2023-2024学年甘肃省兰州市高二年级上册期末数学模拟试题(三)(含解析)

2023-2024学年甘肃省兰州市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.在等比数列{叫中，6=1,«3=8,则篇资=（）

A.8B.6C.4D.2

【正确答案】A

【分析】由题设结合等比数列通项公式求得公比4=2,进而求空马.

q+a2

【详解】由题设，a2a3=。：/=8,又4=1，可得4=2,

•4+应％/+°闯4,24=&

a,+a2at+a}q3

故选：A

2.设直线4，4的斜率和倾斜角分别为K，&和a，2,贝『%>乃是"4>%”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】D

对直线的倾斜角分锐角和钝角进行讨论，再结合正切函数的性质，即可得答案；

【详解】解：•.•直线4，4的斜率和倾斜角分别为K，&和4，%，

当倾斜角均为锐角时,和均为钝角时，若“占>%2”，则“4>%”，

若“仇>%”,贝1]“片>无2”，

当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“勺〉与”，则"a与a”的大小不能确定，

若“4>%”，贝胪匕与益”的大小也不能确定，

故贝心尤〉％2”是"a>%’’的既不充分也不必要条件.

故选：D.

直线的斜率左=tana,将斜率视为倾斜角的函数，再利用正切函数的性质进行求解.

3.若直线/经过点尸（-2,1）,且直线/的一个法向量为；:（2,-1）,则直线/的方程为（）

A.x+2y=QB.x+2y-4=0

C.2x-y+5=0D.2x+y+3=0

【正确答案】c

【分析】根据直线/的一个法向量为；:（2,-1）,得到勺=2,写出直线方程.

【详解】因为直线/的一个法向量为；:（2,-1）,

所以％=2,

则直线/的方程为y-l=2（x+2）,即2x-y+5=0,

故选：C

4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，

1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符

合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，

此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2022这2022个数中，能被2除余1且被7除余1

的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{q},则该数列共有（）

A.145项B.146项C.144项D.147项

【正确答案】A

【分析】由已知可得能被2除余1且被7除余1的数即为能被14除余1,进而得通项及项数.

【详解】由已知可得。“-1既能被2整除，也能被7整除，故能被14整除，

所以=

即an=14w—13,

故14a,,42022,BfJ1<I4«-I3<2022,解得1W“W145上，故共145项，

14

故选：A.

5.已知圆C:X2+/+2龙-2叼-4-4s=0（seR）,则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐

标原点的距离的最大值为（）

A.A/5B.6C.亚-1D.75+1

【正确答案】D

【分析】根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到

坐标原点的距离，进而可求出结果.

【详解】解：由题意得：

2

由—+/+2x-2my-4-4m=0得(x+l)~=tn+4〃z+5

圆心为C(-1,7W),半径为尸=J〃?2+4加+5=J(〃?+2)2+1>1,

当且仅当机=-2时，半径最小，则面积也最小；

・•・圆心为半径为尸=1,

・•・圆心到坐标原点的距离为4=[(-I)?+(-2)2=屈>r，

即原点在圆C外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为,/+/=石+1.

故选：D.

6.已知圆(、+1『+(夕+2)2=4关于直线依+如+1=()〃>06>0对称，则一+7的最小值为

ab

()

5

A.-B.9C.4D.8

2

【正确答案】B

【分析】由题可得。+26=1(。〉0力〉0),然后利用基本不等式即得.

【详解】圆(x+l)2+(y+2)2=4的圆心为依题意，点在直线如+圾+1=0上,

因止匕一Q—26+1=0,即。+26=1（。〉0力>0）,

当且仅当生=学，即〃=b=:时取

ah3

所以1：2的最小值为9.

ab

故选：B.

7.当点尸在圆/+/=1上变动时，它与定点。(3,0)的连线P0的中点的轨迹方程是(

A.x2+y2+6x+5=0B.x2+^2-6x+8=0

C.x2+y2-3x+2=0D.x2+y2+3x+2=0

【正确答案】C

【分析】相关点法求解尸。的中点的轨迹方程.

【详解】设P（XQJ,尸Q的中点M的坐标为（x,y）,

x-演+3

x-1,

•.•0(3,0),%

心丁，

.J%,=2x-3

*,bi=2、

又：点p在圆/+_/=1上，

.\(2x-3)2+4v2=1,B[JX2+/-3X+2=0,

故选：C.

8.已知数列｛《,｝满足怎=<■：,"为正整数，则该数列的最大值是（）

n+6

1115

A.-B.—C.-D.

