河北省邯郸市第十三中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含答案解析）

河北省邯郸市第十三中学2023-2024学年九年级上学期期中

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.一元二次方程d一2苫-2=0的一次项系数是（）

A.—2xB.2xC.—2D.2

2.在平面内与点尸的距离为1cm的点的个数为（）

A.无数个B.3个C.2个D.1个

3.抛物线＞=-3尤2的开口方向是（）

A.向上B.向下C.向右D.向左

4.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.以下是在棋谱中截

取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（

D.(2,-3)

6.按图中所示的排列规律，在空格中应填（）

7.若尸与A。,3）关于原点对称，则点尸落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.己知。的半径为3,平面内有一点到圆心。的距离为5,则此点可能是（）

N・

P

A.P点B.。点C.M点D.N点

9.用配方法解方程炉-2x=2时，左右两边需同时加上常数是()

A.1B.-2C.2D.-1

10.如图所示的正方形网格中，A,B,C三点均在格点上，那么A8C的外接圆圆心是

()

A.点EB.点尸C.点GD.点、H

11.以尤=4±'16+4£为根的一元二次方程可能是()

2

A.X2—4x-c=0B.x2+4x-c=0C.x2—4x+c=0D.x2+4x+c=0

12.如图，将二ABC绕点A按逆时针方向旋转100。，得到VADE,若点。恰好在BC的

延长线上，则4犯E的度数为()

A.100°B.80°C.70°D.60°

13.随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降，两年前生产一吨药的成本是

6000元，现在生产一吨药的成本是5000元.设生产成本的年平均下降率为x,下列所

列的方程正确的是()

A.6000(1+X)2=5000B.5000(1+%)2=6000

C.6000(1-x)2=5000D.5000(1-%)2=6000

14.如图，二次函数y=办~-2分+1(“<0)的图象所在坐标系的原点是()

试卷第2页，共6页

A.点。।B.点。2C.点。3D.点。4

15.如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即。3

的长度）是1米.当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射

的最远水平距离0c是（）

A.20米B.18米C.10米D.8米

16.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如示意图，AC,

8。分别与；。相切于点C,。,延长AC,8。交于点P.若/尸=120。,<。的半径为5cm,

则图中弧8的长为cm.（结果保留万）

P

A5八5八25「25

A.-71B.—7TC.一兀D.——兀

3636

二、填空题

17.已知方程/+履一2=0的一个根是1,则上的值是.

18.将抛物线y=一向上平移个单位长度，再向平移5个单位长度，所

得的抛物线为y=a-5>+3.

19.如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB=32米，拱高CD=8米（C为A8

的中点，。为弧的中点）.

D

(1)该圆弧所在圆心在直线______上；

(2)该圆弧所在圆的半径是米；

(3)在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，桥墩的高度斯=米.

三、解答题

20.如图，AO是一ASC的中线，画出以。为对称中心，与ASC成中心对称的三角形.

21.如图，在,ASC中，=20°,ZACB=30°,AB=2cm,ASC逆时针旋转一定角度

后与VADE重合，且点C恰好成为AD的中点.

(1)旋转中心为;

(2)求出NBAE的度数和AE的长.

22.嘉淇在解一元二次方程V一2x+-=0时，发现常数项被污染.

⑴若猜出这个常数项为0,请解一元二次方程f-ZxnO;

(2)老师告诉嘉淇这个方程有两个实数根，求被污染的常数项的最大值.

23.如图，四边形ABCD内接于。，AC为O的直径，ZADB=NCDB.

B

(1)试判断ABC的形状，并给出证明;

试卷第4页，共6页

⑵若A8=5后,AD=6,求CO的长度.

24.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax(x-4)(aw0)与无轴相交于A、8两点，且A

点在8点的左侧，点C在其对称轴上，且点C的纵坐标为2.

(1)求AABC的面积；

(2)若-24x44时，二次函数y=or(x—4)(aw0)有最小值为Y,求a的值.

25.如图1,直线4与直线4相交于。点，在直线4上取两点A3,且。4=08=1,在直

线&上取两点C、。.且OC=OD=2,以为直径作小半圆，以C。为直径作大半圆.连

⑴求证：AC//BD；

⑵求阴影部分的面积；

⑶如图2,若C4切小半圆于A点，连接CE,求证：CE也是小半圆的切线.

