2023届天津部分区高三年级下册期第二次模拟考试数学试题理试题

2023届天津部分区高三下期第二次模拟考试数学试题理试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列四个结论中正确的个数是

(1)对于命题/，与/eR使得看一1《0,则都有尤2-1>0；

(2)已知XN(2,a2),则P(X>2)=0.5

(3)已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为9=21-3；

(4)“x21”是“x+工22”的充分不必要条件.

X

A.1B.2C.3D.4

2.若点位于由曲线二=二二.•与二=.围成的封闭区域内(包括边界)，则的取值范围是()

A-Tl]B-[-15]C--J]U[3.+x)D-(-X.-«]U[/.+x)

3.已知向量a,8满足|a|=L仍1=2,且。与〃的夹角为120。，则3可=()

A.VFTB.737C.2>/10D.底

4.已知命题〃：“关于》的方程4x+a=0有实根”，若力为真命题的充分不必要条件为a>3加+1,则实数〃?

的取值范围是()

A.[l,+oo)B.(1,+?)C.(-oo,l)D.

5.已知集合A={-l,0,l,2},B={x|(x+l)(x-2)<0},则集合4B的真子集的个数是()

A.8B.7C.4D.3

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

7.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆£：:「+马=1（。＞方〉0）的右焦点为尸（c,0）,若产到直线2"—协=（）的

a~b~

距离为多,则E的离心率为（）

A.3B.1C.也D.也

2223

8.点"在曲线G:y=31nx上，过“作x轴垂线/,设/与曲线y=，交于点N,。尸="土竺，且。点的纵坐

x3

标始终为0,则称“点为曲线G上的“水平黄金点”，则曲线G上的“水平黄金点”的个数为（）

A.（）B.1C.2D.3

9.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂

口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%）,根据该图，以下结论一定正确的是（）

A.2019年该工厂的棉签产量最少

B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显

C.三年累计下来产量最多的是口罩

D.口罩的产量逐年增加

10.国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入.某研究

机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表

可知下列叙述错误的是（）

201（）-2018年国家财政件教育经费投入情况及其在CDP中的占比情况（单位：亿元,％）

500005.00%

4.28%4.16%4.10%4.26%4.22%4.14%411%4.50%

45000

400003.66%”36990400%

35000

30000

25000一Y管熊

20000TiH

1500()

10000

5000

0

201020112012201320142015201620172018

■i财i政性l教育L经费支出J（亿元）■I财L政性教育经L费占GDPh比田：（％）

A.随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长

B.2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP比例持续7年保持在4%以上

C.从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿

D.从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年

11.若圆锥轴截面面积为26,母线与底面所成角为60。，则体积为（）

A石RV6n2屈

A•-----ZTB・-----7CC・---------7[D.------7C

3333

12.已知集合4={xH<xv2},B={x\x>l),则4UB=

A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+oo)D.(1,+oo)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知[1+L](l_2x)7=,2711

+q)+qx+%x+—\-ax,则的三

xn

a0+ay+a2-\-----i-a7=______________________________

14.设函数/（x）='+2019,xWO,则满足一力>了㈠此的8的取值范围为______.

2020,x>0'7

15.已知同=忖=2,（a+2b）\d-b）=-2,则a与匕的夹角为.

16.设P为有公共焦点片,心的椭圆G与双曲线的一个交点，且椭圆G的离心率为4,双曲线G的

离心率为e2,若e?=3e,,则q=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AABC中，内角A8,C的对边分别是已知A=2,从+c?-走前c=".

33

(1)求。的值；

(2)若b=l,求AABC的面积.

18.(12分)在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城

镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.

(1)填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？

城镇居民农村居民合计

经常阅读10030

不经常阅读

合计200

(2)从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为X,若用

样本的频率作为概率，求随机变量X的期望.