25631

【正确答案】B

1

【分析】求出数列｛凡｝的前5项，再由对勾函数的性质可得“"=:，〃eN，的单调性,

n

从而即可得最大值.

【详解】解：由〃“二-a"/，得q=!，a2=~%=:，。4=三，%=3.

n4-67551131

1

又"〃二『，〃wN*,

n

1

又因为'=7"在仅，卡）上单调递增，在（指,+8）上单调递减，

X

所以｛叫的最大值为%=%=;.

故选：B.

二、多选题

9.已知直线/:米-V+2左=0和圆O：f+y2=16,贝|J（）

A.直线/恒过定点（2,0）

B.存在上使得直线/与直线%：x-2y+2=0垂直

C.直线/与圆。相交

D.若后=-1,直线/被圆。截得的弦长为4

【正确答案】BC

【分析】利用直线系方程求出直线/所过定点坐标判断/、C；求出使得直线/与直线

%:》-2），+2=0垂直的左值判断&根据弦长公式求出弦长可判断D.

[x+2=0（x=—2

【详解】解：对于4C,由/：履7+24=0,得％（x+2）-y=0,令，解得

〔_尸0[y=0

所以直线/恒过定点（-2,0）,故N错误；

因为直线/恒过定点（一2,0）,而（一2）2+。2=4<16,即（-2,0）在圆O：X2+J?=16内，

所以直线/与圆。相交，故C正确；

对于8,直线％:x-2y+2=0的斜率为9则当上=-2时，满足直线/与直线％：x-2y+2=0

垂直，故8正确；

对于。，左=-1时，直线/：x+y+2=0,圆心到直线的距离为d=域竺3=0,

V12+12

所以直线/被圆。截得的弦长为2犷=T'=N以一（何=2/14,故D错误.

故选：BC.

10.已知递减的等差数列的前〃项和为S“，若其=S"，则（）

A.a10>0B.当〃=9时，，最大

C.S”>oD.S19>0

【正确答案】BC

【分析】由题，由等差数列的其=5||可得4+为+aio+4=。，可求出4和d的关系，

用公式法写出《、S„,结合d<0,即可逐个判断.

17

【详解】由题,由Sf=S、、得，“8+%+%o+"“=%+33=0,a,=—■—d,

■■an=q+（“-1）.〃=（〃-：）•",Sn=（"+""）"="（"-18）a

222

d<0,QioU'dvO,A错；

S〃对称轴为勿=9,开口向下，所以〃=9时，，最大，B对；

1719

5=一一d>0,S]9=—d<0,C对，D错，

*1722

故选：BC

11.若数列｛6,｝是公比为q(q*O)的等比数列，则下列说法不正确的是()

A.若数列｛?｝是递增数列，则4<0,4<0

B.若数列｛““｝是递减数列，则4>0,0<"1

C.若<7>0,则见<4

D.若则也｝是等比数列

【正确答案】ABC

【分析】逐项分析即可求解.

【详解】若数列｛4｝是递增数列，也可以q>0,q>l,故选项A错误；

若数列｛对｝是递减数列，也可以q<0,，故选项B错误；

若q=l>0,则%=&，所以选项C错误；

l

bn=-=-^r=-(-r,2=平产一」0,所以也｝是等比数列，故选项D正确

。〃々1为qb“q

qq

故选：ABC.

12.已知实数x,J满足方程X2+/_4X+I=O,则下列说法错误的是

A.V-X的最大值为&-2B.d+y2的最大值为7+4百

C.上的最大值为也D.x+y的最大值为2+0

x2

【正确答案】CD

【分析】B中亡+/表示(xj)到原点距离的平方，求出原点到圆心距离可得圆上点到原点

距离的最大值的最小值，可判断B,

A,C,D中均可以令对应式子=〃?，解得V后代入圆方程，由判别式A2O可得最值.从而

得到判断.本题用了几何意义求解，转化为直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离不大于

半径可得结论.

【详解】对于4设2=)"工，则'=》+2,Z表示直线了=》+2的纵截距，当直线与圆

(x-2)2+/=3有公共点时，今百，解得一n-24Z46-2,所以卜一》的最大值为

V6-2,故/说法正确；

对于8,£+/的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2,

则原点到圆上的最大距离为2+W，所以f的最大值为(2+0-=7+4百，故8说法

正确；

对于C,设汇=无，把、=履代入圆方程得(1+/口2-4》+1=0,则A=16-4(l+/)20,解

X

得YwkwQ,上最大值为心，故c说法错误；

X

对于。，设机=x+y,贝ijy=-x+m,〃?表示直线了=一》+机的纵截距，当直线与圆

I-2+|r-

(X-2)?+/=3有公共点时，一下—4A/3,解得-卡+244#+2,所以x+夕的最大

值为痛+2,故。说法错误.