26.某企业计划每天生产甲、乙两种品牌的电器分别为30台和20台，且当天生产的电

器均能在市场上售出.根据市场调查反馈，在一段时间内乙电器的需求量较大，该企业

决定在保持目生产总量不变的条件下，每天增加生产乙电器x台，这样发现：日销售两

种电器的总利润W(元)与x(台)满足如下函数关系式：W=ax2+bx+16000,在生产销

售过程中，还可以获得如下数据：

台)510

W（台）1625016000

⑴求。、6的值；

⑵若实际每天生产乙种电器的台数不低于甲种电器的14倍，求W的最大值.

(3)若在生产过程中，每台电器均可以节约加元(租为整数)的成本，设此时日销售总利

润为。(元)，该企业的财务部门，经过核算发现.当。大于17220元时，有3种不同的

生产方案，求加的值.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.C

【分析】根据一元二次方程的一般形式办2+6x+c=0中，云叫做方程的一次项，其中6是

一次项系数进行解答.

【详解】解：一元二次方程/一2工-2=0的一次项系数是-2,

故选：C

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其各项的概念，掌握一元二次方程的一般形

式6?+法+c=0中，冰2叫做方程的二次项，其中。是二次项系数，云叫做方程的一次项，

其中b是一次项系数，c叫做方程的常数项是解题关键.

2.A

【分析】根据在平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆进行求解即可.

【详解】解：：在平面内与点尸的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上，

在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为无数个，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了圆的定义，熟知圆的定义是解题的关键.

3.B

【分析】根据二次函数的性质求解即可.

【详解】解：y=

ci——<0,

3

二次函数的图像开口向下，

故选：B

【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质.

4.C

【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够

与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案.

【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来

的图形重合，所以不是中心对称图形；

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心

对称图形；

答案第1页，共14页

故选：c.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心.

5.A

【分析】根据函数的性质解答即可.

【详解】•••抛物线y=*+3,

，顶点坐标是（0,3）,

故选：A.

【点睛】此题考查二次函数了=依2+。的性质：图象顶点坐标为（0,c）,熟记各形式函数

解析式的性质是解题的关键.

6.A

【分析】观察所给图形，发现旋转的规律即可得到答案.

【详解】解：观察图形可得：图形绕三角形的中心按顺时针方向转动90。，

,按图中所示的排列规律，在空格中应填,

故选：A.

【点睛】本题考查了图形类规律探索，观察图形得到图形绕三角形的中心按顺时针方向转动

90。是解题的关键.

7.C

【分析】关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数，求出A点对称点的坐标，判断其象限即

可.

【详解】解：:•关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数，

A（L3）关于原点对称的点为：尸

故尸点在第三象限，

故选：C.

【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键.

8.D

【分析】根据点到圆心。的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案.

【详解】解：：平面内有一点到圆心。的距离为5,5>3.

该点在圆外，

答案第2页，共14页

.••点N符合要求.

故选：D.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当

点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外.

9.A

【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

【详解】解：T-2X=2,

.-.x2-2x+l=2+l,即（x-iy=3,

.••用配方法解方程，-2X=2时，左右两边需同时加上常数是1,

故选：A.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题

的关键.

10.C

【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论.

【详解】解：作线段A8和线段BC的垂直平分线，两线交于点G,

则AABC的外接圆圆心是点G,

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键.

11.A

【分析】根据求根公式逐一判断即可.

【详解】解：A.此方程的根为户4±'6+4%符合题意；

2

B.此方程的根为A一4±016+4c,不符合题意；

2

C.此方程的根为x=4±"16-4c,不符合题意；

2

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D.此方程的根为a一山16-4c,不符合题意；

2

故选：A.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程一公式法，解题的关键是掌握求根公式.

12.B

【分析】根据.ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到，可得胡=ZM,NBAD=100°,

ZABC=ZADE,根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到答案；

【详解】解：:,ABC绕点A按逆时针方向旋转100。得到VADE,

ABA=DA.ZBAD=100°,ZABC=ZADE

：.ZABC=ZADB=ZADE=1(180°-100°)=40°

ZBDE=ABDA+ZADE=40°+40°=80°,

故选：B.