虫，〃2n(ad-hcY_t

附：K~--------------------------,其中〃=a+b+c+d・

(Q+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(K2>k)

00.100.050.0250.0100.0050.001

%)2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(12分)已知数列｛4｝的各项均为正数，且满足力—(〃+1)%-2〃2一”=0.

(1)求4,%及｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛2%｝的前〃项和S,.

20.(12分)如图，在直三棱柱ABC-%片&中，AB=AC=O,BC=AAi=2,。为8c的中点，点M在线

段AA上，且QW平面CB4.

(1)求证：AM=.

(2)求平面MOq与平面C片4所成二面角的正弦值.

21.（12分）在ABC中，ZB=-,cosC=—.

43

（1）求cosA的值；

（2）点D为边BC上的动点（不与。点重合），设4）=4。。，求之的取值范围.

22.（10分）已知函数〃同=色孚旬，其中ae/?.

（1）当a=0时，求/'（X）在（1,7（功的切线方程；

（2）求证：/（x）的极大值恒大于0.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可

判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要

条件的判定方法，即可判定.

【详解】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题pH/eR使得片-140,则都有

x2-l>0,是错误的；

（2）中，已知X〜N（2,b2）,正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为x=2,所以P（X>2）=0.5是正确的;

（3）中，回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为（4,5）,由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得

回归直线方程为y=2x-3是正确

(4)中，当xNl时，可得》+,22、长！=2成立，当x+，N2时，只需满足x>0,所以“x21”是“x+工N2”

X\XXX

成立的充分不必要条件.

【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性

质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于

基础题.

2、D

【解析】

画出曲线二=二一二与二=；围成的封闭区域，「表示封闭区域内的点二，二和定点：连线的斜率，然后结合

图形求解可得所求范围.

【详解】

画出曲线:=-_.与二=.围成的封闭区域，如图阴影部分所示.

表示封闭区域内的点--和定点-—一连线的斜率,

设，结合图形可得二z二二或二m二二,

0-J

由题意得点A,B的坐标分别为.

2J或二MT

的取值范围为_—刃u[上+/•

故选D.

【点睛】

解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线

所围成的封闭区域.考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题.

3、D

【解析】

先计算“出，然后将卜-3可进行平方,，可得结果.

【详解】

由题意可得：

a-ft=|t7||z?|cosl20=lx2x[-g=—1

-a-6ab+9b=1+6+36=43

.•.则卜-30=屈.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。

4、B

【解析】

命题p：«<4,~1P为“>4,又力为真命题的充分不必要条件为a>3/〃+1,故3加+1>4=机>1

5、D

【解析】

转化条件得A3={0,1},利用元素个数为〃的集合真子集个数为2"-1个即可得解.

【详解】

由题意得B={x|(x+l)(x-2)<0}={x\-\<x<2},

・•.AB={O,1},.•.集合AB的真子集的个数为22—1=3个.

故选：D.

【点睛】

本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.

6、C

【解析】

首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出

几何体的体积.

【详解】

解：根据几何体的三视图转换为几何体为：

该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，

如图所示：

故：V=-x2x2x2--xlxlxlx2=—.

2323

故选：C.

【点睛】

本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.

7、A

【解析】

r\1

由已知可得到直线2区一0=()的倾斜角为45,有上=1,再利用即可解决.

a

【详解】

由F到直线2区-阪=()的距离为电c,得直线2芯一ay=()的倾斜角为45，所以殳=1,

2a

即4(/一。2)=°2,解得e=g.

故选：A.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于a,b,c的方程或不等式，本题是一道容易

题.

8、C

【解析】

设MQ,3Inf)，则N[,则OP=1*Inf,即可得In/+1=0,设g(/)=In/+(，利用导函数判断g的零

点的个数，即为所求.

【详解】

设M(，,31nt),则所以“=也也+

\)3(33tJ

依题意可得lnr+t=O,

设g("3+《,则g«)u=攀，

当0</<；时,g'Q)<0,则g⑺单调递减；当f>g时,g'Q)>0,则g(t)单调递增，

所以g«)min=g(；)=lTn3<0,且g(，]=-2+?>0,g6=g〉O,

g«)=hlr=0有两个不同的解，所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为2.