故选：CD.

本题考查命题的真假判断，实质考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离不大于半

径易得解，对平方式可用几何意义：两点间距离的平方求解.

三、填空题

13.数列｛q｝满足q=。用+2,且4=1,则它的通项公式%=.

【正确答案】-2N+3##3-2〃

【分析】根据给定条件，结合等差数列定义求出公差，再求出通项作答.

【详解】因数列｛6｝满足%=。向+2,即％-q=—2,

因此数列｛对｝是首项为1,公差为-2的等差数列，

所以数列｛对｝的通项公式为%=1+5-1)x(-2)=-2〃+3.

故-2”+3

14.已知直线/的斜率为三，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，则直线/的斜截式方程为

6

【正确答案】y=Jx+1或y

66

【分析】设/：V=LX+6(6KO),可求得直线与坐标轴交点坐标，利用所围成三角形面积可

6

构造方程求得6,进而得到直线方程.

【详解】设直线/的方程为：y=yx+b(b*0),当x=0时，y=b；当，=0时，x--6b；

由题意可得：!-|6|-|-66|=3,解得：6=±1,

・•・直线’的方程为：y='x+l或y='x_I.

故y=L+l或yjxT.

66

15.数列｛《,｝满足q=2,%+产焉，则数列｛局｝的前2022项的乘积为.

【正确答案】J

【分析】先推出数列的周期为4,根据周期化为前4项的值进行计算可得结果.

【详解】因为。用=殳二所以4+2=4二|==-」■,

见+1。田+1冬二1+1册

%+1

___1____1__

所以“"4=一7?=一］工，所以数列｛凡｝的周期为4，

,。“一1,日11“

由。|=o2,=〃+］，得%=§，。3=-5，。4=-3,

(11452

所以数列｛”“｝的前2022项的乘积为(《咏。俨•=［2x-x(―)x(-3)x2x-=-.

故答案为.|

16.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数：1,

1,2,3,5,8,13,…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为

90。的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如图为该螺旋线在边长为1,1,

2,3,5,8的正方形的中的部分，建立平面直角坐标系(规定小方格的边长为1),则接下

来的一段圆弧所在圆的方程为

【正确答案】(x+4)2+(y-2『=169

【分析】根据题意，分析要求的圆的圆心和半径，由圆的标准方程分析即可得出答案.

【详解】根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径/*=5+8=13,其圆心为(-4,2),

(根据题中图象规律发现),则其标准方程为(x++(y-2)2=169.

故答案为.(x+4)2+(y-2『=169

四、解答题

17.已知点尸(2,2).

(1)求过点尸且与直线x-3y-l=0平行的直线方程；

⑵直线/过点P,且直线/与点/(1,3),8(4,6)距离相等，求直线/的方程.

【正确答案】(l)x-3y+4=0

(2)欠一'=0或5%一、一8二0

【分析】(1)由平行设所求直线为x-3y+,”=0,代入点尸(2,2)坐标即可求解；

(2)直线/与点/(1,3),8(4,6)距离相等，则直线与所在直线平行或过线段力8的中点,

求出直线斜率，点斜式求直线方程.

【详解】(1)所求直线与直线x-3y-l=0平行，设所求直线为x-3y+m=0,

将点尸(2,2)代入方程，化简得机=4,故所求直线的方程为x-3y+4=0.

(2)当直线〃时，k=k=3=1,直线/的方程为了-2=*_2,即x-y=0；

1AB4-1

（、--2

当直线/过线段的中点Ml时，kt=kPM=j-=5,直线/的方程为

2-2

y-2=5（x-2）,HP5x-y-8=0,

所求直线/方程为x-y=O或5x-y-8=0.

18.直线4：x+2尸11=0与直线4：2x+y-I0=0相交于点尸，直线/经过点P.

⑴若直线/,的求直线/的方程；

（2）若直线I在坐标轴上的截距相等，求直线/的方程.

【正确答案】⑴x_2y+5=0

（2）4x-3y=0uJ（x+y-7=0.

