焦半径公式即可判断A；过点A作准线y=-l的垂线，垂足为4,根据抛物

线的定义结合图象即可判断B；设点4,8的坐标分别为（西,乂）,（々,乃），直线AB的方程为>=入+1,

联立方程，利用韦达定理求得％+工2，%与，从而可得线段AB的中点坐标及长度，再求出中点到准线

的距离即可判断C；根据AF=3F8,可得（-6,1-乂）=3（々,%-1），结合C选项即可判断D.

【详解】解：抛物线V=4y的准线方程为y=-l,

对于A,由A（4,4）,得回=4+1=5,故A正确;

对于B,过点A作准线y=-l的垂线，垂足为A,

则|AE|+|AF|=|的+|A412%+1=4,

当且仅当AE,4三点共线时，取等号，

所以|A目+|A日的最小值为4,故B错误；

对于C,设点A,8的坐标分别为（玉,M）,（七,%）,直线A8的方程为丫=履+1,

联立方程F二4',，消去得V-4履-4=0,

[y=Ax+1

贝!JX]+%2=4左,玉%2=-4,y+必=4公+2,

则|转|=乂+必+2=4公+4,线段AB的中点为G（24,2二+1）,

点G到直线y=-l的距离为d=2公+2=^\AB\,

所以以A3为直径的圆与直线y=-l相切，故C正确；

对于D,因为AF=3FB，所以（-玉/一%）=3（々,%-1），可得知=一3，

A+*2=4k

由,内々=-4，

3X2=-x]

得]I；；；：',解得％=士*,故D错误.

故选：AC.

12.在正方体ABCD-A耳中，AB=4,G为CD的中点，点尸在线段BG上运动，点Q在棱3C上

运动，M为空间中任意一点，则下列结论正确的有（）

7TTT

A.异面直线。P与4。所成角的取值范围是

B.PQ+QG的最小值为2+2应

C.若3BP=2PG，则平面AGP截此正方体所得截面的面积是3亚

D.若M4+Affi>=8,当三棱锥A-MB。的体积最大时，其外接球的表面积为卓

【答案】ACD

【分析】根据空间几何的相关知识判断即可.

【详解】对于A,如图1,易知四边形ABG"为平行四边形，则AQ〃BG，所以OP与所成角

即为异面直线方尸与BGP在线段BG上运动，

717C

可知BG。是等边三角形，所以直线。尸与AR所成角的取值范围是

故A正确

对于B,如图2,展开平面GCBB1,使平面GCB4与平面A3C£）共面，过G作

交BG于点尸，交BC于点Q,则此时尸Q+QG最小，由题可知，GG=6,

则GP=3应，即PQ+QG的最小值为3正，

故B错误.

对于C,如图3,平面AGP截此正方体所得截面AG尸E,所以GF//AE,炸DH〃AE,则

/HDC=NEAB,AB=CD，NDCH=NABE,所以_3CH三_ABE,则

BPBE2

BE=CH=2CF.又因为“BEPCtFP,所以标=7r所以FG=3CF,

则BE=2CF=2,AG=2区AE=2GF=2遥,EF=4il,可求出SAGFE=3721,

故C正确.

对于3,如图4,因为M4+MD=8,所以在一个平面内，点〃的轨迹是以4。为焦点的椭圆.

又因为45=4,所以该椭圆的长轴长为8,短轴长为4g,故点〃的轨迹是以4。为焦点的椭球表

面.

设的中点为L,要使三棱锥A-MBD的体积最大，即"到平面他的距离最大，

所以当Me平面AQRA，且版J•平面4冷时，三棱锥的体积最大，

此时ML=26,MAD为等边三角形,设其中心为S,三棱锥A-"8。的外接

球的球心为。一48。的外心为K,连接OKQROS,则OK=SL=友,BK=20,

3

所以8O2=BK2+OK2=F，此时三棱锥A—MBD外接球的表面积S=4TTXOB2=5,

33

故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13.已知向量a=(2,-4),b=(43),若a_L(a+〃)，则2=.

【答案】-4

【分析】根据向量垂直列方程，化筒求得，的值.

【详解】因为a_L(a+®,

所以a.(a+b)=a-+q.b=20+22-12=0,

所以zl=-4.

故答案为：-4

14.将函数〃x)=sin(2x+£|的图象向左或向右平移以0<9<兀)个单位长度，得到函数g(x)的图

象，若g(x)是偶函数，则夕的一个取值可能为.

【答案】白(或粤)(只需从警中写一个答案即可)

1212121212121212

【分析】根据三角函数图象变换的知识求得g(x)的解析式，根据g(x)是偶函数列方程，化简求得。

的表达式，进而求得P的可能取值.

【详解】由题意可知g(x)=sin2(x±s)+W=sin(2x+g±2“.

因为g(x)是偶函数，所以1±29=E+],ZeZ,

所以土夕号+2&eZ.

因为。<9〈兀，

所以0的取值可能为粤.