故选:C

【点睛】

本题考查利用导函数处理零点问题，考查向量的坐标运算，考查零点存在性定理的应用.

9、C

【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的

正误.综合可得出结论.

【详解】

由于该工厂2017年至2019年的产量未知，所以，从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法

比较，故A、B、D选项错误；

由堆积图可知，从2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最

多的是口罩，C选项正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.

10、C

【解析】

观察图表，判断四个选项是否正确.

【详解】

由表易知A、B、。项均正确，2010年中国GOP为任四。41万亿元，2018年中国GDP为当型=90万亿元,

3.55%4.11%

则从2010年至2018年，中国GOP的总值大约增加49万亿，故C项错误.

【点睛】

本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础.

11、D

【解析】

设圆锥底面圆的半径为小由轴截面面积为2g可得半径，再利用圆锥体积公式计算即可.

【详解】

设圆锥底面圆的半径为r,由已知，|x2rx73r=2V3,解得「=友,

所以圆锥的体积V=2"产*百尸=亚》.

33

故选：D

【点睛】

本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.

12、C

【解析】

根据并集的求法直接求出结果.

【详解】

VA={x|-l<x<2},B={x|>l},

AB-(—1,+oo),

故选C.

【点睛】

考查并集的求法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、—196-3

【解析】

由二项式定理及二项式展开式通项得：a2=(-2)2C；+(-2)3C；=-196，令x=L则l+ao+ai+...+a?=(1+1)x(1-2)

7=-2,所以ao+ai+…+s=-3,得解.

【详解】

由二项式(1-21)7展开式的通项得配|=C；(―2x)’，

3

贝!)a2=(—2)2C；+(-2)C=-196,

令x=l,贝!j1+a。+4+...+cij=(l+l)x(l—2)=—2)

所以ao+4i+…+。7=—3,

故答案为：T96,-3.

【点睛】

本题考查二项式定理及其通项，属于中等题.

14、(l,4w)

【解析】

当xWO时，函数单调递增，当x>0时，函数为常数，故需满足V一4>—3X，且—3X<0,解得答案.

【详解】

++2019%<0

/(x)=<'一，当xWO时，函数单调递增，当x>0时，函数为常数，

2020,尤>0

/(f-4)>/(-3x)需满足1一4>一3%，且一3x<0,解得x>L

故答案为：(l,4w).

【点睛】

本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

15、60°

【解析】

根据已知条件3+28).(4-〃)=-2,去括号得：|«|'+«­/?-2|/?|=4+2x2xcos8-2x4=-2,

=>cose=Le=60"

2

16、—

3

【解析】

设/月AF)=20

根据椭圆的几何性质可得SJF\F2=b；tane=b-

CC.72

.6]=一,••.〃[=—，:.b、=q-c=cU-1

ae

\el\l

A2

根据双曲线的几何性质可得，S^PF[F2=^^=b^

tan8

\

:.吠=c2-a1=c2

7

2

3CIe；,

即-l+A-Z3e1=e,：.e[=@

e~e；,3

故答案为更

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)百；(2)旦.

2

【解析】

(1)由〃+。2-1而c=〃，利用余弦定理可得2"cosA=^abc,结合A=工可得结果；

333

jTTTT

(2)由正弦定理sin8=-，B=~,利用三角形内角和定理可得。=一，由三角形面积公式可得结果.

262

【详解】

(1)由题意，得/+。2一/=2历.

3

■:b1+c2—a1=IbccosA・

・・2/?ccosA=—abc

39

VA=《,a=2>/§cosA=>/3・

(2)•・・"6,

由正弦定理=一也，可得sin8=’.

sinAsinB2

71

Va>b,:.B=一,

6

TT

:.C=7t—A—B=—.