【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据

旋转得到角度的代换.

13.C

【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，通过设出生产成本的年平均下

降率为x,从而得到第一次下降后的成本为6000(1-x)元，第二次下降后的成本为

6000(1-x)2元是解题的关键.

【详解】解：设生产成本的年平均下降率为X,

由题意得，6000(1-x)2=5000,

故选C.

14.B

【分析】把二次函数的解析式化为顶点式，即可找出对称轴，即可得到所在坐标系的原点.

［详解］解：Vy=ax2-2(ax+l(fl<0),

y=ax2—2ax+1=a(x2—2尤+1)—a+l=a(x—I)2—a+1,

••.对称轴是x=l,

.•.点是二次函数所在坐标系的原点；

故选：B.

答案第4页，共14页

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是把二次函数的解析式正确的化为顶点式.

15.A

【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与x轴的交点坐标即可求解.

【详解】解：•••喷水头的高度（即的长度）是1米.当喷射出的水流距离喷水头8米时，

达到最大高度L8米，

设抛物线解析式为y=a（x-8），L8,将点（0,1）代入，得

1=64a+1.8

解得T

19

•••抛物线解析式为＞=（x-8）-+1.8

ot）

令尸0,解得x=20（负值舍去）

即C（20,0）,

:.OC=20

故选：A

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键.

16.A

【分析】连接OC,OD,利用切线的性质得到NOCP=/ODP=90。，再结合/尸=120。求

得圆心角NCOD的度数，最后利用弧长公式即可求解.

【详解】如图，连接OC,O。，

,/AC,2。分别与（。相切于点C,D,

：.OC±AC,OD1BD,

：./OCP=NODP=90。，

又•:ZP=120°,

/COD=360°-ZP-ZOCP-ZODP=60°,

60〃x55

CO的长=--71

1803

故选：A

答案第5页，共14页

B

y

p

【点睛】本题考查了切线的性质和弧长公式的运用，利用四边形的内角和等于360。求得圆

心角的度数是解题的关键.

17.1

【分析】把A1代入方程计算求解即可.

【详解】；方程I+?-2=0的一个根是1,

.•.1+上一2=0,

解得仁1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的

定义是解题的关键.

18.3右

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解.

【详解】将抛物线y=v向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线

为y=(x-5>+3,

故答案为：3；右.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移规律是解题的关键.

19.DC；20；4.

【分析】连接AD,BD,证明△ACD四△3CD,即可得到结合垂径定理即可

得到答空1答案,找到圆心0结合勾股定理即可得到答空2答案，连接OE,过。作OQ，麻，

根据勾股定理即可得到答案；

【详解】解：连接AD,BD,

:。为弧A3的中点，

••AD=BD>

，AD=BD,

为A8的中点，

答案第6页，共14页

:.AC=BC,

在，ACD与△BCD中，

AD=BD

9：\AC=BC,

CD=CD

：..ACD^,BCD(SSS)

：.CDLAB,

・•・该圆弧所在圆心在直线8上，

故答空1答案为：CD；

如图找到圆心0,

VAB=32,8=8,

OC=r—89AO=16,

A162+(r-8)2=r2,

解得：r=20,

连接0E,过。作。。，族，

由题意可得，EB=4,

・•・O石=20—4=16,

FQ=4202-1&=12,

VDCLAB,OQLEF,EFLAB,

四边形OCE。是矩形，

OC=EQ=20—8=12,

J所=16-12=4,

答案第7页，共14页

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是作出图形

找到相应的直角三角形.

20.见解析

【分析】延长AD到A，使AO=AD,则"'(方为所作.

【详解】解：如图，AA'CB与...ABC关于。点中心对称.

【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，

对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应

点，顺次连接得出旋转后的图形.

21.⑴点4

(2)100°,1cm

【分析】(1)根据图形和旋转中心的定义即可得出结论；

(2)根据旋转的性质得出NE4T>=NC4B=13O。，AE^AC,AD=AB=2cm,即可求出

-54E,根据中点的定义可得AC=gAO=lcm,则AE=AC=lcm.

