专题01 平面向量的概念（四大考点）（原卷版）

专题01平面向量的概念思维导图核心考点聚焦考点一、向量的基本概念考点二、向量的表示方法考点三、利用向量相等或共线进行证明考点四、向量知识在实际问题中的简单应用知识点一：向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．知识点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．知识点二：向量的表示法1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．知识点三：向量的有关概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．知识点诠释：（1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位的向量．知识点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．知识点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．规定：与任一向量共线．知识点诠释：1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．考点剖析考点一：向量的基本概念例1．（2024·山西阳泉·高一阳泉市第十一中学校校考）下列命题中真命题的个数是（

）（1）温度､速度､位移､功都是向量（2）零向量没有方向（3）向量的模一定是正数（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量A．0 B．1 C．2 D．3例2．（2024·高一课时练习）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个例3．（2024·高一课时练习）下列各式中不表示向量的是（）A． B． C． D．，，且变式1．（2024·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（

）A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离考点二：向量的表示方法例4．（2024·全国·高一随堂练习）用有向线段表示下列物体运动的速度．(1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）；(2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）．例5．（2024·全国·高一随堂练习）用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）．例6．（2024·全国·高一随堂练习）在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移．变式2．（2024·全国·高一随堂练习）画图表示小船的下列位移（用的比例尺）：(1)由A地向东北方向航行15km到达B地；(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地；(3)由C地向正南方向航行20km到达D地．考点三：利用向量相等或共线进行证明例7．（2024·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)，点A在点O北偏西45°方向；(2)，点B在点O正南方向．例8．（2024·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与共线的向量；(2)确定与相等的向量；(3)与相等吗？例9．（2024·高一校考课时练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心.

(1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个?(2)图中所示的向量中与共线的向量有几个?变式3．（2024·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量，使；(2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？考点四：向量知识在实际问题中的简单应用例10．（2024·全国·高一随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：nmile）．

例11．（2024·高一课时练习）某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和．例12．（2024·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．（1）试作出向量；（2）求．变式4．（2024·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．过关检测一、单选题1．（2024·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则C． D．若，则2．（2024·陕西西安·高一校考阶段练习）下列各命题中，正确的是（

）A．若，则或B．与非零向量共线的单位向量是C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量D．若，则3．（2024·高一校考课时练习）如果将平面内所有单位向量的起点放在同一点，那么它们的终点构成的图形是（

）A．正方形 B．圆 C．线段 D．点4．（2024·高一课时练习）在下列结论中，正确的结论为（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．，，则5．（2024·高一课时练习）设是正方形ABCD的中心，则（

）A．向量，，，是相等的向量B．向量，，，是平行的向量C．向量，，，是模不全相等的向量D．，6．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（

）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为矩形C．若，且，则四边形为矩形D．若，且，则四边形为梯形7．（2024·陕西渭南·高一统考期末）设是单位向量，，，，则四边形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形8．（2024·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（）

A． B．C． D．二、多选题9．（2024·四川眉山·高一校考）给出下列命题，其中假命题为（

）A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；B．若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；C．若与同向，且，则；D．为实数，若，则与共线.10．（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考）给出下面四个命题，其中是真命题的是（

）A．B．零向量与任意向量平行C．是向量的充分不必要条件D．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上11．（2024·广西贺州·高一统考期末）以下选项中，能使成立的条件有（

）A． B．或C． D．与都是单位向量三、填空题12．（2024·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是（填序号）．13．（2024·高一课时练习）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有个.

14．（2024·高一课时练习）如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有对.

15．（2024·高一课时练习）某人从A点出发向西走了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，最后又改变方向，向东走了到达点，则的模=．四、解答题16．（2024·全国·高一随堂练习）在矩形中，，点、分别为和的中点，在以、、、、、为起点或终点的向