2

'SMBC=；而也。=与•

【点睛】

本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：(1)

a1=b2+c2-IbccosAx(2)cosA="+c2，,同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、

2bc

三角函数有关的问题时，还需要记住30°,45°,60〃等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

25

18、(1)见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)E(X)=—

【解析】

(1)根据题意填写列联表，利用公式求出长2,比较K?与6.635的大小得结论；

(2)由样本数据可得经常阅读的人的概率是土，根据二项分布的期望公式计算可得；

【详解】

解：(1)由题意可得：

城镇居民农村居民合计

经常阅读10030130

不经常阅读403070

合计14060200

m“2200x(100x30—40x30)2

则K=-------------------------------®8.477>6.635，

140x60x130x70

所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.

(2)根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是且乂~8(5,：),所以随

525

机变量X的期望为E(X)=5x-=—.

77

【点睛】

本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的数学期望的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

19、(1)4=3；4=5.6,=2〃+1；(2)S“=g(4"-1)

【解析】

(1)根据题意，知。“>0,且片—(〃+1)%—2〃2一〃=0,令〃=]和〃=2即可求出4,a2,以及运用递推关系求

出｛《,｝的通项公式；

(2)通过定义法证明出也｝是首项为8,公比为4的等比数列，利用等比数列的前〃项和公式，即可求得｛乎｝的前〃

项和s“.

【详解】

解：(1)由题可知，4>0,且a；—+-2斤一九二。，

当〃=1时，_2〃]_3=0,则q=3,

=

当〃=2时，—3^2-10=0,6?25,

由已知可得(4+〃)[〃〃一(2〃+1)]=。且>0,

・・・｛4｝的通项公式：an=2n+\.

(2)设r=2册,则a二22"、

b?2w+1

所以/~=R=22=4,乙=23=8,

bn-l2

得｛〃｝是首项为8,公比为4的等比数列，

所以数列也｝的前〃项和S“为：

S“=4+%++bn,

8(1-4")

|(4”一力

即S“=23+2'+…+22'"i=

1-4

所以数列｛2""｝的前〃项和：S“=|(4"-l).

【点睛】

本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前〃项和公式，考查计算能力.

20、见解析

【解析】

(1)如图，连接BG，交C用于点N,连接AN,ON,则N为c用的中点,

因为。为8。的中点，所以ON//BB、,

又所以ONMWA，从而。，N,A，〃四点共面.

因为0M平面C31A，。!似U平面0241何，平面次41v「平面=M41,所以O河〃NA,.

又ON//MA、,所以四边形CW4M为平行四边形，

所以5=0N=g881，所以AM=A,M

(2)因为AB=AC,。为BC的中点，所以AO_L6C,

又三棱柱ABC-4B|G是直三棱柱，ON〃BB、,

所以。4,OB,ON互相垂直，分别以。8，ON，Q4的方向为x轴、)'轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系。一肛z,

因为A6=AC=0，8C=A4,=2,所以0((),(),()),B,(l,2,0),M(0,1,1),C(-l,0,0),

所以OM=惘=(0,1,1),OB,=(1,2,0),CB,=(2,2,0).

/、OMm=0fy+z=0

设平面MO片的法向量为m=(x,y,z),贝叶，即1,

OB,m=0[x+2y=0

令z=l,可得y=-l,x=2,所以平面MO瓦的一个法向量为%=(2,-1,1).

NA.n=0f/?+c=O

设平面egA的法向量为〃=(a,b,c),贝IIc仆]即

令c=l,可得。=—1,a=l,所以平面CB同的一个法向量为〃=(1,-L1),

2xl-lx(-l)+lxl4_20

所以cos〈/n,"〉=

V22+(-l)2+l2-712+(-1)2+123夜一3

所以平面MOB,与平面CB,A所成二面角的正弦值为1.

21'(1)Z^(2)2e[td

【解析】

(1)先利用同角的三角函数关系求得sinC,再由cosA=cos万一7-。求解即可;

ADDC.AD