14.1.3积的乘方（解析版）

积的乘方知识点管理瞄准目标，牢记要点知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究积的乘方法则积的乘方法则:积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘。.符号语言：(其中都是正整数).题型一：积的乘方法则【例题1】（2022·江西景德镇·七年级期末）计算：______．【答案】【分析】根据幂的乘方和积的乘方法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了幂的乘方，积的乘方，解题的关键是掌握：幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．变式训练【变式1-1】（2022·湖南永州·七年级期中）计算______．【答案】【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．【详解】．故答案为．【点睛】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．【变式1-2】（2022·江苏盐城·七年级期中）计算的结果为________；【答案】【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘计算．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．【变式1-3】（2022·江苏镇江·七年级阶段练习）____________．【答案】【分析】根据积的乘方计算法则求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，熟知相关计算法则是解题的关键．题型二：幂的混合运算【例题2】（上海民办行知二中实验学校七年级阶段练习）计算:【答案】．【分析】原式先分别计算积的乘方和同底数幂的乘法，再进行合并同类项即可．【详解】，==．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法以及积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题的关键．变式训练【变式2-1】（2022·江苏连云港·七年级阶段练习）计算：（﹣x）3x5+（2x4）2．【答案】3x8【分析】直接利用幂的混合运算即可解答.【详解】解：原式＝﹣x8+4x8＝3x8．【点睛】本题考查幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解答的关键.【变式2-2】（2022·福建·厦门双十中学思明分校八年级期中）计算：(2x2)3x4x2【答案】【分析】先根据幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法法则计算原式中的乘方运算，再根据同底数幂的加法法则算加法即可．【详解】【点睛】本题考查了幂的运算问题，掌握幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法法则、同底数幂的加法法则是解题的关键．【变式2-3】（2021·福建八年级期末）计算：．【答案】【分析】根据幂的运算法则计算即可．【详解】解：原式，，．【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟知幂的运算法则，熟练进行计算．【变式2-4】（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）计算：．【答案】0【分析】先根据幂的乘方计算，计算同底数幂，最后合并，即可求解．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键．积的乘方逆运算逆用公式：，根据题目的需要常常逆用积的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.题型三：积的乘方逆运算【例题3】（2022·上海宋庆龄学校七年级阶段练习）82016×（﹣0.125）2015＝________．【答案】﹣8【分析】先逆用同底数幂的乘法法则，得到8×82015×（﹣0.125）2015，再逆用积的乘方法则即可得到答案．【详解】解：82016×（﹣0.125）2015＝8×82015×（﹣0.125）2015＝8×[8×（﹣0.125）]2015＝8×（﹣1）2015＝8×（﹣1）＝﹣8．故答案为：﹣8【点睛】此题考查了同底数的乘法和积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．变式训练【变式3-1】（2022·广西崇左·七年级期中）计算：______．【答案】－4【分析】根据逆用积的乘方运算，同底数幂的乘法，即可求解．【详解】解：原式＝，故答案为：．【点睛】本题考查了逆用积的乘方运算，同底数幂的乘法，掌握积的乘方运算，同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．【变式3-2】（2022·安徽安庆·七年级期中）(-0.5)2022×22023=______【答案】2【分析】根据同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用即可得．【详解】解：原式，故答案为：2．【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．【变式3-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期中）计算_________．【答案】-4【分析】将式子转化为，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可．【详解】解：原式=．故答案为：．【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．【变式3-4】（2021·江苏七年级期中）计算：______．【答案】5【分析】根据幂的意义，2021个5相乘可以看做2020个5相乘，再乘以1个5，然后根据积的乘方法则的逆用运算即可．【详解】原式