【详解】(1)解：由图可知，旋转中心为点4

故答案为：点4

(2)解：VZB=20°,ZACB=30°,

ZBAC=130°,

ABC逆时针旋转一定角度后与VADE重合，

ZEAD=ZCAB=130°,AE=AC,AZ)=AB=2cm,

ZBAE=360°-130°x2=100°,

:点C恰好成为AD的中点，

AC=—AD=1cm,

2

AE=AC=lcm.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应角相等.

答案第8页，共14页

22.（l）Xj=2,X2=Q

（2）1

【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）利用根的判别式，列式计算即可.

【详解】⑴解：炉-2尤=0,

左边因式分解得，x（尤-2）=0,

x=0或x—2=0,

解得，玉=2,x2=0.

（2）解：设这个常数项为c,依题意得，

A=（-2）2-4C>0,

解得CW1,

被污染常数项的最大值为L

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程,根的判别式,解题的关键是熟练掌握根的判别式，

一元二次方程依2+bx+c=0（aw0）的根与A=b2-4qc有如下关系：当A>0时，方程有两个

不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当△<（）时，方程无实数根.

23.（1）一ABC是等腰直角三角形，证明见解析；

⑵8.

【分析】（1）根据圆周角定理可得ZABC=90。，由NAZM=/CDB根据等弧对等角可得

ZACB=/CAB,即可证明；

（2）RtABC中由勾股定理可得AC,RtADC中由勾股定理求得CO即可；

【详解】（1）解：ABC是等腰直角三角形，

证明过程如下：

AC为。的直径，

ZADC=ZABC=90°,

ZADB=NCDB,

AB=BC，

答案第9页，共14页

/.AB=BC,

又・ZABC=90°,

：.ABC是等腰直角三角形.

（2）解：ABC是等腰直角三角形，

BC=AB=5y[2，

AC=^AB2+BC2=10，

RtADC中，ZADC=90。，AT>=6,则CD=J4c2-AD，=8,

:.CD=8.

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等

弧对等角是解题关键.

24.（1）“ABC的面积=4

⑵1或1

【分析】（1）根据抛物线与x轴交于A、8两点求出它们的坐标，进而求出AB=4,根据在

y轴上的点C的纵坐标是2,求出C到x轴的距离，再利用三角形面积公式求解；

（2）根据抛物线有最小值求出它的对称轴和顶点坐标，再根据抛物线开口向上和向下来求

解〃的值.

【详解】（1）解：依（1—4）（〃乙°）=0

=0,9=4

A（0,0）,B（4,0）

/.AB=4

:点C在其对称轴上，且点C的纵坐标为2

.•.点C到无轴的距离为2

ABC的面积=！x4x2=4

2

（2）解：:,抛物线y=or（x—4）=改2—4ax=a（x—2）~—4。，

对称轴为直线x=2,顶点坐标为（2,Ta）

当。>0时，抛物线的开口方向向上，

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因止匕x=2时，y=-Aa=-4

解得，a=l

当a<0时，抛物线的开口方向向下

由于2—(-2)>4—2

因此x=—2时，y^a(-2-2)2-4a=12a^-4,

解得，a=

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，与坐标轴的交点坐标，三角形面积的求法.理

解相关知识是解答关键.

25.⑴见解析

⑵|兀

(3)见解析

【分析】(1)证明AOC^BOD(SAS),即可得到=从而即可得证；

(2)由△AOC丝△88可得阴影部分的面积=S大半圆-S小半圆，代入数据进行计算即可得到

答案；

(3)由切线的性质可得/Q4c=90。，设4交小半圆于尸，连接AF，由直角三角形的性质

可得。4=0/=”，从而推出，40厂是等边三角形，得到NAOC=60。，NACO=30。，再

由等腰三角形的性质及三角形外角的定义及性质可得Z.OCE=30。，过点。作O暇，CE于M

点，由角平分线的性质可得OM=Q4,由此即可得证.

【详解】(1)证明：OA=OB,ZAOC=ZBOD,OC=OD,

AOC^BOD(SAS),

:.ZACO=ZBDO,

:.AC//BD,

(2)解：AOCqBOD,

阴影部分的面积=S大半圆_S小半圆=/(22-F)=|•兀；