【分析】（1）先求P点坐标，由垂直关系得/斜率后求解，

（2）由题意得/过原点或斜率为-1后求解

,,fx+2y-l1=0,,[x=3,,、

【详解】（1）联立°;得；即23,4.

[2x+y-1i0n=0[y=4,/

因为不妨设直线/的方程为x-2y+/l=0,

将点P（3,4）代入x_2y+4=0,得2=5,

所以直线/的方程为x-2y+5=0.

（2）当直线/经过坐标原点时，直线/的方程是夕=：》，即4x-3y=0；

当直线/不经过坐标原点时，设直线/的方程为±+上=1,

aa

将点P（3,4）代入土+上=1,得°=7,

aa

所以直线/的方程为=+4=1,即x+y-7=0.

综上所述，直线/的方程是4x-3>=0或x+y-7=0.

19.已知数列｛6｝的前〃项和为5,,,4=71,%=-9,且S“M+S,I=2V.+2（〃22）.

⑴求数列｛乐｝的通项公式；

（2）已知2=」一，求数列也｝的前〃项和7；.

anan+\

【正确答案】⑴。“=2〃-」3

n

(2)--------

'U21-22/7

【分析】(1)根据4=S“-Si以及S“M+S,i=说+2(〃22)可得该数列是等差数列，然后

根据等差数列的4、d写出数列的通项公式即可.

(2)有题意可知也,=(2”_13)(2〃-11)'然后根据裂项求和即可求得人

【详解】(1)解：由题意得：

由题意知(S,M-5〃)一(S,-)=2,则。向-%=2(〃N2)

又〃2-%=2,所以｛%｝是公差为2的等差数列，则+(〃-1)4=2N-13；

,11(11>

(2)由题知2=万~~—rp:-K=3-7~~RF~7\

(2/7-13)(2/2-11)2\2n-132n-\\)

n

~121-22/7

20.已知等差数列｛《J的前〃项和为5〃，数列｛4｝为等比数列，且《=〃=1,$3=34=12.

⑴求数列｛4,｝,抄,｝的通项公式；

⑵若cn=a„6„+i，求数列｛5｝的前"项和T„.

【正确答案】(1)。“=3〃-2,b„=4"-'

⑵7],=4+(〃7)4向

【分析】(1)求出公差和公比，得到通项公式；(2)利用错位相减法求和.

【详解】(1)设等差数列｛《,｝的公差为"，等比数列色,｝的公比为4,

由题意得：3%+3d=12,解得：[=3,

所以=1+3(〃-1)=3〃-2,

由34=12得：4=4,所以4="=4,

所以a=4"T

(2)£,=4也,|=(3"-2>4",

则7；=4+4x4?+7x4^++(3〃-2)4①，

47；,=42+4X43+7X44++削-2)4"②，

两式相减得：-37；=4+3x42+3x43+3x4,++3x4"

1A-4，，+1

=4+3x——(3n-2)4,,+1=-12+0-3n>"+,,

所以北=4+(〃-1)4的

21.我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比,

22

记作4.已知圆Ct：x+y=1,直线/:3x-4y+m=0.

(1)若直线/关于圆G的距离比义=2,求实数机的值；

(2)当加=0时，若圆G与V轴相切于点力(0,3),且直线/关于圆G的距离比试判

断圆G与圆G的位置关系，并说明理由

【正确答案】(1)±10；(2)外切或相离，答案见解析.

(1)根据新定义的要求即可求出他的值；

(2)先设圆C2的方程(x-q)2+(y-3尸=/,然后根据新定义可求出。的值，再根据。的值

判断两圆的位置关系.

【详解】(1)由直线关于圆的距离的比的定义

得圆=2,所以相=±10

5

(2)当加=0时,直线/：3x-"=0

圆Q与了轴相切点于/(0,3)

所以可设。2：(x-a)2+(y-3)2=a2

①当a=-4时，C2：(x+4>+(y-3>=16

两圆的圆心距d=5,两圆半径之和为1+4=5,因此两圆外切

4416

②当。=§时'c2：(x_])2+(尸3)2=§

两圆的圆心距d=-§4+4=]8大于两圆的半径之和l+g4=；7,因此两圆外离

关键点点睛：本题的关键点是利用新定义圆的圆心到--条直线的距离与该圆的半径之比，叫

做直线关于圆的距离比，可求出加的值，利用圆G与V轴相切于点力(0,3)设出其方程为

(x-4+(y-3)2=/根据新定义可求出。的值，再比较圆心距与半径之和、差，可判断两圆

的位置关系.

22.已知尸为直线/：x+y