故答案为：5．【点睛】本题考查了积的乘方(先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘)，解题的关键是会逆用法则进行运算．题型四：积的乘方自定义运算【例题4】（2021·广东七年级月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．（1）（理解）根据上述规定，填空：（2，8）=，；（2）（说理）记，，．试说明：；（3）（应用）若，求t的值．【答案】（1）3，－2；（2）见解析；（3）80【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；（3）根据定义解答即可．【详解】（1）23=8，（2，8）=3，，（2，）=-2，故答案为：3；-2；（2）∵（4，12）=，（4，5）=，（4，60）=，∴，，，∵，∴，∴，∴；（3）设（m，16）=，（m，5）=，（m，t）=，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及新定义下的实数运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．变式训练【变式4-1】（南阳市第三中学八年级月考）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝，（4，16）＝，（2，16）＝．（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．【答案】（1）3，2，4；（2）详见解析【分析】（1）由题意直接根据规定的两数之间的运算法则进行分析即可解答；（2）由题意根据积的乘方法则，结合定义进行分析计算即可．【详解】解：（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3；∵42＝16，∴（4，16）＝2；∵24＝16，∴（2，16）＝4；故答案为：3；2；4；（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝30，∴3a+b＝30，∵3c＝30，∴3a+b＝3c，∴a+b＝c【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，熟练掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．【变式4-2】（江苏七年级期末）一次数学兴趣小组活动中，同学们做了一个找朋友的游戏：有六个同学A、B、C、D、E、F分别藏在六张大纸牌的后面，如图所示，A、B、C、D、E、F所持的纸牌的前面分别写有六个算式：．游戏规定：所持算式的值相等的两个人是朋友．如果现在由同学A来找他的朋友，他可以找谁呢？说说你的看法．【答案】D、E．【详解】试题分析：首先利用同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方以及合并同类项的知识，求得各纸牌上的答案，继而可知同学A的朋友可以是谁．试题解析：∵A：，B：，C：，D：，E：，F：．∴同学A的朋友可以是D、E．考点：幂的乘方与积的乘方．【变式4-3】我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子23=8可以变形为log28=3，log525=2也可以变形为52=25．在式子23=8中，3叫做以2为底8的对数，记为log28．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．根据上面的规定，请解决下列问题：（1）计算：log31=，log10100=；（2）已知x=log32，y=log318，请你用x的代数式来表示y．（请写出必要的过程）【答案】（1）0,2（2）y=x+2【详解】试题分析：（1）由题目中的规律23=8可以变形为log28=3，log525=2也可以变形为52=25即可得到答案.（2）由x=log32，y=log318可得3x=2，3y=18，又因3y=18=2×9=3x×32=3x+2,所以y=x+2.试题解析：（1）0,2（2）∵x=log32，y=log318,∴3x=2，3y=18,∴3y=18=2×9=3x×32=3x+2∴y=x+2.考点：幂的乘方；积的乘方.链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】（2022·福建·中考真题）化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可．【详解】，故选：C．【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．【真题2】（2022·湖北武汉·中考真题）计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接运用幂的乘方、积的乘方计算即可．【详解】解：.故答案为B．【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的运算，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．【真题3】（2021·四川德阳·中考真题）下列运算正确的是（）A．a3+a4＝a7 B．a3•a4＝a12C．（a3）4＝a7 D．（﹣2a3）4＝16a12【答案】D【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的法则计算即可．【详解】解：A、a3与a4不是同类项不能合并，故错误，不符合题意；B、a3•a4=a7，故错误，不符合题意；C、（a3）4=a12，故错误，不符合题意；D、（-2a3）4=16a12，故正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，熟记法则是解题的关键．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（全国七年级课时练习）已知，求的值.【答案】14【分析】先将与写成含有的形式即、，再将代入求值即可.【详解】∵，∴原式.【点睛】此题考察代入求值，根据已知的条件将所给式子进行变形是解题的关键.【拓展2】（2021·安徽九年级月考）找规律：观察算式13＝113+23＝913+23+33＝3613+23+33+43＝100…（1）按规律填空）13+23+33+43+…+103＝；13+23+33+43+…+n3＝．（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）【答案】（1）；；（2）1622600；（3）【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题；（2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可；（3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题．【详解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝；13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝；（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103）＝＝1622600；（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）＝23×＝．【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学