12121212

।.人人.j..7T._45兀7兀11兀、I—,j—..।7C5冗7兀1ITTr,_,..».>arl_j.、

故答案为：-(或'1P77,五)(只需从石，石，石，五中写一个答案即可)

15.《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若从一个阳马的8条

棱中任取2条，则这2条棱所在直线互相垂直的概率为.

3

【答案】y

【分析】判断出阳马中，相互垂直的直线的对数，结合组合数的计算以及古典概型概率计算公式求

得正确答案.

【详解】不妨设PA_L底面A8CQ,

由于AB,BC,CD,ADu平面ABCD,所以PA_LA3,PA，BC,PA1CD,PALAD,

底面矩形有：AB±BC,AB±AD,CDrBC,CD±AD

由于43,42/%，4£>,43门上4=448,1%匚平面/归，所以A。，平面E4B,

由于P3u平面B4B,所以AO_LPB,由于8C7/AD,所以BC_LP3.

同理可证得AB±PD,CD±PD,

所以，在阳马尸-ABCD中，相互垂直的直线有12对，

123

故所求概率为四=不.

3

故答案为：—

四、双空题

7

16.己知(x+3y)(x-2y)6=4『+%x6y++i/gy；则％+出++[=；xV的系数为

【答案】4-240

【分析】令x=y=i求解第一空，根据二项式定理的展开公式求解第二空.

【详解】令x=y=l,得。1+%++«8=4x(-l)6=4,

因为x(x-2y,的展开式的通项为&产C"j(-2>/,

所以该展开式中//的系数为C：(-2)“=240.

因为3y(x-2y)6的展开式的通项为n…=3C*6T(_2)。1,

所以该展开式中//1的系数为3C：(-犷=-480.

故展开式中x3J4的系数为-240.

故答案为：4;-240.

五、解答题

A-L.C

17.在，ABC中，内角A,B,。的对边分别为a,b,c,且cosB+sin——=0.

⑴求角3的大小；

⑵若。：。=3:5,且AC边上的高为”也，求..ABC的周长.

14

【答案】(1),

⑵15

【分析】（1）利用三角形内角和及诱导公式得到sin空C=cosg,再利用余弦的倍角公式得到

22

2cos2—+cos--1=0,解得cos£=L,从而得到8="；

22223

（2）由〃，c比例引入常数用，利用三角形面积相等得到b=7加2,从而利用余弦定理得到关于机的

方程，解之即可得到a,8。，由此得解.

44-C

【详解】（1）因为sin—

所以由cosB+sin^^—=0得cos8+cos'=0,

22

所以2cos之O+cosO-l=0,

22

因为OVBVTC,所以0<与<=，则8sl>0,故COS与=1,

22222

ElB714心”2兀

则彳=彳，故8=—.

233

(2)因为c:a=5:3,令。=5〃2(w>0),则〃=3/n,

由三角形面积公式可得Lqcsin8=4xPJlJI5b=7ac=7xl5m2,故)=7〉，

2214

由余弦定理可得从=a2+c2-2accosB，则49余=49/，解得加=1，

从而々=3,c=5,b=7,故、ABC的周长为a+/?+c=15.

18.设正项数列｛q｝的前〃项和为S〃，且2S〃=a；+%-2.

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵若是首项为5,公差为2的等差数列，求数列｛4｝的前八项和小

【答案】（1）“"="+1

n2+4〃

7

⑵>4(〃+2)2

【分析】（1）利用S.与。”的关系，列出方程求出勺.

（2）根据题意求出口，利用裂项相消求和法，计算求出答案.

【详解】（1）因为2s“=a；+a,-2①，所以2s,-2（“22）②，

所以①一②得，2a,,=d+a,,-（a3+a,i）（〃N2）,B|J-a„=0（«>2）,

所以(4+)(%-4一1-1)=。("22).

因为。“>o，所以。“一氏一|-1=0,即

当"=1时，2s[=2q=a：+q-2,解得“=2或q=-l(舍去)，

则｛4｝是首项为2,公差为1的等差数列，

故为=4+(〃-1)4="+1,故a“="+l(neN,)

(2)由(1)可得师口"=[(〃+2)(〃+1)7=(”+2)2(〃+1)2.

因为｛(4+4)”.｝是首项为5,公差为2的等差数列，

所以(4+4)22=5+2(〃-1)=2〃+3,

2/1+3___1________1_

则”(n+2)2(n+l)2(n+1)2(几+2)2，

T,111111

故7>4+4++2=洛丞+?彳++谓广E

11"2+4〃

~4(n+2)2~4(n+2)2'

19.如图，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=BC=2,NABC=60。，将,AC。沿边AC翻折,

使点。翻折到尸点，且PB=2日

(1)证明：BC工平面PAC.

(2)若E为线段PC的中点，求二面角E-AB-C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵(物

【分析】(1)利用线面垂直判定定理去证明8c1平面PAC；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法去求二面角上-A3-C的余弦值.

【详解】(1)等腰梯形48co中，AD=BC=CD,AB//CD,ZABC=60°,

则ZC4B=ZACD=ZDAC=30°

则Z4CB=90°,/.ACIBC

又由BC'PC'BP?,可知BC_LPC

又PCcAC=C,ACu面PAC,PCu面PAC

故BC4面PAC

(2)过点C作CN,平面ABC,以C为原点，分别以C4、CB、CN

所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系

则C（0,0,0）,8（0,2,0）,A（2^,0,0）,《亭,0,g

则48=卜26,2,0）,£4=（|百,0,-；）

设面EAB法向量为机=（x,y,z）

-2y/3x+2y=0

tn-AB=0

则

mEA=0

令x=l,贝!=z=3>/3,则m=（1,J5,3百）

又面ABC一个法向量为〃=（0,0,1）

故二面角E-48-C的余弦值为最回

20.甲、乙两个同学去参加学校组织的百科知识大赛，规则如下：甲先答2道题，至少答对1道题，

乙同学才有机会答题，乙同样答2道题.每答对1题可以得50分，已知甲答对每道题的概率都是P,

乙答对第1道题的概率为:，答对第2道题的概率为:，乙有机会答题的概率为六.

⑴求。；

（2）求甲与乙总得分X的分布列与数学期望.

3

【答案】（l）P=：

（2）分布列见解析，竿

71

【分析】（1）甲先答2道题，至少答对1道题，乙才有机会答题，则有从而可求出

P的值；

（2）由题意可得随机变量X的可能取值为0,50,100,150,200,然后求出各自对应的概率，从而可X

的分布列与数学期望.

21

【详解】（1）甲先答2道题，至少答对1道题，乙才有机会答题，且乙有机会答题的概率为言，

21

所以1-（1-“）2=不，

43

所以（1一〃）2=嘏，解得

（2）随机变量X的可能取值为0,50,100,150,200,

则P(X=0)=(1)=4

25

32114

p（X=50）=C；X—X—X—X—

5553T25

X-X-+C132

P（X=100）=X—X—X

53255

112

P（X=150）—x—+—x—+c；x，幺然2=2

353255535

所以X的分布列为

X050100150200

4427224

r

251251255125

4427224608

贝l」E（X）=Ox—+50x—+100x—+150x-+200x—

,7251251255125

222

21.已知椭圆C：+讶=1(。>6>0)与椭圆三+弓=1的离心率相同，P为椭圆C上一

点.

(1)求椭圆C的方程.

(2)若过点的直线/与椭圆C相交于A,B两点,试问以AB为直径的圆是否经过定点T?若

存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

2

【答案】(1)f+匕=1

2

⑵存在r的坐标为(-1,0),理由见解析

【分析】(1)先求出椭圆看+d=1的离心率为正，由此得至lj〃=»2,将点P的坐标代入椭圆

842

C,得到工+二=1,再代入/=2加，解得〃=1,注=2,则可得结果；

2b~a~

(2)先用两个特殊圆求出交点(-1,0),再猜想以AB为直径的圆经过定点T(-l,0),再证明猜想，设

直线/:x=my+:，并与V+X=l联立，利用韦达定理得到y+%，X%，进一步得到内+々，为与，

32

利用乂+%，M%，%+々，王々证明74-T8=0即可.

【详解】（I）在椭圆片+片=1中，％=20,々=2,q=>/^4=2,离心率6=2=-4==立,

11

84at2V22

在椭圆C：a+lMig>人〉。)中，e=£=位二二匕=Jl_%，

所以化简得〃=»2,

因为P(等,1)在椭圆C：捺+5=1(">"0)上，

所以4+，=「所以奈+看"所以从=1，/=2,

2

所以椭圆C：x2+21=1.

2

(2)当直线/的斜率为0时，线段A8是椭圆的短轴，以AB为直径的圆的方程为犬+/=1,

1d4

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为X=g,代入/+'=1，得^=±1，以A8为直径的圆的

方程为(x-gy+y2=与,

由此猜想存在T(-1，O),使得以AB为直径的圆是经过定点T(-1,O),

证明如下：

当直线I的斜率不为0且斜率存在时，设直线l:x=my^,

1

A-rnyi—

联立23,消去X并整理得（加+328c

y2-+-my--=0,

2=12

2

A42,21、8八

A=一m+4（加+-）•一＞（）,

929

设A（%，x）、B（x2,y2）,

2m8

J2

3（，/+2）9（W+-）

2m22

112

=1+

则%+多=myl+-+my2+-=m（yi+y2）+-3（加+g）3

10/i

9（＞n2+1）9，

因为77V78=（%+1，%＞（%+1，%）=（占+1）（w+1）+弘治=xlx2+xl+x2+\+yty2

=0>

所以Z4_L7B,所以点7(-1，0)在以AB为直径的圆上，

综上所述：以A8为直径的圆是经过定点7(7,0).

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为(4凶),(孙必)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x